Mathématiques MP - Corrigé du DS 3

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1 Mahémaiques MP - Corrigé du DS 3 Exercice a d C (R e, d ( = sin( d es donc croissane sur R On a donc, d( d( e donc >, cos( De plus pour >, cos( car cos b δ es de classe C sur R e, δ ( = sin( e δ ( = cos( En pariculier δ es posiive, δ croî e es posiive sur R + e, δ( δ( On conclu que >, cos( cos( es coninue, posiive sur R + cos( On a cos e donc = Donc cos( es prolongeable par coninuié e inégrable sur, De plus pour ou, cos( e cos( es inégrable sur, + Donc inégrable sur, + cos( es inégrable sur, + es Si x, cos( e x es coninue, posiive sur R + e pour ou >, cos( e x cos( Par comparaison, cos( e x es inégrable sur R + e ϕ(x exise 3 D après b x >, ϕ(x β e x d = β x Or β x + x = donc 4a Soi f la foncion définie sur R +, + par f(x, = cos( e x - x, f(x, es coninue sur R + - >, x f(x, es coninue sur R + - x, >, f(x, cos( e cos( es inégrable sur, + ϕ(x = x +, d après le héorème de coninuié des inégrales dépendan d un paramère, ϕ es coninue sur R + 4b Il s agi d uiliser un héorème de dérivaion des inégrales à paramères - x, f(x, es coninue par morceaux e inégrable sur R + - >, x f(x, es deux fois dérivable surr + Pour ou (x, dans R + R +, f x cos( (x, = e x e f x (x, = ( cos(e x De plus - Pour ou x >, f x (x, e f x (x, son coninues par morceaux sur R+ - Pour ou x >, f x (x, es inégrable sur R+ car pour ou >, f (x, x e x e e x es inégrable sur R + - Pour ou >, x f x (x, es coninue sur R+ - < a b, x a, b, f (x, x = ( cos(e x e a e e a es inégrable sur R + ϕ es de classe C sur R + e

2 Corrigé du DS 3 x >, ϕ (x = 4c On a cos( = Re( e i e donc a >, a cos( e x d e ϕ (x = ( cos(e x d ( a ( cos(e x d = Re (e x e (i x En faisan endre a vers + pour x > fixé, on obien e x =a = Re x + e(i x i x = ( x >, ϕ (x = Re x + = i x x x + x 4d D après a on a x >, ϕ (x α e x d = α x Or α = Donc x + x x + ϕ (x = 4e D après l expression de ϕ sur R +, il exise une consane c elle que x >, ϕ (x = ln(x ln( + x + c ( En faisan endre x vers +, on obien c = e donc x >, ϕ x (x = ln + x ( x 5a On a x ln x = x ln ( + x + ( x x + x donc x ln x + x = + 5b Une inégraion par paries donne x ln( + d = ln( + x x + d = x ln( + x (x arcan(x 5c On en dédui, avec l expression de ϕ, l exisence d une consane c elle que x >, ϕ(x = x ln(x x x ln( + x + x arcan(x + c = x ln ( x + x arcan(x + c Avec 5a e 3 e en faisan endre x vers +, on obien c = π/ e donc x >, ϕ(x = π arcan(x 5d ϕ éan coninue en, on obien ϕ( = x + ϕ(x = π

