Première Partie : La décomposition en série de Fourier. .e + j 2π

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1 Première Partie : La décomposition en série de Fourier. La linéarité d un système rend pertinente l'analyse harmonique et ses diagrammes de Bode or Fourier montre qu un signal périodique quelconque se décompose en une somme de signaux sinusoïdaux, c'est une propriété remarquable Série de Fourier complexe La fonction x : t-> x(t), définie sur l'intervalle [ t 1,t 1 +T], peut être exprimée comme une série de fonctions : + x(t) = X n.e + j 2π T.n.t n= L'ensemble des fonctions : constitue une base de l'espace vectoriel contenant la fonction x, et les coefficients constituent les projections de la fonction x sur cette base. On utilise le produit scalaire usuel et on obtient, pour le calcul de ces coefficients : 1.2. Spectre fréquentiel Les différentes fréquences de la décomposition en série de Fourier sont données par : f n = n avec n = 0,1,2... T Le spectre fréquentiel et donné par le graphe :{( f, X n )} Soit, physiquement : les amplitudes associées aux différentes fréquences. Ce spectre fréquentiel est donc une manière de représenter un signal périodique, et cela reste valable dans le cas général d'un signal non périodique (d'énergie finie), ce que nous verrons avec la transformée de Fourier (deuxième partie). Le spectre fréquentiel est ici discret, il contient : le niveau continu : valeur moyenne du signal la composante fondamentale, de la fréquence du signal les harmoniques, de fréquences multiples de celle de la fondamentale les fréquences négatives, qui n'ont pas de signification physique directe ; on doit mathématiquement leur présence, au développement de la fonction réelle en série complexe. Ces fréquences négatives disparaissent avec l'utilisation de séries de Fourier réelles.

2 1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions L'impulsion suivante est décomposée en série de Fourier complexe, en choisissant une période T : Tous calculs effectués on obtient pour les coefficients : En prenant comme variable la fréquence discrète : on obtient l'expression suivante : On obtient, pour la représentation du spectre de cette impulsion : Il convient de remarquer que si on examine la somme de la série de Fourier sur tout l'axe des temps, on obtient un signal périodique :

3 Il a donc deux approches possibles : soit on ne s'intéresse qu'à une portion de signal (impulsion sur un intervalle de temps T) et alors la série ne prend de sens que sur cet intervalle, soit on développe sur tout l'axe réel un signal périodique grâce à cette décomposition de Fourier. C'est ce dernier cas qui intéresse en général, car les signaux non périodiques sont traités à l'aide de la transformation de Fourier qui génère un spectre continu (voir plus loin) Séries de Fourier réelles Comme le signal électrique est représenté par une fonction réelle à valeurs réelles, on peut aussi traiter ce cas sans passer par les nombres complexes. On a le développement suivant, pour les séries de Fourier réelles : Les signaux impairs se développent en série de sinus, et les signaux pairs en série de cosinus, ce qui simplifie d'autant les calculs. Le spectre obtenu est unilatéral, d'où l'appellation de séries de Fourier unilatérales. Outre la parité de la fonction (par rapport à l origine des temps), on peut également montrer les conséquences d une «parité par rapport au quart de période» c est à dire si : x(t)=x(t/2-t) - si x(t) est «paire par rapport au quart de période» alors : b 2p = 0 a 2 p+1 = 0 - si x(t) est «impaire par rapport au quart de période» alors : b 2p +1 = 0 a 2 p = 0

4 On montre de façon générale que : T 2 1 T x2 2 a (t).dt = a 0 + n + 2 c est le théorème (ou identité) de Parseval. 0 Sachant que les termes énergétiques sont très souvent proportionnels au carré de grandeurs, on voit que l énergie (ou la puissance moyenne) associée à x(t) périodique est égale à la sommes des énergies (ou puissances moyennes) associées à chacune des composantes de Fourier. n=1 n =1 b n 2 2 Dans l'exemple précédent du train d'impulsions rectangulaires : on obtient, comme développement de Fourier unilatéral : Et pour la représentation graphique du spectre discret (unilatéral) : Remarquons que le spectre unilatéral n'est pas la version tronquée du spectre bilatéral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport à ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral d'un signal sinusoïdal est donné par les deux fréquences : la positive et la négative, et leur amplitude est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral.

5 Prenons alors le cas d un signal carré impair : Donner les expressions des coefficients de Fourier de ce signal. A l inverse on peut donc le reconstruire à partir de ses harmoniques :

6 Remarquez que les amplitudes des harmoniques successives décroissent en 1/n. Montrez que cette décroissance est en 1 2 dans le cas d un signal triangulaire. n Vous réaliserez ce genre de constructions en TP avec le logiciel Synchronie. Attention : on préfère parfois décrire la DSF par les paramètres : amplitude A n et φ n L écriture est alors : x(t) = a 0 + A n cos(2πft ϕ n ) n =1 avec A n = a n 2 + b n 2 cosϕ n = a n a n 2 + b n 2 et sinϕ n = b n a n 2 + b n Exemples d utilisations en sciences physiques a- Envisageons un filtre passe-bande dont le signal d'entrée est une tension périodique. Pour obtenir la réponse du filtre, on envisage la DSF du signal d'entrée, puis la réponse harmonique du filtre pour chaque composante: il y a modification de l'amplitude et de la phase de ces composantes. Le signal de sortie sera périodique, mais avec un spectre complétement modifié, et une allure très différente de celle de l'entrée. Si le filtre est trés sélectif et si sa pulsation centrale ω 0 est celle d'une des harmoniques, la sortie peut ne comporter que ce seul harmonique, et être quasiment sinusoïdale. On aura alors réalisé un analyseur de spectre très sommaire. ATTENTION : Au cours des TP, nous nous placerons dans des situations expérimentales très proches mais différentes de ce modèle : - Le signal étudié est émis par un GBF sur une durée finie et l instrument d analyse en prélève une fenêtre temporelle limitée. - L instrument d analyse est numérique et échantillonne le signal sur la fenêtre pour réaliser une FFT ( différente de la DSF). Nous reviendrons en détail sur la FFT dans la troisième partie de ce document. b- On pince une corde vibrante de longueur L et de tension T en lui donnant une certaine forme initiale. On construit une fonction périodique à partir de la forme initiale de la corde, et on en fait le DSF. La corde va vibrer avec une fréquence fondamentale telle que L = λ/2 et avec des harmoniques qui auront été sélectionnés par la formne initiale de la corde, ce qui va déterminer l'allure du son émis, donc son timbre.

