ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES DE L UNIVERSITE DE LAUSANNE. Professeur Matière Session. A. Ziegler Principes de Finance Automne 2005

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1 ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES DE L UNIVERSITE DE LAUSANNE Professeur Matière Session A. Ziegler Principes de Finance Automne 2005 Date: Lundi 12 septembre 2005 Nom et prénom:... Note:... Q1 :... Q2 :... Q3 :... Q4 :... Bonus :... Total :... Informations générales: Documentation et calculatrice autorisées. Une table de distribution normale figure en page 2. Examen de 16 pages (page de titre comprise). Le nombre total de points est de 100. Prière de rendre la donnée d examen avec le travail. Prière de répondre en français directement dans les espaces prévus à cet effet. Sauf mention explicite à la question concernée, les feuilles de brouillon ne seront pas corrigées. 1

2 Table de Distribution Normale Fonction de répartition d une variable aléatoire x normale centrée réduite, N(d) = Prob(x = d). Par exemple, si d = 0.45, N(d) = d

3 1. Evaluation de Projets d Investissement (37 points, 45 minutes) Vous désirez commercialiser des t-shirts. Vous savez que les modes changent rapidement et que vos t-shirts se vendront durant les deux prochaines années uniquement. Le projet nécessite un investissement initial de 100'000 francs. Selon vos estimations, le cash flow avant intérêt et impôt devrait être de 90'000 francs la première année et de 40'000 francs la seconde. Vous décidez de distribuer chaque année sous forme de dividende la totalité des montants vous revenant. Vous êtes dans un monde sans impôt. Vous espérez pouvoir financer la totalité de l investissement initial par des fonds propres et votre exigence de rendement serait, dans ce cas, de 10.8%. a) (4 points) Quelle est la VAN du projet? Décidez-vous de commercialiser les t-shirts? b) (2 points) Quelle est la valeur des fonds propres juste avant et juste après la décision d investissement? 3

4 Vous réalisez que vous avez uniquement 60'000 francs de fonds propres à disposition, et devez donc emprunter le reste de l investissement initial. Votre banquier vous propose deux prêts à un taux de 6% par an; les intérêts sont payables à la fin de chaque année. Le premier prêt, de 10'000 francs, est remboursable dans un an et le second, de 30'000 francs, est remboursable dans deux ans. Un remboursement anticipé n est pas possible. c) (2 points) Le banquier considère-t-il les prêts qu il vous propose comme étant risqués? Pourquoi ou pourquoi pas? d) (2 points) Quel est le coût moyen pondéré du capital du projet? e) (2 points) Décidez-vous de commercialiser les t-shirts? Pourquoi? 4

5 f) (3 points) En tant qu actionnaire, quels montants de dividendes pouvez-vous espérer la première et la seconde année? g) (2 points) Quelle est la valeur des fonds propres juste avant et juste après la décision d investissement? Justifiez. h) (4 points) Quelle est la valeur attendue des fonds propres à la fin de la première année après paiement des dividendes? 5

6 i) (6 points) Calculez le rendement attendu sur les fonds propres la première ainsi que la seconde année. j) (4 points) Calculez la valeur des fonds propres juste après la décision d investissement en utilisant l espérance de rendement de l actionnaire. Comparez votre réponse avec celle du point (g) et commentez brièvement. 6

7 k) (6 points) Quel est le coût moyen pondéré du capital maximal auquel il vaudrait tout juste la peine de réaliser le projet? En supposant que les emprunts soient obtenus aux mêmes conditions, quel serait alors le rendement attendu des fonds propres la première et la seconde année. 7

8 2. Evaluation d Actifs (20 points, 25 minutes) Vous êtes analyste financier et avez calculé les rendements continus de l indice de marché suisse (SMI) ainsi que ceux de l action Alpha ces trois dernières années. SMI Alpha Année 1 + 5% 1% Année 2 + 8% 2.5% Année 3 1% + 2% Le CAPM est vérifié et vous estimez que le passé est représentatif de l avenir. a) (2 points) Quel est le coefficient de corrélation entre l action Alpha et le marché? b) (2 points) Quel est le β de l action Alpha? c) (2 points) Quel devrait être le taux de rendement sans risque? 8

