SECONDE B DEVOIR N 5 AVRIL 2011

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1 SECONDE B DEVOIR N 5 AVRIL 011 Durée : 1h45 heures Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Classe : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Présentation Fonctions Géométrie / 40 / 1 / 19 / 0 FONCTIONS 19 POINTS Exercice 1-5 points - (A faire sur le poly) Soit la fonction f définie sur [ 1 ; 5] par f(x) = (4 x) (x 1)² 1) Montrer que, pour tout x [ 1 ; 5], f(x) = x + 6 x² 9 x + 4 ) A l aide de votre calculatrice, déterminer une fenêtre appropriée pour visualiser correctement la courbe de f sur [ 1 ; 5]. Tracer dans le cadre ci-dessous l allure de la courbe obtenue et compléter avec les réglages utilisés. Réglage de la fenêtre utilisée : ) A l aide de la courbe obtenue précédemment, conjecturer le tableau de variations de f(x) 4) A l aide de la courbe obtenue précédemment, conjecturer le tableau de signes de f(x)

2 Exercice - 8,5 points - (A faire sur le poly sauf le 4) sur une copie) On considère les fonctions numériques f et g définies sur R par : x f x 1 ² 4 et g x ( x 1)² x 1 x Les courbes représentatives de Cf et de Cg fournies par la calculatrice sont données ci-contre. 1) Calculer les images de 1 et par f et g. ) Combien de nombres réels semblent avoir la même image par f et par g? En lire des valeurs approchées. ) Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) 0. (Utiliser la première question pour identifier la courbe représentative de la fonction f sur la copie d écran). 4) (Sur une copie) a) Factoriser les expressions f(x) et g(x). b) En déduire les valeurs exactes des solutions du. c) En déduire une résolution algébrique exacte du. Exercice - points - (A faire sur une copie) On donne ci-contre le tableau de variations d'une fonction f définie sur [ 5 ; 7]. Comparer, si possible : 1) f(1) et f() ) f(4) et f(6) ) f( 1) et f(7) Exercice 4 -,5 points - (A faire sur le poly) Soit ABCD un rectangle tel que longueur 7 cm et de largeur 4 cm. Soit AEFG un carré (à l intérieur du rectangle) tel que E ϵ [AB] et G ϵ [AD]. 1) Faire un schéma. ) Quelles valeurs la longueur du côté du carré peut-elle prendre? ) Exprimer l aire du polygone EBCDGF en fonction de la longueur du côté du carré AEFG. 4) Parmi les trois courbes représentées ci-dessous, laquelle correspond à la fonction trouvée précédemment? Pourquoi?

3 Exercice 5-4 points - (A faire sur le poly) GEOMETRIE 0 POINTS ABCDEFGH est un pavé droit, tel que : AB = 8 cm, AD = 6 cm et AE = 4 cm. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [AE], [EF] et [EH]. Compléter, sans justifier : a) Les droites (IK) et (DG) sont. b) Les droites (FH) et (JK) sont. c) La droite (HF) est plan (GCD) d) Les plans (EJK) et (FGH) sont e) Les plans (EIJ) et (CDG) sont f) La droite (IK) est plan (BFC) g) Les droites (IJ) et (AB) sont h) La droite (FH) est plan (EJK) Exercice 6-6,5 points - (A faire sur une copie) La pyramide SABCD est une pyramide régulière à base carrée, de hauteur SO = cm et de volume V =16 cm. Les points M, N et P appartiennent respectivement aux arêtes [SA], [SB] et [SC]. 1) Montrer que la longueur AB est de 4 cm. ) a)déterminer et construire sur le dessin l intersection de la droite (MN) et du plan (ABC). b) Déterminer et construire sur le dessin l intersection de la droite (PN) et du plan (ABC). c) En déduire l intersection des plans (ABC) et (MNP). Exercice 7-9,5 points - (A faire sur une copie) Dans un repère orthonormal ( O; i, j ), soient les points A( 1 ; ), B ( ; ), C ( ; 4 ), D( 6 ; ) et les points F, I et E définis par : AF AB, I milieu de [BC], E symétrique de I par rapport à B. 1) Faire une figure. ) Démontrer que ABCD est un parallélogramme. Géométrie analytique : ) Calculer les coordonnées des points F, I et E. 4) En déduire que les points E, F et D sont alignés. Géométrie vectorielle : 5) Exprimer CE en fonction de CB. (Justifier) 6) Exprimer DF et DE en fonction de CB et de AB. 7) En déduire que les points E, F et D sont alignés.

