CA.01 LE SENS DE L'ADDITION LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE ADDITION EN COLONNES PROPRIÉTÉ DE L'ADDITION ADDITION DES NOMBRES ENTIERS
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- Jeanne Boisvert
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1 CALCUL CA. Addition des nombres entiers CA. décomposition des nombres et compléments à CA. Table d'addition CA. Soustraction des nombres entiers CA. Table de soustraction CA. Multiplication des nombres entiers CA. astuces pour mémoriser les tables CA. Tables de multiplication CA. Division euclidienne CA. Multiples et diviseurs CA. Addition des nombres décimau CA. Soustraction des nombres décimau CA. Multiplication des nombres décimau CA. Division décimale CA. Priorités de calcul CA. Double et moitie CA. Triple et quart
2 CA. ADDITION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE L'ADDITION On effectue une addition pour réunir : deu ou plusieurs collections d'objets deu ou plusieurs longueurs aires masses. On effectue une addition pour ajouter des objets à une collection d'objets. On effectue une addition pour avancer sur la file numérique. Lorsqu'on effectue une addition on calcule une somme. LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE ADDITION EN COLONNES On utilise un tableau que l'on peut dessiner ou non. Addition sans retenue : c d u est la somme des trois nombres et. Addition avec retenue : m c d. J'écris et je retiens. ;. J'écris et je retiens. ;. J'écris. J'écris. est la somme des deu nombres et. PROPRIÉTÉ DE L'ADDITION On peut additionner les nombres entiers dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne. u est difficile à effectuer ; on effectue d'abord..
3 CA. DÉCOMPOSITION DES NOMBRES ET COMPLÉMENTS À
4 CA. TABLE D'ADDITION Eemple :? Je rejoins la ligne de et la colonne de. Au croisement il y a le nombre. Réponse :
5 CA. SOUSTRACTION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE LA SOUSTRACTION On effectue une soustraction pour : Chercher ce qui reste quand on enlève on retire on perd des objets d'une collection. Chercher ce qu'on a enlevé. J'ai billes. Je voudrais en avoir. Il m'en manque soit. Reculer sur la file numérique. Il y avait billes dans le sac. Il en reste. On en a enlevé soit. Chercher ce qui manque pour compléter une collection. J'avais billes. J'en ai perdu il m'en reste soit. - Calculer un écart.? J'ai ans tu en as. Nous avons soit ans d'écart. Lorsqu'on effectue une soustraction on calcule une différence. POSER UNE SOUSTRACTION EN COLONNES SANS RETENUE Soustraction sans retenue : c d u ; ;. est la différence entre et. On écrit toujours en premier le nombre le plus grand et on enlève le plus petit.
6 POSER UNE SOUSTRACTION EN COLONNES AVEC RETENUE Technique n : c d Je commence par les unités : - u Je ne peu pas alors je prends une dizaine dans la colonne des dizaines (il me reste donc dizaines) et je la mets dans les unités. J'ai alors unités. Maintenant je peu soustraire : Je continue avec les dizaines : - Je ne peu pas alors je prends une centaine dans la colonne des centaines (il me reste donc centaines) et je la mets dans la colonne des dizaines. J'ai alors dizaines. Maintenant je peu soustraire : - Je continue avec les centaines : - La différence entre et est. Je peu vérifier mon calcul en faisant une addition : Technique n : m c d u ; ; est impossible. Mais millier centaines. J'ajoute centaines au centaines de et millier à. et je retiens ;. est la différence des deu nombres et. Attention : Contrairement à l'addition la soustraction ne permet pas d'effectuer les calculs dans l'ordre que l'on veut! mais est impossible.
7 LIEN AVEC L'ADDITION A une addition on peut faire correspondre soustractions. Eemple : différence différence Mais à une soustraction on ne peut faire correspondre qu'une seule addition. Eemple : différence ; ; est impossible. Mais millier centaines. J'ajoute centaines au centaines de et millier à. et je retiens ;.
8 CA. TABLE DE SOUSTRACTION Attention! La table ne fonctionne que dans un sens (celui de la flèche). Les résultats en gras sont très importants : ils correspondent à un changement de dizaine. Il faut les savoir par cœur : ils servent à calculer les soustractions avec retenues.
