Chapitre 14 Pyramides Cônes de révolution
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- Alexandre St-Laurent
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1 Compétences : Chapitre 14 Pyramides Cônes de révolution Exemples d'activités, commentaires : Géospace, feuilles blanches, scotch, fils. Ex N 2,7,20,21,22,48 p260 Interrogation I14 DST n 14 poly DM N 14 ex 65 p260 5 /5 I. Pyramides 1) Observations Activité 1 Partie 1 1) 2) )Le solide a 5 faces. Une face est un carré : ABCD, quatre faces sont des triangles ASD,DSC, CBS, ASB. 4) 5) a) b) 2 faces latérales sont des triangles rectangles en A : SAB et SDA, ces 2 triangles sont superposables.les 2 autres faces latérales DSC et CBS sont des triangles superposables. Annexe 1 Partie 2 1) 2) Les arêtes latérales de cette pyramide sont de la même longueur. ) Les faces latérales d une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables. 4) Pyramide a base carrée en perspective cavalière : Page 1 sur 12
2 2) Définitions a) Pyramides de sommet S Une pyramide est un solide composé : d une face polygonale, appelée base de la pyramide. de faces triangulaires, appelées faces latérales de la pyramide. Les faces latérales ont un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide. Les arêtes latérales sont les segments joignant les sommets de la base au sommet de la pyramide. La hauteur d une pyramide désigne : Le segment issu de son sommet et perpendiculaire à la base. La longueur du segment joignant le sommet de la pyramide au pied de la hauteur. Annexe 2 Annexe à compléter Exemple : Le sommet de cette pyramide est le point S. La base de cette pyramide est le pentagone ABCDE. Les faces latérales sont SAB, SBC, SCD, SDE et SEA. Les arêtes latérales sont [AS], [BS],[CS], [DS] et [ES]. La hauteur de la pyramide est [HS]. Page 2 sur 12
3 b) Cas particuliers de Pyramides Annexe 4 à compléter Pyramide dont une arête est la hauteur de la pyramide. Une pyramide régulière est une pyramide dont la base est un polygone régulier ( par exemple un triangle équilatéral ou un carré) et dont les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. Annexe 5 à compléter Pyramide régulière à base triangulaire. La base de la pyramide est un triangle équilatéral Pyramide régulière à base carrée. Un tétraèdre est une pyramide dont la base est un triangle. Page sur 12
4 ) Patron d une pyramide Définition (Rappel): Le patron d un solide est un dessin qui permet après découpage et pliage de fabriquer ce solide. Chaque face est en grandeur réelle. Remarque : Il y a plusieurs patrons possibles pour un même solide Activité 2 Partie 1 Pyramide 1 Pyramide 2 Pyramide Patron Patron 1 Patron 4 Partie 2 1) Les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. 2) ) b) SOI est un triangle rectangle en O, SO = 66 et OI = 105 : 2 = 52,5 Déterminons la mesure de [SI] Le théorème de Pythagore me permet d écrire SI SO OI SI SI SI 0 SI 66 52,5 7112, , 25 SI 84 [SI] mesure environ 84 m 4) 1 A l échelle 1500 Taille figure en cm ,6 Taille réelle en cm Page 4 sur 12
5 Propriété admise : Un patron de pyramide se compose du polygone de base et des faces latérales triangulaires. Remarque : il y a plusieurs patrons possibles pour une même pyramide. Annexe 6 Page 5 sur 12
6 4) Volume d une pyramide Activité 1)a)b) 2) Le solide obtenu est un cube d arête 5 cm ) a) V C V 5 V 125 Le volume du cube est de 125 cm b) Le volume de chaque pyramide représente le tiers du volume du cube Page 6 sur 12
7 1 VPyramide VCube V V Pyramide Pyramide ,6 Le volume de la pyramide est d environ 41,6 cm. 4) Aire de la base hauteur V V est le volume en unités de volume Aire de la base est en unités d aire Hauteur est en unité de longueur (Il est aussi possible de visualiser la partition d'un cube en trois pyramides à bases carrées ayant donc le même volume à l aide de géospace trois_pyra.gw) Annexe 7 Propriété admise Le volume d une pyramide s obtient en calculant le tiers du produit de l aire de la base De la pyramide par sa hauteur. 1 V Aire de la base hauteur V est le volume en unités de volume Aire de la base est en unités d aire Hauteur est en unité de longueur Page 7 sur 12
