METHODE DU GRADEX INTRODUCTION IV-8. RAPPELS SUR LA METHODE DU GRADEX

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1 METHODE DU GRADEX INTRODUCTION Cette partie est un résumé des travaux effectués à l occasion d une comparaison de deux méthodes d évaluation des probabilités de crues de fréquence rare. On trouvera une présentation plus importante dans le mémoire de thèse de Abdellatif Djerboua, thèse qui sera soutenue à Grenoble à la fin de l année Les bassins retenus sont ceux de l Arc à Bramans (635 km 2 ) du coté français et de la Stura di Lanzo (582 km 2 ) du coté italien ; ces deux bassins ont une frontière commune et sont sujets à des crues très importantes générées par des précipitations importantes, venant, en général par régime de sud est. Les données tant pluviométriques que hydrométriques sont assez riches. IV-8. RAPPELS SUR LA METHODE DU GRADEX La méthode du GRADEX est une approche hydropluviométrique probabiliste du calcul des débits de crues extrêmes de période de retour supérieure à cent ans. La méthode se base sur l'information apportée par la loi de probabilité de la pluie spatiale pour les valeurs fortes. En effet, on suppose que la loi de distribution de la rétention du bassin ne change pas pour les pluies intenses, d'où on déduit le comportement asymptotique des volumes des crues extrêmes à partir de la distribution de la pluie moyenne maximale annuelle (pour un pas de temps adéquat). La distribution des débits instantanés maxima est déduite des volumes, par un coefficient de forme moyenne des hydrogrammes de ruissellement direct, rapport moyen de la pointe d'une crue par le volume moyen sur le pas temps considéré. La méthode s'applique à des bassins de quelques dizaines à plusieurs milliers de kilomètres carrés, qui sont homogènes pluviomètriquement (la méthode ne s'applique pas à des bassins trop grands, où le comportement asymptotique de la pluie spatiale tend à devenir normal). Dans notre cas, à la vue des hydrogrammes de crues et des tailles de bassin, le temps caractéristique adéquat est de l ordre de la journée, ce qui nous permet de travailler avec des données pluviométriques, plus nombreuses que les données pluviographiques. Il correspond au temps de passage de la moitié du volume d une crue générée par une pluie forte mais courte ou encore à la durée pendant laquelle le débit est supérieur à la moitié du débit de pointe. Hypothèses de la méthode du GRADEX : La distribution des pluies de quelques heures à plusieurs jours ponctuelles ou spatiales sur un bassin versant est à décroissance exponentielle (loi de Gumbel, Somme de deux exponentielles, ). La distribution de la rétention ne change pas pour les pluies intenses (valable à partir d'une certaine période de retour), c'est à dire l espérance de la rétention reste constante, d'où le comportement asymptotique des volumes moyens de crues extrêmes aura le même comportement asymptotique que les pluies spatiales maximales annuelles.

2 La dernière hypothèse se base sur l'invariance de l hydrogramme unitaire, c'est à dire quelle que soit la quantité de pluie tombée, la fonction de transfert entre la pluie efficace et le débit ne change pas. On peut exprimer cette hypothèse par la relation entre le débit instantané maximal et le débit moyen de crue extrême, qui donne un coefficient de forme moyen des hydrogrammes de ruissellement direct. IV-9. ANALYSE DES PLUIES Afin de comparer cette méthode avec celle de VAPI, plusieurs couples de bassins versants contigus ont été sélectionnés (la Roya à Breil et le Demonte, le Guil à Montdauphin et à Pont du Roy et le Pellice Chisone, l'arc à Bramans et la Stura di Lanzo). Le choix final est tombé sur l'arc à Bramans (635 km²) du coté français et la Stura di Lanzo (582 km²) du coté italien, bassins riches en données pluviométriques et hydrométriques. Les données disponibles pour l'étude sont les pluies journalières pour l'ensemble des stations des deux bassins d'étude, et les données des stations du bassin de l'orco et la Dora Riparia encadrant le bassin de la Stura Di Lanzo. IV-9.1. Critique des données et reconstitution de données manquantes On a voulu travailler sur des séries de données de pluies les plus longues possibles, correspondant à la même période que la série de débits. La période commune entre les stations des deux bassins d'études est la période de 1951 à 1986 (36 ans). Ci-joint la liste des stations choisies : Stations italiennes pluviométriques: Ala di Stura, Balme di Lanzo, Ceres, Funghera, Lago della Rossa, Lago Dietro La Torre, Malciaussia, Pessinetto, Usseglio et Viù. Stations françaises pluviométriques : Aussois, Bessans, Bonneval, Grand Scala et Termignon. Du côté français, on a supprimé Bessans1 (Avérole) et Mont Cenis, parce que ces stations présentent des séries courtes (moins de 30 ans). La station de Bonneval présente un grand trou de 1978 à 1983 inclus ; une corrélation simple entre Bonneval et la station la plus proche qui est Bessans5 a été faite pour remplacer les données manquantes. Les résultats sont classés selon les différentes corrélations faites sur les pluies journalières, cumuls mensuels ou cumuls saisonniers : - faible corrélation pour la pluie journalière - corrélation plus ou moins forte et constante en cumuls saisonniers - une corrélation forte en cumuls mensuels. Tableau IV-5 : Corrélation entre Bonneval sur Arc (Y) et Bessans (X). Pour faciliter le calcul, on a choisi la corrélation des cumuls mensuels. Elle est plus stable que celle calculée sur des pluies journalières. L'ennui avec la corrélation des pluies journalières, c'est le poids des jours sans pluies, qui représentent plus de 50% de l'échantillon; notre résultat sera biaisé par ces valeurs. Donc, on a cherché de travailler sur les cumuls pour éviter ce genre de problème. On remarque que les corrélations effectuées sur les saisons sont bonnes sauf pour l'été, où on a des pluies très localisées (orages) qui ne sont pas bien corrélées entre elles. Nous avons constaté que la relation des cumuls mensuels est proche des relations des saisons sauf l'été. En effet, le choix est tombé sur la corrélation des cumuls mensuels, une