9 CA. MULTIPLICATION DES NOMBRES ENTIERS LE SENS DE LA MULTIPLICATION On fait une multiplication pour : Dénombrer une collection d'objets On a rangées de ou colonnes de. On calcule On écrit On lit multiplié par ( multiplié par ) ou bien fois ( fois ) est un produit composé des facteurs et. Calculer la somme de plusieurs nombres égau ou. tablettes de carrés de chocolat : carrés. Calculer le pri d'un nombre d'objets de même valeur. Nombre de livres achetés Pri payé en euros livre coûte. LA MULTIPLICATION A CHIFFRE Comment calculer? On décompose chaque nombre puis on calcule les produits. On pose la multiplication.
10 LA MULTIPLICATION A CHIFFRES Comment calculer? On décompose chaque nombre puis on calcule les produits. On pose la multiplication. Pour multiplier par les unités on peut dire : fois. J'écris. fois. J'écris.. Pour multiplier par les dizaines on place un zéro puis on peut dire : fois. J'écris. fois. J'écris.. On effectue l'addition :. Comment calculer? On décompose chaque nombre en centaines dizaines unités. On pose la multiplication. Pour multiplier par les unités on peut dire : fois. J'écris et retiens. fois de retenue. J'écris. fois. Pour multiplier par les dizaines on place un zéro puis on peut dire : fois. J'écris et retiens. fois de retenue. J'écris et retiens. fois de retenue. J'écris.. On effectue l'addition :.
11 CA. ASTUCES POUR MÉMORISER LES TABLES La table de : Le résultat est toujours le même : c'est. La table de : Le résultat est le nombre initial. La table de : On ajoute un à la droite du nombre. La table de : Quand on multiplie par un nombre on obtient le double de ce nombre. La table de : Quand on multiplie par un nombre on obtient le triple de ce nombre. La table de : Quand on multiplie un nombre par on obtient le double du double de ce nombre c'est comme si on le multipliait par puis par à nouveau : ( ) ( ) La table de : On compte de en jusqu'à : Cette suite correspond au résultats de la table de et tous les résultats finissent par ou La table de : Quand on multiplie un nombre par c'est comme si on le multiplie par puis par (ou l'inverse!...) ( ) ( ) La table de : Quand on multiplie un nombre par c'est comme si on le multiplie par puis par (ou l'inverse!...) ( ) ( ) La table de : Il eiste de nombreu moyens pour s'en souvenir... Multiplier par revient à multiplier par puis enlever le chiffre par lequel tu veu multiplier ( ) ( ) Observe la table de présentée ainsi : On remarque que les chiffres des dizaines ou des unités du résultats se suivent de à.
12 CA. TABLES DE MULTIPLICATION
13 CA. DIVISION EUCLIDIENNE LE SENS DE LA DIVISION On utilise la division euclidienne* pour : *Division euclidienne signifie «division avec reste». Traduire une distribution en parts égales On connait : ce qu'on a à distribuer (c'est le dividende) ; à combien de personnes on le distribue (c'est le diviseur). On cherche : ce que chacun recevra (c'est le quotient) ; ce qu'on ne peut plus distribuer (c'est le reste). On veut distribuer bonbons à enfants en parts égales. bonbons c'est le dividende est le nombre de personnes (c'est le diviseur) bonbons ne sont pas distribués (c'est le reste) er enfant e enfant e enfant e enfant e enfant Combien chacun en recevra-t-il? On écrit : ( dividende diviseur quotient Traduire un partage en parts égales On connait : ce qu'on a à partager (c'est le dividende) ; combien on fait de parts (c'est le diviseur). On cherche : le contenu de chaque part (c'est le quotient) ; ce qu'on ne peut plus partager (c'est le reste). On veut distribuer bonbons par paquets de. A combien d'enfants peut-on distribuer un paquet de bonbons? On écrit : dividende ( diviseur quotient ) reste ) reste
14 Traduire un déplacement par bonds réguliers sur la file numérique Dans le sens croissant vers un but à atteindre. Je pars de et je veu atteindre. Combien de bonds de dois-je faire? Reste départ arrivée J'ai fait bonds de et pas. On écrit : ( ) Dans le sens décroissant vers l'origine. Je pars de et je veu atteindre en faisant des bonds de. Combien de bonds vais-je faire? Reste arrivée départ J'ai fait bonds de et pas. On écrit : ( ) LA TECHNIQUE DE CALCUL Avec soustractions intermédiaires : - - Dans je prends car dépasse la table de ( ). En combien de fois? fois car ( ). J'écris au quotient. Je pose. J'abaisse le. En combien de fois? fois car ( ). J'écris au quotient. Je pose. Je vérifie : <. Donc ( ). Sans soustractions intermédiaires : Dans je prends car dépasse la table de ( ). En combien de fois? fois. J'écris au quotient. ;. J'écris je retiens. ; ;. J'écris. J'abaisse le. En combien de fois? fois. J'écris au quotient. ;. J'écris je retiens. ; ;. J'écris. Donc ( ).