4 SECONDE B CORRECTION DEVOIR N 5 AVRIL 011 Exercice 1-5 points - (A faire sur le poly) FONCTIONS 19 POINTS Soit la fonction f définie sur [- 1 ; 5] par f(x) = (4 x) (x 1)² 1) Montrer que, pour tout x [ 1 ; 5], f(x) = x + 6 x² 9 x + 4 Pour tout x [- 1 ; 5], on a : f(x) = (4 x) (x 1)² = (4 x)(x² x + 1) = 4x² 8x + 4 x + x² x = - x + 6 x² 9 x + 4 ) A l aide de votre calculatrice, déterminer une fenêtre appropriée pour visualiser correctement la courbe de f sur [- 1 ; 5]. Tracer dans le cadre ci-dessous l allure de la courbe obtenue et compléter avec les réglages utilisés. Réglage de la fenêtre utilisée : Xmin = -1 ; Xmax= 5 et zoom auto Ou Xmin = -1 ; Xmax= 5, Ymin = -16 et Ymax = 0 ) A l aide de la courbe obtenue précédemment, conjecturer le tableau de variations de f(x) x Variation de f ) A l aide de la courbe obtenue précédemment, conjecturer le tableau de signes de f(x) Exercice - 8,5 points - (A faire sur le poly) On considère les fonctions numériques f et g définies sur R par : ( x 1)² f x x 1 ² 4 g x x 1 x Les courbes représentatives de Cf et de Cg fournies par la calculatrice sont données cidessous. et

5 1) Calculer les images de 1 et par f et g. f x x 1 ² 4 f 1 11 ² 4 4 ( x 1)² g x x 1 x f 1 ² 4 ² ( 11)² ( )² ( ) 8 10 ( 1)² 1² g g ) Combien de nombres réels semblent avoir la même image par f et par g? En lire des valeurs approchées. Les deux courbes représentatives de f et de g se coupent en deux points, donc nombres réels ont la même image par f et par g. Par lecture graphique, les coordonnées des deux points sont : (-4 ;,5) et (1 ; 0) ) Résoudre graphiquement l inéquation : f(x) 0. (Utiliser la première question pour identifier la courbe représentative de la fonction f sur la copie d écran). f 1 4 D après la première question Donc la courbe représentative de f(x) est la parabole dont l ouverture est vers le haut. Les solutions de l inéquation f(x) 0 sont les abscisses des points de la courbe C f ayant une ordonnée positive. Par lecture graphique on trouve : S = ] ; ] [1;+ [ 4) a) Factoriser les expressions f(x) et g(x). ( x 1)² g x x 1 x ( x 1) g x x 1 x f x x 1 ² 4 f x x 1 ² ² x 1 g x x 1 x 6 f x x 1 x f x x 1 x 1 g x x 1 x 6 f x x 1 x 1 g x x 1 x 1 g x x 1x 1 b) En déduire les valeurs exactes des solutions du. Aux points d intersection des courbes représentatives de f et de g nous avons f(x) = g(x) d où d après la question précédente : 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 0 1 x 1 x x 0 1 x 1x x x1 x 0

