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1 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n, de variables positives, adaptée à la filtration (F n ) n=0..n. Exemple 5.1. Dans le cas d un call américain, le détenteur de l option a le choix, à tout instant, d exercer ou non le droit d acheter un actif de type 1 au prix d exercice K. On pose donc h n = (S 1 n K) +. Pour le put correspondant, h n = (K S 1 n) Enveloppe de Snell et évaluation des options américaines. On note U n la valeur de l option à la date n. On a U N = h N et on peut définir la suite par récurrence. Proposition 5.1. Si le marché est viable et complet et si (h n ) n=0..n est une suite de variables aléatoires positives adaptée définissant une option américaine, alors la valeur de l option est définie par U N = h N U n = max (h [ ]) n, SnE 0 Ũ n+1 F n pour n N 1. Démonstration : Soit n N 1 et soit U n+1 la valeur de l option à la date n + 1. A la date n, le détenteur de l option peut soit exercer son droit et le vendeur de l option doit alors être en mesure de fournir h n, soit reporter sa décision à la date n + 1, auquel cas la valeur doit être celle d un actif conditionnel d échéance n + 1 et de valeur U n+1 calculée à la date n, c est-à-dire [ SnE 0 Un+1 Sn+1 0 F n ]. Le détenteur de l option adoptera la stratégie qui lui est la plus favorable, c est-àdire que le vendeur de l option devra être capable de fournir à la date n la quantité max (h [ ]) n, SnE 0 Ũ n+1 F n. Donc la valeur de l option à la date n doit au moins être cette valeur. En absence d oportunité d arbitrage, elle ne peut pas la dépasser (cf. le raisonnement à la suite du lemme 4.1) d où le résultat. Contrairement à ce qui se passe dans le cas des options à terme, la valeur actualisée de l option n est pas nécessairement une martingale. Proposition 5.2. Sous les hypothèses de la proposition précédente, la suite des valeurs actualisées de l option (Ũn) n=0..n est une P -surmartingale. C est la plus petite P -surmartingale majorant la suite ( h n ) n=0..n. Démonstration : On a Ũ N = h N Ũ n = max ( hn [ ]), E Ũ n+1 F n pour n N 1 donc (Ũn) n=0..n est une surmartingale puisque Ũ n E [ Ũ n+1 F n ] 1

2 2 et majore ( h n ) n=0..n. Soit (W n ) n=0..n une surmartingale majorant ( h n ) n=0..n. On a W N ŨN. Supposons par récurrence que W n+1 Ũn+1 pour un n N 1. Alors ) W n max ( hn, E [W n+1 F n ] ]) max ( hn, E [Ũn+1 F n = Ũn. Ce résultat est tout à fait général et conduit à la définition suivante : Définition 5.2. Soit (X n ) n=0..n une suite adaptée. On appelle enveloppe de Snell de (X n ) n=0..n la plus petite surmartingale majorant (X n ) n 1. Si on note (Y n ) n=0..n, cette suite, elle est définie par { YN = X N Y n = max (X n, E [Y n+1 F n ]) pour n N 1 La caractérisation en terme d enveloppe de Snell de la valeur actualisée de l option américaine permet la comparaison suivante de celle-là avec la valeur actualisée d une option européenne. Proposition 5.3. Soit (h n ) n=0..n une suite adaptée de variables aléatoires positives. On note (V n ) n=0..n la suite des valeurs de l option européenne définie par la variable h = h N, et (U n ) n=0..n la suites des valeurs de l option américaine définie par la suite (h n ) n=0..n. Alors, pour tout n {0,..., N}, U n V n. Si, de plus, V n h n pour tout n, alors U n = V n pour tout n. Démonstration : On rappelle que (Ṽn) n=0..n est une martingale et que (Ũn) n=0..n est une surmartingale. Donc, pour [ tout n, ] [ ] Ũ n E Ũ N F n = E Ṽ N F n = Ṽn. De plus, si V n h n, alors (Ṽn) n=0..n est une surmartingale majorant ( h n ) n=0..n, et donc, comme (Ũn) n=0..n est la plus petite suite satisfaisant cette propriété, on a d où le résultat. Ũ n Ṽn, 5.2. Décomposition des surmartingales et couverture. Nous allons montrer que, dans un marché viable et complet, le vendeur d une option américaine peut trouver une stratégie de couverture. Théorème 5.1. (de décomposition de Doob). Toute surmartingale (Y n ) n 0 peut s écrire de façon unique sous la forme (1) Y n = M n A n, pour tout n 0, où (M n ) n 0 est une martingale et (A n ) n 0 est un processus prévisible croissant et nul en 0. Démonstration : Supposons que (1) est satisfait pour des processus (M n ) n 0 et (A n ) n 0. Pour tout n 0, on doit avoir Y n+1 Y n = M n+1 M n (A n+1 A n );