15 CA. MULTIPLES ET DIVISEURS FORMULATIONS ÉQUIVALENTES Je sais que. Je peu dire : est dans la table de. est un multiple de. Le reste de la division de par est. est divisible par. est un diviseur de. divise. Le quotient de la division de par est eact. LES MULTIPLES D'UN NOMBRE Un multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un autre. donc est multiple de (et de ). On trouve les multiples d'un nombre dans sa table de multiplication. Multiples de. etc. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ Pour qu'un nombre soit divisible par : Son chiffre des unités doit être. C'est un nombre pair. sont divisibles par. ne sont pas divisibles par. Pour qu'un nombre soit divisible par : Son chiffre des unités doit être ou. et sont divisibles par. et ne sont pas divisibles par. Pour qu'un nombre soit divisible par par : Le nombre doit se terminer par pour pour. est divisible par. est divisible par. Pour qu'un nombre soit divisible par : La somme de tous ses chiffres doit être un multiple de. Pour qu'un nombre soit divisible par : La somme de tous ses chiffres doit être un multiple de. est divisible par car multiple de. est divisible par car multiple de. n'est pas divisible par car non multiple de. n'est pas divisible par car non multiple de.
16 CA. ADDITION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE L'ADDITION DES DÉCIMAUX Dans la vie courante on a souvent besoin d'additionner des nombres décimau : pour eprimer des mesures de longueurs d'aires de volumes de masses pour donner le pri d'un objet. On retrouve pour les nombres décimau toutes les situations d'addition que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers. LA TECHNIQUE DE CALCUL Comme pour les nombres entiers on peut utiliser la technique de l'addition posée en colonnes : On place les unités sous les unités les dizaines sous les dizaines... les diièmes sous les diièmes les centièmes sous les centièmes. On place les virgules les unes sous les autres. On effectue l'addition comme avec les entiers en faisant attention au retenues. Dans le résultat on place la virgule sous les autres virgules. Addition sans retenue : u e Addition avec retenue : e d on écrit sans colonnes : e u e on écrit sans colonnes : On peut écrire un zéro pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule (et faciliter l'alignement) PROPRIÉTÉ DE L'ADDITION Comme pour les nombres entiers on peut additionner les nombres décimau dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne.. est difficile à effectuer ; on effectue d'abord.
17 CA. SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE LA SOUSTRACTION DES DÉCIMAUX On retrouve toutes les situations d'addition que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers : Chercher ce qui reste. Chercher ce qu'on a enlevé. Il y avait L d'eau dans la bouteille. Il reste L. Combien a-t-on enlevé? Chercher ce qui manque. J'avais. J'ai dépensé. Combien me reste-t-il? Il me faut kg de sucre. J'ai déjà kg. Combien me manque-t-il? Calculer un écart. Je mesure m. Mon frère mesure m. Je le dépasse de combien? LA TECHNIQUE DE CALCUL Comme pour l'addition la soustraction des décimau utilise la même technique que celle des entiers en plaçant correctement les virgules. Soustraction sans retenue : u e Soustraction avec retenue : e d on écrit sans colonnes : u e on écrit sans colonnes : e On peut remplir avec des zéros PROPRIÉTÉS DE LA SOUSTRACTION Comme pour les entiers on ne peut pas effectuer une soustraction dans l'ordre que l'on veut. mais est impossible. ( ) mais ( ) Le résultat est différent!
