Présentation du problème :

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1 1 Les solutions d'une équation diérentielle du second ordre Dans de très nombreuses situations : étude d'un oscillateur électrique ou mécanique, étude de régimes transitoires, étude de la stabilité de divers systèmes,..., le physicien est amené à résoudre ce type d'équation diérentielle. Cette che n'a pas la prétention de remplacer un cours de mathématiques sur le sujet ; elle se contente de rappeler les résultats possibles et leurs implications physiques. Présentation du problème : Dans le cas général, l'équation diérentielle du second ordre peut s'écrire sous la forme : d 2 x dx + 2λ 2 + ω2 0 x = K où K est une constante éventuellement nulle. Dans les cas très fréquents où cette équation caractérise le comportement d'un oscillateur, la constante λ caractérise les eets dissipatifs d'énergie. Dans le cas limite où ces eets dissipatifs sont inexistants : λ=0. La solution est de la forme : x(t) = K ω A cos (ω 0 t + ϕ) où A et ϕ sont deux constantes qui dépendent des conditions initiales. Dans ce cas particulier, les oscillations sont sinusoïdales autour de la position d'équilibre x e = K ω0 2 et la pulsation des oscillations vaut ω 0. Pour cette raison, ω 0 est appelé pulsation propre de l'oscillateur. C'est une constante positive. La constante λ a pour dimension l'inverse d'un temps comme la pulsation propre. Remarque : il est courant de poser : λ = ξ ω 0. Cela à l'avantage d'introduire une constante ξ sans dimension. D'autres auteurs préfèrent noter : 2λ = ω0 Q. L'introduction de ce facteur de qualité Q présente parfois de l'intérêt quand il s'agit d'étudier la réponse de l'oscillateur à une excitation sinusoïdale. Dans le contexte de cette étude, cette notation alourdirait inutilement les calculs en introduisant des grandeurs fractionnaires supplémentaires. De plus, comme nous allons le voir, la présence du facteur 2 apporte des simplications dans l'expression du discriminant de l'équation caractéristique. Recherche de l'expression générale de la solution. Il est possible d'exprimer la solution générale de cette équation diérentielle comme la somme de deux termes : - un premier terme constant correspondant au cas particulier du régime indépendant du temps (souvent un état d'équilibre) : x e = K ω un second terme solution de l'équation homogène : d2 x + 2λ dx 2 + ω2 0 x = 0. Nous allons rechercher les solutions de l'équation homogène correspondant à l'expression générale : x h = A exp (r t)où A et r sont deux constantes réelles ou complexes. Sachant que, dans ces cas : dx h = r x h et : r doit être solution de l'équation caractéristique : d 2 x h 2 = r 2 x h r 2 + 2λ r + ω 2 0 = 0 Le discriminant de cette équation du second degré s'écrit : = 4λ 2 4ω 2 0