3 MP-Lycée Thiers 3 Exercice Soi n un enier el que n 3 Soi v n la probabilié de l évènemen E n F n a On a E n E n donc E n F n E n F n F n D aure par, si E n F n F n es réalisé alors l un des deux moifs P P F e F P P n es pas apparu ni à l issue des n premiers lancers (E n réalisé ni à l issue du n-ième lancer car les deux derniers lancers son F F Donc E n F n F n E n F n F n E n F n F n = E n F n F n Si E n G n F n es réalisé alors le n -ième lancer vau face car sinon le moif P P F serai apparu à l issue du n-ième lancer On a donc E n G n F n = E n F n G n F n e E n G n F n E n F n G n F n Si F n G n F n es réalisé, aucun moifs P P F e F P P n es pas apparu ni à l issue des n premiers lancers ni à l issue du n-ième lancer donc E n F n G n F n E n F n G n F n Finalemen E n G n F n = E n F n G n F n b On a E n F n = (E n F n F n (E n G n F n Les évènemens son incompaibles donc v n = P (En F n = P (E n F n F n + P (E n G n F n D après a, P (E n F n F n = P (E n F n F n Les lancers éan muuellemen indépendans E n F n es indépendan de F n donc P (E n F n F n = P (E n F n P (F n De même P (E n G n F n = P (E n F n G n F n Les évènemens E n F n, G n e F n son muuellemen indépendans donc P (E n F n G n F n = P (E n F n P (G n P (F n Finalemen v n = qv n + pqv n c Pour ou n 3, u n+ u n = v n+ + pv n v n pv n = qv n + pqv n qv n pv n = p v n Donc (u n n 3 es décroissane e minorée par donc converge Or pour ou n 3 v n = qu n donc v converge Noons l sa ie En faisan endre n vers + dans la relaion du b, l = ql + pql soi l = ql e comme q, l = v n = a On considère une suie de n lancers qui n a fai gagner ni Alice, ni Benoî e qui se conclu par un pile On suppose que lors de l un au moins de ces lancers, la pièce es ombée sur face On noe k le numéro du dernier lancer pour lequel la pièce es ombée sur face On a déja k n Pour j > k, le j-ième lancer donne Pile Donc si k < n, le moif F P P apparaî aux lancers k, k + e k + donc avan le n-ième lancer Conradicion Donc k = n b La quesion précédene monre que E n G n = (G G n (E n G n F n Or G G n e E n G n F n son incompaibles donc P (E n G n = P (G G n +P (E n G n F n Or on monre comme au que E n G n F n = E n G n F n e les évènemens G n e E n F n son indépendans donc P (E n G n F n = P (E n F n P (G n = pv n Finalemen w n = p n + pv n 3 On a E n = (E n F n (E n G n Les évènemens E n F n e E n G n son incompaibles donc P (E n = v n +w n Les ies rouvées aux quesions précédenes donnen P (E n = 4 Soi J l évènemen Le jeu se ermine On a J = ( + donc d après le héorème de ie monoone, P + n= n= Donc P (J = e le jeu se ermine presque sûremen 5 Soi n un enier naurel el que n 3 E n Or (E n n es une suie décroissane d évènemens E n = P (E n =

4 4 Corrigé du DS 3 a On considère une suie de n lancers consécuifs elle qu Alice gagne la parie au n-ième lancer Alors les lancers n e n donnen pile Si au cours des n 3 premiers lancers, on a obenu face, on noe k le plus grand indice inférieur à n 3 el que le k-ième lancer es donné face Alors le moif F P P es apparu aux lancers k, k + e k + e Benoî à gagner la parie au lancer n Conradicion Finalemen, A n = G G n F n b Par indépendances des lancers P (A n = qp n 6 Soi A l évènemen Alice gagne e B l évènemen Benoî gagne On a A = n 3 A n Comme les (A n n son deux à deux incompaibles alors P (A = On a P (A = p + n=3 + P (A n = q p n = p n=3 Or A B es un évènemen cerain d après 4 e A e B son incompaibles donc P (B = p Lorsque la pièce es équilibrée, P (A = 4 e P (B = Le jeu es équiable si p = p soi p =

5 MP-Lycée Thiers 5 Problème I Formule de Gauss Soi x, + L applicaion f : e x = e e (x ln( es posiive e coninue sur, + Lorsque + : e x, donc puisque x <, f es inégrable au voisinage de + x Lorsque + : e x = e x+, donc f( = o + + ( Finalemen, pour ou x, + l applicaion f es inégrable sur, + donc f es inégrable au voisinage de + a Soi h la foncion définie sur R par h(s = e s ( + s Pour ou s, h (s = e s Donc h es décroissane sur R e croissane sur R + donc adme un minimum en Comme h( = pour ou réel s, + s e s Si < n, on a n e n, donc fn ( e Comme f n ( = si n, on obien pour ou dans, +, f n ( e b Soi x > fixé Posons g n ( = f n ( x pour > e n chaque g n es coninue sur, + la suie de foncions (g n n converge simplemen sur, + vers g : e x En effe soi > fixé Pour n >, g n ( = x e n ln( /n = x e n /n+o(/n = x e e o( g( n les g n son posiives e majorées par g inégrable sur, + (cf définiion de Γ(x On vien de vérifier les hypohèses permean d appliquer le héorème de la convergence dominée n ( On en dédui que n n x d = g n ( d g( d = Γ(x pour ou x, +, Γ(x = 3 On pose pour n enier naurel e pour x, + : I n (x = n f n ( x d ( s n s x du a La foncion s ( s n s x es coninue, posiive sur, De plus ( s n s x e s + s x s inégrable sur, Ceci jusifie l exisence de I n (x En effecuan le changemen de variable s = n, on a I n(x = Comme f n es nulle sur n, +, on a I n (x = n x n ( n ( x d n n n = n x f n ( x d n x es f n ( x d b Noons u e v les foncions de classe C sur, définies par u(s = sx x e v( = ( sn On a u ( = s x e v (s = n( s n Comme x >, on a u(sv(s = e u(v( = Comme s + formule d inégraion par paries e cela donne I n (x = n s Pour n, I n (x = n x I n (x + u(sv(s converge, on peu appliquer la s x ( s n ṣ