9 Le taux sans risque annuel continûment composé sur le marché est de 0.3%. L indice de marché peut être traité et vaut actuellement Le prix de l action Alpha est de 50 francs. d) (2 points) Le taux de rendement sans risque théorique n est pas identique à celui disponible sur le marché. Existe-t-il une possibilité d arbitrage? Expliquez sans exemple numérique. e) (5 points) Il est possible d investir ou d emprunter un montant maximal de 100'000 francs dans l actif sans risque. Les achats et ventes à découvert sont autorisés pour un montant maximal de 100'000 francs par titre ou instrument financier. Déterminez la composition (en unités et en francs) du portefeuille qui maximiserait votre profit d arbitrage. 9

10 f) (3 points) Combien de francs gagnez-vous la première année si vous utilisez la stratégie d arbitrage décrite sous (e)? g) (4 points) Calculez les ratios de Sharpe et de Treynor du SMI et de l action Alpha en utilisant le taux hors risque théorique. Sur lequel de ces ratios devriez-vous fonder votre appréciation des possibilités d investissement que constituent le SMI et l action Alpha? 10

11 3. Structure de Financement (19 points, 20 minutes) La société PriXa a une valeur totale de marché de 1'600'000 francs et un ratio Dette / Fonds Propres de 0.6. Le bénéfice avant intérêt et impôt attendu chaque année est constant à 150'000 francs. Le taux d intérêt sur la dette est de 4%. PriXa a un concurrent direct, TarPix, qui est identique en tout point à l exception de la structure de financement. Le ratio Dette / Fonds Propres de TarPix est de 0, et sa valeur de marché de 1'450'000 francs. L espérance de vie des deux sociétés est infinie. a) (4 points) Quel est le taux d imposition actuellement en vigueur? b) (2 points) Si l Etat décidait d appliquer un nouveau taux d imposition de 20%, comment évoluerait le coût moyen pondéré du capital de PriXa? Pourquoi? Une réponse numérique n est pas nécessaire. 11

12 Supposez que le taux d imposition n est pas modifié. c) (2 points) Quelle est la valeur des fonds propres de PriXa? d) (4 points) Quelle est l exigence de rendement des actionnaires de PriXa? e) (4 points) L exigence de rendement des actionnaires de TarPix est-elle supérieure, identique ou égale à celle des actionnaires de PriXa? Pourquoi? 12

13 Jusqu à aujourd hui, PriXa distribuait tous ses bénéfices sous forme de dividende. PriXa vient d annoncer qu elle ne distribuerait dorénavant plus de dividendes et placerait l argent dans des actifs sans risque. Les dividendes ainsi que les gains en capitaux ne sont pas imposables. f) (3 points) Cette annonce devrait-elle avoir un effet sur l exigence de rendement des actionnaires? Dans quel sens et pourquoi? 13

14 4. Options (24 points, 30 minutes) Il existe des options call et put sur les actions (cotées en continu) de la société CTC. Un de vos client détient 1'000 actions de cette société pour une valeur totale de 30'000 francs. Le rendement attendu sur les actions CTC est de 10% et la volatilité de leur rendement de 15% par an. Le taux sans risque annuel continûment composé est de 2%. a) (4 points) Quel est le prix d une option put ayant une maturité d un an et un prix d exercice de 33? b) (4 points) En utilisant le prix de l option put calculé au point (a) ainsi que la relation de parité, déterminez le prix aujourd hui d un call de maturité un an. Quel est le prix d exercice de ce call? 14

