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1 Université Paris 7 - Denis Diderot L2 - Probabilités PS4 Année Feuille d exercices 1 Exercice 1 Combien y a-t-il de paires d entiers non consécutifs compris entre 1 et n (n 1)? Exercice 2 1. Quel est le nombre d applications de {1,..., r} dans {1,..., n} (où r, n 1)? 2. Combien sont injectives? 3. Combien sont strictement croissantes? 4. Combien sont croissantes? 5. On tire successivement sans remise r objets parmi n objets numérotés de 1 à n (r n). Quelle est la probabilité d obtenir une suite croissante de numéros? Exercice 3 Soit E un ensemble à n éléments. 1. Montrer sans calcul que E a autant de parties de cardinal pair que de cardinal impair. 2. Montrer qu il y a r n façons de partager E en r parties (A 1,..., A r ) (r 2) deux à deux disjointes. Quel résultat retrouve-t-on si r = 2? Combien de ces partages placent-ils deux éléments fixés a et b de E dans une même partie? 3. Déterminer le nombre de couples (A, B) de parties de E disjointes et, plus généralement, le nombre de r-uplets (A 1,..., A r ) de parties de E deux à deux disjointes (r 2). Exercice 4 1. Donner une preuve combinatoire (sans calculs) de la relation de Pascal ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + (1 k < n). k k k 1 2. Soit 1 k n. En déterminant de deux façons différentes le nombre de manières de former un comité de k personnes, dont un président, choisies parmi les n membres d une association, démontrer l égalité (dite formule d absorption) ( ) ( ) n n 1 k = n. k k 1 En déduire l identité 1 k n ( ) n k = n2 n 1, k que l on pourra aussi établir directement en se servant à nouveau du modèle associatif ci-dessus. 1

2 3. Pour n 1, prouver la formule 1 k n ( ) n k 2 = n(n + 1)2 n 2 k en considérant, cette fois-ci, le nombre de comités assortis d un président et d un secrétaire que l on peut former à partir d un ensemble de n personnes, le cumul des fonctions étant autorisé. 4. Etablir un raisonnement combinatoire permettant de prouver ( ) n k 3 = n 2 (n + 3)2 n 3. k 1 k n Exercice 5 1. Montrer que pour tous p et r dans N on a : ( ) ( ) ( ) ( ) p p + 1 p + r p + r = p p p p + 1 à l aide de la relation de Pascal : ( ) ( n p = n+1 ) ( p+1 n p+1), vraie pour tous n, p N. 2. Soit n N, r N. (a) Montrer qu il y a ( ) n+r 1 n 1 solutions (r1,..., r n ) N n à l équation r r n = r. 1ère méthode : par récurrence sur n à l aide de l identité de la question 1, 2ème méthode : en identifiant ces solutions avec les différentes manières d ordonner en ligne r boules indiscernables et n 1 parois, elles aussi indiscernables. Exercice 6 (b) Combien y a-t-il de solutions (r 1,..., r n ) (N ) n à l équation r r n = r? 1. Combien y a-t-il de façons de disposer en ligne m boules blanches (indiscernables) et n boules noires (indiscernables) sans placer deux boules noires côte à côte (m, n N )? 2. Combien y a-t-il de façons d énumérer les 26 lettres de l alphabet sans que deux voyelles soient voisines l une de l autre? Exercice 7 Combien d anagrammes du mot nombre peut-on former? Et du mot calcul? Généraliser à un mot de longueur n, utilisant r lettres différentes en nombres respectifs n 1,..., n r. Exercice billets de loterie sont mis en vente, dont 4 sont gagnants. Quelle est la probabilité pour qu une personne ayant acheté 10 billets gagne au moins un lot? Exercice 9 Une urne contient 5 boules rouges, 6 bleues et 8 vertes. On tire simultanément 3 boules de l urne. Quelle est la probabilité que ces boules soient 1. toutes de la même couleur? 2. de trois couleurs différentes? Mêmes questions en supposant les boules tirées l une après l autre, chacune étant remise avant de tirer la suivante. Exercice 10 Les cartes d un jeu de 52 cartes sont tirées une par une sans remise. Quelle est la probabilité que la 10-ième carte tirée soit un as? que le premier as apparaisse au 10-ième tirage? Exercice 11 La famille Fenouillard est très désordonnée. Elle dispose au petit bonheur la chance ses n paires de chaussures dans un grand placard. Au matin, les r membres de la famille prennent 2r chaussures dans le placard. On suppose 2r n. Quelle est la probabilité 2

