DS de physique n 1 - MP2 4h samedi 23 septembre 2017

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1 DS de physique n 1 - MP 4h samedi 3 septembre 017 Ce DS est composé de trois problèmes indépendants qui seront traités sur des copies séparées. La rédaction comme la propreté de la copie seront évaluées au même titre que les connaissances. Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur de texte (coquille ou autre), vous prendrez l initiative de la corriger et poursuivrez la composition en tenant compte de votre correction. Premier problème : utilisation d un filtre en traitement du signal En traitement du signal, il est souvent nécessaire d utiliser des montages électroniques sophistiqués. Le but de cette partie est d étudier un exemple simple de circuit électronique permettant de filtrer certains signaux et d en éliminer d autres. On considère le circuit électronique suivant : C - v e R A R C + v s L amplificateur opérationnel est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire. Aucune connaissance sur l amplificateur opérationnel n est nécessaire dans ce problème. 1 : Étude en régime permanent sinusoïdal La tension d entrée est fournie par un générateur basse fréquence et s écrit v e = E m cos(ωt) où E m est la valeur maximale et ω la pulsation de la tension d entrée. La tension de sortie sera notée v s = V m cos(ωt+ϕ) où V m désigne la valeur maximale de la tension de sortie et ϕ le déphasage de celle-ci par rapport à la tension d entrée. L étude mathématique du filtre sera effectuée en utilisant la notation complexe v e et v s pour ces deux tensions : v e E e j ω = t m On donne la fonction de transfert de ce circuit : 1) Déterminer, en fonction de R, C et ω : a) le gain du filtre, noté G(ω). et v s V e j ( ω = t + ϕ) m vs 1 H( jω) = = v 1 + jrcω ( RC) ω e (avec j = -1) b) le déphasage ϕ, dont on donnera l expression de tan ϕ et pour lequel on donnera l intervalle de variation.

2 ) On souhaite écrire la fonction de transfert sous forme normalisée : H(jω) = v s v e = jσ ω ω ω 0 ω 0 Exprimer les constantes σ (coefficient d amortissement du filtre) et ω 0 en fonction de R et de C. Justifier brièvement la nature du filtre. 3) Donner, en fonction de G(ω), la définition du gain exprimé en décibels (db), noté dans la suite G db. Déterminer le comportement asymptotique du gain en décibels G db, c est-à-dire l expression simplifiée de G db pour ω<<ω 0 et ω>>ω 0. 4) Applications numériques : on donne C = 1µF = 10-6 F et R = 100 Ω. a) Calculer ω 0. b) Tracer, sur feuille millimétrée fournie avec l énoncé, le diagramme de Bode en amplitude du filtre, c est-à-dire la courbe représentative de G db en fonction de ω en échelle logarithmique. On fera varier ω entre 10 et 10 6 rad.s -1. c) Définir, puis calculer, la bande passante du filtre. : Analyse de Fourier La tension d entrée est désormais une tension triangulaire (voir figure ci-dessous) de pulsation ω 0 (définie à la question (1-4)) et de période T 0 = π/ω 0, dont la décomposition en série de Fourier s écrit : E m, valeur maximale de v e, vaut ici E m = 1 V. 8E m 1 1 (t) = cos( ω0t) + cos(3ω 0t) + cos(5ω t) +... π 3 5 ve 0 +E m v e (t) -T 0 0 T 0 / T 0 t -E m On constate expérimentalement que la tension de sortie v s est une fonction sinusoïdale du temps. 1) Définir les termes : fondamental et harmonique de rang n. ) Déterminer la pulsation ω de la tension de sortie. 3) Calculer numériquement la valeur maximale de la tension de sortie. 3 : Étude du circuit en régime transitoire La tension d entrée v e est désormais quelconque. 1) Déterminer, en utilisant l expression de la fonction de transfert donnée à la question 1 l équation différentielle du second ordre qui relie les deux tensions v e et v s.

3 v s (V) ) On suppose que la tension d entrée est un échelon de tension, c est-à-dire que v e (t) = 0 pour t < 0 et v e (t) = E pour t 0, où E est une tension constante. La figure ci-dessus, obtenue avec un logiciel de calculs, donne la variation de la tension de sortie v s en fonction du temps. Les valeurs numériques sont les mêmes que précédemment. a) Quelle est la valeur numérique de la tension E? b) Quelle est la nature du régime transitoire observé? Pourquoi? Quels (brefs) commentaires peut-on faire sur cette courbe? Aucun développement mathématique n est demandé dans cette question. t (s) Fin du premier problème