6 Le produit de deux facteurs n est nul que si l un des facteurs est nul, donc : soit x 1 0 d où x =1 soit x 0 d où 5x 19 0 x 5 19 D où finalement S ;1 5 c) En déduire une résolution algébrique exacte du. x1 x 0. D après la question précédente f(x) 0 devient : Les deux facteurs de cette inéquation s annulent pour x = et x =1, d où le tableau de signe suivant : Et la solution de l inéquation est donc S ] ; ] [1; [ Exercice - points - (A faire sur le poly) On donne ci-contre le tableau de variations d'une fonction f définie sur [ 5 ; 7]. Comparer, si possible : 1) f(1) et f() ) f(4) et f(6) ) f( 1) et f(7) 1) f(1) et f() On sait que 0 1 Or la fonction f est croissante sur [ 0 ; ], Donc f(1) f() ) f(4) et f(6) On sait que Or la fonction f est décroissante sur [ ; 7 ], Donc f(4) f(6) ) f( 1) et f(7) On sait que Or la fonction f est décroissante sur [ 5 ; 0 ], Donc f( 5) > f( 1) > f(0) C'est-à-dire 6 > f( 1) > 5 ou encore 5 f( 1) 6 De plus on sait que f(7) =, On peut écrire f(7) 5 f( 1) 6 Donc f( 1) f (7)

7 Exercice 4 -,5 points - (A faire sur le poly) Soit ABCD un rectangle tel que longueur 7 cm et de largeur 4 cm. Soit AEFG un carré (à l intérieur du rectangle) tel que E ϵ [AB] et G ϵ [AD]. 1) Faire un schéma. ) Quelles valeurs la longueur du côté du carré peut-elle prendre? La longueur du côté du carré peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et 4 cm, c est-à dire les valeurs appartenant à l intervalle [0 ; 4] sinon le carré n est plus contenu entièrement dans le rectangle ABCD. ) Exprimer l aire du polygone EBCDGF en fonction de la longueur du côté du carré AEFG. A EBCDGF = A ABCD A AEFG = 7 4 x² = 8 x². L aire du polygone EBCDGF est 8 x² cm² 4) Parmi les trois courbes représentées ci-dessous, laquelle correspond à la fonction trouvée précédemment? Pourquoi? La fonction trouvée ci-dessus n est pas une fonction affine donc on peut éliminer la représentation graphique notée Δ. Pour savoir lequel des deux graphiques restants correspond à la fonction x 8 x², il y a deux méthodes : - Soit on regarde le coefficient de la fonction polynôme de degré, il est négatif et le sommet est en 0 Dans ce cas, la fonction est décroissante sur [0 ; 4], ce qui correspond à la représentation graphique notée Γ. - Soit on regarde si un point de coordonnées (x ; 8-x²) pour x ϵ [0 ; 4] appartient à une des deux représentations graphiques. Par exemple, prenons le point A de coordonnées (1 ; 8-1²) = (1 ; 7). Ce point appartient à la courbe représentative de la fonction x 8 x². De plus on remarque que le point A ϵ Γ et que A Δ Conclusion : La représentation graphique de la fonction x 8 x² est Γ.

8 GEOMETRIE 0 POINTS Exercice 5-6 points - (A faire sur le poly) ABCDEFGH est un pavé droit, tel que : AB = 8 cm, AD = 6 cm et AE = 4 cm. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [AE], [EF] et [EH]. Compléter, sans justifier : Exercice 6 a) Les droites (IK) et (DG) sont non coplanaires. b) Les droites (FH) et (JK) sont coplanaires, parallèles. c) La droite (HF) est sécante (en H) au plan (GCD) d) Les plans (EJK) et (FGH) sont parallèles, confondus. e) Les plans (EIJ) et (CDG) sont strictement parallèles. f) La droite (IK) est parallèle au plan (BFC) g) Les droites (IJ) et (AB) sont coplanaires, sécantes. h) La droite (FH) est incluse dans le plan (EJK) - 6,5 points - (A faire sur le poly) La pyramide SABCD est une pyramide régulière à base carrée, de hauteur SO = cm et de volume V =16 cm. Les points M, N et P appartiennent respectivement aux arêtes [SA], [SB] et [SC]. 1) Montrer que la longueur AB est de 4 cm. Le volume de la pyramide SABCD est 1 V AABCD SO Or ABCD est un carré donc A ABCD = AB² 1 1 D où V AB² SO AB² AB² Puisque V =16 cm, On en déduit que AB² =16 et comme AB est une longueur donc positive Par conséquent AB = 4 cm. ) a) Déterminer et construire sur le dessin l intersection de la droite (MN) et du plan (ABC). La droite (MN) est coplanaire à la droite (AB) dans le plan (ABS) Donc les droites (MN) et (AB) sont sécantes (car non parallèles), soit Q ce point d intersection. D où Q (MN) et Q (AB) don Q (ABC). Donc Q est le point d intersection de (ABC) et de (MN) b) Déterminer et construire sur le dessin l intersection de la droite (PN) et du plan (ABC). La droite (PN) est coplanaire à la droite (BC) dans le plan (CBS) Donc les droites (PN) et (BC) sont sécantes (car non parallèles), soit Q ce point d intersection. D où R (PN) et R (Bc) don R (ABC). Donc R est le point d intersection de (ABC) et de (PN)