18 CA. MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX LE SENS DE LA MULTIPLICATION On multiplie des décimau pour : Calculer l'aire d'un rectangle par eemple. Calculer le pri de plusieurs objets de même pri. cahier coute. J'ai acheté cahiers. Combien dois-je payer? Calculer le pri d'une fraction de l'unité. Un rectangle a pour mesures L cm et l cm. Quelle est son aire? La côte de bœuf coute le kg. J'en achète kg. Combien dois-je payer? Calculer le total d'une quantité qui se répète. Une allumette mesure cm. Combien mesurent allumettes mises bout à bout? MULTIPLIER UN DÉCIMAL PAR UN ENTIER Pour multiplier avec des décimau on utilise les propriétés de la multiplication : multiplier par équivaut à déplacer la virgule d'un chiffre vers la droite (et inversement pour la division). Il suffit donc de multiplier les décimau par etc. pour faire «disparaitre» la virgule et de diviser par le même nombre en fin de calcul. On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. a deu chiffres après la virgule le résultat sera donc fois trop grand. On replace la virgule dans le résultat. On divise le résultat par ce qui correspond à chiffres après la virgule. donc PROPRIÉTÉS DE LA MULTIPLICATION PAR UN DÉCIMAL ) : Multiplier un nombre par c'est le diviser par ( Multiplier un nombre par c'est le diviser par ( Multiplier un nombre par c'est le diviser par ( Si on multiplie un nombre par un décimal inférieur à le résultat est inférieur au nombre de départ : ) : ) : Si on multiplie un nombre par un décimal supérieur à le résultat est supérieur au nombre de départ :
19 CA. DIVISION DÉCIMALE LE SENS DE LA DIVISION DÉCIMALE Dans certaines situations de division on doit diviser aussi le reste. Dans ces cas le quotient contiendra des fractions il sera donc décimal. On veut partager gâteau entre personnes. donc chaque personne aura tarte entière (division euclidienne). On partage les tartes restantes en parts égales : chacun aura de tarte (fraction). donc chaque personne aura tarte. On écrit : «:» est le signe de la division décimale. LA TECHNIQUE DE CALCUL Il s'agit de la même technique que la division euclidienne mais cette fois au lieu de s'arrêter quand le reste est inférieur au diviseur on continue à diviser jusqu'à ce qu'il reste. On veut partager entre enfants partie entière On effectue la division euclidienne : ( ) On divise le reste : On place une virgule au quotient. On abaisse zéro diièmes. En combien de fois? fois reste. On abaisse zéro centièmes. En combien de fois? fois reste. Le reste vaut on a terminé. Donc : Chaque enfant recevra. partie décimale LE QUOTIENT APPROCHÉ Parfois la division décimale ne s'arrête jamais (le reste ne vaut jamais zéro). Le quotient eact n'est pas un nombre décimal. :... Le quotient eact n'est pas décimal c'est une fraction : Dans ce cas on peut écrire le quotient approché aussi précisément que l'on veut : Quotient approché de :... par défaut par ecès à diième près à centième près à unité près etc.
20 CA. CALCULS EN LIGNE En général on effectue les calculs dans l'ordre où ils sont écrits. PRIORITÉS DE CALCUL Attention : on peut toujours effectuer les additions dans l'ordre que l'on veut (voir CA. ) mais pas les soustractions. Quand il y a des calculs entre parenthèses ils sont prioritaires : on effectue d'abord ces calculs-là. ( ) ARBRE DE CALCUL Un arbre de calcul est une manière de représenter un calcul en indiquant les priorités. Il est toujours équivalent à une écriture en ligne. ( ) ( ) ÉCRIRE DES CALCULS AVEC DES LETTRES Quand on veut écrire un calcul dont la forme ne change pas quels que soient les nombres on peut remplacer les nombres par des lettres. On obtient un modèle de calcul. Formule de calcul du périmètre d'un rectangle. L ℓ P (L ℓ) L représente la longueur du rectangle. ℓ représente la largeur du rectangle. P représente l'aire du rectangle. Pour calculer un périmètre on remplace les lettres par des nombres : Avec L cm et ℓ cm : P ( ) cm Avec L cm et ℓ cm : P ( ) cm
21 CA. DOUBLE ET MOITIE CA. TRIPLE ET QUART
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