15 Votre client a impérativement besoin de 33'000 francs dans une année. Il vous demande de créer une stratégie avec des produits dérivés qui lui permette de vendre ses actions à un prix d au moins 33 francs dans un an tout en minimisant les coûts de cette stratégie. c) (6 points) Déterminez la stratégie qui satisferait votre client en utilisant des options call et put. Décrivez le raisonnement qui vous a permis de l obtenir. d) (2 points) Quel montant votre client doit-il débourser aujourd hui pour atteindre son objectif? 15

16 e) (4 points) Représentez graphiquement chacune des positions individuelles et la position totale de votre client dans une année. f) (4 points) Proposez une stratégie équivalente qui ne nécessite pas l utilisation des options call et put (il n y a pas d autres restrictions sur ce que vous avez le droit de faire). 16

17 Principes de Finance Automne 2005 Solutions Problème 1 a) La VAN du projet est de VAN = 90'000 40' ' ' = La VAN étant positive, il serait judicieux de commercialiser les t-shirts. b) Juste avant la décision d investissement, la valeur des fonds propres est égale au montant investi, 100'000 francs. Une fois la décision d investissement prise, la valeur des fonds propres est égale à la valeur actuelle des flux futurs, c.-à-d. 100'000 + VAN = 100' ' = 113' c) Le banquier considère les prêts comme étant sans risque. Si tel n était pas le cas, le taux des deux prêts serait différent car ils ont des risques différents. En effet, la structure de financement du projet est plus risquée en période 2 qu en période 1. d) Puisque nous sommes dans un monde sans impôt, le coût du capital est indépendant de la structure de financement. Le WACC est donc toujours de 10.8%. e) Les flux ainsi que le taux d actualisation étant les mêmes qu au point (a), la VAN est identique également. Il est donc conseillé d investir. f) La première année, le revenu avant intérêt et impôt est de 90'000. Les intérêts totaux sont de ( 10' '000) 0.06 = 2' 400. De plus, le prêt de 10'000 doit être remboursé. Ceci donne un dividende net de 90 '000 2'400 10'000 = 77' 600 la première année. La seconde année, le revenu avant intérêts et impôts est de 40'000. Les intérêts s élèvent à 30 ' = 1'800. Le prêt de 30'000 doit être remboursé. Ceci donne un revenu net de 40 '000 1'800 30'000 = 8'200. g) La valeur des fonds propres juste avant la décision d investissement est de 60'000. Juste après, la valeur des fonds propres est égale à la valeur avant la décision plus la VAN du projet, soit 60'000 + VAN = 60' ' = 73' h) La valeur attendue des fonds propres à la fin de la première année après paiement du dividende est égale à la valeur actuelle (en temps 1) des flux futurs revenant à 17

18 l actionnaire. On peut l obtenir comme étant la valeur actuelle du flux de 40'000, moins la valeur de la dette restante, 30'000. On a donc comme valeur des fonds propres 40'000 30'000 = 6' i) La valeur de marché des fonds propres au temps initial (mais après la décision d investissement) a été calculée au point (g) et est de: E = 60 ' ' = 73' On peut alors déterminer le rendement attendu des fonds propres sur la base de l équation du WACC, en utilisant la valeur de marché de la dette et des fonds propres, soit 73' ' = E ( RE ) ' '000 73' '000 L exigence de rendement de l actionnaire la première année est donc de E ( ) = 13.40%. R E La valeur de marché des fonds propres au début de la seconde année est connue du point (h) et vaut 6' francs. Le montant de dette s élève à 30'000 francs. L équation du WACC est donc: 6' ' = E ( RE ) ' '000 6' '000 L exigence de rendement de l actionnaire la deuxième année s élève donc à E ( ) = 34.40%. R E Un autre moyen d obtenir ces résultats est de noter que la valeur des fonds propres au temps initial (mais après la décision d investissement) est de 73'809.60, et leur valeur attendue par l actionnaire la première année juste avant le paiement de dividende de 77' ' = 83' Le rendement attendu se monte donc à E( R E E1 83' ) = 1 = 1 = 13.40% E 73' De manière analogue, le rendement attendu la seconde année est obtenu en comparant le dividende attendu par l actionnaire, 8'200, et la valeur des fonds propres la première année après le paiement de dividende, 6' On obtient alors: E2 8'200 E( R E ) = 1 = 1= 34.40%. E 6' j) Pour obtenir la valeur des fonds propres, il faut actualiser les flux revenant à l actionnaire du point (f) aux taux calculés au point (i). On obtient: 77'600 8'200 VA = + = 73'