3 relation applicable sur l'année et représentatif. On a remplacé les données manquantes de Bonneval sur Arc de 1978 à 1983 par la relation suivante : P Bonneval =1,0822*P Bessans Le terme constant a été négligé pour deux raisons, la première, quand il y a une forte pluie, cette constante devient négligeable (ce qui nous intéresse du point de vue extrême), la deuxième raison est de ne pas générer une pluie à Bonneval s il ne pleut pas à Bessans. Pour la partie italienne, il n a pas été utile de combler les données manquantes car il y avait toujours un nombre suffisant de stations actives. Il n y a que pour quelques mois où l on n a disposé que de 8 stations, ce qui est déjà suffisant pour estimer la lame d eau spatiale journalière. IV-9.2. Analyse en Composantes Principales L'analyse en composantes principales est un outil puissant ; elle permet une synthèse et une meilleure appréhension de l'information multivariée. Dans notre cas, il était important d analyser la cohérence spatiale des données journalières pluviométriques. A partir de cette analyse on peut tester l'homogénéité des données et la typologie ou la proximité entre les stations. Le calcul de l'acp est effectué d une part, sur les pluies journalières (valeurs nulles comprises) et d autre part, sur les cumuls des quatre saisons ; une incohérence entre les résultats de ces deux analyses a été remarquée. La première composante principale qui représente l'effet de taille était presque la même pour chaque station dans le cas des cumuls mensuels (le poids de chaque station), mais pour les pluies journalières, on a trouvé une différence remarquable entre le poids des stations françaises et le poids des stations italiennes. Nous avons expliqué cette différence par le décalage de l'ordre de la journée entre les mesures françaises et les mesures italiennes (confirmé par M. Virgilio Anselmo). Nous avo ns décalé les données italiennes d'un jour en moins, puis nous avons appliqué l'acp. On a ainsi obtenu une cohérence entre les résultats des pluies journalières et les cumuls des quatre saisons (Figure IV-6). Les 3 premières composantes principales ont été retenues parce qu'elles expliquent plus de 84% de la variance totale pour chaque saison. Figure IV-6: Présentation de la première composante principale de chaque station selon la saison Cette analyse a permis de grouper les stations en 3 classes homogènes qui changent suivant les saisons ; toutefois au printemps, on a trouvé 4 groupements homogènes. Figure IV-7 : Présentation des stations dans l'espace des composantes principales (CP2, CP3) On remarque qu'on a pratiquement pour toutes les saisons 3 groupes homogènes (Figure IV-7), 2 groupes italiens et un groupe français. Sauf pour la saison du printemps, le groupe français est divisé en deux groupes. A chaque saison, il existe une station de passage entre les groupes, qui change selon la saison pour le côté italien. La station Grand Scala a une tendance d'être plus proche et homogène des stations italiennes, d'ailleurs on le remarque en printemps où Grand Scala fait partie d'un groupe italien. C'est une station de raccord entre les stations françaises et italiennes

