Activités numériques [ 13 Points]

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1 L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible sur le site du Collège : Espace Pédagogique puis rubrique Mathématiques. Activités numériques [ 1 Points] EXERCICE 1 Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 0,75 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25. L absence de réponse ne rapporte n y n enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l exercice est 0. Questions Réponses Le nombre est : strictement positif strictement négatif nul (2x ) 2 est égal à : (2x+)(2x ) 4x 2 9 4x x Une solution de(x ) 2 = 5x 9 est : Un article coûte 50e. Après remise de 20%, il coûte : 20e 40e 0e 60 représente 15% de : Une urne contient uniquement des jetons jaunes (J), rouges (R) et verts (V). On sait que p(j)= 1, p(r)=0,25 alors p(v)= 0, EXERCICE 2 Un sac contient boules ayant chacune la même probabilité d être tirée. Ces boules sont numérotées de 1 à. 1. On tire une boule au hasard, on note son numéro. (a) Quelle est la probabilité d avoir un nombre multiple de? Il y a multiples de compris entre 1 et : ;6 et 9. Donc il y a chances sur d obtenir un multiple de trois. Donc la probabilité est de, soit 0,. (b) Quelle est la probabilité d avoir un nombre premier? Il y a 4 nombres premiers compris entre 1 et : 2 ; ;5 et 7. Donc il y a 4 chances sur d obtenir un nombre premier. Donc la probabilité est de 4, soit 0,4. 2. On tire une boule au hasard, on note son numéro, on ne remet pas la boule tirée. Puis on tire une deuxième boule dont on note le numéro. COLLÈGE JULES MICHELET Page 1/7 ANGOULÊME

2 e BREVET BLANC (a) Quelle est la probabilité d avoir le tirage (5 ;)? Il y a possibilités pour la 1 ère boule et pour chacune d elles, il y a ensuite 9 possibiltés pour le 2 ème boule. Parmi toutes les issues possibles, il n y en a qu une qui donne le résultat (5 ;) sur un total de 90 issues possibles. Doncp(«(5;)») = 1 90 (b) Quelle est la probabilité d avoir un tirage où au moins l une des boules porte un numéro multiple de? 7/ 2/9 7/9 /9 6/9 légende : : multiple de trois. : non multiple de trois. Il est plus simple de s intéresser à l événement contraire de l événement initial, c est à dire que l on va étudier la probabilité «d obtenir un tirage où les deux boules ne portent par un numéro multiple de» : La probabilité de cet évement est de = Donc la probabilité de l événement «obtenir un tirage où au moins l une des boules porte un numéro multiple de» est de = 8 15 EXERCICE Dans cet exercice, tout début d explication, de démarche sera pris en compte. Comment peut-on calculer astucieusement sans calculatrice ? Expliquer rigousement votre démarche et donner la réponse. Compétences utilisées : Mettre en place une démarche. Reconnaitre une différence de deux carrés. Savoir quea 2 B 2 = (A+B)(A+B) = ( )( ) = = 997 COLLÈGE JULES MICHELET Page 2/7 ANGOULÊME

3 EXERCICE 1 AB = 5 et AC = 6,5; AE = et EF = 4,8 ; AK = 2,6 et AG = 2. Activités géométriques [ 1 Points] K A G B E F C 1. Démontrer que BC = 8. Donc : D après le théorème de Thalès, on a : E est un point de [AB] Dans le triangle ABC : F est un point de [AC] (EF) est parallèle (BC) AE AB = AF AC = EF BC 5 = 4,8 BC BC = 5 4,8 2. Tracer en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. = 8 K G A E F B. Les droites(kg) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier. (KC) et (BG) sont sécantes en A. K,A et C sont trois points distincts ainsi que G,A et B. AK AC = 2,6 6,5 C COLLÈGE JULES MICHELET Page /7 ANGOULÊME