3 3 en conditionnant par F n, on obtient (2) E [Y n+1 F n ] Y n = (A n+1 A n ) puisque (M n ) n 0 est une martingale et (A n ) n 0 est prévisible. Comme A 0 = 0 est donné, la suite (A n ) n 1 est définie de façon unique par cette dernière égalité. Enfin, (M n ) n 0 est définie de façon unique par (1). Autrement dit, si les processus (A n ) n 0 et (M n ) n 0 existent, ils sont définis de façon unique. De plus, si on pose A 0 = 0 et on définit la suite (A n ) n 0 par la relation de récurrence (2) récrite A n+1 = A n + Y n E [Y n+1 F n ], on voit que (A n ) n 0 est un processus prévisible puisque A 0 F 0, et que (A n ) n 0 est croissant car (Y n ) n 0 est une sur-martingale. On définit enfin (M n ) n 0 par la relation (1). La suite (M n ) n 1 est adaptée et, pour tout n 0, En utilisant alors (2), il vient E [M n+1 F n ] = E [Y n+1 F n ] + A n+1. E [M n+1 F n ] = E [Y n+1 F n ] + A n + Y n E [Y n+1 F n ] = M n donc (M n ) n 1 est une martingale. Nous appliquons ce dernier résultat à notre problème d option américaine. Proposition 5.4. Soit (h n ) n=0..n une suite de variables aléatoires positives adaptée définissant une option américaine et soit (U n ) n=0..n la valeur de l option. Alors il existe une stratégie de couverture pour le vendeur de l option, qui est celle qui permet de dupliquer la P -martingale (M n ) n=0..n associée à la P -surmartingale (Ũn) n=0..n, où P est l unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Démonstration : Puisque le marché est complet, il existe une stratégie autofinancée φ telle que V N (φ) = S 0 N M N. La suite (Ṽn(φ)) n=0..n est une P -martingale et, grâce à la démonstration du lemme 4.1, on sait que deux martingales coïncidant à la date N coïncident à toute date antérieure. Finalement, Ũ n = Ṽn(φ) A n où (A n ) n=0..n est un processus prévisible croissant nul en 0, et donc U n V n (φ) pour tout n et la stratégie φ permet au vendeur de l option de se couvrir Arrêt optimal et date d exercice. Le détenteur de l option décide de l exercer au temps n en fonction des informations qu il possède à cette date. Il sort donc du contrat à un temps aléatoire τ tel que [τ = n] F n. C est ce qu on appelle un temps d arrêt. Définition 5.3. Un temps d arrêt dans {0,..., N} adapté à une filtration (F n ) n=0..n est une variable aléatoire prenant ses valeurs dans {0,..., N} et telle que, pour tout n {0,..., N}, [τ = n] F n. Proposition 5.5. Une variable aléatoire τ à valeurs dans {0,..., N} est un temps d arrêt si et seulement si, pour tout n {0,..., N}, [τ n] F n.

4 4 Démonstration : Supposons que τ soit un temps d arrêt et soit n 0. Alors n [τ n] = [τ = k] F n. Réciproquement, si n 1, k=0 [τ = n] = [τ n]/[τ n 1] F n, si on suppose [τ n] F n pour tout n 0. Remarque 5.1. Cette proposition donne en fait la définition qui sera utilisée dans le cas du temps continu. Définition 5.4. Soit (X n ) n=0..n une suite adaptée à la filtration (F n ) n=0..n et soit τ un temps d arrêt à valeurs dans {0,..., N}. On appelle suite arrêtée au temps τ l application X τ : Ω R ω X τ(ω) (ω). On a alors la proposition suivante : Proposition 5.6. La variable X τ est F N -mesurable. Démonstration : On a N N X τ = X τ 1 [τ=k] = X k 1 [τ=k]. k=0 Pour tout k {0,..., N}, X k est F k -mesurable, [τ = k] F k et F k F N donc X τ est F N -mesurable. On peut obtenir la caractérisation des temps d arrêt auxquels le détenteur de l option peut exercer son droit, que l on appellera des temps d arrêt admissibles : Théorème 5.2. On se place toujours dans le cadre d une option américaine définie par une suite (h n ) n=0..n dans un marché viable et complet. La suite (U n ) n=0..n est la valeur de l option, φ est la stratégie de couverture pour le vendeur de l option. Le temps d arrêt τ est un temps d exercice possible si et seulement si U τ = h τ et U τ = V τ (φ). Un tel temps d arrêt existe et est défini par k=0 τ 0 = max{n {0,..., N}/ V n (φ) = U n }. Démonstration : Remarquons pour commencer que, si U τ > h τ alors le détenteur de l option n a aucun intérêt à exercer son droit puisque la valeur de l option est strictement supérieure à ce qu il touche s il le fait. Comme U n h n pour tout n, ceci signifie qu il n exerce ce droit que si U τ = h τ. On considère maintenant la variable aléatoire τ 0 définie dans l énoncé. Cette variable est bien définie puisque U 0 = V 0 (φ). Montrons que c est un temps d arrêt. En effet N [τ 0 = N] = [U k = V k (φ)] F N et, pour tout n N 1, [τ 0 = n] = k=1 n [U k = V k (φ)] [A n+1 > 0] F n. k=1