7 Deuxième Partie : La transformée de Fourier. En électronique et en traitement de signal, les signaux ne sont pas tous périodiques, cela représente même l'exception. Le développement en séries de Fourier ne représente donc pas forcément l'outil d'analyse privilégié, puisqu'il est nécessaire pour cela d'avoir des signaux périodiques Transformée de Fourier : définition La transformée de Fourier peut être vue mathématiquement comme un cas particulier de celle de Laplace, en posant p= j.2πf pour la variable fréquentielle. On définit : La fonction X(f) est la transformée de Fourier de la fonction x(t). En traitement de signal, on utilise plus volontiers la variable fréquence que la pulsation, habituellement utilisée en transformée de Fourier Spectre d'amplitude et spectre de phase Dans le cas général, la transformée de Fourier d'une fonction produit une fonction à valeurs complexes.. Ainsi, on peut obtenir deux informations de la fonction transformée de Fourier : Le spectre d'amplitude : Le spectre de phase : 2.3. Exemple : On reprend l'impulsion précédente avec la transformée de Fourier : Equation de l'impulsion : Tous calculs faits, on obtient pour sa transformée de Fourier :

8 On constate que dans ce cas, est une fonction réelle. On peut la représenter graphiquement : Comme X(f) est réel, son spectre de phase se limite aux valeurs 0 ou π, et son spectre d'amplitude a l'allure suivante : 2.4. Remarques Comme pour le développement en séries de Fourier, on assiste à l'apparition de fréquences négatives, qui ne s'interprètent pas directement, mais qui sont néanmoins porteuses d'énergie. La transformée de Fourier ici correspond à l'enveloppe du spectre discret du développement de Fourier. Dans cette transformation de Fourier, toutes les fréquences sont mises à contribution pour la représentation fréquentielle du signal temporel : le spectre est continu. Contrairement au développement en séries de Fourier qui génère une fonction périodique sur tout l'axe réel quelles que soient les valeurs prises par cette fonction en dehors de la période considérée, la transformation de Fourier est appliquée à la fonction agissant sur tout l'axe réel. Il est ainsi créé ainsi une correspondance entre l'espace temporel où le signal évolue, et l'espace fréquentiel un peu plus abstrait. Les électriciens appellent cela la dualité tempsfréquence. Les cristallographes parlent d'espace direct et d'espace réciproque, etc... Comme déjà évoqué précédemment, l'utilité de cette transformation est d'obtenir une autre représentation d'un signal. Cette représentation fréquentielle est essentielle en traitement de signal. La situation est analogue à celle prévalant pour la transformation de Laplace, mais ici l'espace donné par la transformation de Fourier est bien repéré: c'est un espace de fréquences.

9 2.5. A quoi ça sert une TF? On emploie parfois la transformée de Fourier, pour résoudre une équation différentielle, comme nous l'avons fait avec la transformation de Laplace. Ce n'est pas l'utilité principale de cet outil, mais cela permet de faire une remarque concernant les fonctions de transfert. Si on réduit la transformation de Laplace à celle de Fourier, on prend la variable : p=j.2πf Ainsi, la fonction de transfert de Laplace se transforme en celle de Fourier avec cette substitution. Et cette fonction de transfert de Fourier n'est rien d'autre que celle obtenue avec les nombres complexes et qui correspond en fait à la fonction de transfert en régime harmonique. Nous n utiliserons jamais la TF dans ce but mais seulement pour décrire un signal temporel dans l espace des fréquences et analyser ainsi facilement les opérations de filtrage. Par ailleurs, la transformée de Fourier apparaît «naturellement» en optique physique dans le phénomène de diffraction (voir la partie 4 de ce document et le cours sur la diffraction de Fraunhoffer). Dans ce cas on passe de l espace (2D) des longueurs à celui des nombres d onde Transformées de Fourier usuelles - «impulsion» rectangulaire -> valeur absolue du sinus cardinal - dirac -> fonction unité constante - sinusoïde infinie de fréquence f 0 -> deux dirac à -f 0 et f 0 - sinusoïde de durée finie -> sinus cardinaux autour des fréquences -f 0 et f 0 - peigne de dirac de périodicité T -> peigne de dirac de périodicité 1/T Voici les expressions exactes et les représentations graphiques des plus importantes :

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11 La fonction «Triangle»

12 La «Lorentzienne»

13 La «Gaussienne»

14 Le peigne de Dirac L «échelon» de Heaviside

15 Troisième Partie : Calcul numérique de la transformée de Fourier. La transformée de Fourier donne d'une fonction continue l'image d'une fonction continue passant d'un espace infini à un autre, le plus souvent de l'espace des temps à l'espace des fréquences ou des pulsations. On verra également la transformée de Fourier spatiale passant de l'espace réel à 2 dimensions à l'espace 2D des nombres d'onde (Partie 4). Les logiciels de calcul permettent le calcul numérique de la transformée de Fourier, mais il ne peut plus s'agir de fonctions continues sur un espace infini mais plutôt d'une fonction discrétisée sur un domaine donné. On présentera ici l'algorithme utilisé afin de comprendre ce qu'une machine (comme l'oscillo numérique) est capable de traiter et de pouvoir interpréter correctement les résultats fournis par ce traitement numérique. Comme la méthode est particulièrement utilisée dans le traitement du signal, les opérations sont décrites ici pour une fonction dépendant d'une variable temporelle t et l on cherche sa transformée de Fourier en fonction de la fréquence temporelle ν. Les opérations faites pour le calcul conduisent à des limitations intrinsèques qui doivent être connues pour une bonne compréhension du résultat. Rappel sur la transformée de Fourier. Prenons un exemple quelconque de signal f(t) : Soit f(t) une fonction du temps (pouvant être réelle ou complexe), sa transformée de Fourier est définie par : + F(ν) = TF[ f (t)](ν) f (t).e j.2.π.ν.t Dans certains cas, on peut effectuer formellement le calcul sur l espace infini des temps. Par exemple pour la fonction réelle de sinus, on obtient : + j.2.π.ν.t F(ν) = TF[ sin(2πν 0 t) ](ν) sin(2πν 0 t).e dt = 1 2 j δ(ν ν 0 ) δ(ν + ν 0 ) Fonction complexe définie par l'impulsion de Dirac δ. dt [ ] On dira qu'il s'agit de «pics» exactement placés aux fréquences symétriques ν0 et -ν0.

