Quiz de bienvenue. On considère le ket associé à un état physiquement acceptable pour un système décrit par l hamiltonien.

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1 Quiz de bienvenue On considère le ket associé à un état physiquement acceptable pour un système décrit par l hamiltonien. La relation est-elle toujours vraie? 1. Oui. 2. Oui, dès lors que est indépendant du temps. 3. Non. Table ronde animée par Philippe Grangier sur 30 ans de cryptographie quantique mardi 02/09 de 18h à 20h. ENSAM, 151 Bd de l Hôpital, Paris voir site web du département de physique pour les modalités d inscription Graphe des votes

2 Physique quantique avancée Emilian Dudas, Jérôme Faure, Karyn Le Hur, Luca Perfetti, Pascale Senellart, Jean-Eric Wegrowe, Manuel Joffre Poursuite de l apprentissage des principes fondamentaux (Pauli) Nouvelles méthodes pour traiter des problèmes plus complexes (3D) Exploitation des symétries du système (translation, rotation, ) Méthodes d approximation (perturbations, variations, ) Structure de la matière : atomes, molécules, solides Quelques exemples de technologies quantiques (horloges atomiques, spectroscopie infrarouge, détecteurs à puits quantiques, etc.)

3 Ressources pédagogiques Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard Chapitres 1 à 17 (sauf ) - Diapos et simulations présentées en amphi - Guide de lecture du livre (correspondance amphis chapitres) - Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 9h00) Participation au QCM contribue à la note de PC (avec Devoirs à la Maison et participation en PC) - Boîtiers de vote électronique

4 Amphi 1 : Les principes de la physique quantique Etat quantique d un système Mesure Evolution temporelle Commutation des observables Relire le chapitre 5 Refaire le contrôle PHY311 du 2 juillet 2014

5 1. Etat quantique d un système

6 Principe 1 : espace de Hilbert et vecteur d état A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié L état du système est défini par un vecteur normé appelé ket Base hilbertienne TF Cas du mouvement d une particule ponctuelle

7 Rappels sur la notation de Dirac Bra Bracket Ket Soit un opérateur linéaire agissant dans Elément de matrice Vecteur ligne Matrice carrée Vecteur colonne

8 Projecteur sur le ket est un opérateur. est un projecteur. est le projecteur sur l état

9 Point de vue matriciel

10 La relation de fermeture

11 Exemples d espaces de Hilbert Système Espace de Hilbert Etat quantique Particule ponctuelle Ensemble de deux particules (ex : H) Vibration d une molécule diatomique Etat de polarisation d un photon Spin 1/2 Espace de dimension 2 Espace de dimension 2

12 Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert Soit un système quantique (a) décrit par l espace de Hilbert Soit un système quantique (b) décrit par l espace de Hilbert de base de base Si (a) est dans l état et (b) est dans l état, alors l état du système quantique global est noté produit tensoriel L espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé espace produit tensoriel et est noté La forme générale d un état est : Etats factorisés Etats intriqués

13 Plusieurs degrés de liberté d une même particule Particule sans spin base de Particule de spin ½ base de

14 Système constitué de plusieurs particules (a) (b) Deux particules de spin ½ Deux spins ½ (sans prise en compte des degrés de liberté externes)

15 2. Mesure

16 Principe 2 : Mesure d une grandeur physique Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint (ou hermitien) appelé observable. Les valeurs propres de sont réelles. Théorème spectral : Les vecteurs propres de constituent une base de Le résultat d une mesure de est l une des valeurs propres de. Si le système est dans l état, la probabilité de mesurer est Après la mesure de, le système est projeté dans l état

17 Exemple de mesure : l expérience de Stern et Gerlach Laser MESURE Schrödinger OU Evolution Réversible Evolution irréversible

18 Effet de la dégénérescence des espaces propres Cas non dégénéré Cas dégénéré Dimension espace propre = 1 Dimension espace propre = Probabilité de mesurer Projecteur Etat après mesure

19 Mesure dans un espace produit tensoriel Soit un ensemble de deux particules de spins ½ placées dans l état On mesure la grandeur. Quelle est la probabilité de trouver, et dans cette éventualité, quel est l état du système après la mesure? A. 0 B. ½ C. 1 D. E. F. Graphe des votes

20 3. Evolution temporelle

21 Principe 3 : Equation de Schrödinger En l absence de mesures, l évolution du vecteur d état par l équation de Schrödinger est donnée L opérateur est l Hamiltonien. C est l observable énergie. Pour un système isolé, l Hamiltonien est indépendant du temps: Exemple de système isolé : atome d hydrogène (amphi 4) Exemple de système non isolé : spin ½ dans un champ magnétique tournant (RMN PHY311 amphi 7)

22 Evolution temporelle d un système isolé Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de puis de développer sur cette base propre: avec

23 Evolution temporelle suite à une mesure d énergie Dans un puits infini, on effectue une mesure d énergie qui donne la valeur E 2. Après la mesure, la position moyenne de la particule dans le puits : 1. oscille à la fréquence E 1 /h, 2. oscille à la fréquence E 2 /h, 3. oscille à la fréquence (E 2 - E 1 )/h, 4. n oscille pas. E 3 E 2 E 1 Graphe des votes

24 Superposition linéaire dans un puits infini

25 4. Commutation des observables Algèbre non commutative : en général,

26 Quelques règles utiles sur les commutateurs Définition Un commutateur sert à remettre à l «endroit» un produit de deux opérateurs Bilinéarité du commutateur Par exemple : Commutateur entre un produit d opérateurs et un autre opérateur

27 Observables qui ne commutent pas Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B. Relation d incertitude de Heisenberg (PC1) Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da sur la grandeur A, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans cet état. Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation d incertitude impose une borne inférieure sur l incertitude Db de la grandeur B dans l état du système après la mesure. Exemple (exercice)

28 Observables qui commutent Tout sous-espace propre de est stable par (exercice) Il existe une base propre commune à et (exercice) Après des mesures successives des grandeurs A et B, le système est dans un sous-espace propre commun à A et B. Les grandeurs physiques correspondantes sont donc connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0. Si ne dépend pas explicitement du temps et si, alors la grandeur est une constante du mouvement (d après Th. d Ehrenfest) :

29 En résumé Principe 1 : Principe 2 : mesure Principe 3 : Chapitre 5 Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs) Relation d incertitude de Heisenberg Il existe une base propre commune à et