2 2 ou, si on préfère : = 4ξ 2 ω0 2 4ω0 2 = 4ω0 2 ( ξ 2 1 ) Remarque : l'intérêt d'avoir introduit un 2 dans l'expression de la constante de dissipation apparaît clairement maintenant : le signe du discriminant dépend simplement de ξ 2 ou de la comparaison entre λ et ω 0. Selon la valeur du discriminant, on peut envisager trois cas : < 0 : soit ξ < 1ou λ < ω 0 : les racines de l'équation caractéristique sont deux complexes conjugués : r = λ ± i = ξω 0 ± i ; = 0, soit ξ = 1 ou λ = ω 0 : la solution générale de l'équation diérentielle homogène est de la forme : x h = (At + B) exp ( ξω 0 t) = (At + B) exp ( λ t) où A et B sont deux constantes ; > 0 : soit ξ > 1ou λ > ω 0 les racines de l'équation caractéristique sont deux réels : r = ξω 0 ± = λ ±. Dans tous les cas, les solutions font intervenir exp ( ξω 0 t) = exp ( λ t). Imaginons : ξ < 0 ; alors, la solution va diverger vers ±. Cette situation peut se rencontrer lorsque la situation modélisée est instable : tentative d'étude des oscillations autour d'une position d'équilibre mécaniquement instable, étude en régime linéaire d'un montage à ampli. op. alors que ce régime linéaire est instable pour ce type de montage... Conséquence : dans la suite de cette étude, nous supposerons ξ > 0 soit λ > 0. Étude des trois types de solutions. Premier cas : régime pseudo - périodique. Cette situation se rencontre lorsque le discriminant de l'équation caractéristique est négatif, soit lorsque : ξ < 1 ou λ < ω 0 Les racines de l'équation caractéristique sont : r 1 = ξω 0 + iω 0 1 ξ 2 et : r 2 = ξω 0 iω 0 1 ξ 2. Pour alléger les notations, on pose : ω = ω 0 1 ξ2 = ω 2 0 λ2 : pseudo-pulsation. Les solutions de l'équation diérentielles sont donc de la forme : x h = A exp (r 1 t) + B exp (r 2 t) = exp ( ξω 0 t) [A exp (iω t) + B exp ( iω t)] Sachant que : exp (iω t) = cos (ω t) + i sin (ω t) et : exp ( iω t) = cos (ω t) i sin (ω t) : A exp (iω t) + B exp ( iω t) = (A + B) cos (ω t) + i (A B) sin (ω t) Sachant que seules les solutions réelles nous intéressent ici, on peut poser : A + B = K 1 et A B = i K 2 où K 1 et K 2 sont deux constantes réelles dépendant des conditions initiales : x h = exp ( ξω 0 t) [K 1 cos (ω t) + K 2 sin (ω t)] D'où l'expression générale de x = f(t) : x(t) = K ω exp ( ξω 0 t) [K 1 cos (ω t) + K 2 sin (ω t)] = K ω exp ( λ t) [K 1 cos (ω t) + K 2 sin (ω t)] Remarque : selon la situation et en particulier selon les conditions initiales, il peut être utile de remplacer la somme (sinus + cosinus) par un simple cosinus avec une phase initiale non nulle : K 3 cos (ω t + ϕ) = K 1 cos (ω t) + K 2 sin (ω t) t En développant le cosinus on obtient : K 3 cos (ω t + ϕ) = K 3 cos (ϕ) cos (ω t) K 3 sin (ϕ) sin (ω t) t L'identication conduit à :

3 3 K 3 cos (ϕ) = K 1 et K 3 sin (ϕ) = K 2 On pose arbitrairement K 3 > 0, les considérations de signes étant réglées en ajustant la valeur de la phase initiale ϕ : K 3 = K K2 2 et tan (ϕ) = K 2 K 1 La tangente permet une détermination de ϕ à π près. L'ambiguïté est levée en remarquant que cos (ϕ) est du signe de K 1 ou que sin (ϕ) est du signe de K 2 puisque K 3 est choisi arbitrairement positif. L'évolution de x(t) en fonction du temps peut être considérée comme des oscillations autour de l'état d'équilibre dont l'amplitude décroît exponentiellement au cours du temps. On parle de régime pseudo-périodique. La pseudo-période T est la période de K 3 cos (ω t + ϕ) soit : T = 2π ω = 2π ω = T 0 = 2π 0 1 ξ 2 1 ξ 2 ω 2 0 λ 2 exp ( 5) 6, : on considère souvent le régime pseudo-périodique comme achevée au bout d'une durée t 1 telle que ξ ω 0 t 1 = 5 soit au bout d'une durée : t 1 = 5 ξ ω 0 = 5T0 T0 2πξ 0, 8 ξ. ÉTUDE D'UN EXEMPLE : ÉTABLISSEMENT D'UN COURANT DANS UN CIRCUIT (RLC) SÉRIE. Le montage est schématisé ci-dessous : un générateur de tension continue de force-électromotrice E est relié en série à un interrupteur (K), une bobine d'inductance L, un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance réglable. R est la résistance totale du circuit, c'est à dire celle du conducteur ohmique ajoutée à celle de la bobine et à la résistance interne du générateur. L'interrupteur étant ouvert depuis susamment de temps pour qu'aucun courant ne circule, on court-circuite le condensateur pendant une courte durée de façon à le décharger totalement puis, à la date t = 0, on ferme l'interrupteur (K). Il s'agit d'étudier l'évolution au cours du temps de la tension u(t) aux bornes du condensateur. R L i(t) (K) E C U(t) Une fois (K) fermé, la loi des mailles conduit à : E = R i(t) + L di(t) + u(t) Or : i(t) = C du(t). En reportant dans l'équation diérentielle précédente, on obtient : E = L C d2 u(t) 2 Soit après division de tous les termes par (L.C) : + R C du(t) + u(t) On pose : d 2 u(t) 2 ω 0 = 1 + R L du(t) L C R L = 2 ξ ω 0 soit : ξ = R L C u(t) = E L C pulsation propre du circuit C L

