Fractions et puissances

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Joel Carrière
il y a 5 ans
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1 Fractios et puissaces L. Geri, M. Bouvel Niveau : Première, Termiale Diculté : à Durée : h Rubriques : Aalyse Puissaces, Fractios, Biôme de Newto. La petite histoire... Pour rappel. Il y a deux règles importates à e jamais oublier quad o maipule des puissaces. Le mieux, c'est même de savoir les retrouver. La première cocere le produit de puissaces. Si a et b sot des etiers aturels o uls a facteurs b facteurs ab facteurs {}}{{}}{{}}{ x a x b x x x x x x x x x x ab. La deuxième permet de calculer la puissace d'ue puissace : b facteurs {}}{ a b facteurs a facteurs a facteurs {}}{{}}{{}}{ x a b x x x x x x x x x a b facteurs {}}{ x x x x ab. es règles restet valides si a et b sot des etiers relatifs. Exercice Simplicatios de puissaces.. Simplier Exprimer sous forme de puissace de 0 le ombre Exercice omparaiso de puissaces.. lasser les ombres suivats par ordre croissat : 5 8, 5 9, 5 5, , Faire de même pour : 0 0, 6 0 0, 0, 8 60, 4 0, 4 0.

$Fractios et puissaces Exercice omparaiso de fractios. Soit u etier supérieur ou égal à. lasser les quatités suivates par ordre croissat :,,,,. Exercice 4 La formule du biôme de Newto.$

2 Fractios et puissaces Exercice omparaiso de fractios. Soit u etier supérieur ou égal à. lasser les quatités suivates par ordre croissat :,,,,. Exercice 4 La formule du biôme de Newto. Exercice plus dicile. La questio 5. est de iveau Termiale S. Pour tout etier aturel o ul, o appelle factorielle de et o ote!, le ombre etier!. Par covetio, 0!. Soit u etier aturel et u etier compris etre 0 et. O ote!!!. ette quatité se lit parmi. Das tout cet exercice, a et b désiget deux ombres réels.. Pour tout etier aturel, calculer et 0.. alculer 0, et. E déduire que a b 0 a b 0 a b. alculer 0,, et. E déduire que a b a b 0 a b 0 a 0 b. a b a 0 b. 4. Motrer que si est u etier aturel et si est u etier compris etre et, alors. 5. Motrer par récurrece que pour tout etier aturel, a b a b. ommetaires sur l'exercice 4 L'égalité est appelée relatio du triagle de Pascal, et la formule a b a b démotrée das cet exercice est coue sous le om de formule du biôme de Newto. L. Geri, M. Bouvel /0 reative ommos : BY: $ \

3 Fractios et puissaces Les ombres qui sot l'objet de cet exercice admettet e fait plusieurs déitios équivaletes. Ici, ous avos utilisé la déitio par ue formule. Il existe aussi ue déitio combiatoire : est le ombre de parties à exactemet élémets d'u esemble de élémets. E, le programme de Première S propose ue troisième déitio de, comme le ombre de chemis à exactemet succès das u schéma de Beroulli compreat épreuves. Même si cela 'est pas tout à fait évidet, toutes ces déitios décrivet bie les mêmes ombres. Et, pour aller plus loi, ce peut être u bo exercice de chercher pourquoi! Exercice 5 Ue suite croissate. Exercice plus dicile. Soit u la suite déie par u pour tout. O souhaite motrer que la suite u est croissate e comparat u et u. Le problème c'est que u a plus de facteurs que u... mais ils sot tous plus petits. Motrer que la suite est croissate. L. Geri, M. Bouvel /0 reative ommos : BY: $ \