16 Mais les données expérimentales que nous aurons à traiter ne correspondent pas du tout à une fonction continue parfaitement connue sur l espace infini et continu des temps, il s agira plutôt d un signal échantilloné sur une fenêtre temporelle choisie. Premier problème : La fonction n'est pas connue sur une durée infinie, mais sur la durée τ de l'acquisition du signal. La fenêtre d acquisition peut être assez représentative du signal dans plusieurs cas : - le signal est quasi nul en dehors de la fenêtre - le signal est apparemment périodique et la fenêtre contient un nombre entier de périodes - le signal est apparemment périodique et la fenêtre contient un nombre élevé de périodes Souvent on raisonne sur une fenêtre centrée sur l'origine des temps. Si le signal n'est pas initialement centré, il suffit de décaler l'origine des temps, ce qui ne changera la transformée de Fourier que d'un facteur de phase (argument indépendant de la fréquence). Le caractère borné par la fenêtre de la nouvelle intégrale fausse naturellement le résultat comparé à la fonction (éventuellement périodique) effectivement observée. Cette opération de fenêtrage correspond à la multiplication de la fonction "complète" par une fonction rectangulaire définie ainsi g(t) = f (t) si t τ 2,+ τ 2 0 si t τ 2,+ τ 2 soit g(t) = f (t).rect τ ( t) La transformée de Fourier du produit est donc le produit de convolution de la transformée de Fourier de la fonctions complète par la transformée de Fourier de la fonction rectangle qui n'est autre que la fonction sinus G(ν) TF[ g(t) ] = TF[ f (t).rect τ (t)] = TF[ f (t)] TF[ rect τ (t)] cardinal : G(ν) = TF[ f (t)] τ.sin c ( πντ ) C'est donc la troncature de la fonction par cette fenêtre rectangulaire qui est responsable de l'élargissement des impulsions de Dirac en sinus cardinaux. On peut illustrer les conséquences de ce phénomène dans le cas d'une fonction cosinus : [ ] = 1 2. δ ( ν ν 0 ) + δ ( ν + ν 0 ) F(ν) TF cos(2πν 0 t) G(ν) TF rect τ (t).cos(2πν 0 t) G ν [ ] = 1 2. δ ( ν ν 0 ) + δ ( ν + ν 0 ) ( ) = 1 2. τ.sin c π ν ν 0 ( ( )τ ) + τ.sin c ( π ( ν + ν 0 )τ ) ( ) τ.sin c πντ

17 La fenêtre rectangulaire a modifié le «spectre» de la fonction sinusoïdale : => L'élargissement du pic est caractérisé par la première annulation du sinus cardinal aux fréquences On s'aperçoit ainsi que l'élargissement est inversement proportionnel à la largeur de la fenêtre c'est-à-dire à la durée d'acquisition. Dans le cas limite où la durée d'acquisition devient très grande devant la période du signal, la transformée de Fourier tronquée tend vers la transformée de Fourier de la fonctions "complète". Pour éviter les ondulations de la fonction sinus cardinal, on prend des fenêtres plus arrondies que la fonction rectangle. On peut choisir des fenêtres triangulaires (de Bartlett) ou encore : fenêtre de Hann, de Papoulis, de Hamming, de Blackmann... Vous aurez l'occasion de modifier ce paramètre sur les oscillos numériques et dans les programmes de FFT. Par ailleurs ce fenêtrage présente une grande similitude avec l'effet d'un objet diffractant placé sur le chemin d'une onde lumineuse que nous étudierons en Optique Physique (rôle de la transmittance d'un objet diffractant, apodisation de la figure de diffraction).

18 Cas très particulier et pourtant fréquemment étudié à notre niveau : la transformée de Fourier numérique d'un signal périodique. Montrons ici que le choix du fenêtrage pour signal périodique à une grande influence sur le résultat du calcul. On sait que si le signal est périodique de période T, on peut le décomposer en série de Fourier (DSF) : f (t) = a C n.cos 2πnν f t + ϕ n n=1 Son spectre est donc constitué des fréquences multiples d un fondamental : ν p = p.ν f avec p = 0... entiers et ν f la fréquence du fondamental + ( ) = DSF Sa transformée de Fourier est quant à elle constituée d'impulsions de Dirac située aux fréquences ν p Exemple : Soit la fonction somme de deux sinusoïdes (avec un rapport des fréquences égal un rapport d entiers.) f (t) = cos(2πν 1 t) + cos(3πν 1 t) 2 avec ν 1 = 1Hz Cette combinaison linéaire est elle-même périodique de période 2 secondes et sa transformée de Fourier complète est donc constituée de 2 impulsions de Dirac aux pulsations 6,28 Le calcul de la FFT par un appareil numérique semble donner exactement les 2 Dirac attendus si l'échantillon a une durée totale de 6 s par exemple (figure de gauche). Par contre, sur un échantillon de durée de 7 secondes, on voit apparaître des pics supplémentaires inattendus (élargissement de la seconde composante spectrale)(figure de droite). En effet, le spectre de la fonction rectangle est une succession de sinus cardinaux régulièrement espacés centrés sur les fréquences ν p = p.ν f. Ces sinus cardinaux s'annulent aux fréquences ν p,k = p.ν f + k τ avec k * et sont maxima aux fréquences ν p = p.ν f Par ailleurs le spectre obtenu est discrétisé en fréquence : nous verrons en effet que les fréquences pour lesquelles on calcule la FFT sont les suivantes : ν q = q 1 avec q = 1..N (en fait le signal a nécessairement τ pour période fondamentale la durée de la fenêtre) Il faut s'arranger plutôt pour que ces fréquences coïncident avec les zéros du sinus cardinal. Il faut donc, pour être dans ces conditions, que l'égalité suivante soit vérifiée : ν q = q 1 τ = ν p,k = p.ν f + k τ = p T f + k τ avec k * et donc τ = (q 1 k).t f (dans l exemple numérique, 6 secondes représentaient bien un multiple entier de 1 seconde et de 0,667 secondes mais dans le cas d une fenêtre de 7 secondes, ce n était plus possible pour la composante de 0,667secondes)