4 On choisit : L = 100mH ; C = 10,0µF ; ce qui conduit à : ω 0 = 1, rad/s et T 0 = 2π ω 0 = 6, 28ms. On règle : R = 20Ω, ce qui correspond à ξ = 0, 10. Voici une simulation traduisant l'évolution de u(t) en fonction de t : On obtient bien des oscillations pseudo-périodiques autour de la tension asymptotique E = 10V. Les conditions initiales permettent d'obtenir les constantes K 3 et ϕ de l'équation : u(t) = E + K 3 exp ( ξ ω 0 t) cos (ω t + ϕ). La pseudo-pulsation vaut : ω = ω 0 1 ξ 2 = , rad/s. La continuité de la tension aux borne du condensateur conduit à u(0) = ) 0 = E + K 3 cos (ϕ). La continuité de l'intensité, assurée par la présence de la bobine, conduit à :i(0) = C. L'expression générale de l'intensité est : ( du(t) i(t) = K 3 exp ( ξ ω 0 t) [ ξ ω 0 cos (ω t + ϕ) ω sin (ω t + ϕ)] Une intensité nulle à l'instant initial impose donc : ξ ω 0 cos (ϕ) + ω sin (ϕ) = 0 Ce qui conduit au système : t=0 { tan (ϕ) = ξ ω 0 ω = ξ 1 ξ 2 = 0,1 0,99 0, 100 soit : ϕ = 0, 100rad ou ϕ = (π 0, 100)rad K 3 cos (ϕ) = E = 10V puisque : K 3 > 0 cos (ϕ) < 0 E La résolution du système conduit à : K 3 = cos(0,100) 10, 05V et ϕ = (π 0, 100) rad. Puisque : cos (ω t + π 0, 100) = cos (ω t 0, 100) t, l'expression nale de u(t) devient, exprimée en volts : u(t) = 10 [1 1, 005 exp ( 100 t) cos (995 t 0, 100)] Dans cet exemple où ξ = 0, 1, la durée approchée nécessaire pour que l'on puisse considérer le régime transitoire comme terminé est : t 1 0, 8 T0 ξ 8 T 0 50ms ce qui est cohérent avec la courbe ci-dessus. De plus : ξ 2 1. La pseudo-période est proche de la période propre : T = 2π ω 6, 31ms, ce qui aussi est cohérent avec la courbe. Remarque : la condition = 0 se traduit graphiquement par une courbe présentant une tangente horizontale à l'instant initial. Décrément logarithmique ( du(t) ) t=0 Cette notion présente un grand intérêt pratique lorsqu'on dispose d'un enregistrement expérimental de la courbe à l'aide d'un oscilloscope numérique ou grâce à une carte d'acquisition reliée à un capteur.