3 1. de n obtenir aucune paire parmi ces 2r chaussures? 2. d obtenir exactement une paire? 3. d obtenir exactement deux paires? 4. plus généralement, d obtenir exactement k paires (0 k r)? Exercice On tire sans remise r éléments d un ensemble qui en contient n (1 r n). (a) Quelle est la probabilité de tirer un élément a fixé à l avance? (b) Quelle est la probabilité d obtenir k éléments fixés à l avance (1 k r)? Déterminer la limite de cette probabilité lorsque n et r tendent vers l infini avec lim r n = λ. 2. On tire avec remise r éléments d un ensemble à n éléments. Quelle est la probabilité d obtenir exactement k fois un élément fixé (0 k r)? Exercice On tire simultanément 13 cartes d un jeu de 52. Calculer la probabilité d obtenir au moins une carte de chaque couleur. 2. Dans une classe de 40 élèves, on fête tous les anniversaires. Calculer la probabilité que, chaque mois, la classe fête au moins un anniversaire. Indication : dans chacune des questions ci-dessus, on pourra utiliser la formule de Poincaré (dite aussi formule d inclusion-exclusion). 1 Exercice 14 Montrer qu il existe une unique probabilité P sur N telle que P({n}) = n(n + 1) pour n 1. Calculer P({0}), P({n,..., m}) où n, m N, n m, puis P({m N : m n}) où n N. Exercice 15 Donner un exemple de probabilité P sur Z telle que P({n}) > 0 pour tout n Z. Exercice 16 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et (E n ) n N A N une famille dénombrable d événements. 1. Montrer l inégalité de Bonferroni : En déduire que (A, B) A 2, P(A B) P(A) + P(B) 1. ( n ) P E i n P(E i ) (n 1). 2. Montrer que, si P(E k ) = 1 pour tout k N, alors P ( n E i) = On appelle limite supérieure de la suite (E n ) n N, et on note lim sup n N E n, la partie de Ω définie par lim sup n N E n = k=1 n=k E n. Justifier que lim sup n N E n A. Interpréter cet événement. Montrer que, si la somme n=1 P(E n) est finie, alors la probabilité qu un nombre infini de E n soient réalisés est nulle. Exercice 17 Sur un espace de probabilité (Ω, A, P), on considère deux événements A et B. On suppose que 0 < P(B) < 1. 3

4 1. Exprimer P(B)P(B c ) (P(A B) P(A B c )) en fonction de P(A), P(B) et P(A B). 2. En déduire que P(A B) P(A)P(B) Construire un exemple d un espace de probabilité sur lequel il existe deux événements A et B tels que P(A B) P(A)P(B) = 1 4. Exercice 18 Soit Ω un ensemble et A une tribu de parties de Ω. On considère deux probabilités P 1 et P 2 sur (Ω, A) et un élément B de A, fixé. Soit alors Q l application de A dans R définie par A A, Q(A) = P 1 (A B) + P 2 (A B c ). 1. Montrer que, si Q est une probabilité, on a P 1 (B) = P 2 (B). 2. Prouver que, réciproquement, P 1 (B) = P 2 (B) implique que Q est une probabilité. 3. On suppose P 1 (B) = P 2 (B) ]0, 1[. Exprimer, pour tout A A, les probabilités conditionnelles Q(A B) et Q(A B c ) en fonction de P 1 et P 2. Exercice 19 On lance deux dés. Quelle est la probabilité d obtenir un 6 sachant que les deux résultats sont différents? Exercice 20 3 cartes sont placées au fond d un chapeau : l une a ses deux faces noires, une autre a ses deux faces rouges et la troisième a une face noire et une face rouge. Une carte est tirée au hasard et posée sur une table. Sachant que la face apparente est rouge, quelle est la probabilité que l autre face soit noire? Exercice 21 On dispose de deux urnes. La première contient 2 boules blanches et 4 rouges, la seconde contient une boule de chaque couleur. On tire au hasard une boule de la première urne et on la place dans la seconde ; puis on tire une boule de cette dernière urne. Calculer la probabilité 1. que cette dernière boule soit blanche, 2. que la boule transférée soit blanche sachant que la dernière boule est blanche. Exercice 22 (Urne de Polya) Une urne contient b boules blanches et r boules rouges. Une boule est tirée au hasard puis replacée dans l urne en y ajoutant d boules de la même couleur. On tire alors une seconde boule de l urne. Quelle est la probabilité 1. que la seconde boule soit blanche, 2. que la première boule soit blanche sachant que la seconde est blanche. Plus généralement, on effectue, selon la même règle, k 1 tirages successifs dans l urne. Quelle est la probabilité que la boule obtenue au k e tirage soit blanche? Exercice 23 Une compagnie d assurance répartit ses assurés en trois classes : personnes à bas risque, à risque moyen et à haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité qu un assuré ait un accident dans l année est, respectivement, de 0.05, 0.15 et 0.30 selon la catégorie à laquelle il appartient. On estime que 20% de la clientèle de la compagnie est à bas risque, 50% à risque moyen et 30% à haut risque. 1. Quelle est la probabilité pour qu un assuré pris au hasard ait un accident au cours de l année? 4

