Mines Math1 PSI Un corrigé

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1 Mines 26 - Mah PSI Un corrigé Préliminaire Le cours nous apprend que pour ou réel α, on a x ], [, ( + x α + En choisissan α /2 e en subsiuan x à x, on a donc α(α (α + x! x ], [, x + a x avec a 2, : a a 2 + 2( + a On monre par récurrence que, a ( 2 - Iniialisaion : c es vrai pour car ( Hérédié : supposons le résula vrai pour un rang On a alors a + ( ( + (2! 4 (! ( + ce qui monre le résula au rang + La formule éan encore valable au rang (a, on a ainsi Idenié de Karamaa x ], [, 4 (2 + 2! (2( +! 4 (! 2 4( (( +! 2 x ( 2 4 x 2 On remarque que pour ou x ], [ e p N, on a x p ], [ e x a x (p+ xf(x p+ x x p+ x p+ f(x p+ + x + + x p x p+ f(x p+ puisque a p+ b p+ (a b p a b p On en dédui que π lim x a x (p+ x p + 3 Soi p N g p : e (p+ es coninue sur R + e on a des problèmes d inégrabilié en e

2 - Au voisinage de, g p ( es inégrable (foncion de Riemann - Au voisinage de, g p ( o(/ 2 par croissances comparées (car p + > e es donc inégrable g p es inégrable sur R + e l inégrale proposée converge donc a foriori Le changemen de variable u (p + (licie car (p + es de classe C sur R + à dérivée ne s annulan pas donne e (p+ d p + Avec la quesion précédene, on a donc immédiaemen lim x a x (p+ x e u du u e (p+ π p + 4 Soi Q R[X] Il exise un enier d e des scalaires c,, c d els que Q d i c ix i La quesion précédene donne i [, d ], lim x a c i (x i x x d e c i (e i En somman ces relaions (linéarié du passage à la limie e du passage à l inégrale, pas de souci pour inerverir les symboles car on effecue une somme FINIE on obien que d lim x a x Q(x x e Q(e d 5 La foncion g : e h(e es coninue par morceaux sur R + (il y a un unique problème de coninuié en où la foncion a une limie finie à droie e gauche e on a des problèmes d inégrabilié en e h éan majorée en module par e, g( e e h es donc inégrable sur R + (le majoran l es Par définiion de h e h(e d [ d 2 ] 2 6 Pour x [, [ fixé, on a x qui end vers quand La suie (a x h(x es ainsi nulle à parir d un cerain rang La série associé es donc convergene (les sommes parielles saionnen à parir d un cerain rang 7 Soi n N Par définiion de h, on a e /n a e /n h(e /n e /n Quand n, e /n e l égalié de Karamaa donne lim n e /n a Comme e x x, on en dédui que a 2 e /n 2 n a e h(e d 2 2

3 Théorème aubérien 8 Comme n [αn], on a S n S [αn] [αn]+ a (n [αn]a n l inégalié provenan de la décroissance de (a Si n [αn] es non nul, c es une quanié > e on peu diviser pour obenir De même, comme [βn] n, on a S [βn] S n [βn] n+ a n S n S [αn] n [αn] a ([βn] na n+ ([βn] na n e quand [βn] n >, S [βn] S n [βn] n a n 9 Comme [x] x [x] +, on a [γn] γn [γn] + Pour γ >, [γn] > pour n assez grand (e end vers e on peu diviser par [γn] pour en déduire γ n [γn] + [γn] Par héorème d encadremen (e comme [γn] on a donc lim n n [γn] γ Comme [γn], l hypohèse fai sur la suie (S n indique que S [γn] [γn] 2 n n e ainsi S [γn] lim 2 γ n n Pour γ > différen de, on écri que n S n S [γn] n [γn] [γn] n ( Sn S [γn] n n e les quesions précédenes monre que cee quanié end vers 2( γ γ L encadremen de la quesion 8 monre que na n es majoré par un erme de limie 2( α α minoré par un erme de limie 2( β β Par définiion des limies, e ε >, n / n n, 2( β β ε na n 2( α α + ε 3