19 Conclusion : La FFT d'un signal périodique est constituée de Dirac non élargis lorsque la durée d'acquisition est un multiple entier de la période du signal. (Attention : la plupart du temps la combinaison linéaire de deux signaux périodiques ne donne pas un signal périodique et vous vous en rendrez compte en tentant la synchronisation sur une oscillo). Si la période est inconnue, la durée d'échantillonnage taux doit être la plus grande possible devant la période du signal afin de localiser avec précision les pics de la fonction échantillonnée. Limitations dues à l'échantillonnage. La fonction f(t) est échantillonnée par N valeurs numériques f 1,f 2,...,f N mesurées sur une durée τ aux instants : t 1,t 2 = t 1 +δt,...,t N = t 1 +(N-1) δt La durée entre deux mesures ou période d'échantillonnage est : Te=δt= τ N La fréquence d'échantillonnage est : F e ν e 1 T e = N τ Si la fonction f(t) vibre avec une fréquence supérieure à Fe, le spectre obtenu numériquement ne pourra en rendre compte : il y a perte d'information. Le théorème de Shannon montre que les composantes spectrales de f supérieures à Fe/2 seront ainsi perdues. Théorème de Whittaker et Shannon. Ce théorème précise dans quelles conditions on peut reproduire exactement un signal à partir de ses échantillons. L'idée de sa démonstration est intéressante dans la mesure où elle permet de voir la différence fondamentale qui existe entre la transformée de Fourier d'une fonction et la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée correspondante. Soit un signal représenté par le fonction f(t) à bande limitée en fréquence, c'est-à-dire dont le spectre est à support fini. (On remarquera au passage qu'un signal physiquement réalisable est de durée finie donc il ne peut pas être à bande limitée) On définit la fonction échantillonnée fs de par : f s (t) δ Te (t).f (t) où δ Te (t) est le peigne de Dirac de pas Te : δ Te (t) δ( t q) avec q T e + q=

20 La fonction fs représente un échantillonnage idéal de la fonction f, la fréquence d' échantillonage étant Fe. F s (ν) TF[ f s (t)] ν F s (ν) = TF[ f (t)]( ν) T e.δ 1 Te + ( ) = TF δ Te (t).f (t) ( ) = TF [ f (t) ]( ν) TF δ T e (t) ( ) F s (ν) = F(ν q ) = F(ν q.ν e ) T e q= + q= ν + ν (ν) = F(ν) T e. δ(ν.t e q) =F(ν) δ(ν q ) T e q= + q= On voit que Fs est la superposition de fonctions F régulièrement espacés de ν e = F e. On voit également sur la figure la condition sur la fréquence maximale du spectre de la fonction non échantillonnée pour que les différentes fonction F ne se recouvrent pas : ν MAX < ν e ν MAX ou bien ν e > 2.ν MAX On peut alors récupérer l intégralité de f en faisant passer Fs à travers un filtre rectangulaire de largeur 2.ν MAX Que l on peut écrire : F(ν) = F s (ν).rect 2νMAX (ν) Ainsi, un signal peut exactement être reconstitué à partir d'un échantillonnage si la fréquence Fe d' échantillonnage est supérieure au double de sa fréquence maximale. 1 Récupération par la transformée de Fourier inverse dans le cas limite où T e = : 2.ν MAX f (t) = TF 1 [ F(ν) ] = TF 1 1 F s (ν).rect 2νMAX (ν) = TF [ F s (ν)] TF 1 rect 2νMAX (ν) ( ) 2.ν MAX.sin c 2.π.ν MAX.t f (t) = δ Te (t).f (t) ( ) + f (t) = δ( t q).f (t) T e 2.ν.sin MAX c 2.π.ν MAX.t q= ( ) + f (t) = T e. δ(t q.t e ).f (t) 2.ν.sin MAX c 2.π.ν MAX.t q= + ( ) f (t) = T e. f (q.t e ).δ(t q.t e ) 2.ν MAX.sin c 2.π.ν MAX.t q= + f (t) = T e. f (q.t e ). 2.ν MAX.sin c 2.π.ν MAX. t q.t e q= ( ) + ( ( )) = f (q.t e ). t sin c π. q T e C est donc l association du caractère illimité (en fréquence) de la bande d'un signal physique à l'échantillonage de la fonction ne permet donc pas de retrouver exactement un signal physique par cette méthode. q=

21 Calcul numérique de la transformée de Fourier (FFT) Tout cela est bien joli mais nous ne pouvons pas travailler sur des fonctions continues (nombre de points infini) et le peigne de Dirac n est pas très physique!! Comment allons nous procéder? Prenons l exemple ici d une fonction f non nécessairement centrée sur l origine et approximons sa TF par la méthode des rectangles. Pour limiter les erreurs, les échantillons sont pris au centre des intervalles d approximation : t p = t 0 + T e 2 + ( p 1).T = t + ( p 1).T e 1 e On note fp la valeur de f en t p La période d échantillonnage est T e et on prend une fenêtre de N valeurs (τ = N.T e ). L approximation de la transformée de Fourier rapide de f(t) consiste déjà à se limiter à cette fenêtre : F(ν) TF f (t) N + [ ] f (t).e j 2πνt dt f (t).e j 2πνt dt f (t p ).e j 2πνt.T e F(ν) f p.e j 2πν (t 1+( p 1).T ) e.t e T e.e j 2πνt 1. f p.e j 2πν ( p 1).T e p=1 Comme le théorème de Shannon montre que le calcul de F(v) n a de sens que pour des fréquences suffisemment basses relativement à la fréquence d échantillonnage, on pourra calculer l intégrale de Fourier (devenue somme) pour les fréquences discrètes inférieures à la fréquence d échantillonnage : ν q = q 1 = ( q 1).ν e avec q = 1...N entiers τ N On remarque donc qu à partir d une liste de N valeurs de f p on obtiendra une liste de N valeurs de F q t 0 +τ t 0 N p=1 N p=1 On obtient alors l expression suivante : q 1 j 2π τ F q F(ν q ) = T e.e t N 1. f p.e F q T e.e j 2π q 1 N.T e t 1. N p=1 f p.e p=1 ( q 1)( p 1) j 2π N q 1 j 2π τ ( p 1).T e Les logiciels de calcul fournissent souvent par leur procédure FFT cette somme : S q N p=1 f p.e ( q 1)( p 1) j 2π N

