5 Analyse de Fourier. 5.1 Aspects théoriques Analyse de Fourier

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1 Responsable : J.Roussel Objectif Ce TP est une initiation à l analyse de Fourier. Nous verrons notamment comment une analyse spectrale permet de remonter à la courbe de réponse d un filtre électrique. Prérequis Revoir le cours d électricité (régime sinusoïdal). 5.1 Aspects théoriques Analyse de Fourier Supposons un signal temporel périodique y(t) de période T. On a donc y(t) =y(t + T ) t Toute l information du signal se trouve dans un motif de durée T qui se répète f = 1 /T fois en une seconde. f désigne la fréquence du signal. Le théorème de Fourier énonce sous certaines conditions mathématiques que l on supposera valides ici qu un signal périodique de fréquence f se décompose en une somme infinie de sinus et cosinus de fréquence f, 2f, 3f, etc. Formellement on a y(t) =a 0 + a n cos(2finft)+b n sin(2finft) =a 0 + c n cos(2finft + Ï n ) (5.1) Il s agit de la décomposition de Fourier d un signal périodique. a 0 et c n sont les coe de fourier et dépendent de la forme du signal. Le coe cient a 0 représente la valeur moyenne du signal y(t) : cients a 0 = 1 T T 0 y(t)dt 37

2 c n est le coe cient de l harmonique de rang n et s obtient à l aide des intégrales suivantes : Y Ò _] b n = 2 T y(t) sin(2finft) dt c n = a 2 n + b 2 n avec T 0 _[ a n = 2 T y(t)cos(2finft) dt T 0 Spectre d un signal La façon la plus classique de représenter un signal temporel est de tracer le graphe de y(t). Une autre consiste à représenter les coe cients de la décomposition en fonction de la fréquence f n = nf. On obtient alors une représentation spectrale. Le spectre d un signal périodique est discret puisque les coe cients ne sont définis que pour des fréquences particulières (f n = nf). Par exemple, on montre qu un signal carré d amplitude crête-à-crête 2A se décompose en série de Fourier comme suit : y(t) = 4A fi 5sin(2fift)+ 1 3 sin(2fi(3f)t)+1 5 sin(2fi(5f)t)+1 7 sin(2fi(7f)t) On obtient donc des harmoniques impaires et les coe cients varient en 1/n. A y 4A fi c k T t (a) Représentation temporelle. f (Hz) f 3f 5f 7f (b) Représentation spectrale Figure 5.1: Signal carré et son spectre. Théorème de Parseval Pour un signal périodique décomposable en série de Fourier, on a l égalité : y(t) 2 = a c 2 n (5.2) 2 où y(t) 2 désigne la moyenne temporelle du signal au carré (en électricité cette grandeur est la valeur e cace au carré). Ce théorème s interprète de façon simple : il traduit le fait que la puissance du signal est la somme des puissances transportées par chaque harmonique. 38

3 5.1 Aspects théoriques Notion de filtrage Lorsque l on étudie la réponse fréquentielle d un circuit, on branche une source alternative entre deux points d un circuit (l entrée du circuit) et on observe la réponse du circuit en mesurant une grandeur électrique en sortie du circuit. On forme alors un quadripôle. u e Entrée i e Quadripôle Sortie i s u s En régime sinusoïdal, toutes les grandeurs oscillent de façon sinusoïdale à la même fréquence. En notation complexe, les tensions d entrée et de sortie s écrivent u e (t) =U e e i2fift et u s (t) =U s e i2fift avec i 2 = 1 On mesure la réponse sortie/entrée en calculant le gain complexe en tension H(f) = u s(t) u e (t) = U s U e Ce nombre complexe donne une information à la fois sur le gain G (rapport des amplitudes) et sur le déphasage sortie/entrée : G = H = U s U e et =argh On obtient la courbe de réponse du quadripôle en traçant G en fonction de la fréquence f. Suivant l allure de G(f) on donne un nom au quadripôle (cf. figure) Gain G f Passe-Bas Passe-Haut Passe-Bande Coupe-Bande Figure 5.2: Les di érents types de filtre Ainsi, lorsque le signal d entrée est périodique mais non sinusoïdal, chaque harmonique étant di éremment atténuée et déphasée, on obtient à la sortie, un signal de même fréquence mais de forme di érente. L analyse harmonique des signaux en entrée et en sortie permet d obtenir une information sur la réponse fréquentielle du filtre. En e et, si la tension d entrée s écrit u e (t) =a 0 + c n, e cos(2finft + Ï n ) 39