4 L'analyse en composantes principales a montré qu'il y a une continuité de la précipitation dans l'espace par le biais des stations qui raccordent les groupements homogènes. Tableau IV-6 : Classement des stations selon le groupage de l'acp. IV-9.3. Calcul de la lame d'eau spatiale L'estimation de la lame d'eau moyenne spatiale peut s'effectuer suivant plusieurs méthodes : - une moyenne arithmétique des pluies ponctuelles sur le bassin versant. - Moyenne de pondération de Thiessen couramment utilisée par les hydrologues. - Cartographie des isohyètes d épisodes pour évaluer des lames d'eau moyennes. - Méthodes plus sophistiquées (ex : krigeage, cokrigeage, ). Pour des raisons pratiques, on a choisi la moyenne arithmétique, parce que dans les séries fournies il y a des données manquantes ; l erreur sur le calcul du gradex ne doit pas être très grande. L'estimation de cette pluie moyenne est calculée sur 3 à 5 stations pour le bassin de l'arc à Bramans, et sur 8 à 10 stations sur le bassin de Stura Di Lanzo. IV-9.4. Calcul du gradex des pluies spatiales L'hypothèse sur les pluies se base sur la distribution à décroissance exponentielle asymptotique de toutes les pluies ponctuelles ou spatiales de quelques heures à plusieurs jours. On propose deux lois de probabilité à décroissance exponentielle. Loi de Gumbel : Loi de probabilité souvent utilisée pour les valeurs extrêmes : F(x)=exp-(-exp(-(x-x 0 )/a)) a = 6/π σ x paramètre d'échelle (gradex) x 0 = µ x σ x paramètre de forme (mode) µ x, σ x moyenne et écart-type de la population Loi Somme de deux exponentielles : La distribution de toutes les pluies y compris les valeurs nulles (loi ajustée sur toutes les pluies successives de durées comprises entre 4 heures à 72 heures) : F(x)=1-α e(-x/a)-β e(-x/c) α =1/CV² vérifiés expérimentalement 1-F(0)=α+β probabilité des valeurs non nulles µ ( ) β α + β a = 1+ CV 2 1 α + β le gradex des valeurs fortes α 2 c=(µ-a α)/β pente des valeurs faibles (paramètre très inférieur à a) CV=σ/µ coefficient de variation

5 Le paramètre "a" que nous appelons gradex (gradient des valeurs extrêmes) représente les risques des précipitations intenses. C est la pente de la droite de Gumbel sur un papier de probabilité à échelle de Gumbel. Cette dernière loi de probabilité est plus proche de la réalité, par son comportement à l'origine (inflexion dans la partie inférieure de la distribution) et dans les fortes valeurs. Par une simple translation de -ln(n) sur le graphique (x, -ln(-ln(f))), on peut déterminer la distribution de la pluie journalière maximale de n jours, car elle a pour expression [F(x)] n, dans l hypothèse où les pluies sont indépendantes et ont même loi sur la période de saison considérée: -Ln[-Ln(F(x) n )]=-Ln[-Ln(F(x))]-Ln(n) Le paramètre "a" ou gradex varie avec la saison et selon le climat régional. En effet, on fait un découpage saisonnier, en prenant des mois ayant des gradex comparables (à 10 ou 20 % de différence). Le gradex des pluies journalières maximales annuelles est le même pour la saison à plus fort risque (avec une translation sur la distribution des pluies journalières saisonnières de -Ln(n), n étant le rapport entre la taille des pluies journalières et la taille de la saison). En effet, on a calculé le gradex mensuel ponctuel et spatiale à partir des données journalières. Les saisons ont été déterminées en comparant les gradex mensuels de la pluie spatiale, de telle sorte que les gradex des mois composant la même saison soient voisins. Une fois la saison définie, le découpage saisonnier est appliqué sur l'ensemble de nos données, soit ponctuelles ou spatiales. Les saisons sont définies par le découpage suivant : - Automne : Septembre, octobre, novembre - Hiver : Décembre, janvier, février, mars - Printemps : Avril, mai, juin - Eté : Juillet, août Une fois vérifié le découpage saisonnier, on refait le calcul du gradex en utilisant les données journalières d'une même saison. Tableau IV-7 : Les gradex saisonniers ponctuel et spatial (en mm/24 h). L'automne représente la saison à plus fort risque pour les deux bassins versants, c'est le gradex le plus fort parmi les quatre saisons. A partir de la distribution des pluies journalières d'automne, on arrive à déterminer la loi des max. de la saison d'automne, qui a le même gradex que celui des pluies journalières d'automne. On considère que la distribution des max. de la saison à plus fort risque est loi des max. annuels pour les valeurs fortes. Coefficient d'abattement : C est le rapport entre les gradex ponctuels et le gradex de la lame d eau sur le bassin. Une première façon de procéder est alors de faire la moyenne des gradex ponctuels des stations appartenant au bassin, et de déterminer un coefficient d'abattement empirique fonction de l'intercorrélation entre les stations. En effet, prendre pour gradex spatial la moyenne des gradex, équivaut à dire que toutes les corrélations sont égales à un, et amène donc à une surestimation. Le résultat du calcul donne un coefficient d'abattement qui varie de 80% jusqu'à 92% selon la saison.