4 Soi ε > Comme 2( x x 2 + x es de limie en, il exise α < < β els que ε 2( β β e 2( α α + ε Pour ces α e β, la quesion précédene donne un rang n e n n, 2( β β 2ε na n 2( α α + 2ε Par définiion, des limies, on a donc na n e donc a n n Marche aléaoire 2 Par indépendance des X i, on a P(X + i,, X n i n n j+ P(X j i j Comme les X i on oues la même loi, P(X j i j P(X j j e donc (en uilisan encore l indépendance P(X + i,, X n i n n j P(X j i j P(X i,, X n i n 3 Par définiion des S n, on a S + S j S +2 S j 2 S n S j n X + j X + + X +2 j 2 X X n j n X + j X +2 j 2 j X n j n j n On peu alors uiliser la quesion précédene pour en déduire que P(S + S j,, S n S j n P(X j, X 2 j 2 j,, X n j n j n On fai alors le raj dans l aure sens e on remarque que X j X 2 j 2 j X n j n j n ce qui donne finalemen S j S 2 j 2 S n j n P(S + S j,, S n S j n P(S j,, S n j n 4 On remarque que A n (S (S + (S n e donc P(A n P(S P S (S +,, S n 4

5 De façon évidene, P S (S +,, S n P S (S + S,, S n S On remarque que les variables S + S,, S n S ne dépenden que de X +,, X n e son donc indépendanes de S qui ne dépend que de X,, X (e puisque les X i son, elles, indépendanes On a donc en fai Remarquons que P S (S +,, S n P(S + S,, S n S P(S + S,, S n S P j,,j n j,,j n (S + S j,, S n S j n P (S + S j,, S n S j n la dernière égalié provenan de l incompaiblié des événemens La quesion précédene donne alors P(S + S,, S n S P (S j,, S n j n e en refaisan le chemin dans l aure sens j,,j n P(S + S,, S n S P(S,, S n P(E n Finalemen, on rouve que P(A n P(S P(E n 5 Soi n N Soi ω Ω ; comme S (ω, il exise un plus grand [, n ] el que S (ω e on a alors ω A n La réunion des paries An,, An n es donc égale à Ω Ces paries éan disjoines, on a donc P(A n P(S P(E n 6 (P(S n x n e (P(E n x n éan des séries enières de rayon de convergence au moins égal à ( P(E n x n si x On peu donc uiliser le héorème sur le produi de Cauchy e écrire que pour x ], [ ( ( P(S n x n P(E n x n u n x n avec u n P(S P(E n Avec la quesion précédene, on a donc ( ( P(S n x n P(E n x n x n x 7 S n (ω es la somme de n quaniés valan ou e ne peu donc êre nul que s il y a auan de que de, c es à dire que si n es pair On a donc n N, P(S 2n+ 5

6 Supposons mainenan n pair e écrivons que n 2p La valeur de S n (ω ne dépend que des valeurs de ω,, ω 2p Il y a 2 2p 4 p choix pour ces valeurs e on a P(S 2p α p 4 p où α p es le nombre de uples (ω,, ω 2p conenan auan de que de Choisir un el uple, c es choisir la posiion des e il y a ( 2p p els choix On a donc 8 On en dédui que pour x ], [, P(S 2p P(S n x n p ( 2p p ( 2p p 4 p 4 p x2p x 2 e donc que P(E n x n x 2 + x x x 9 Considérons la foncion f définie par x ], [, f(x π + x 2 x Comme xf(x π quand x, on peu uiliser la parie B (e la quesion précédene pour obenir π 2 P(E n 2 n Par ailleurs P(T > n P(E n es le erme général d une suie décroissane ((T > n (T > n e le héorème aubérien indique que π 2 P(E n n On a donc 2 On a P(E n (T n N 2 πn (T > n n N E n Par coninuié décroissane des probabiliés (appliqué avec la suie décroissane d ensemble de erme général E E n E n, on en dédui que P(T lim P(E n n 6

7 2 On a (T n (T > n \ (T > n e comme (T > n (T > n, on a P(T n P(T > n P(T > n e P(T x (P(T > P(T > x P(T > + x P(T > x n + x P(E x P(E x P(T > x Pour x ], [, les ermes du membre de droie admeen une limie quand n e, avec l expression des sommes, + x P(T x + (x x x 2 La relaion rese vraie pour x car (T n n N es un sysème comple d événemens (e se li 22 On commence par chercher le DSE de h : x x 2 Pour cela on remarque que (pour x ], [ h x ( (x x 2 ( 2 x 2 4 x2 4 x2+ Par héorème de primiivaion des séries enières, h(x h( + Par unicié des DSE, on en dédui que ( 2 4 (2 + 2 x2+2 P(T 2j ( 2(j j 4 j 2j ( 2(j j 4 j 2j x2j Il nous rese à remarquer que ( 2(j j (2j 2! ((j! 2 (2j! j 2 (j! 2 2j(2j pour en déduire que P(T 2j ( 2j j 4 j (2j 7