4 alors chaque harmonique est, en sortie, atténuée et déphasée : u s (t) =G(0) a 0 + G(f n ) c n,e cos(2finft + Ï n + (f n )) Il est donc possible de remonter à la réponse fréquentielle du filtre à partir des coe de Fourier des signaux en entrée et en sortie puisque cients c n,s = G(f n ) c n,e (5.3) 5.2 Manipulation Étude du signal carré L objectif est d analyser le signal carré à l aide de l outil FFT d un oscilloscope numérique. 1. Branchez la sortie 50 du GBF sur la voie 1 (CH1) de l oscilloscope. 2. Fixez la fréquence à f = 500 Hz et choisir un signal carré (vérifier que le signal est bien carré). 3. Faites en sorte que l amplitude crête à crête ne dépasse pas 10 V (bouton Level). 4. Appuyez sur CH1 pour faire apparaître le menu de la voie 1 : choisir le couplage AC 5. On élimine le bruit électrique aléatoire par une opération de moyenne. Dans le panneau Menu, appuyez sur Acquire I Acquisition I Average et ajustez à la valeur L oscilloscope peut calculer en temps réel le spectre du signal. Appuyez sur Math I FFT puis placez Windows sur Hamming et Scale sur Vrms. L oscilloscope donne le spectre avec en ordonnée la tension e cace c n e = c n / Ô On obtient le spectre du signal. Pour mesurer les fréquences et les coe cients des harmoniques on utilise les curseurs. Pressez CURSOR I Mode et sélectionnez Manual. Pressez Type pour sélectionner X ou Y Pressez Source pour sélectionner FFT. Déplacer les curseurs pour faire vos mesures. Mesures Dans un premier temps, collectez les fréquences f n des harmoniques et vérifiez qu elles sont bien multiples impaires d une fréquence fondamentale qu on déterminera. 40

5 Ensuite collectez les coe les c n e suivent la loi 5.2 Manipulation cients de Fourier pour les 6 premières harmoniques. Vérifiez que c n e Déterminez A puis vérifiez la loi de Parseval. = 4A Ô 2fi 1 n Éteignez maintenant le GBF et l oscilloscope! Réponse fréquentielle d un filtre passe-bande CH1 L, r CH2 C GBF u e (t) u s (t) Entrée Sortie 1. Réalisez le montage RLC décrit ci-dessus. Demandez à l enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien allumer avant cette vérification! 2. Envoyez la tension de sortie (aux bornes de C) sur la voie 2 de l oscilloscope et la tension d entrée sur la voie Alimentez le circuit avec un signal GBF impulsionnel (il su t de débloquer le bouton SYMMETRY et de le tourner à gauche) de fréquence 300 Hz et d amplitude crête à crête V pp 5V. Attention : vérifiez qu il n y a pas de tension de décalage en entrée et placez vous en mode AC sur les deux voies. Mesures Collectez dans un tableau les fréquences et les coe de sortie. cients de Fourier du signal d entrée et Dans regressi, calculez le gain G(f n )=c n,s /c n,e pour chaque fréquence et tracez G en fonction de la fréquence. On montre que le gain de ce filtre s écrit G(f) = 1 Ò(1 af 2 ) 2 +(bf) 2 avec I a = 4fi 2 LC b = 2firC 41

6 à l aide d une modélisation, trouvez les valeurs de a et b qui s ajustent le mieux à vos mesures. Confrontez vos résultats aux valeurs théoriques. À la fin de la manip, appuyez sur le bouton SYMMETRY du GBF afin de faire gagner du temps au groupe suivant. Matériel : un ordinateur portable ; un oscilloscope numérique RIGOL DS 1102E ; un GBF ; une bobine L = 79 mh, r = 226 ; un condensateur C = 453 nf. 42

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