OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION

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Eloi Brousseau
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1 Lycée Thiers mpsi 123 OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION EX. 1 Ecrire une fonction qui accepte un entier positif n, interprété comme une durée exprimée en secondes, et qui renvoie le quadruplet ( j, h, m, s ) correspondant à la même durée exprimée en jours, heures, minutes et secondes. On a essentiellement besoin de calculer des quotients et des restes : en CaML, si a et b sont des expressions de type int, représentant des entiers positifs (avec b 0) alors le quotient de a par b se note a/b et le reste a mod b (voir la remarque ci-dessous). Etant donnée une durée ns exprimée en secondes, on veut la convertir en ( j, h, m, s ) de telle sorte que : ns = j h m 60 + s et : 0 s < 60, 0 m < 60, 0 h < 24 et j 0 La fonction à écrire sera de type int int int int int. On peut commencer par extraire s, puis m, puis h puis j, selon l arbre de calcul suivant : let convert ns = let s = ns mod 60 in let nm = ns / 60 in let m = nm mod 60 in let nh = nm / 60 in let h = nh mod 24 in let j = nh / 24 in (j,h,m,s) On peut aussi procéder dans l ordre inverse : Exemple : let convert ns = let j = ns / in (* = 24 x 3600 = nb de secondes en un jour *) let ns1 = ns mod in let h = ns1 / 3600 in (* 3600 = 60 x 60 = nb de secondes en une heure *) let ns2 = ns1 mod 3600 in let m = ns2 / 60 in let s = ns2 mod 60 in (j,h,m,s) convert : int * int * int * int = 1, 9, 25, 56

2 OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION 2 Autrement dit : s = 1j 9 h 25 m 56 s Remarque. Le théorème de division euclidienne stipule que : (a, b) Z Z,! ( q, r ) Z 2 ; ( a = bq + r et 0 r < b ) Il faut savoir que les opérateurs / et mod de CaML ne fonctionnent correctement qu avec des arguments positifs. Par exemple, la division euclidienne de 10 par 3 s écrit théoriquement : alors que CaML donne : (-10) / 3 - : int = -3 (-10) mod 3 - : int = = 3 ( 4) + 2 D où un petit exercice à chercher : écrire des fonctions iquo et irem (comme Integer QUOtient et Integer REMainder) qui calculent le quotient et le reste de façon conforme à l énoncé du théorème ci-dessus... EX. 2 Que calcule la fonction suivante? let f n = let x = ref 1 and e = ref 0 in while!x <= n do e :=!e + 1; x :=!x * 2!e - 1 Proposer une fonction qui calcule la même chose, mais sans aucune boucle. La fonction proposée calcule, pour chaque entier n 1, le plus grand exposant entier e pour lequel 2 e n, autrement dit la partie entière (par défaut) du logarithme en base 2 de n. Le temps d exécution de la boucle est proportionnel à ce logarithme. On peut envisager une fonction qui s effectue en temps constant (càd : indépendamment de la valeur de n) : let g n = int_of_float (log (float_of_int n) /. log 2.) EX. 3 Ecrire une fonction f : int int qui calcule le nombre de chiffres dans l écriture (décimale) d un entier 1. Par exemple : f devra renvoyer 5. On proposera (au moins) deux solutions : avec une boucle et deux références, sans boucle, à l aide de la fonction log10, Première idée : à partir de l entier initial, on forme une suite dont chaque terme est le quotient par 10 du précédent. On s arrête dès qu on atteint un quotient nul. Le nombre de chiffres décimaux de l entier initial est donné par le nombre d étapes. let f n let x = ref n and i = ref 0 in while (!x > 0) do x :=!x / 10; i :=!i + 1

3 OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION 3!i Autre solution : on observe que si x > 0, alors le nombre de chiffres décimaux de x est 1 + log 10 (x) : let g n = 1 + int_of_float (log10 (float_of_int n)) Voici une solution plus informatique que mathématique : let nbc n = string_length (string_of_int n) On pourra voir plus tard des solutions récursives pour cette question. EX. 4 Ecrire une fonction cherchenb : int int (int bool) int qui calcule le nombre d entiers compris (inclusivement) entre deux limites et vérifiant un prédicat 1 donné. Dans l exemple ci-dessous, on compte le nombre d entiers pairs entre 1 et 10 : cherchenb 1 10 (function k k mod 2 = 0) - : int = 5 Modifier légèrement cherchenb pour obtenir une fonction cherchesol qui affiche les solutions éventuelles (à raison d une par ligne), plutôt que de renvoyer leur nombre. Deux applications : 1) Combien existe-t-il d entiers N < 10 6 dont l écriture décimale ne comporte pas le chiffre 7? Retrouver la réponse sans l aide de l ordinateur. 2) Quels sont les entiers N { 10 3,, } tels qu en déplacant en tête le chiffre des unités on obtienne 4N? Même question avec 5N. Nombre d entiers compris entre deux bornes et vérifiant un prédicat donné : let cherchenb debut fin predicat = let total = ref 0 in for n = debut to fin do if predicat n then incr total!total Affichage des entiers compris entre deux bornes et vérifiant un prédicat donné : let cherchesol debut fin predicat = let total = ref 0 in for n = debut to fin do if predicat n then ( incr total; print_int n; print_newline () ) if!total = 0 then print_string "Aucune solution\n" Application 1 - Nombre d entiers dans { 0,, } dont l écriture décimale ne comporte pas le chiffre 7... On commence par écrire une fonction qui indique la présence d un chiffre c dans l écriture décimale d un entier naturel n : 1. Un prédicat est une fonction à valeurs booléennes ; ici, il s agit d une fonction de type int bool

4 OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION 4 let chiffrepresent c n = let x = ref n in let found = ref false in while (!x > 0) & (not!found) do if!x mod 10 = c then found := true else x :=!x / 10!found Il suffit alors de faire : cherchenb (function x -> chiffrepresent 7 x) - : int = Ce résultat est accessible à la main! En effet, le nombre de nombres de k chiffres (k 1) dont l écriture décimale ne comporte pas le chiffre c {1,, 9} est 8 9 k 1, puisqu il existe 8 façons de choisir le chiffre le plus significatif (le plus à gauche) et 9 façons de choisir chacun des suivants. Le total cherché est ainsi : = ( ) = ( ) = 9 6 = Encore plus simplement, le nombre de nombres d au plus 6 chiffres dont l écriture décimale ne comporte pas la chiffre c {1,, 9} est 9 6 (on considère que le nombre 421, par exemple, s écrit aussi ). Application 2 - Entiers N { 10 3,, } tels que f (N) = 4N, où f (N) désigne l entier obtenu en déplacant en tête le chiffre des unités de N... Quelques fonctions préliminaires : let nb_chiffres n = 1 + (int_of_float (log10 (float_of_int n))) let puiss x n = let p = ref 1 in for i = 1 to n do p :=!p * x!p let deplace n = let u = n mod 10 in let c = nb_chiffres n in n / 10 + u * (puiss 10 (c-1)) Il ne reste plus qu à assembler : cherchesol (function x -> deplace x = 4 * x) : unit = () cherchesol (function x -> deplace x = 5 * x) : unit = () On pouvait aussi écrire la version suivante (plus formelle, moins arithmétique...) pour la fonction deplace :

5 OPTION INFORMATIQUE EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES - 1 / CORRECTION 5 let deplace n = let s = string_of_int n in let l = string_length s in let tmp = s.[l-1] in for i = l-1 downto 1 do s.[i] <- s.[i-1] s.[0] <- tmp; int_of_string s

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