Collège Blanche de Castille

Transcription

1 ème A - B C Composition 2 de MATHÉMATIQUES Date : 05/02/2009 Durée : 2h Collège Blanche de Castille Coefficient : Note sur : 40 Présentation : /4 Les calculatrices sont autorisées ainsi que les instruments usuels de dessin. La présentation,l orthographe et la rédaction seront notées sur 4 points. Les réponses aux questions devront être correctement numérotées. Les parties seront faites sur feuilles séparées. Dans chaque partie l ordre des exercices pourra être modifié. L énoncé n est pas à rendre. Partie I : Activités numériques (12 points) Exercice 1 : (/) Une compagnie de transport propose un tarif «jeune» avec une réduction de 0% sur le plein tarif. a) On désigne par x le plein tarif. Exprimer le tarif réduit y en fonction de x b) Quel sera le montant, en tarif «jeune», d un billet plein tarif de 72? c) Quel serait le montant plein tarif d un billet de 96 payé en tarif «jeune»? Exercice 2 :(/) a) Factoriser 49 x ² 28 x + 4 b) Un carré a pour aire 25 x ² + 60 x + 6. Exprimer la longueur de son côté en fonction de x. Exercice :(/1,5) Voici ce qu un élève a écrit pour factoriser une expression A : A = (2 x + 4)² (2 x + 4) ( x 5) A = (2 x + 4) [ (2 x + 4) ( x 5)] A = (2 x + 4) ( x 1 ) a) Que peut-on écrire à l élève pour qu il corrige son erreur? b) Corriger son erreur. Exerxcice 4 :(/2) Répondre sur sa copie par vrai ou faux a) 0,5 est un nombre rationnel b) Tout nombre entier est un nombre décimal c) 1 est un nombre décimal 1/ d) π est un nombre rationnel

2 Exercice 5 :(/2,5) QCM : Écrire sur sa copie la bonne réponse (A, B ou C) Réponse A Réponse B Réponse C 1) Fred parcourt 16 km à 12 km.h -1. Il a roulé pendant 1h 45min 1h20 2) Mo court le 100 m en 12 s. Quelle est sa vitesse? 0,5 km /h 0km/h 00km/ h ) Un radiateur électrique a une puissance 1500 w. Quelle quantité d énergie en kwh consomme-t-il pendant 2 jours? 4) Dans la relation P=UI, la tension U est fixée à 4 volts. La puissance P est-elle proportionnelle à l intensité I? 7,2 kwh 720kwh 72kwh Oui Non Cela dépend 5) En m /h, 54 L/s est égal à 194,4 m /h 1944 m /h 0,015m /h Exercice 6:(/5) Partie II : Activités géométriques (12 points) SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD de centre O. On donne : la hauteur de la pyramide : SO = 5 cm ; le côté de la base : AB = 4 cm. 1) Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide en cm, puis en donner une valeur approchée en mm. 2) On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base tels que M, N, P, Q sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD]. a) Démontrer que MN = 2 cm. b) Quel est le rapport de réduction? c) Quel est le volume de SMNPQ? Exercice 7 :(/7) Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet S. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles. On donne : KA = 4,5 cm KS = 6 cm SI= 4cm. 1. Calculer BI. 2. Calculer le volume V 1 du cône 1 (Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm ).. Le cône 2 est une réduction du cône 1. a) Quel est le coefficient de réduction? b) Par quel nombre exact faut-il multiplier V 1, volume du cône 1, pour Cône 2 Cône 1 B I S obtenir directement le volume V 2 du cône 2/ K A

3 Partie III : Problème (12 points) Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Partie n 1 Soit f : x a 2,5 x. 1 a) Calculer f (0). 1 b) Calculer x tel que f ( x ) = 19,5. 1 c) Construire précisément la représentation graphique C f de f dans le repère de l annexe. 1 d) Déterminer graphiquement l'image de 50 par f. Votre réponse devra être complétée par des traits de construction sur le graphique de l annexe. 1 e) Déterminer graphiquement l antécédent par f de 100. Votre réponse devra être complétée par des traits de construction sur le graphique de l annexe. 1 f) Le point A ( 200 ; 495) appartient-il à la représentation graphique C f de f? Justifier. Partie n 2 Un réservoir a la forme d un prisme droit dont la base est un triangle et dont la hauteur, AD, mesure 10 m. A B C BC = 1,4 m, AC = 5 m et AB = 4,8 m. 2 a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 2 b) Calculer le volume du réservoir. D E F x 2 c) On note x la hauteur d eau dans le réservoir. Exprimer le volume d eau en fonction de x. On le note V ( x ). La fonction V : x a V ( x ) est-elle une fonction linéaire? 2 d) Calculer V (10). Exprimer par une phrase la signification de V (10) dans ce problème. Partie n Déterminer l'expression de la fonction linéaire g telle que g(5) = 4. /

