Fonctions généralités

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1 Fonctions généralités Activité p.164 I. Généralités sur les fonctions 1) Définitions Une fonction est un procédé qui permet à partir d un nombre de départ d obtenir un unique nombre d arivée. Le procédé peut être une formule, une courbe, un tableau de valeurs, un programme f : I Ë x f(x) x est la variable f(x) est l image de x par la fonction f. x est un antécédent de y par f si x appartient à A et si y = f(x). Exemples 2 Soit f la fonction définie sur R par f ( x) 3x 3x 6. 1) Calculer l image de 2, puis celle de ) Déterminer le ou les antécédents de 6. (s aider du tableau de valeurs) 2) L ensemble de définition Pour une expression f(x) donnée, on appelle ensemble de définition, l ensemble D des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer cette expression, c'est-à-dire l ensemble des réels qui ont une image par f. NB : Un réel de l ensemble de définition a toujours une et une seule image. Ex On considère la fonction f : Ë Ë x x 3x+2 Le réel 2 3 n a pas d image par f, car il annule le dénominateur. D f = R\{ } f(3) = a pour image est l antécédent de ( Une fonction peut avoir plusieurs antécédents ) Exemples : f(x) = x² 2x 15 D f = R. Chercher les antécédents de 0, à l aide du tableau de valeurs de la calculatrice. 3) Représentation graphique Le plan étant muni d un repère (O,Åi,Åj ), on appelle courbe représentative C ( ou représentation graphique) de la fonction f, l ensemble des points de coordonnées ( x ; f(x)) où x appartient à l ensemble de définition de f. On dit aussi que la courbe C a pour équation y = f(x) dans le repère (O,Åi,Åj )

2 Méthode : La calculatrice graphique donne l allure de la courbe On calcule des images en nombre suffisant, à l aide de la calculatrice et on présente les résultats dans un tableau de valeurs. Exemples : Tracer la représentation graphique de la fonction f définie sur [-2 ; 3] par f(x) = x²-2x-1. x f(x) Tracer la représentation graphique de la fonction f, qui à x associe 1 1+x² sur [ -2 ; 3 ]. 4) Détermination graphique de l image ou l antécédent d un nombre par une fonction. voir fiche Exemple : II. Sens de variation d une fonction 1) Définitions Une fonction f est croissante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) < f(x 2 ). On dit que la fonction conserve le sens des inégalités. f(x 2 ) f f(x 1 ) Une fonction f est décroissante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) > f(x 2 ). On dit que la fonction inverse le sens des inégalités.

3 f(x 1 ) f f(x 2 ) Une fonction f est constante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) = f(x 2 ) = k. f k k Les tableaux sont des tableaux de variations. Une fonction f est monotone sur un intervalle I, si f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Ex Ex 7 à 10 p.175 2) Extremum d une fonction La fonction f admet un maximum f(a) en a sur l intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) f(a). La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) f(b). Ex 12 à 18 p Activité p.168 III. Résolution d équations et d inéquations 1) Equation f(x) = k. Résoudre l équation f(x) = k revient à chercher les antécédents de k par f. Théorème : Si f est une fonction strictement croissante sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors l équation f(x) = k admet une unique solution sur [a ; b]. La droite d équation y = k coupe la courbe C f en un seul point dont l abscisse est la solution de l équation f(x) = k. Exemple : l équation f(x) = 1 admet une unique solution sur [-2 ; 3].

4 Théorème : Si f est une fonction strictement décroissante sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(b) et f(a), alors l équation f(x) = k admet une unique solution sur [a ; b]. Exemple : l équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [-2 ; 3]. Ex p.169 2) Equation f(x) = g(x). Résoudre l équation f(x) = g(x) sur I consiste à déterminer les réels x de I qui vérifient l égalité proposée, donc à déterminer les abscisses des points d intersection des deux courbes. Exemple : Les courbes C f et C g se coupent en deux points d abscisses 1 et 2. L équation f(x) = g(x) a donc pour ensemble solution S = {-1 ; 2 } 3) Inéquations f(x) > k. Les solutions de l inéquation f(x) > k ( respectivement f(x) < k )sont les abscisses des points de la courbe C f situés au dessus ( respectivement en dessous ) de la droite d équation y = k. Exemple : L inéquation f(x) < 3 a pour ensemble solution S = ]-1 ; 2 [. 4) particulier : k = 0 ; signe d une fonction Une fonction f est positive sur l intervalle I si et seulement si pour tout x de I, f(x) > 0. ( Sa représentation graphique est au dessus de l axe des abscisses ) Une fonction f est négative sur l intervalle I si et seulement si pour tout x de I, f(x) < 0. ( Sa représentation graphique est en dessous de l axe des abscisses ) Ex 19 à 22 p IV. Comparaison de fonctions 1) Egalité de deux fonctions Les fonctions f et g sont égales sur I si et seulement si pour tout x de I, on a f(x) = g(x). Exemple : Considérons les fonctions f et g définies sur [1 ; 6] respectivement par :