22 De sorte que l on peut écrire : F q T e.e j 2π q 1 t 1 N.T e.s q On peut séparer les relations entre modules et arguments : L algorithme FFT ( ) = T e. S q et ϕ ( ν q ) arg F( ν q ) F ν q = 2.π.(q 1).t 1 N.T e + arg S q On souhaite donc calculer la somme : S q N p=1 f p.e ( q 1)( p 1) j 2π N Supposons que N est pair (N=2.M) et distinguons dans cette somme les indices pairs (p=2k avec k entier) et les indices impairs (p=2k-1 avec k entier) : S q = M = N 2 k=1 f 2k.e q 1 j 2π ( )(2k 1) 2.M + f 2k 1.e q 1 j 2π ( )(2k 2) 2.M S q = e S q = e q 1 j 2π ( ) q 1 j 2π ( ) M = N 2 q 1 j 2π ( )(2k 2) 2.M 2.M. f 2k.e + f 2k 1.e j 2π k=1 2.M.S q( ppairs) + S q( pimpairs) M = N 2 k=1 ( q 1)(2k 2) 2.M Les deux sommes Sq(ppairs) et Sq(pimpairs) se calculent exactement de la même façon que Sq «complet» de sorte que le calcul d une FFT de N points se ramène à celle de deux FFT de N/2 points. Ainsi, si N/2 est luimême pair, on peut itérer le procédé et appliquer la méthode à chacune des sommes (paire et impaire) précédentes. D où le choix d un N puissance de 2 pour avoir un calcul rapide : N=2 m. On montre alors que le nombre d opérations passe de N 2 à (N.m/2) : En effet le calcul direct d une somme FFT de rang N nécessite N 2 multiplications (et N.(N-1) sommes ) alors que le calcul récursif ne nécessite que (m*n/2) multiplications (le même nombre d additions et le même nombre de soustractions). Pendant m étapes on décompose la somme en sa partie paire et sa partie impaire et le passage d une étape à la suivante nécessite N/2 multiplications, N/2 sommes et N/2 soustractions (et ce quelquesoit le rang de l étape sur les m) Ceci entraîne un gain de temps considérable pour le calculateur quand N est grand. Par exemple on a déjà un gain de temps d un facteur 100 pour N=1024=2 10 L algorithme le plus connu est celui de Cooley-Tukey mais il existe des algorithmes de transformée de Fourier rapide pour tous les N (mêmes premiers (non-factorisables))

23 Application à des signaux types Exemple 1 Soit la fonction : f (t) = Heaviside(t).e 2πat.cos( 2πν 0 t) Il s agit d une sinusoïde amortie débutant à t=0 Sa TF (exacte) est la fonction : F( ν) TF[ f (t)] = 1 Son spectre continu présente un pic à 30 Hz Le calcul numérique du spectre est conduit en échantillonnant sur une durée de τ = 0,25s Avec N=2 6 =64 points à partir de t 1 =0. 2π. a + jν ( a + j( ν ν 0 )). a + j ν + ν 0 La fréquence d échantillonnage est ν e = 1 = N T e τ = 64 = 256 Hz 0,25 Le spectre obtenu «numériquement» présente un maximum voisin de l entier q=9 soit la fréquence approximative de ν q = q 1 = 8 τ 0,25 = 32Hz proche de ν 0 Le spectre présente par ailleurs deux parties symétriques l une de l autre. ( ( )) Pour comprendre ce phénomène, il suffit de se souvenir que ce n est pas la TF de f que l on calcule, mais celle de la fonction échantillonnée fs. Son spectre est donc la succession de spectres de f régulièrement espacés de Fe. Cette propriété de la transformée de Fourier d une fonction échantillonnée s appelle le phénomène de repliement du spectre ou aliasing. Remarques pratiques : -Augmentation du domaine fréquentiel exploré : Il suffit d augmenter N pour une fenêtre inchangée mais l incrément de fréquence 1 ne sera pas τ modifié et donc la résolution en fréquence n est pas améliorée. Si on double N, le domaine fréquentiel exploré double mais la durée du calcul double aussi approximativement.

24 -Augmentation de la résolution : Dans cet exemple, le maximum du spectre n est pas localisé avec précision. On peut être amené à augmenter la résolution, c est à dire le nombre de points de calcul en maintenant le domaine fréquentiel inchangé : Donc N et τ doivent augmenter dans les mêmes proportions. Dans la figure suivante, on a quadruplé les deux : N=256 et τ =1s Exemple 2 Choisissons un signal périodique «reconstitué» présentant un spectre «théorique» évident pour mettre en évidence le rôle des paramètres précédents : Un pseudo carré limité à deux harmoniques en plus du fondamental. Les figures sont obtenues avec la procédure FFT de Maple V. fe est la fréquence d échantillonnage f 1 est la fréquence du fondamental m est la puissance de 2 du n max : nombre de points de mesure n max =2 m Mise en évidence du repliement : On choisit une fréquence d échantillonnage juste égale au double de l harmonique de fréquence la plus élevée. s1 := cos(2 Pi f 1 t) - 1/3 cos(6 Pi f 1 t) + 1/5 cos(10 Pi f 1 t) f e := 1000 f 1 := 100 m := 9 n max := 512 A 500 Hz les deux pics (attendu et replié) se superposent risquant de fausser l interprétation.