4 AG AB = 2 5 2,6? = 2 6,5 5 On y répond par les produits en croix :2,6 5 = 1 et 6,5 2 = 1. Donc AK AC = AG AB. Les points K,A,C et G,A,B sont alignés dans le même ordre. Donc d après le réciproque du théorème de Thalès les droites (KG) et (BC) sont parallèles. 4. Les droites(ac) et (AB) sont-elles perpendiculaires? Justifier. Dans le triangle ABC : BC 2 = 64 AB 2 +AC 2 = 25+42,25 = 67,25 Donc ABC n est pas un triangle rectangle. Donc (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires. EXERCICE 2 1. Calculer la distance AP (on donnera une valeur arrondie au dixième). Dans le triangle APG, rectangle en G. D après le théorème de Pythagore : AP 2 = PG 2 +GA 2 AP 2 = 9 2 +,66 2 AP 2 = 94,956 AP =» 94,956 9,7m 2. (a) Le point G est aussi le milieu du segment [HK]. Montrer que BK = 16,5 m, puis calculer une mesure de l angle BJK. BK = 40,2 7,2 = 16,5m 2 2 Dans le triangle BJK, rectangle en K : tan BJK = BK JK tan BJK = 16,5 16,5 BJK = tan 1 (1) = 45 (b) Calculer AK, puis une mesure de l angle AJK (on donnera une valeur arrondie au degré). AK = 7,2+16,5 = 2,82m. Dans le triangle AJK, rectangle en K : tan AJK = AK JK tan AJK = 2,82 16,5 = 1 å AJK = tan 1 Ç 2,82 16,5 55 I (c) En déduire une mesure de l angle de tir AJB du joueur. AJB = AJK BJK AJK AJK H A G B 7,2m 40,2m P J K 16,5m COLLÈGE JULES MICHELET Page 4/7 ANGOULÊME

5 Problème [ 12 Points] L unité de longueur est le cm, la figure est réalisée à l échelle 1. Ne pas reproduire la figure. 2 T (C) S R H M Partie A Soit (C) un cercle de diamètre[rm] avecrm =. SoitT un point de(c) tel quert = Démontrer quermt est un triangle rectangle. Propriété Si un triangle est inscrit dans un cercle, et si de plus l un des côtés du triangle est un diamètre alors ce triangle est rectangle. R, M et T sont sur le cercle(c). [RM] est un diamètre du cercle (C). DoncRMT est rectangle en T. 2. Démontrer quetm = 8. Dans le triangle RMT, rectangle en T. D après le théorème de Pythagore : RM 2 = RT 2 +TM 2 2 = 6 2 +TM 2 0 = 6+TM 2 TM 2 = 0 6 = 64 TM = 64 = 8 cm Partie B Soit S un point de[rt] eth le point de[rm] tel que(sh)//(tm). On posers = x. 1. Quelles sont les valeurs possibles dex? x est compris entre 0 et Démontrer querh = 5 x et SH = 4 x. Dans le trianglertm : S [RT] H [RM] COLLÈGE JULES MICHELET Page 5/7 ANGOULÊME

6 (SH)//(TM) Donc d après le théorème de Thalès, on a : RS RT = RH RM = SH TM. x 6 = RH = SH 8. En utilisant : x 6 = RH, on obtient : 6 RH = x. DoncRH = x = 5 x = 5x 6 6 = 5 x En utilisant : x 6 = SH 8 6 SH = 8 x. DoncSH = 8 x 6, on obtient : = 8 4 x 6 = 4x = 4 x. Exprimer, en fonction dex, le périmètre du trianglersh. P RSH = RS +SH +HR = x+ 4 x+ 5 x = x + 4 x+ 5 x = 12x = 4x 4. Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à :24 4 x. P STMH = ST +TM +MH +SH = 6 x+8+ 5 x+ 4 x = 24 x 5 x+ 4 x = 24 4 x Partie C On considère les fonctionsf et g telles que : 1. Calculer f(0), f(6), g(0) et g(6). f : x 4x et g : x 24 4 x. f(0) = 4 0 = 0 f(6) = 4 6 = 24 g(0) = = 24 g(6) = = 24 8 = Sur la feuille de papier millimétré fournie, représenter graphiquement les fonctionsf et g.. (a) Déterminer par le calcul la valeur dexpour laquellef(x) = g(x). Pour que :f(x) = g(x), il faut que : 4x = 24 4 x 4x+ 4 x = x = 24 x = = 4,5 (b) Retrouver cette valeur sur le graphique ; faire apparaître les pointillés nécessaires. 4. Que représente la solution de l équationf(x) = g(x) pour la partie B de ce problème? La fonctionf correspond à la fonction qui traduit le périmètre du triangle RSH. La fonctiong correspond à la fonction qui traduit le périmètre du trapèze STMH. Donc la solution de l équationf(x) = g(x) correspond à la position de S sur [RT] pour que le triangle RSH et le trapèze STMH aient le même périmètre. COLLÈGE JULES MICHELET Page 6/7 ANGOULÊME

7 D f : x 4x D g : x 24 4 x 2 O 1 COLLÈGE JULES MICHELET Page 7/7 ANGOULÊME