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1 !... (f(tf.'/r,,/ ;f REPUBLIQUE GABONAlS}~ OFFICE NATIONAL DU BACCALAUREAT j M...t\THEMATIQUES Série: Al Durée: 3 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 ( 5 points) Dans h~ plan complexe muni d'am repère orthonormal direct (0, 11, v) d'unité 2 cm, on h3 const 'd' ere 1 e porn. tad' f'-"= Iv a dxe Cl = :T+z-2' 1. a) Calculer lai. En déduire que A est sur le cercle (C) de centre 0 et de rayon 1. b) Placer A dans le repère (0, u, v) (on expliquera ia méthode utilisée). c) Ecrire a sou forme trigonométrique puis sous forme exponentielle. 2. a).soitb l'image de A parr la rotation de centre 0 et d'angle t. Donner la forme exponentielle du complexe trigonométrique. b, affixe du _point B; puis l'écrire sous forme.,fi--j6 -Jï+J6 1D b) _M ontrer que b_ d'd' lit'd 71C =: "4--' ~n e iure ses va eurs exac es e cos C et de sm On désigne par Cet D les points d'affixes respel'tives a et -/. Calculer le, 1 1 (1+1,. mn u e et un argument du comphcxe a:t.t- En dedulre la nature exacte du triangle ACD. ~ERCICE2 (5 points ) Dans cel exercice toutes les probabilités seront données sousforme de fraction irréductible. A l'infirmerie d'un village, on utœse l'examen de la goutte épaisse pour la recherche du paludisme. La probabilité pour une personne quelconque d'avoir un examen positif est de j QueUe est la probabilité d'avoir un examen négatif? 2. Si l'examen est positif, l'infirmier (ln»pose trois sortes de médicaments: médicament A, médicament B ou médicament C. On considère les évé,nements suivants: A :«le patient choisit le médicament A» de probabilitépl; B :«le patient choisit Je médicament B» de probabilitépl; C :«le patient choisit le médicament C» de probabilité P3 a) Sachantque la probabilité de l'événement A est Pl = ~ - et que 3P3= 2p-% déterniiner pz etpl;: -,. b) Le médicament A coûte francs, le.médicament Bcoûte J 000 francs et le médicament C coûte 5000 fran~~. On-désigne par X ïa ~~~iable atéat~ire igal~ àu prix du médicament choisi. Si le test e~t négatit~ X = O. Donner la loi de probabilité de X, puis calculer son espérance mathématique et en do~ner une interprétation. ;". ":.-, '.,. " ",'.".~ ">'; ~.~,~,:..:~: ':_{l~~ ~:""'':'::.~~:'}:~';,'... ;

2 3. Une famille de 4 personnes passe cet examen. a) Calculer la probabilité pour que toutes ces 4 personnes aient un test négatif. b) Calculer la probabilité d'avoir exactement deux tests positifs sur les quatre. PROBLEME ( 10 points) Partie A La courbe ( r ) ci-après est la représentation graphique dans un repère or1bonormal (0, i,j) d'une fonction g définie et dérivable sur IR. 1. Par lecture graphique, donner g(ln2), lim g(x), lim g(.l:) et le signe de g(x) sur IR X-+ -(X) X-+ +txl 2. On suppose que g(x) = a - e X Il : =2 où a est un réel. Déterminer, a. 3. Soit G la primitive de g sur IR qui.vérifie G(ln.2) =2111.2, a) Déduire de la qu~stion 1 le sen.s de variation de G sur IR. b) Déterminer G(x). Partie B Soitf la fonction définie sur IR parf(x)= lx ex. On désigne par ( C ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i, j) d'unité 2 cm. 1. a) Calculer la limite deien -00. x b) Vérifier que pour tout x non nul,/(x) =2 +x ( 2 - Ji. ).. x En déduire la limite def en +00. c) Montrer' que la droite (D) d'équation y = 2x + 2 est asymptote à ( C) en -00 puis étudier la position de ( C) par rapport à (D). 2. Calculer la dérivée de f et dresser son tableau de variation. 3. Détemliner une équation de la tangente ( T) à ( C) en son point d'abscïs&",&" 4. a) Justifier que l'équationf(x) =: 0 admet deux solutions a et p où a < ~ b) Montrer que 1,6 <P< 1,7. 5. Tracer (C); (D) et (T) dans le repère (O,i, j). 6. Calculer en cm 2, la valeur exacte de J'aire du domaine limité par la courbe ( C) la droite ( D ), l'axe des ordonnées ct la droite d'équation x = ' =

3 /./ Aj o.)-.,~: 0),,' A f: E; l' 0).z s -t-) ~J0'> "-~~ ~ û I 2.r"':Ù C) ~"'"- ~"-"..J~ :. q ~ Jo"... ~ "1\,, o:l "-+ ","""-,,,; ~. ) r ~I 0( t..., +.,.,J.;~k -e-,' l~ t "-""'- 0 ~"",,--J,~,: o>.r Q{ f"" "'" ~ W f'" À -t-: 0; r- d.,:.t.. ~ = l ".J (.4 " 3.5 : 01 %-,<- '0 AL.- vil ~I 'Yf\çÛ h ~ : q~-- ~ll~j<...j \~ ~.r 1\'\~. 1) '?;~ t / 0>~~ ejt!2j LS 1"*J) jf( 0,4 :il ey Q!.-..J- 1'3, : QI r ~ '2.,.Q,.) L"" ~..,L: t. t:- Cf) :, 0) ~ 'T~.6: O)~-!3(" 0-) 0; j- ~) o)~ "

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