5 5 Par définition de τ 0, U τ0 = V τ0 (φ); montrons alors que U τ0 = h τ0. En effet, comme U N = h N, on a déjà U τ0 1 [τ0=n] = h τ0 1 [τ0=n]; et pour tout n < N, on a [ ] [ ] E Ũ n+1 F n = E Ṽ n+1 (φ) A n+1 F n = Ṽn(φ) A n+1. Mais (Ṽn(φ) A n+1 )1 [τ0=n] < Ũn1 [τ0=n] puisque, sur [τ 0 = n], Ũn = Ṽn(φ) et A n+1 > 0. Or, par définition, Ũ n = max ( hn [ ]), E Ũ n+1 F n, donc Ũ n 1 [τ0 =n] = h n 1 [τ0 =n]. Finalement, U n 1 [τ0=n] = h n 1 [τ0=n] pour tout n et donc U τ0 = h τ0. Soit τ un temps d arrêt tel que U τ = h τ. Montrons que le détenteur de l option n exerce sont droit au temps τ que si U τ = V τ (φ). En effet, sinon il existe n tel que [τ = n] [U n < V n (φ)] n est pas négligeable. Remarquons que, sur cet ensemble, τ 0 < n. Au temps τ 0, le détenteur de l option aurait donc pu sortir du contrat, se constituer le portefeuille de couverture de prix V τ0 (φ) = h τ0 et détenir ainsi un portefeuille de valeur supérieure au temps n à la valeur de l option (rappelons que (A n ) n=0..n est prévisible et donc, au temps τ 0, le détenteur sait qu au temps suivant la stratégie de couverture sera meilleure). Donc le détenteur de l option n a aucun intérêt à sortir du contrat après la date τ 0 et donc s il sort au temps τ, U τ = V τ (φ). Soit enfin τ un temps d arrêt satisfaisant U τ = h τ et U τ = V τ (φ). Montrons pour conclure que, pour le détenteur de l option, exercer son droit au temps τ ou au temps τ 0 revient au même. Puisque τ τ 0, cela peut s exprimer par l égalité, pour tout n, h τ 1 [τ=n] = E [ hτ0 ] F n 1 [τ=n] qui est équivalente à Ṽ τ (φ)1 [τ=n] = E [ Ṽ τ0 (φ) F n ]1 [τ=n]. Si nous admettons l égalité ci-dessus, la preuve est terminée. Nous montrons maintenant l égalité admise dans la preuve ci-dessus. Lemme 5.1. Soit τ τ 0. Pour tout n {0,..., N}, Ṽ τ (φ)1 [τ=n] = E [ Ṽ τ0 (φ) F n ]1 [τ=n]. Démonstration : Remarquons que, puisque (Ṽn(φ)) n=0..n est une martingale, cette égalité revient à généraliser l égalité satisfaite par les martingales aux temps aléatoires. Soit n fixé. L égalité est trivialement vérifiée sur [τ 0 = n] puisqu alors tout est F n mesurable. Reste à montrer qu elle est satisfaite sur [τ 0 > n]. On peut l écrire Ṽ n (φ)1 [τ=n] [τ0 >n] = E [ Ṽ τ0 (φ)1 [τ=n] [τ0 >n] F n ].

6 6 Comme Ṽn(φ)1 [τ=n] [τ0>n] est F n -mesurable, il suffit de montrer que, pour tout F n, Ṽ τ0 (φ)1 [τ=n] [τ0>n]dp = Ṽ n (φ)1 [τ=n] [τ0>n]dp ou encore, puisque [τ = n] F n, que, pour tout F n, Ṽ τ0 (φ)1 [τ0 >n]dp = Ṽ n (φ)1 [τ0 >n]dp. Soit donc F n, Ṽ τ0 (φ)1 [τ0 >n]dp = N k=n+1 Ṽ k (φ)1 [τ0 =k]dp. Mais, puisque [τ 0 = k] F k si k n, et (Ṽn(φ)) n=0..n est une martingale, Ṽ k (φ)1 [τ0 =k]dp = Ṽ N (φ)1 [τ0 =k]dp pour tout k {n + 1,.., N}. On en déduit Ṽ τ0 (φ)1 [τ0 >n]dp = Enfin, puisque [τ 0 > n] F n, Ṽ N (φ)dp = [τ 0>n] ce qu il fallait démontrer. Ṽ N (φ)1 [τ0 >n]dp. Ṽ n (φ)1 [τ0 >n]dp, Pour conclure cette première partie, nous allons caractériser les temps d arrêt admissibles comme des temps optimaux pour la suite des gains actualisés. On note Θ l ensemble des temps d arrêt à valeurs dans {0,..., N}. Proposition 5.7. (admise) Le temps τ est admissible si et seulement si Ũ 0 = E [ hτ ] F 0 = sup E [ hν F 0 ]. ν Θ Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein IV (11) On considère maintenant un call américain de prix d exercice K. Montrer que, pour tout n, la valeur de ce call est égale à la valeur du call européen correspondant.

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