4 Deuxième problème : Structure de l oxyde de zirconium On utilise l oxyde de zirconium, appelé zircone, dans les piles à combustible. Aucune connaissance préalable sur l élément zirconium (Zr) n est nécessaire pour aborder ce problème. 1. Quelle est la configuration électronique de l atome de zirconium (Z = 40). On énoncera préalablement les deux règles utilisées pour établir cette configuration électronique.. Quelle est la configuration électronique de l ion Zr 4+? La zircone peut être assimilée à un cristal ionique formé de cations Zr 4+ et d'anions O assimilés à des sphères dures de rayons respectifs r + et r. Les cations sont distribués aux noeuds d'un réseau cubique à faces centrées, notée cfc. 3. Représenter la maille conventionnelle d'une structure de cations cfc. Indiquer le nombre de cations par maille. 4. Calculer la compacité de la structure cfc. 5. Indiquer où se situent les sites tétraédriques de cette maille. Combien y en a-t-il? 6. Exprimer le rayon maximal r de la particule sphérique pouvant s'insérer dans ces sites sans induire de déformation en fonction de a, le paramètre de la maille et de r +. Les anions occupent tous les sites tétraédriques de la maille cfc formée par les cations. 7. Déterminer le nombre d'anions O contenus dans cette maille. Indiquer alors la formule de la zircone. 8. Préciser la coordinence d un anion par rapport aux cations et d un cation par rapport aux anions. 9. Exprimer la masse volumique ρ de la zircone en fonction du paramètre de la maille a, de la masse molaire M Zr du zirconium, de la masse molaire M O de l'oxygène et du nombre d'avogadro N A. Données : N A = 6, mol 1, M Zr = 91, g.mol 1, M O = 16,0 g.mol 1, a = 509 pm. Calculer ρ.

5 Troisième problème : Mouvement d une perle sur un cerceau fixe On se place dans le référentiel galiléen R g lié au demi-cercle C fixe. Ce demicercle, de rayon a, de centre O, est contenu dans le demiplan xoy, x > 0, supposé vertical, Ox étant la verticale descendante. L axe Ox est orienté par le vecteur, l axe Oy par le vecteur et le vecteur est défini pour que la base (O,,, ) soit une base orthonormée directe. On notera respectivement et les vecteurs unitaires déduits de et par la rotation d'angle autour de. Le système étudié, une perle M, est un objet quasiponctuel de masse m astreint à se déplacer sans frottement sur C. Un ressort R partait, i.e. sans masse, exerce sur la perle M, une force de rappel = k( ) où est un vecteur constamment colinéaire au vecteur et de norme 0, longueur à vide du ressort. k est la constante de raideur du ressort. L autre extrémité du ressort est relié à un point A situé aux cotes x = a, y = 0, z = 0. La position de M est repérée par l'angle = (, ), [, ]. Le système est placé dans le champ de pesanteur d'accélération = g. de module g constant. A. Étude d'équilibres possibles. Les expressions vectorielles demandées (questions 1, 3, 4 et 5) seront exprimées dans la base (, ). 19. Donner l'expression du vecteur en fonction de a et.

6 0. Donner l'expression du module AM de en fonction de a et. 1. Donner l'expression de la tension du ressort en fonction de a, k, 0 et.. Soit la résultante des forces extérieures appliquées à la masse m. On note la réaction de C sur M et r son module. Donner l'expression de en fonction de a, g, k, 0, m, r et. 3. Donner l'expression de la vitesse de M en fonction de a et de, la dérivée temporelle de. 4. Donner, en fonction de a, g, k, 0, m, et, l'expression du produit scalaire. 5. En déduire, en fonction des mêmes paramètres à l'exception de, l'expression de l'énergie potentielle E p dont dérive la force. 6. Écrire l'expression de l'énergie mécanique totale E m du système. 7. En déduire, lorsque le mouvement de M a lieu, son équation différentielle en fonction de a, g, k, 0, m, et la dérivée seconde temporelle. 8. Déterminer l'expression des positions d'équilibre = i envisageables pour le système. 9. On veut imposer l'existence d'une position d'équilibre pour une valeur 1 0 de comprise entre 0 et (ce qui implique par symétrie une position équivalente 1 entre 0 et ). Encadrer mg avec les autres paramètres du problème pour obtenir un tel équilibre. Donner une interprétation physique de ces conditions. 30. Étudier la stabilité de l équilibre = 0 en présence ou non d un équilibre = 1. B. Étude d'un cas particulier. On se donne ici les relations entre paramètres suivants : a = et 0 =. 31. Vérifier que les conditions établies à la question 11 sont réalisées. Expliciter la position d'équilibre 1. Calculer, pour = 1, en fonction de m, g et a, et commenter. 3. Pour étudier les petits mouvements autour de la position d'équilibre 1, on pose = 1 +, << 1. Établir l'équation différentielle linéaire en de ces petits mouvements. On posera = pulsation naturelle intrinsèque du système masse-ressort libre., où est la