![[SR] est une génératrice du cône.](/docs-images/81/84452037/images/8-3.jpg "Partie 2 1)2) Annexe 9 2)b) On parle de cône de révolution car lorsqu un objet")
8 II. Cône de révolution 1) Observations Activité 4 Partie 1 1)2) Annexe 8 Le point R décrit un cercle de centre O et de rayon RO ) Le solide visualisé décrit par le triangle lors de son mouvement est appelé cône de révolution. Le crayon représente l axe du cône, le segment [SO] est sa hauteur. [SR] est une génératrice du cône. Partie 2 1)2) Annexe 9 2)b) On parle de cône de révolution car lorsqu un objet tourne d un tour autour d un axe on dit qu il effectue une révolution. Page 8 sur 12
9 2) Définitions Un cône de révolution est un solide généré par un triangle rectangle en rotation autour d un des côtés de son angle droit. Il est constitué : D un disque appelé base du cône de révolution. D une portion de disque appelée face latérale du cône, dont le centre est le sommet du cône et qui est «enroulée» autour de la base. Annexe 10 La hauteur du cône de révolution désigne le segment qui joint le centre de ce disque au sommet du cône ; il est perpendiculaire au disque de base. On appelle aussi hauteur la longueur de ce segment. Une génératrice du cône désigne tout segment ayant pour extrémités le sommet d un cône de révolution et un point du cercle de base. Exemple : Ce cône de révolution est engendré par la rotation du triangle SOR rectangle en O autour de l axe [SO]. Le sommet du cône est le point S. La base de ce cône est le disque de centre O et de rayon [OR]. La hauteur du cône est le segment [SO]. Le point O est le pied de la hauteur. Le segment [SR] est une génératrice du cône. Annexe 11 à compléter Page 9 sur 12
10 ) Patron d un cône de révolution Activité 5 1) 2))4)5) Annexe 12 Partie 1 6) a) Je peux conjecturer que la nature de la surface obtenue en découpant la surface latérale d un cône de révolution le long d une génératrice, puis en la posant à plat est un secteur circulaire. b) Je peux conjecturer que la longueur de l'arc de cercle limitant ce secteur circulaire est égale au périmètre du disque de base. Partie 2 On veut construire un patron d un cône dont la génératrice mesure 5 cm et le rayon de base 1,5 cm 1) Calcul du périmètre exacte P de la base du cône. P 2 r disque P 2 1,5 P 2) La longueur de l arc de cercle AB correspondant à la surface conique est donc de. ) Calcul du périmètre exacte P de la base du cône. P ' 2 r génératrice P ' 2 5 P ' 10 4) On admet qu il y a proportionnalité entre la mesure de l angle au centre AOB et la longueur de l arc qui l intercepte. Longueur Mesure de l angle Grand cercle Arc de cercle AB AOB Page 10 sur 12
11 L angle au centre AOB et la longueur de l arc AB sont proportionnels. AOB AOB 108 4) Patron du cône : Propriété admise : Un patron de cône de révolution se compose du disque de base et d un secteur circulaire. La longueur de l arc de cercle de ce secteur est égale au périmètre de la base. Annexe 1 à compléter Page 11 sur 12
12 4) Volume d un cône de révolution Activité 6 1) Volume d une pyramide de hauteur h et d aire de base B Aire de Base hauteur V V est le volume en unités de volume 2) a) La pyramide ressemblerait à un cône de révolution si sa base comportait côtés. b) Nous pouvons donc conjecturer une formule qui permet de calculer le volume d un cône. V Aire de la base hauteur V est le volume en unités de volume Aire de la base est en unités d aire Hauteur est en unité de longueur Propriété admise Le volume d un cône de révolution s obtient en calculant le tiers du produit de l aire du disque de base par sa hauteur. 1 V Aire du disque de base hauteur V est le volume en unités de volume. Aire du disque de base est en unités d aire. Hauteur est en unité de longueur. Page 12 sur 12
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Nombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
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