4 Fractios et puissaces Idicatios Idicatios sur l'exercice. Puisque 0 a 0 a 0 a, alors pour quel a a-t-o 0 a 0 a 0 00? Idicatios sur l'exercice. Attetio aux parethèses! Vérier que les ombres 4 0 et 4 0 sot diérets. Les parethèses sot doc absolumet écessaires das ce cas, et écrire 4 0 'a pas de ses. Idicatios sur l'exercice 5 Utiliser la formule du biôme de Newto et comparer terme à terme. L. Geri, M. Bouvel 4/0 reative ommos : BY: $ \

5 Fractios et puissaces orrectios orrectio de l'exercice. O remarque que 8 et 4. Aisi, O remarque que Aisi, et orrectio de l'exercice. Le classemet par ordre croissat des ombres proposés est < 5 9 < 5 8 < 5 5 < 6 5. E eet, o a les égalités et iégalités suivates : < ; ; ; > Pour cette questio, il est écessaire de comparer des puissaces de et des puissaces de 0. Pour ce faire, il est utile de savoir par exemple que 0 04 > 0 > Et si o e le sait pas, il sut de le calculer! Le classemet par ordre croissat des ombres proposés est 4 0 < < 8 60 < 0 0 < 0 < 4 0. E eet, o a les égalités et iégalités suivates : ; > ; < ; ; > ; < ; orrectio de l'exercice O peut commecer par se faire ue idée de l'ordre das lequel les quatités proposées sot classées, a de le démotrer par la suite. E remplaçat par, les quatités proposées preet des valeurs résumées das le tableau suivat : L. Geri, M. Bouvel 5/0 reative ommos : BY: $ \

6 Fractios et puissaces 9 4 omme o a de maière évidete < < < <, l'éocé suggère que l'o ait la suite 9 4 d'iégalités suivate pour tout : < < < <. Nous avos devié u ordre pour les quatités proposées. Mais il reste à le démotrer. Pour ce faire, o démotre tour à tour chacue des quatre iégalités qui le composet. Il est utile de rappeler ici quelques règles sur la maipulatio d'iégalités. O peut multiplier ou diviser les deux membres d'ue iégalité par u même ombre strictemet positif, et o obtiet ue iégalité de même ses. O peut multiplier ou diviser les deux membres d'ue iégalité par u même ombre strictemet égatif, et o obtiet ue iégalité de ses cotraire. Si a et b sot deux réels tels que 0 < a < b, alors b < a, car la foctio x x est strictemet décroissate sur ]0; [. Si a et b sot deux réels tels que a < b < 0, alors b < a, car la foctio x x est strictemet décroissate sur ] ; 0[. Avec ces quelques règles, démotros maiteat les quatre iégalités qui ous itéresset. Soit u etier,.. Motros que <. > > 0, doc > > 0, doc <, doc multipliat les deux membres par, qui est bie strictemet positif.. Motros que <. doc <.. Motros que < 0 < <, doc par > Motros que. >, doc <. <. i-dessus, ous avos utilisé que < qu'il s'agit de la multiplicatio par de l'iversio de > > 0. < e > multiplicatio des deux membres > 0 de l'iégalité <. Pour s'e covaicre, o remarque, qui viet elle-même Remarque. Il y a de ombreuses autres méthodes pour résoudre cet exercice. Par exemple, o peut comparer chacue des quatités proposées à, comparer etre elles les expressios qui ot même omiateur ou même déomiateur,... orrectio de l'exercice 4. Par déitio, pour tout 0, o a :!!!!!0!!! et 0! 0! 0!!!. L. Geri, M. Bouvel 6/0 reative ommos : BY: $ \