25 Modification de la résolution : La fréquence d échantillonnage est portée à 2000 pour que le repliement ne soit plus gênant points fe := 2000 f1 := 100 m := 7 nmax := points fe := 2000 f1 := 100 m := 8 nmax := points fe := 2000 f1 := 100 m := 10 nmax := 1024

26 Bon et alors Qu est-ce que cela nous donne sur un oscillo numérique? Mesure FFT FFT (Fonction 2) permet de calculer la transformation de Fourier rapide en utilisant les entrées verticales (1 et 2), ou le signal de la fonction 1. Cette fonction transforme l'enregistrement temporel numérisé de la source spécifiée dans le domaine de la fréquence. Lorsque la fonction est sélectionnée, le spectre de la FFT est tracé sur l'écran de l'oscilloscope sous forme du rapport dbv/fréquence. L'indicateur de l'axe horizontal passe de temps en Hertz et l'indicateur vertical de volts en dbv. Lorsque le module de mesure/stockage est ajouté à un oscilloscope de la série Les mesures FFT sont basées sur l'échantillonnage équidistant, le nombre de points de l'enregistrement étant de 1024 et 1'affichage de la FFT étant étalonné en dbv. Cette unité de mesure est référencée à 1 Volt efficace. Si l'affichage doit se faire en dbm, l'utilisateur doit appliquer une charge externe de 50 Ω (HP 10100C ou équivalent), puis effectuer la conversion suivante : dbm=dbv DC Value (valeur continue) : le calcul de la FFT génère une valeur continue incorrecte car il ne prend pas en compte le décalage au centre de l'écran et est 1,41421 fois supérieur à sa valeur réelle. La valeur continue n'est pas corrigée pour que les composantes de la fréquence proches du courant continu soient correctement représentées. Toutes les mesures de courant continu doivent être réalisées en mode oscilloscope normal. Aliasing (repliement) : lorsque la fonction FFT est utilisée, il est important de penser au phénomène du repliement. L'utilisateur doit donc avoir certaines connaissances concernant le contenu du domaine de la fréquence et prendre en considération la fréquence d'échantillonnage réelle, la bande d'analyse et la bande passante verticale de l'oscilloscope lors des mesures FFT. La fréquence d'échantillonnage est brièvement affichée lorsque vous appuyez sur la touche ± Le repliement se produit lorsque le nombre d'échantillons capturés pour chaque cycle du signal d'entrée est insuffisant pour mesurer le signal. C'est le cas chaque fois que la fréquence du signal d'entrée est supérieure à la fréquence de Shannon (ou Nyquist ) (fréquence d'échantillonnage divisée par 2). Lorsqu'un signal est replié, les composantes les plus élevées de la fréquence sont représentées à une fréquence moins élevée sur le spectre de la FFT.

27 La figure précédente illustre ce phénomène. Pour le signal A, la fréquence d'échantillonnage est de 200 kéchantillons/s et 1'oscilloscope affiche donc le spectre correct. Pour le signal B, la fréquence d'échantillonnage est réduite de moitié (100 kéchantillons/s), ce qui fait que les composantes du signal d'entrée supérieures à la fréquence de Nyquist sont repliées à l'écran. Repliement La bande d'analyse couvrant les valeurs de 0 à la fréquence de Nyquist, la meilleure manière d'éviter le repliement consiste à vérifier que la bande d'analyse de fréquences est supérieure aux fréquences du signal d'entrée. Spectral Leakage (fuite au niveau du spectre) : les mesures étant basées sur l'échantillonnage équidistant, à moins que le nombre de cycles du signal échantillonné dans l'enregistrement soit un nombre entier, une discontinuité est créée à la fin de l'enregistrement. On parle alors de fuite. Pour minimiser la fuite au niveau du spectre, des fenêtres approchant zéro doucement au début et à la fin du signal sont utilisées comme filtres pour la FFT. Le Module de mesure/stockage propose quatre fenêtres: rectangular (rectangulaire), exponential (exponentielle), hanning (de Hanning) et flattop (à sommet plat). Pour plus d'informations sur les fuites, reportez-vous à la Note d'application HP 343: «The Fundamentals of Signal Analysis» (Bases de l'analyse de signal). Utilisation de la FFT 1 Appuyez sur ±. 2 Appuyez sur la touche de fonction Function 2 ON OFF(fonction 2 active/inactive) pour activer la fonction mathématique numéro 2. 3 Appuyez sur la touche de fonction Function 2 Menu (menu de la fonction 2). 4 Appuyez sur la touche de fonction Operand (opérande) jusqu'à ce que la source voulue soit sélectionnée. F2 utilise le signal résultat de la fonction 1. 5 Appuyez sur la touche de fonction Operation jusqu'à ce que FFT soit sélectionné. Les résultats (F2) sont affichés à l'écran. 6 Appuyez sur la touche de fonction Units/div (unités par division) et faites tourner le bouton rotatif le plus proche de la touche Cursors (curseurs) pour définir la sensibilité verticale du signal résultant. 7 Appuyez sur la touche de fonction Ref Levl (niveau de référence) et faites tourner le bouton rotatif le plus proche de la touche Cursors (curseurs) pour définir le niveau de référence (ligne du réticule du haut) du signal résultant. 8 Appuyez sur la touche de fonction FFT Menu (menu de la FFT).

28 Un menu de cinq touches de fonction, dont quatre concernent la FFT, apparaît : Cent Freq (fréquence centrale): permet de centrer le spectre de la FFT sur la fréquence souhaitée. Sélectionnez l'option puis faites tourner le bouton rotatif le plus proche de la touche Cursors (curseurs) pour affecter à la fréquence centrale la valeur voulue. Freq Span (bande d'analyse): permet de définir la largeur totale du spectre de la FFT (c'est-à-dire du réticule de gauche au réticule de droite). Sélectionnez l'option et faites tourner le bouton rotatif le plus proche de la touche Cursors (curseurs) pour affecter à la bande d'analyse la valeur voulue. Pour plus d'informations sur l'utilisation de la bande d'analyse pour dilater l'affichage, reportez-vous à la partie Conseils pratiques concernant les mesures FFT (paragraphe suivant). Move 0 Hz To Left (déplacer le 0 Hz vers la gauche): le fait d'appuyer sur cette touche modifie la fréquence centrale de manière à ce que le réticule le plus à gauche représente 0 Hz. Window (fenêtre): permet de sélectionner l'une des quatre fenêtres. Sélectionnez l'option et faites toumer le bouton rotatif le plus proche de la touche Cursors (curseurs) pour choisir la fenêtre. La fenêtre rectangular (rectangulaire) est utile pour les signaux transitoires et les signaux pour lesquels l'enregistrement temporel contient un nombre entier de cycles. La fenêtre hanning (de Hanning) s'avère utile pour la résolution de fréquence et pour une utilisation générale, notamment pour séparer deux fréquences proches ou pour effectuer des mesures de fréquence. La fenêtre flattop (à sommet plat) est la mieux adaptée pour effectuer des mesures d'amplitude de crête sur une fréquence. Enfin, la fenêtre exponential (exponentielle) est la mieux adaptée à l'analyse des signaux transitoires. Previous Menu (menu précédent): permet de revenir au menu de touches de fonction précédent. 9 Appuyez sur la touche correspondant au numéro de la voie source pour inhiber son affichage et obtenir l'affichage de la FFT avec des vecteurs reliant les échantillons (liaison des points). Le spectre de la FFT (F2) peut être affiché, mesuré ou enregistré. 10 La touche Cursors (curseurs) propose deux choix supplémentaires pouvant être utilisés pour mesurer ou déplacer le spectre de la FFT. Appuyez sur Cursors. Find Peaks (chercher les crétes): le fait d'appuyer sur cette touche positionne Vmarkerl et le marqueur de début (f1) sur la crête dont l'amplitude est la plus importante, et Vmarker2 et le marqueur de fin (f2) sur la crête dont l'amplitude est la seconde plus importante. La valeur des marqueurs en dbv ou en fréquence (selon le curseur actif) est automatiquement affichée au bas de l'écran de l'oscilloscope. La différence en dbv ( V) ou en fréquence ( f) entre les deux crêtes est également affichée. Move fl To Center (placer fl au centre): le fait d'appuyer sur cette touche fait passer le réticule central (c'est-à-dire la fréquence centrale) à la fréquence actuelle du marqueur fl. S'il est impossible de trouver fl, un message est affiché à l'écran.