5 5 Sur le plan théorique, on peut partir de la remarque suivante : si l'amplitude des oscillations décroît exponentiellement au cours du temps, le logarithme de cette amplitude décroît linéairement en fonction du temps. On dénit le décrément logarithmique de la façon suivante dans le cas général : soit, dans le cas particulier étudié : ( ) x(t) xe δ = ln x(t + T ) x e ( ) ( ) u(t) E exp ( ξ ω 0 t) cos (ω t) δ = ln = ln u(t + T ) E exp ( ξ ω 0 (t + T )) cos (ω (t + T )) Par dénition de la pseudo-période : cos (ω t) = cos (ω (t + T )) t. L'expression se simplie : ( ) exp ( ξ ω 0 t) T δ = ln = ξ ω 0 T = ξ ω 0 0 exp ( ξ ω 0 (t + T )) 1 ξ 2 Soit, avec : ω 0 T 0 = 2 π : δ = 2 π ξ 1 ξ 2 Pour vérier la décroissance exponentielle de l'amplitude, on peut mesurer les valeurs maximales successives de (u(t)-e) aux dates t 1, t 1 +T, t 1 +2T,...,t 1 +nt. Les valeurs correspondantes de ces maximums sont : E exp ( ξ ω 0 t 1 ),E exp ( ξ ω 0 (t 1 + T )),E exp ( ξ ω 0 (t 1 + 2T ))...E exp ( ξ ω 0 (t 1 + nt )). Les logarithmes de ces valeurs sont respectivement : ξ ω 0 t 1 +ln (E) ; ξ ω 0 (t 1 + T )+ln (E) ; ξ ω 0 (t 1 + 2T )+ln (E) ;... ; ξ ω 0 (t 1 + nt )+ln (E). Si on trace la courbe représentant les variations de ln (u(t) E) en fonction de n, on obtient théoriquement une droite de coecient directeur ( δ).dans le cas de l'enregistrement précédent, on obtient le tableau de mesures ci-dessous : n t(ms) 3,2075 9,434 15,800 22,170 28,350 34,620 u(t) (V) 17,280 13,875 12,062 11,094 10,582 10,308 u(t)-e (V) 7,280 3,875 2,062 1,094 0,582 0,308 ln(u(t)-e) 1,985 1,354 0,724 0,0898-0,541-1,178 t n - t n-1 (ms) 6,226 6,366 6,370 6,180 6,270 La valeur moyenne de t n - t n-1 est égale à 6,2825ms. Cela est cohérent avec la théorie. La courbe représentant les variations de ln (u(t) E) en fonction de n est représenté ci-dessous.

6 Puisqu'il s'agit d'une simulation et non de mesures réelles, l'accord avec la théorie est évidemment excellent : les points sont très proches de la droite de tendance comme le prouve la valeur absolue du coecient de corrélation très proche de l'unité et le coecient directeur de la droite de tendance nous fournit une valeur du décrément logarithmique extrêmement proche de la valeur théorique. La valeur expérimentale est : δ = 0, 6324 ; la valeur théorique vaut : δ = 2 π ξ = 0,2 π 1 ξ 2 0,99 0, 6315 ; l'écart relatif n'est que de 0,15%. En pratique, avec des mesures, la méthode permet de déterminer la constante ξ, la pseudo période puis la période propre. Second cas : régime critique. Cette situation correspond au cas particulier : ξ = 1 ou λ = ω 0 L'équation caractéristique admet une racine double : r = ω 0. Dans ces conditions, les solutions de l'équation diérentielle sont de la forme : x(t) = K ω (A t + B) exp ( ω 0 t) où A et B sont deux constantes dépendant des conditions initiales. ÉTUDE D'UN EXEMPLE : ÉTABLISSEMENT D'UN COURANT DANS UN CIRCUIT (RLC) SÉRIE. Nous reprenons le circuit précédent en réglant la valeur de la résistance à R = 2 = 200Ω. La simulation conduit à la courbe u = f(t) représentée ci-dessous : L C

7 7 Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment : u(0) = E + B = 0 donc : B = -E. du(t) = [A ω 0 (A t + B)] exp ( ω 0 t) ; cette valeur est nulle à t = 0 : A ω 0 B = 0 donc : A = ω 0 E ; d'où l'expression théorique de la tension : u(t) = E [1 (1 + ω 0 t) exp ( ω 0 t)] On peut chercher à évaluer la durée t 2 de ce régime critique. En gardant le même critère que dans le cas précédent, cela conduit à : (1 + ω 0 t 2 ) exp ( ω 0 t 2 ) = exp ( 5). On obtient numériquement : ω 0 t 2 7, 1 soit : t 2 7,1T0 2π 1, 13T 0.Cela conduit ici à une durée de 7,1ms, résultat cohérent avec l'enregistrement. Remarque : nous démontrerons que le régime critique est le régime permettant le retour le plus rapide vers l'état d'équilibre, sans dépassement de celui-ci. En revanche, si on tolère un dépassement de l'état d'équilibre, le régime pseudo-périodique peut se révélé légèrement plus court. Nous avons montré que la durée estimé du régime pseudo-périodique est : t 1 0, 8 T0 ξ. L'inégalité t 1 < t 2 conduit à : ξ > 0,8 1,13 = 0, 7. Les régimes pseudo-périodiques tels que : 0, 7 < ξ < 1 sont donc très légèrement plus court que le régime critique. Pour illustrer cela, voici les courbes correspondant au régime critique (en rouge) et au régime pseudo-périodique avec ξ = 0, 75.