6 6 Corrigé du DS 3 c On en dédui par récurrence que I n (x = n x Finalemen I n (x = n! Or (x + k k= n x + n x + n I (x+n Or I (x+n = f n ( x d = n x I n (x D après le résula de la quesion b Γ(x = n!n x (x + k k= s x+n = x + n Pour x, J (x = Pour ou de Or II Formule des complémens π sin(x cos(xd = x, π, sin e cos n ( donc, u n cos n ( sin d = π cosn+ ( n + = = sin(πx D aure par, u = π x On en dédui que n + u cos n ( sin d n n + Si = π ( π, g n = donc g n( = Si apparien à, π, alors g n ( (n + cos n ( = e n ln(cos +ln(n+ Or ln(cos < donc g n( = (g n n converge simplemen sur, π vers la foncion nulle On a g n,, π = Mais u n = u n cos n ( d Si on noe (w n n la suie de foncions définies sur, π par w n ( = cos n (, (w n n es une suie de foncions coninues qui converge simplemen vers la foncion nulle e pour ou dans, π, w n ( Donc d après le héorème de convergence dominée, u n = g n,, π = + e (g n n ne converge pas uniformémen sur, π Par conre pour ou dans Donc a, π avec a >, g n,a, π g n,a, π = e (g n n converge uniformémen sur 3 a On a G n (x = x π g n ( d Si x apparien à d inerverir ie e inégrale donc G n(x = = g n(a car g n es décroissane e posiive sur a, π a, π, π, la convergence uniforme de (g n sur x, π perme Si x =, on a pour ou n, G n ( = Donc (G n converge simplemen sur, π vers une foncion G définie par G( = { si = sinon (G n n es une suie d applicaions coninues qui converge simplemen vers G qui n es pas coninue Donc la convergence n es pas uniforme sur, π car sinon G serai coninue b Noons ψ n la foncion définie sur, π par ψ n ( = G n ( sin(x Pour ou n, ψ n es coninue sur, π e (ψ n n converge simplemen vers la foncion nulle sur, π

7 MP-Lycée Thiers 7 Pour ou n e ou de, π, ψ n ( cos n ( d = e es inégrable sur, π u n Donc d après le héorème de convergence dominée, G n ( sin(xd = c On a J n(x = g n ( cos(x d u n Par inégraion par paries, on a J n(x Or G n ( = e G n ( π k u k u n = G n ( cos(x π + x G n ( sin(xd = J n (x = Avec le résula de la quesion précédene, = u n 4 Pour ou réel x, ( x Jk (x = J k (x Pour prouver cee formule, il fau exprimer J k en foncion de u k J k e u k en foncion de u k grâce à des inégraions par paries On en dédui pour x réel non enier J k(x = J k (x ( u k u k x k Par récurrence sur n, on a donc J n(x = u n ( J (x = x u On obien bien pour x réel non enier, k = ( J n(x x u n 5 a Si x,, alors x,, donc Γ(x Γ( x = n Or (x+k ( x+k = k= k= Γ(x Γ( x = n + x x n n Donc pour x de,, k ( x πx sin(πx k sin(πx πx (n! n x n x (x + k ( x + k k= n+ n (x+k (k x = x (n+ x (k x = x (n+ x (n! ( x ( x Γ(xΓ( x = x k ( x b D après la quesion précédene pour ou x,, Γ(xΓ( x = x π J n (x D après la quesion 4 Γ(xΓ( x = sin(πx u n π E avec la quesion 3c, cela donne Γ(xΓ( x = sin(πx 6 Applicaion : En prenan x =, cela donne (Γ k ( = π e comme Γ e d =, e en faisan le changemen de variable = u, on a ( x (, on a Γ k e u du = ( = π π k,