5 2. Si un assuré n a pas eu d accident au cours de l année, quelle est la probabilité qu il fasse partie de la classe à bas risque? à risque moyen? à haut risque? Exercice 24 (Loi de succession de Laplace) On dispose de N + 1 urnes, numérotées de 0 à N. L urne numéro k contient k boules rouges et N k boules blanches. On choisit au hasard une des urnes. Sans connaître son numero, on en tire n fois de suite une boule, avec remise. Quelle est la probabilité que le (n + 1) ième tirage donne encore une boule rouge, sachant que, au cours des n premiers tirages, seules des boules rouges ont été obtenues? Calculer la limite de cette probabilité quand N tend vers l infini. Exercice 25 Un dé a une probabilité de tomber sur chacune de ses six faces proportionnelle au numéro de la face. On lance le dé une fois. Calculer la probabilité d obtenir 1. le chiffre k (1 k 6) ; 2. un chiffre supérieur ou égal à 4. Les événements obtenir un chiffre pair et obtenir un multiple de 3 sont-ils indépendants? Exercice 26 Une classe comporte 4 garçons et 6 filles de première année, 6 garçons et n filles de deuxième année. Pour quelle valeur de n les événements être une fille et être en première année sont-ils indépendants? Exercice 27 Un voyageur se rend de Paris à Los Angeles, via Londres et New York. On suppose les événements perdre son bagage à l aéroport de Paris (respectivement, de Londres, de New York), mutuellement indépendants, de probabilité p 1 (respectivement p 2, p 3 ). Quelle est la probabilité que sa valise n arrive pas à Los Angeles? Sachant que la valise n est pas arrivée à Los Angeles, quelle est la probabilité qu elle soit restée à Paris, Londres ou New York? Exercice 28 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et B A un événement tel que 0 < P(B) < 1. Pour tout A A, on pose Q(A) = 1 3 P(A B) P(A Bc ). 1. Expliquer pourquoi Q(A) est bien défini et prouver que Q est une probabilité sur (Ω, A). 2. Que vaut Q(B)? En déduire une condition nécessaire portant sur P(B) pour que l on ait Q = P. Montrer que cette condition est aussi suffisante. 3. Soit A A, P-indépendant de B. Calculer Q(A) et montrer que A et B sont indépendants sous la probabilité Q. Exercice On munit Ω = {0, 1} 2 de la probabilité P uniforme et on considère les trois événements A = {0} {0, 1}, B = {0, 1} {0} et C = {(0, 1), (1, 0)}. Montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants mais non mutuellement indépendants. 2. On munit Ω = {0, 1} 3 de la probabilité P uniforme et on considère les trois événements A = {0} {0, 1} 2, B = {0, 1} 2 {0} et C = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}. Montrer que P(A B C) = P(A)P(B)P(C). Les trois événements sont-ils indépendants? Exercice 30 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, n N et (E i ) 1 i n A n un n-uplet d événements mutuellement indépendants. Montrer que ( n ) n P E i = 1 (1 P(E i )). 5

6 Exercice 31 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et (A, B, C) A 3 un triplet d événements mutuellement indépendants. 1. Prouver que A c et B C sont indépendants. 2. On suppose que P(B) > 0 et P(C) > 0. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A B et A C soient indépendants. Exercice 32 Montrer par un contre-exemple que, sur un espace probabilisé (Ω, A, P), la P-indépendance de deux événements A A et B A n entraîne pas leur indépendance conditionnellement à un événement C A tel que P(C) > 0, c est-à-dire leur P C -indépendance, où l on a noté P C = P(. C). Exercice 33 Peut-il exister sur un espace probabilisé (Ω, A, P), n événements indépendants de même probabilité p [0, 1] et dont la réunion est de probabilité 1? Exercice 34 Les nombres entiers compris entre 1 et n (n 2) sont ordonnés au hasard (tous les ordres sont supposés équiprobables). Pour toute partie I de {1,..., n} telle que Card(I) 2, on note A I l événement les éléments de I se trouvent rangés par ordre croissant. 1. Calculer la probabilité de A I (elle ne dépend que du nombre d éléments de I). 2. Montrer que si les ensembles I 1,..., I r sont deux à deux disjoints, les événements A I1,..., A Ir sont indépendants. Exercice 35 Soit n 2 un entier naturel fixé. On munit l ensemble Ω = {1,..., n} de la tribu P(Ω) de ses parties et de la probabilité uniforme P. Si h est un diviseur de n, on note A h l événement {l Ω / l est un multiple de h}. 1. Calculer P(A h ) pour h Ω diviseur de n. On note p 1,..., p k (k 1) les diviseurs premiers de n, différents de Montrer que les événements A p1,..., A pk sont mutuellement indépendants. 3. Soit ϕ(n) le nombre d entiers de Ω premiers avec n (ϕ est la fonction indicatrice d Euler, ou l indicateur d Euler). Prouver le formule ϕ(n) = n ) (1 1pj. 1 j k 6

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