29 Le spectre de la FFT ci-dessous a été généré suite à la connexion du signal de réglage de la sonde de la face avant à l'entrée 1. Paramétrez Time/Div (temps par division) sur 500 s/div, Volts/Div sur 100 mv/div, Units/div (unités par division) sur db, Ref Level (niveau de référence) sur dbv, Center Freq (fréquence centrale) sur khz, Freq Span (bande d'analyse) sur khz et window (fenêtre) sur Hanning. Conseils pratiques : mesures FFT Les mesures FFT sont plus lisibles lorsque VECTORS (vecteurs) est activé. Le mode Vector Display (affichage des vecteurs) est activé depuis le menu DISPLAY (affichage). Activez les vecteurs (ON) puis appuyez sur la touche STOP pour afficher les domaines Temps et Fréquence en même temps. Le simple fait de désactiver une voie (OFF) permet également d'afficher les vecteurs sur la trace FFT en temps réel. Le nombre de points capturés pour l'enregistrement FFT est toujours de 1024, et lorsque la bande d'analyse est au maximum, les 1024 points sont affichés. Une fois le spectre de la FFT affiché, les commandes de la bande d'analyse (Freq Span) et de la fréquence centrale (Center Freq) sont utilisées de la même manière que celles d'un analyseur de spectre pour observer plus en détail la fréquence qui vous intéresse. Placez la partie souhaitee du signal au centre de l'écran et faites diminuer la bande d'analyse pour augmenter la résolution de I'écran. Au fur et à mesure que la bande d'analyse diminue, le nombre de points affichés diminue et l'affichage est dilaté. Lorsque le spectre de la FFT est affiché, utilisez les touches + et Cursors pour passer des fonctions de mesure aux commandes du domaine Fréquence dans le menu FFT. Reportez-vous à la fin du manuel pour les menus. Le fait de diminuer la fréquence d'échantillonnage réelle en choisissant une vitesse de balayage plus lente permet d'augmenter la résolution des basses fréquences sur l'affichage de la FFT, mais aussi d'augmenter les risques d'affichage d'un repliement. Comme l'affichage du balayage principal inclut toujours 1024 échantillons, la résolution en fréquence sera de 1/1024 de la fréquence d'échantillonnage effective. La résolution réelle de l'affichage n'aura pas cette finesse car la forme de la fenêtre limitera la capacité de la fonction FFT à séparer deux fréquences proches. Une bonne manière de tester la capacité de la FFT à séparer deux fréquences proches consiste à observer les bandes latérales d'un signal sinusoïdal modulé en amplitude. Par exemple avec une fréquence d'échantillonnage réelle de 2 Méchantillons/sec, un signal de 1 MHz modulé en amplitude peut être résolu à 2 KHz. Le fait d'augmenter la fréquence d'échantillonnage à 4 Méchantillons/sec limite la résolution à 5 khz.

30 Optimisation de la précision verticale pour les mesures de crête: Vérifiez que l impédance de la source et l'atténuation de la sonde sont correctement paramétrées. L'impédance et l'atténuation de la sonde sont définies depuis le menu CHANNEL si l'opérande est une voie. Définissez la sensibilité de la source de manière à ce que le signal d'entrée occupe pratiquementtout l'écran mais ne soit pas tronqué. Utilisez la fenêtre flattop (à sommet plat). Paramétrez la sensibilité de la FFT sur une plage sensible, telle que 2 db/division. Optimisation de la précision en fréquence pour les crêtes: Utilisez la fenêtre Hanning (de Hanning). Utilisez les curseurs pour placer le curseur fl sur la fréquence qui vous intéresse. Appuyez sur la touche de fonction move fl to center. (placer fl au centre). Ajustez la bande d'analyse pour que le curseur soit mieux placé. Revenez au menu du curseur pour régler plus précisément la position du curseur fl.