19 Le résultat est évidemment identique à celui obtenu au point (g). k) Le coût moyen pondéré du capital auquel il vaudrait juste la peine de réaliser le projet est le TRI du projet, qui satisfait l équation suivante: Le TRI vaut 22.62%. 90'000 40'000 0 = 100' TRI (1 +TRI ) On peut ensuite calculer le rendement attendu sur les fonds propres chaque année en utilisant la formule du coût du capital. Pour la première année, la valeur de marché des fonds propres est maintenant de 60'000, et on a donc: 60'000 40' = E ( RE ) ' '000 60' '000 d où l on tire E ( ) = ( ) / 0.6 = 33.70%. R E Pour la deuxième année, le procédé est le même, mais la valeur des fonds propres à utiliser est de 40'000 E = = 2' Le coût moyen pondéré du capital est alors donné par: 2' ' = E ( RE ) ' '000 2' '000 d où E ( ) = ( ) / = %. R E Problème 2 a) Le coefficient de corrélation peut-être obtenu en calculant la covariance entre les rendements du marché et ceux de l action ainsi que la volatilité du marché et de l action. (Attention, l écart type est égal à la racine de la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par (n 1) et non n.) Par définition, σ ρ = σ SMI, Alpha SMI Dans notre cas, σ SMI, Alpha = , σ = et σ Alpha = On obtient donc ρ = 1. SMI σ Alpha σ SMI, Alpha ρ σ Alpha b) Le β est calculé comme suit: β = = = σ σ SMI SMI 19

20 c) On peut obtenir le rendement théorique de l actif sans risque en calculant le rendement d un portefeuille ayant un β de 0. Comme le β du SMI est de 1 et celui de l action de 0.5, les poids des deux actifs dans le portefeuille sont w = 2 / 3 et w =1/ 3. Le rendement de ce portefeuille, qui est sans risque, est de: 1 2 R f = = Alpha SMI d) Le taux sans risque théorique étant plus élevé que le taux sans risque du marché, il est possible de constituer un portefeuille sans risque et ayant une mise initiale de 0 qui dégage un rendement positif. Il y a donc une possibilité d arbitrage. e) Afin de mettre en place la stratégie d arbitrage, il faut emprunter au taux bas et placer au taux élevé. La plus grande position possible consiste à emprunter 100'000 à 0.3% et 1 2 investir 100'000 = 33' 333 dans l indice et 100'000 = 66' 667 dans l action Alpha '333 66'666 Ceci correspond à = unités de l indice et = actions Alpha. 6' f) Le gain de la première année s élève à 100'000 ( e ) = e. g) Le ratio de Sharpe est défini par R i R SR = f. σ Dans notre cas, SR SMI = = , SR Alpha = = i Le ratio de Treynor est défini par Dans notre cas, TR SMI TR Alpha TR = R i R f β = = i = = D après le ratio de Sharpe, l action Alpha constitue un mauvais investissement car elle a un rendement attendu inférieur au taux sans risque. Toutefois, le ratio de Sharpe ignore le 20