8 Troisième cas : régime apériodique. Cette situation correspond au cas tels que : ξ > 1 ou λ > ω 0 Les racines de l'équation caractéristique sont deux réels négatifs : r 1 = ξω 0 + ω 0 ξ2 1 et : r 2 = ξω 0 ω 0 ξ2 1. soit : ( ) r 1 = ω 0 ξ2 1 ξ et : La solution de l'équation diérentielle est de la forme générale : ( ) r 2 = ω 0 ξ2 1 + ξ x(t) = A exp (r 1 t) + B exp (r 2 t) où A et B sont deux constantes dépendant des conditions initiales. Aucune oscillation autour de la situation d'équilibre n'est possible, comme dans le cas critique. r 1 < r 2 : l'exponentielle faisant intervenir r 2 décroît donc plus vite au cours du temps que celle faisant intervenir r 1.La durée de ce régime apériodique est donc imposé par le terme donc la décroissance est la plus lente. En retenant le même critère que dans les cas précédents, la durée t 3 estimé de ce régime vérie donc l'égalité : t r 1 ω 0 (ξ ) soit : t 3 0,8 T0. On peut comparer cette durée estimée à celle du régime critique : ξ 2 1 ξ ξ 2 1 t 2 7,1T0 2π 1, 13T 0.Numériquement, on constate que : t 3 > t 2 pour ξ > 1, 06 mais au voisinage de ξ = 1 les durées sont extrêmement proches. Pour résumer : c'est au voisinage des conditions critiques que le régime transitoire est le plus court, il est sensiblement le même pour 0, 7 < ξ < 1, 06. Sa valeur estimé est très proche de 1,13.T 0. Cependant, si on veut éviter un dépassement de la position d'équilibre, il faut se placer entre 1 et 1,06. Ces réglages sont utilisés dans de nombreux dispositifs régis par une équation diérentielle du second ordre lorsqu'il est nécessaire d'obtenir une stabilisation rapide du système : aiguille d'un appareil de mesure analogique, suspensions diverses... ÉTUDE D'UN EXEMPLE : ÉTABLISSEMENT D'UN COURANT DANS UN CIRCUIT (RLC) SÉRIE. Nous conservons le montage précédent en réglant maintenant : R = 1000Ω soit ξ = 5. Nous obtenons la courbe ci-dessous (en rouge) à laquelle se superpose celle correspondant au régime critique (en vert).

9 9 Dans les deux cas, aucun dépassement de la tension d'équilibre n'est observée. La durée estimée du régime apériodique est nettement supérieure à celle du régime critique : t 3 0,8 T0 50ms, ce qui est cohérent avec ξ ξ 2 1 l'enregistrement. du(t) = A r 1 exp (r 1 t) + B r 2 exp (r 2 ). Sachant que cette dérivée est nulle à l'instant initial, on obtient : A r 1 + B r 2 = 0. La tension initiale est nulle : E + A + B = 0. Ce système de deux équations à deux inconnues admet comme solutions : A = E ξ 2 1+ξ A = ξ , 1V 24 B = E ξ2 1 ξ B = ξ , 103V 24 ( ) r 1 = ω 0 ξ2 1 ξ r 1 = 10 ( ) 101s 1 ( ) r 2 = ω 0 ξ2 1 + ξ r 2 = 10 ( ) = 9899s 1 retour à la page principale