5 2x² 3x 5 3 f(x) = et g(x) = 2x 1. x 2 x 2 Démontrer que les fonctions f et g sont égales sur [1 ; 6]. 2) Comparaison de deux fonctions Soient f et g deux fonctions définies sur un même ensemble I. On dit que f est supérieure à g sur I, et on note f > g, si et seulement si pour tout nombre réel x de I, on a f(x) > g(x). Interprétation graphique : f > g sur I si et seulement si la représentation graphique de f est située au dessus de celle de g. V. Remarque : Montrer que f > g revient à montrer que f g est une fonction positive sur I.

6 Exemple : Fin du I) illustration de la représentation graphique d une fonction Ex 1 p.165 Ex 1 à 6 p Ex 11 p.176 Activité p.166 VI. Sens de variation d une fonction 1) Définitions Une fonction f est croissante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) < f(x 2 ). On dit que la fonction conserve le sens des inégalités. f(x 2 ) f f(x 1 ) Une fonction f est décroissante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) > f(x 2 ). On dit que la fonction inverse le sens des inégalités. f(x 1 ) f f(x 2 ) Une fonction f est constante sur I, si quels que soient les réels x 1 et x 2 de I tels que x 1 < x 2 alors f(x 1 ) = f(x 2 ) = k. f k k Les tableaux sont des tableaux de variations. Une fonction f est monotone sur un intervalle I, si f est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Ex Ex 7 à 10 p.175

7 2) Extremum d une fonction La fonction f admet un maximum f(a) en a sur l intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) f(a). La fonction f admet un minimum f(b) en b sur l intervalle I lorsque, pour tout x de I, f(x) f(b). Ex 12 à 18 p Activité p.168 VII. Résolution d équations et d inéquations 4) Equation f(x) = k. Résoudre l équation f(x) = k revient à chercher les antécédents de k par f. Théorème : Si f est une fonction strictement croissante sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors l équation f(x) = k admet une unique solution sur [a ; b]. La droite d équation y = k coupe la courbe C f en un seul point dont l abscisse est la solution de l équation f(x) = k. Exemple : l équation f(x) = 1 admet une unique solution sur [-2 ; 3]. Théorème : Si f est une fonction strictement décroissante sur [a ; b] et si k est un réel compris entre f(b) et f(a), alors l équation f(x) = k admet une unique solution sur [a ; b]. Exemple : l équation f(x) = 2 admet une unique solution sur [-2 ; 3]. Ex p.169 5) Equation f(x) = g(x). Résoudre l équation f(x) = g(x) sur I consiste à déterminer les réels x de I qui vérifient l égalité proposée, donc à déterminer les abscisses des points d intersection des deux courbes. Exemple : Les courbes C f et C g se coupent en deux points d abscisses 1 et 2. L équation f(x) = g(x) a donc pour ensemble solution S = {-1 ; 2 }

8 6) Inéquations f(x) > k. Les solutions de l inéquation f(x) > k ( respectivement f(x) < k )sont les abscisses des points de la courbe C f situés au dessus ( respectivement en dessous ) de la droite d équation y = k. Exemple : L inéquation f(x) < 3 a pour ensemble solution S = ]-1 ; 2 [. 4) particulier : k = 0 ; signe d une fonction Une fonction f est positive sur l intervalle I si et seulement si pour tout x de I, f(x) > 0. ( Sa représentation graphique est au dessus de l axe des abscisses ) Une fonction f est négative sur l intervalle I si et seulement si pour tout x de I, f(x) < 0. ( Sa représentation graphique est en dessous de l axe des abscisses ) Ex 19 à 22 p VIII. Comparaison de fonctions 1) Egalité de deux fonctions Les fonctions f et g sont égales sur I si et seulement si pour tout x de I, on a f(x) = g(x). Exemple : Considérons les fonctions f et g définies sur [1 ; 6] respectivement par : 2x² 3x 5 3 f(x) = et g(x) = 2x 1. x 2 x 2 Démontrer que les fonctions f et g sont égales sur [1 ; 6]. 2) Comparaison de deux fonctions Soient f et g deux fonctions définies sur un même ensemble I. On dit que f est supérieure à g sur I, et on note f > g, si et seulement si pour tout nombre réel x de I, on a f(x) > g(x). Interprétation graphique : f > g sur I si et seulement si la représentation graphique de f est située au dessus de celle de g. IX. Remarque : Montrer que f > g revient à montrer que f g est une fonction positive sur I.