7 Fractios et puissaces. Par la questio précédete, 0 et ; et par déitio,!!!. L'idetité remarquable a b a ab b peut doc s'écrire de maière équivalete sous la forme : a b a b 0 a b a 0 b. 0. Par la première questio, o a 0 et. Remarquos aussi que la déitio de est symétrique e et, c'est-à-dire que pour tout 0 et pour tout tel que 0,!!!!!!. Aisi, o a!!!. D'autre part, e développat a b, o a a b a ba b a ba ab b a a b ab b, que l'o peut réécrire sous la forme suivate : a b a b 0 a b 0 a b a 0 b. 4. Soit u etier aturel tel que et u etier tel que. E particulier, 0, doc est bie déi. O a aussi, 0 et 0, doc et sot bie déis. E, par déitio, o a :!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.!! 5. Motros par récurrece que pour tout etier aturel, a b Iitialisatio. Pour 0, o a d'ue part a b 0, et d'autre part l'égalité proposée est vériée. 0 a b. 0 a 0 b 0 0 a 0 b 0, doc L. Geri, M. Bouvel 7/0 reative ommos : BY: $ \

8 Fractios et puissaces Hérédité. Soit u etier aturel supérieur ou égal à 0, tel que l'o a l'égalité ab Démotros que l'o a alors a b a b. a b. a b a ba b a b a b par hypothèse de récurrece a b a b a b 0 a b a b a 0 b 0 a a b a i b i b où o a posé i i i a a b a b b e reommat i e a a b b. Ici, o voudrait utiliser le résultat de la questio précédete. E eet, il peut être reformulé de la maière suivate : ous avos démotré que pour tout et pour tout compris etre et. O e peut doc utiliser ce résultat das le calcul ci-dessus que lorsque est supérieur ou égal à. La coditio sur est bie vériée pour chacu des termes de la somme. Mais das cette étape d'hérédité, o a supposé 0, et o. 'est pour cela que l'o distigue maiteat deux cas pour coclure : lorsque et lorsque 0. Si, o poursuit le calcul ci-dessus, e utilisat le résultat de la questio précédete comme idiqué plus haut. a b... a a b b a a b b par la questio précédete a a b b 0 a b, qui est l'égalité recherchée. Si 0, l'égalité à démotrer est a b a b, et o a bie a b a b 0 a 0 b a b, 0 L. Geri, M. Bouvel 8/0 reative ommos : BY: $ \

9 Fractios et puissaces qui est l'égalité recherchée. Aisi, das tous les cas, o a démotré l'égalité recherchée. oclusio. E appliquat le pricipe de récurrece, o coclut que pour tout etier aturel, a b a b. orrectio de l'exercice 5 O rappelle la formule du biôme de Newto : a b cette formule pour a et b resp., o obtiet que u u et a b. E appliquat. Travail de recherche au brouillo. Pour démotrer que la suite u est croissate, c'est-à-dire que u u pour tout, il serait doc susat de démotrer que pour tout, et pour tout tel que 0, o a. Soiet et deux etiers tels que et 0. O a la suite d'équivaleces suivate :!!!!!!...!! Pour que la derière iégalité soit vériée, il serait susat d'avoir la propriété suivate : pour tout j tel que 0 j, j j. Fixos doc j tel que 0 j. O a alors la suite d'équivaleces suivate : j j j j j j j j 0 ette derière assertio état clairemet vraie, o peut maiteat passer à la rédactio de la démostratio du fait que la suite u est croissate. L. Geri, M. Bouvel 9/0 reative ommos : BY: $ \

10 Fractios et puissaces Rédactio de la démostratio. Soiet et deux etiers aturels tels que et 0. Soit aussi j u etier aturel tel que 0 j. lairemet, il est vrai que j 0. O e déduit que j j j, c'est-à-dire e factorisat que j j. Et e divisat cette iégalité par > 0, o obtiet j j. ette iégalité est valable pour tout j tel que 0 j. Et pour tout tel j, o a j doc > 0. E multipliat toutes ces iégalités pour j allat de 0 à, o obtiet... et doc e multipliat par!!!..., qui est strictemet positif !! Les deux membres de cette iégalité peuvet se réécrire e utilisat les c ciets biomiaux, et o obtiet. O déduit aisi que pour tout u eci permet de coclure que la suite u est croissate. u. L. Geri, M. Bouvel 0/0 reative ommos : BY: $ \

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