31 Quatrième Partie : la transformée de Fourier dans le domaine «spatial». Nous avons surtout vu la transformée de Fourier d un signal temporel. On conçoit donc aisément qu un signal audio numérisé puisse être traité (filtré, codé, compressé ) après avoir été «traduit» dans le domaine fréquentiel. Mais l analogie formelle avec la diffraction et le codage numérique d une image (niveaux de «gris» de chaque pixel) nous permettent d entrevoir un nouveau domaine de prédilection pour la FFT : le traitement d image. Utilisation de la FFT pour le filtrage spatial Document diffusé sur le NET par Nicolas EDIBE, Christian VIVET et Adel MABROUR de SUPELEC Metz. Qu'est ce qu'une image? Une image est une répartition d'intensités lumineuses dans un plan, donc un signal à deux dimensions. Elle peut être continue ( par exemple une fonction f(x,y) ) ou discrète : c'est alors un tableau ou une matrice de nombres ( c'est le cas en particulier des images traitées par ordinateur). L'intensité en un point de l'image peut être représentée par un nombre. Ce sera par exemple le niveau de gris pour une image en noir et blanc. On aura alors affaire à une image " réelle " car le niveau de gris sera un nombre réel. Mais il existe aussi des images " complexes " ou l'intensité en un point est représentée non plus par un nombre réel mais par un nombre complexe. Cette distinction est importante pour l'étude de la transformée de Fourier, car la plupart des transformées de Fourier sont des images complexes. Définition de la transformée de Fourier à 2D Soit f(x,y) une fonction à deux variables représentant l'intensité d'une image au point d'abscisse x et d'ordonnée y. La transformée de Fourier de cette image est donnée par : Lorsque vous aurez vu l optique physique, vous reconnaitrez ici l expression de la «diffraction à l infini» Les deux variables u et v représentent les fréquences spatiales de l'image selon les directions Ox et Oy respectivement. NB : Les fréquences spatiales s'expriment en cycles ou en radians par unité de longueur, alors que les fréquences temporelles ( auxquelles on a plus souvent affaire dans le domaine des télécommunications) s'expriment en cycles ou en radians par unité de temps. L'amplitude et la phase Soit f(x,y) un point de l'image d'origine et F(u,v) un point de la transformée de Fourier. Nous voyons d'après l'expression (1) que F(u,v) est en général un nombre complexe, même si f(x,y) est un nombre réel (nous nous restreindrons dans le reste de l'exposé à ce cas). F(u,v) possède donc une amplitude et une phase. On peut choisir de représenter l'une ou l'autre. Nous ne nous intéresserons qu'à l'amplitude. On voit également d'après l'expression (1) que cette amplitude est à symétrie centrale, autrement dit quels que soient u et v, F(u,v) = F(-u,-v) (toujours si f(x,y) est une image réelle).

32 Fonctions de base Examinons d'abord les transformées de Fourier les plus simples: Dans l'équation (1), on a exp(-2pj (ux+vy))=cos(2p (ux+vy))-j.sin(2p (ux+vy)) On peut interpréter la transformée de Fourier comme une évaluation du degré de ressemblance (cf convolution) entre la fonction f les fonctions cosinus et sinus à différentes fréquences. Les images qui sont de purs cosinus ou de purs sinus ont des transformées de Fourier particulièrement simples. Nous avons ici deux images avec leur transformée de Fourier juste en dessous. La première représente un cosinus horizontal de huit cycles et la deuxième un cosinus vertical de 32 cycles. Chaque transformée de Fourier est théoriquement constituée de trois points (maintenant que vous avez lu la troisième partie du document vous savez que les autres sont les extrémas relatifs de sinus cardinaux dus au «fenêtrage» qu on appelle aussi effet de bord dans le cas d une image ) On reconnaît aussi naturellement la figure de difraction de pupilles diffractantes constituées de «réseaux». Le point central représente la moyenne de l'intensité de l'image d'origine. Les deux autres points représentent la fréquence (verticale ou horizontale) des cosinus. Plus la fréquence est élevée plus les points sont espacés. Remarque : La première image dont on prend la transformée est invariante selon l'axe des y. C'est pour cela que la transformée de Fourier ne peut être non nulle que pour v =0.

33 Bases de l'interprétation des transformées à deux dimensions Rotations et effets de bord : En général la rotation de l'image se traduit par une rotation correspondante de sa transformée de Fourier. Cependant c'est sans tenir compte des effets de bord. Reprenons en effet le premier des deux exemples précédents et faisons subir une rotation à l'image d'origine. Observons le résultat : A première vue la transformée de Fourier de la deuxième image semble fausse ; elle a en fait subi un effet de bord important, problème que nous avons déjà évoqué. Il vient du fait que la transformée de Fourier traite l'image comme si elle faisait partie d'une plus grande image constituée d'une répétition à l'infini (dans les deux directions Ox et Oy) du même motif. Sur cette dernière image apparaissent des zones de rupture qui correspondent à de nouveaux termes dans la transformée de Fourier. Une manière de contourner ce problème serait de " lisser " les contours de l'image pour supprimer les zones de rupture.

34 En haut a droite nous avons la transformée de Fourier de l'image non lissée ; en bas à droite la transformée de Fourier de l'image non lissée, mais sans effets de bord ; en bas à gauche celle de l'image dont on a lissé les bords. Lignes perpendiculaires Nous pouvons observer dans les exemples précédents que lorsqu'il y a dans l'image d'origine des lignes fortes, apparaissent dans sa transformée de Fourier des lignes perpendiculaires à ces lignes fortes. Ceci peut se retrouver dans d'autres exemples : Le mur de l'image de gauche est composé de briques réparties avec une certaines périodicité selon les composantes horizontales et verticales ; aux différentes couches de briques ( en verticale) correspond dans la transformée de Fourier du dessous la ligne verticale, qui est une ligne dominante. Aux différents espacements de briques (en horizontale) correspond dans la transformée de Fourier la ligne horizontale. Les périodicités verticales et horizontales des briques se retrouvent dans la transformée de Fourier sous forme de points ou de raies, régulièrement espacés, qui strient les lignes de la transformée.

35 Les cubes de l'image de gauche laissent apparaître des arêtes lumineuses (les cubes se détachent sur le fond). A chacune de ces arêtes correspond sur la transformée de Fourier une ligne qui lui est perpendiculaire. On peut remarquer que les lignes de la transformée vont facilement vers les hautes fréquences, ce qui traduit la force des contrastes des arêtes de cubes. On retrouve ces correspondances en prenant les transformées de Fourier d'une série de lettres : Remarque : dans beaucoup de transformées de Fourier il subsiste les deux lignes verticales et horizontales passant par l'origine. Elles viennent des effets de bord précédemment évoqués. Filtres de fréquence Prenons les transformées de Fourier de quelques images moins régulières :

36 La transformée de l'image de gauche contient, outre les habituelles lignes d'effet de bord, une ligne transversale qui correspond probablement au chapeau qui barre l'écran et qui contraste nettement avec les cheveux et avec la plume. La transformée de l'image du babouin est plus claire sur les bords, ce qui traduit une présence plus importante de hautes fréquences. On peut observer très clairement le filtrage fréquentiel des images en regardant leur transformée de Fourier. Soit l'exemple de la fille au chapeau. On lui applique un filtre passe-bas, qui élimine donc les hautes fréquences : l'image d'origine perd de sa définition (les contours sont moins nets). Quant à la transformée de Fourier, elle se voit amputée de tout ses bords, qui dépassent une certaine fréquence. On peut aussi lui appliquer un filtre passe-haut, qui élimine toutes les basses fréquences :