4 ème A - B C Date : 14/02/2009 Durée : 2h Brevet blanc 1 de MATHÉMATIQUES CORRECTION Collège Nazareth Coefficient : 4 Note sur : 40 Présentation : /4 Partie I : Activités numériques (12 points) Exercice 1 (/) a) Le tarif jeune est réduit de 0% du tarif normal.le tarif jeune s obtient donc en multipliant le tarif plein par 1 0 soit 0,7. Donc y = 0,7 x 100 b ) Si le plein tarif x est de 72 alors y = 0,7 x 72 y = 50,40 Le tarif jeune sera de 50,40 c ) Si le prix payé y en tarif jeune est de 96 alors on est amené à résoudre l équation 0,7 x = 96 pour trouver le tarif plein D où x = 96 : 0,7 donc x 17,14 Le tarif plein serait alors de 17,14 Exercice 2 :(/) a) Factoriser : 49 x ² 28 x + 4 = (7 x 2)² b) 25 x ² + 60 x + 6 = (5 x +6)² si un carré a pour aire (5 x +6)² alors la longueur de son côté est 5 x +6 Exercice :(/1,5) a) L élève a fait une erreur de signe, on peut lui écrire «attention au signe b) A = (2 x + 4)² (2 x + 4) ( x 5) A = (2 x + 4) [ (2 x + 4) ( x 5)] A = (2 x + 4) (2 x + 4 x + 5) A = (2 x + 4) ( x+ 9 ) Exercice 4 (/2) a) vrai ( 0, 5 peut s écrire 5 10 ) b) vrai ( ex 8 peut s écrire 8, 00 ) c ) faux ( 1 est rationnel mais non décimal ) d ) faux ( n admet pas d écriture fractionnaire ) Corr 1/4

5 Exercice 5 (/2,5) 1 ) t = d /v t = 16 / 12 t = 1,.h t = 1h 20 min rép C 2 ) v = d / t d = 0, 1 km t = 12 s 1 h = 600 s v = 0, 1 x 600 : 12 v = 0 km / h rép B ) 2 jours = 48 h P = 1500 x 48 P = wh = 72 kwh rép C 4 ) U = 4 volts P = 4 I donc P est proportionnelle à I rép A 5 ) 54 L = 54 dm = 0, 054 m 1 h = 600 s 0, 054 x 600 = 194,4m /h rép A Exercice 6:(/6,5) 1) Volume V 1 de la pyramide SABCD : V 1 = A(ABCD) SO V 1 = 4² 5 V 1 = 80 cm. V 1 26,667 cm 2) a)dans le triangle SAB, M et N sont les milieux respectifs de {SA} et [SB] donc MN = 1 AB (droite 2 des milieux), soit MN = = 2cm. b) La section d une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction du polygone de base. MNPQ est une réduction de ABCD. le coefficient de réduction k est SM MN ou SA AB soit 1 2. c) Volume V 2 de la pyramide SMNPQ réduction de SABCD dans le rapport ½ : V 2 = V 1 k V 2 = V 2 = V 2 = 10 cm. Exercice 7:(/5,5) 1) On considère les triangles SIB et SAK. B (SA), I (SK) et (BI) // (KA) d après le théorème de Thalès : SB SA = SI SK = BI AK soit 4 6 = BI 4,5 d où BI = 4 4,5 6 soit BI = cm 2) V 1 = π r² h V 1 = π 4,5² 6 V 1 = 40,5 π cm. V cm. ) a)le coefficient de réduction k est SI KS = 4 6 = 2. )b) Pour obtenir le volume du cône 2 il faut multiplier le volume du cône 1 par l échelle de réduction au cube soit 2 = Corr 2/4

6 Problème Partie n 1 ) f : x 2,5 x 1 a ) f (0 ) = 2, 5 x 0 = 75 1 b ) f ( x ) = 19,5 on pose 2, 5 x = 19,5 soit x = - 19, 5 : 2, 5 x = - 7,8 f ( 7, 8 ) = 19, 5 1 c ) y y 100 C D B A E 5 40 x x H d) Par lecture graphique f(-50 ) = e) Par lecture graphique f ( 40 ) = 100 1f) Si A (-200 ; -495 ) appartient à Cf alors f(-200) = -495 or f(-200 ) = -200 x 2,5 donc f(-200) = donc A n appartient pas à Cf Partie n 2 ) 2 a) On considère le triangle ABC AC² = 5² BA² + BC² = 1,4 ² + 4,8 ² AC² = 25 =1,96 + 2,04 = 25 Donc AC²= BA² + BC² Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B Corr /4

7 2 b) volume du réservoir Le réservoir a la forme d un prisme droit dont la base est un triangle rectangle V = aire d une base x hauteur du prisme Aire de ABC = 1,4 x 4,8 :2 =,6 Aire de ABC=,6 m² V =,6 x 10 =,6 Le volume du réservoir est donc égal à,6 m 2 c ) Le volume d eau est égal au volume d un prisme de base le triangle ABC et de hauteur x Donc le volume d eau est égal à,6 x V( x ) =,6 x La fonction V : x,6 x est une fonction de la forme v( x ) = a x avec a =,6 donc v est une fonction linéaire de coefficient,6 2 d) V(10 ) = 10x,6 V(10) =,6 V(10 ) représente le volume d eau lorsque le prisme est rempli en totalité (soit le volume du prisme ) Partie n g(5) = 4 On sait que g est une fonction linéaire donc g est de la forme g( x ) = a x a étant le coefficient g(5 ) = 5a on est amené à résoudre l équation 5a = -4 d où a = donc l expression algébrique de la fonction linéaire g est g( x ) = 4 5 x ou g : x -4 5 x Corr 4/4