Chap 06 - Triangles. (Inégalité triangulaire, propriétés sur les angles, médiatrices et hauteurs d un triangle) étant. plus

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1 hap 06 - Triangles (négalité triangulaire, propriétés sur les angles, médiatrices et hauteurs d un ) ) négalité triangulaire 1) ctivité d introduction Exercice n 1 la feuille d exercices suplémentaires 2) ondition d existence d un Soit a, b et c trois longueurs, a étant la plus grande. si a > b + c, alors il n existe pas de dont les cotés ont pour longueur a, b et c si a < b + c, alors il existe un dont les cotés ont pour longueur a, b et c Dis autrement» Pour qu on puisse construire un, il faut que la longueur du plus grand côté soit plus inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés «. On veut construire le tel que On veut construire le tel que =4cm, =1.5cm et =2cm. =4cm, =3cm et =2cm. > + < + On construit le segment [], puis le cercle de On construit le segment [], puis le cercle de centre de rayon 2cm et le cercle de centre de centre de rayon 2cm et le cercle de centre de rayon 1,5cm. rayon 3cm. Les deux cercles se croisent, le point existe et le peut être construit. Les deux cercles ne se croisent pas, le point n existe pas et le ne peut pas être construit. Remarque Quand la longueur du plus grand coté est ÉGLE à la somme des longueurs des plus petits cotés alors les deux cercles de construction sont tangents. Dans ce cas, le est plat et les trois sommets sont alignés (le sommet commun au deux plus petits côtés est situé entre les deux autres sommets. n 6 et p n 11 p 235 1

2 ) Triangles et angles 1) Somme des angles dans un Dans un, la somme des mesures des angles est 180 (les angles d un sont supplémentaires). Exemple Soit un tel que = 40 et = 30. Déterminer la mesure de l angle. sait que = 40 et que = 30. Or dans un, la somme des mesures des angles est 180. Donc + + = = 180 = 180 (40+30) = 110 n 31 et 33 p 238 2) as du isocèle Dans un isocèle, les deux angles opposés au sommet principal sont appelés les angles de base du. Dans un isocèle, les angles de base ont la même mesure. Exemples Soit un isocèle en tel que = 50. Déterminer la mesure des angles et. sait que est isocèle en et que = 50. Or dans un isocèle, les angles de base ont la même mesure. Donc =. = 50 sait que = 50 et que = 50. Or dans un, la somme des mesures des angles est 180. Donc + + = =180 = 180 (50+50) = 80 Soit un isocèle en tel que = 50. Déterminer la mesure des angles et. sait que est isocèle en. Or dans un isocèle, les angles de base ont la même mesure. Donc =. 2

3 sait que = 50. Or dans un, la somme des mesures des angles est 180. Donc + + = =180 + = = 130 = = 65 et = 65 Dans un, si deux angles ont la même mesure alors le est isocèle. 3) as du rectangle Dans un rectangle, les deux angles opposés à l angle droit sont appelés les angles aigus du. Dans un rectangle, la somme des mesures des angles aigus est 90 (les angles aigus d un rectangle sont complémentaires). La somme des mesures des angles et est 90. Exemple Soit un rectangle en tel que = 20. Déterminer la mesure de l angle. sait que est rectangle en et = 20. Or dans un rectangle, la somme des mesures des angles aigus est 90. Donc + = = 90 = = 70 Dans un, la somme des mesures de deux des angles est 90 alors ce est rectangle et l angle droit est le troisième angle. 4) as du équilatéral Dans un équilatéral, les trois angles ont la même mesure 60. Dans un, si les trois angles mesurent 60 alors ce est équilatéral. n 32, 34, 35 et 37 p pour aller plus loin n 39 et 40 p 239 3

4 ) Droites remarquables d un 1) Médiatrices des cotés d un La médiatrice d un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment. mi li eu de [] ( M) () M } (M) est la médiatrice de [] Si un point est sur la médiatrice d un segment, alors il est à égale distance des deux extrémités du segment. (Réciproque) Si un point est à égale distance des deux extrémités d un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. M est sur la médiatrice de [] donc M=M Méthode de construction de la médiatrice d un segment à la règle et au compas On souhaite construire la médiatrice du segment [] à la règle et au compas. Pour ce faire, on va utiliser la propriété réciproque ci-dessus. On trace en partant de et de deux arc de cercle de même rayon. On obtient ainsi un point de la médiatrice. On fait de même pour obtenir un second point de la médiatrice (en changeant de coté ou en chageant le rayon). On trace la droite qui passe par les deux points obtenus. l s agit de la médiatrice du segment []. Les trois médiatrices d un se coupent en un même point le centre du cercle circonscrit (souvent noté O). K O J Le point d intersection des médiatrices (souvent noté O) est le centre du cercle circonscrit au. e cercle passe par les trois sommets du. insi le point O est équidistant des sommets du. O n 24, 25 et 26 p n 2 de la feuille d exercices supplémentaires 4

5 2) Hauteurs d un Définition Les hauteurs d un sont les droites qui passent par un sommet et qui sont perpendiculaires au coté opposé. R Les hauteurs d un se coupent en un unique point appelé l orthocentre (que l on note souvent H). n 27, 28, 29 et 30 p 237 3) Médianes d un Les médianes d un sont les droites qui passent par un sommet et le milieu du coté opposé. Les trois médianes d un se coupent en un même point le centre de gravité (souvent noté G). K G J 4) issectrice d un angle La bissectrice d un angle est la droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. n 21 et 22 p 237 DM n... pour le... près avoir installé geogebra (Voire la double feuille "GeoGebra (installation et utilisation)"), faire l exercice n 3 de la feuille d exercices supplémentaires avec ce logiciel Envoyer les constructions en pièce jointe à l adresse mail suivante (si vous l envoyez suffisamment tôt, je pourrais même vous donner des indications pour corriger vos éventuelles erreurs) haque exercice devra être nommé ainsi NOM_Prénom_DM_n.ggb (en remplaçant NOM, Prénom et n par le numéro du DM). 5

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