21 fait que l action Alpha peut permettre de réduire le risque systématique d un portefeuille, puisqu elle a un β négatif. Il ne faut donc pas l utiliser. Le ratio de Treynor nous dit à juste titre que le lien risque/rendement de l action Alpha est équivalent à celui de l indice SMI. Il peut donc être judicieux d acheter le titre Alpha dans le contexte d un portefeuille diversifié. Problème 3 a) PriXa est endettée ( V L ) et TarPix ne l est pas ( V U ). Nous savons que: V L = V + τ D. U Le ratio Dettes / Fonds Propres étant de 0.6, il est possible de déterminer la valeur de la dette de PriXa, D. Puisque D / E = 0.6, on a D = 0. 6 E. Nous savons aussi que E + D = 1'600'000. En combinant, on a E E = 1.6E = 1'600' 000. Le montant des fonds propres E est donc de 1'000'000 et celui de la dette de 1 '600'000 1'000'000 = 600'000. Le taux d imposition est obtenu en résolvant l équation suivante: 150'000 ce qui donne τ = = '000 1'600'000 = 1'450'000 + τ 600'000 b) Si le taux d imposition baissait à 20%, l avantage fiscal de la dette baisserait et par conséquent le coût moyen pondéré du capital augmenterait. c) La valeur des fonds propres de PriXa a été calculée au point (a) et est de 1'000'000. d) Le bénéfice annuel net attendu (après intérêts et impôts) peut être calculé de la manière suivante: Bénéfice avant Intérêts et Impôts 150'000 Intérêts (4% de 600'000) 24'000 Bénéfice avant Impôts 126'000 Impôts (25%) 31'500 Bénéfice Net 94'500 L espérance de vie de l entreprise étant infinie, les bénéfices nets sont actualisés à perpétuité, et le rendement attendu sur les fonds propres satisfait donc l équation 21

22 qui a pour solution E ( ) = 9.45%. R E 94'500 1'000'000 = E( ) R E e) Le rendement attendu sur les fonds propres de TarPix est différent de celui de PriXa car TarPix n est pas endettée. Ses actions sont donc moins risquées. L exigence de 150' rendement des actionnaires de TarPix vaut = 7.76%. 1'450'000 f) Si l entreprise thésaurise ses bénéfices, le ratio Dette / Fonds Propres diminuera au cours du temps. Ceci réduira le risque des actions et donc leur rendement attendu au cours du temps. Problème 4 a) Le prix du sous-jacent aujourd hui est de S t = 30, le prix d exercice de X = 33, le taux sans risque continûment composé de r = 2%, la volatilité de σ = 15% et la maturité de T t = 1 an. Le prix d une option put est calculé de la manière suivante: Dans notre cas: où P = X e t r ( T t) N ( d2 ) St N( d1) 2 St σ ln + r T t X + ( ) d = 2 1 et d = d1 σ T t σ T t ln d 1 = = , d 2 = = , L option vaut donc: N ( d1 ) = , N ( d 2 ) = P t = 33 e = b) La relation de parité implique C t = P t + S PV ( X ) = e Le prix d exercice du call est identique à celui du put, 33. t = 0.92 c) Notre client a besoin de 33'000 dans une année. Pour cela, il faut acheter 1000 options put et vendre 1000 options call avec des prix d exercice de 33. En effet, les options put achetées permettent de vendre les actions pour 33 si, à maturité, leur prix est inférieur à 33. Les options call vendues permettent de vendre les actions pour 33 à maturité si leur 22

23 prix est supérieur à 33. Quoi qu il advienne, le client empoche 33 par action dans une année. Le fait de vendre des options call permet de minimiser le coût de la stratégie aujourd hui. d) Pour chaque action, le montant à débourser est égal au prix du put moins celui du call: P C t t = = Pour 1'000 actions, le montant total à débourser est donc de 1 ' = 2' 346. e) Positions individuelles (pour 1000 actions): 33'000 P T S T 33 S T C T Position totale (pour 1000 actions): 23

24 33'000 S T f) Notre client peut investir de l argent aujourd hui au taux sans risque afin d obtenir 33'000 francs dans un an. Le montant à investir aujourd hui est de '000 e = 32'346. Notre client pourrait donc vendre ses actions aujourd hui pour un montant total de 30'000 francs. Il lui reste à débourser un montant supplémentaire de 2'346 francs et investir le tout au taux sans risque. Dans une année, il est sûr d avoir les 33'000 francs souhaités. Cette stratégie a exactement le même coût que celle développée plus haut. 24

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