9 c) En déduire l intersection des plans (ABC) et (MNP). On sait que Q appartient au plan (ABC) ; Et Q appartient aussi à (MN), donc appartient au plan (MNP) Donc Q appartient donc à l'intersection des plans (ABC) et (MNP) On sait que R appartient au plan (ABC) ; Et R appartient aussi à (PN), donc appartient au plan (MNP) Donc R appartient donc à l'intersection des plans (ABC) et (MNP) Conclusion : La droite (QR) est la droite d intersection des plans (ABC) et (MNP) Exercice 7-9,5 points - (A faire sur le poly) Dans un repère orthonormal ( O; i, j ), soient les points A( 1 ; ), B ( ; ), C ( ; 4 ), D( 6 ; ) et les points F, I et E définis par : AF AB, I milieu de [BC], E symétrique de I par rapport à B. 1) Faire une figure. ) Démontrer que ABCD est un parallélogramme. AB x x ; y y DC x x ; y y AB AB B A B A 1; ( ) ;6 DC DC C D C D 6; 4 ( ) ;6 Donc AB = DC D où le quadrilatère ABCD est alors un parallélogramme. Géométrie analytique : ) Calculer les coordonnées des points F, I et E. a) On pose F(x ;y) D après l énoncé AF AB Or AB ;6 et AF x 1; y ( ) x 1 ( ) x 1 x 1 Donc y 4 y 6 y 4 D où les coordonnées du point F sont F ( 1;1) x x y y b) I milieu du segment [BC] : I ; 1 7 D où les coordonnées du point I sont I ; B C B C x 1 y 1 4 I ; I 1 7 ;

10 c) On pose E (x ;y) D après l énoncé E est le symétrique du point I par rapport au point B, Donc B est le milieu du segment [IE] D où x I x E I E B et y x y y B x x x et y y y B I E B I E x et 6 y x 4 et y D où les coordonnées du point E sont E ; 4) En déduire que les points E, F et D sont alignés. Pour démontrer que les points E, F et D sont alignés il suffit de démontrer que les vecteurs EF et FD sont colinéaires. EF xf xe; yf ye FD xd xf ; yd yf 1 Donc EF = FD EF ;1 EF 7 ; Géométrie vectorielle : FD FD 6 ( 1); 1 7; 5) Exprimer CE en fonction de CB. (Justifier) On sait que le point I est le milieu du segment [BC] Et le point E est le symétrique du point I par rapport au point B donc 1 donc : CI IB BE CB 1 Alors CE CB BE CB CB CB 6) Exprimer DF et DE en fonction de CB et de AB. DF DA AF DF CB AF car ABCD est un parallélogramme d'où DA CB DF CB AB d'après l'énoncé AF = AB DE DC CE DE AB CE car ABCD est un parallélogramme d'où DA CB DE AB CB d'après la question 5) CE = CB D où les vecteurs EF et FD sont colinéaires Donc les points E, F et D sont alignés. 7) En déduire que les points E, F et D sont alignés. D après la question précédente, on obtient DF CB AB et DF CB AB CB AB = DE D où les vecteurs DF et DE sont colinéaires Donc les points E, F et D sont alignés. DE AB CB