6 Fig.IV-8 : Distribution des pluies spatiales journalières extrêmes des 3 mois d automne sur le bassin de l Arc à Bramans Fig. IV-9 : Distribution des pluies spatiales journalières extrêmes des 3 mois d automne sur le bassin de la Stura di Lanzo IV-10. ANALYSE DES DEBITS IV Analyse des débits moyens journaliers extrèmes Le principe de l'analyse des débits se définit en deux étapes : Ajuster une loi de Gumbel sur les débits moyens journaliers maxima annuels ou saisonniers. A partir d'une certaine période de retour (décennale ou vingtennale, dans notre cas, décennale), on extrapole la distribution des volumes journaliers de crues parallèlement à la distribution des pluies moyennes spatiales journalières de la saison à haut risque (dans le même système d unités et pour la même durée caractéristique, ici 24 heures). On admet pour cette période de retour que la limite de la rétention moyenne ou déficit est atteinte à partir d'une crue décennale. Figures IV-10 et IV-11: Extrapolation de la distribution des débits au-delà de la crue décennale. Les débits de l'arc à Bramans sont influencés par la dérivation du Doron de Termignon, les adductions amont et aval du Mont Cenis, ainsi que par la dérivation de l'arc dans Tignes, ces influences ayant une moindre importance pour les forts débits. Les données de débit utilisées dans le calcul sont des débits influencés. On résume les résultats dans le tableau suivant : Tableau IV-8 : Débits moyens journaliers de période de retour de 10 ans à ans. Il y a plus de 250 études sur la méthode du gradex faites à EDF ; ils ont constaté que la pluie décennale est de l'ordre de 5 fois la valeur du gradex, et la crue décamillennale est de l'ordre de 2 fois la crue centennale. Nos résultats rejoignent les constatations des études antérieures. On remarque que les rétentions moyennes limites des deux bassins sont presque identiques, ce qui montre que les deux bassins ont des comportements hydrologiques voisins, mais que les pluies sont très différentes. IV Coefficient de forme C'est le rapport entre le débit instantané maximal et le débit moyen journalier maximal. Ce coefficient sert à déterminer la loi de probabilité des débits instantanés maxima à partir de la loi des volumes de crues extrêmes, en multipliant les valeurs trouvées sur ces volumes, exprimés en débit moyen journalier, par ce coefficient de forme moyen des hydrogrammes de ruissellement direct. Ce rapport n étant pas constant, on en cherche la

7 corrélation logarithmique entre débit de pointe et débit moyen ; il est ainsi défini par la différence de la moyenne des logarithmes des débits instantanés et la moyenne des logarithmes des débits moyens, d'où on obtient le logarithme de ce rapport. Figures IV-12 et IV-13 : Calcul du coefficient de forme pour les deux bassins versants On note que ce coefficient est calculé sur la période pour le bassin de l'arc à Bramans, il est déterminé à partir de la saison à plus fort risque qui est l'automne. Pour le bassin de la Stura di Lanzo, on calcul ce coefficient à partir des débits maximaux annuels disponibles sur la période de 1937 jusqu'au IV Résultats globaux Les débits maxima instantanés pour chaque période de retour sont déterminés en multipliant les débits moyens par le coefficient d'affinité. On donne les débits instantanés pour les deux bassins dans le tableau suivant: Tableau IV-9 : Calcul des débits maxima instantanés. On remarque que le gradex de la Stura di Lanzo est deux fois plus grand que celui de l'arc à Bramans. Le rapport des crues (moyenne ou instantanée) supérieur à la décennale varie entre 2 à 3. IV-11. CONCLUSIONS Cette analyse de deux bassins versants, certes voisins en position, en taille mais recevant des précipitations assez inégales, beaucoup plus fortes coté italien que coté français est très intéressante. En effet, on se rend compte que les crues de l Arc à Bramans de temps de retour supérieur à 100 ans sont beaucoup plus fortes que ce que l on attendrait au vu de la seule représentation probabiliste des crues, avec un rapport voisin de deux. Par contre, pour le bassin italien, la méthode du gradex donne une extrapolation relativement bien attendue au vu des crues déjà constatées.

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