Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles

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1 POIRET Aurélien Chapitre n o 4 MPSI Généralités sur les fonctions et fonctions usuelles Table des matières - Domaine de définition et graphe d une fonction Premières définitions Invariance du graphe Parties positive et négative d une fonction Définitions de base Opérations usuelles sur les fonctions Les théorèmes fondamentaux Les fonctions logarithmes et exponentielles La fonction logarithme La fonction exponentielle L exponentielle de base a Les fonctions puissances Cas où m N Cas où m Z \ N Cas où m R \ Z Représentations graphiques Règles de calculs Les croissances comparées Les fonctions hyperboliques Les fonctions trigonométriques

2 0 - Les fonctions circulaires réciproques La fonction arctan La fonction arcsin La fonction arccos A - Formulaire de trigonométrie circulaire B - Formulaire de trigonométrie hyperbolique

3 Domaine de définition et graphe d une fonction. Premières définitions Définition A : Fonction Soit A une partie de R. Une fonction de A dans R est un procédé qui à tout élément de A associe au plus un élément de R. Définition B : Application Soit A une partie de R. Une application de A dans R est un procédé qui à tout élément de A associe un, et un seul, élément de R. Exemple : f : R R x x si x 0 est une fonction. En revanche, ce n est pas une application puisque f n est pas définie en 0. Définition C : Domaine de définition d une fonction L ensemble de définition d une fonction f est l ensemble des x A pour lequel f(x existe. On le note D f. Exemple : Dans l exemple précédent, D f = R. Remarque I La fonction f : D f R définit ainsi une application. Dans la suite, on supposera que A = D f et on confondra les appellations «fonction» et «application». Définition D : Graphe d une fonction On appelle représentation graphique d une fonction f ou, plus succinctement, graphe de f, noté G(f, l ensemble des couples (x, y tels que x D f et y = f(x. Plus précisément, G(f = {(x, y / x D f et y = f(x}. Exemple 3 : Dans l exemple précédent, G(f = {( x, x / x R }.. Invariance du graphe 3

4 Propriété Soient a R et f une fonction. Définissons les deux fonctions g : x f(x + a et h : x f(x + a. Alors - G(g est obtenue à partir de G(f par une translation de vecteur a j, - G(h est obtenue à partir de G(f par une translation de vecteur a i. Preuve : On se limite à prouver la première égalité, la seconde se traitant de manière identique. Remarquons que D g = D f et que si τ désigne l application translation de vecteur a j alors τ(x, y = (x, y + a. Montrons que G(g = τ (G(f par double inclusion. : Si (x, y G(g alors x D g et y = g(x. On écrit (x, y = τ(x, y où x = x et y = y a. On a donc x D g et y = f(x, c est-à-dire (x, y G(f. Ainsi G(g τ(g(f. : Si (x, y G(f alors x D f et y = f(x. Puis τ(x, y = (x, y + a avec (x, y + a G(g puisque x D g et y + a = g(x. Ainsi τ(g(f G(g. Définition E : Fonction paire, Fonction impaire Une fonction f est dite paire si D f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x D f, f( x = f(x. Une fonction f est dite impaire si D f est symétrique par rapport à 0 et si pour tout x D f, f( x = f(x. Exemple 4 : Parmi les fonctions suivantes, f : R R g : [ π, π] R h : ] 3π, 3π[ R x x x cos(x x sin(x seule la fonction f est paire et seule la fonction h est impaire. Propriété Si f est une fonction paire alors G(f est invariant par symétrie par rapport à l axe des ordonnées. Si f est une fonction impaire alors G(f est invariant par symétrie par rapport à l origine. Preuve : On se limite à prouver la première égalité, la seconde se traitant de manière identique. Remarquons que si τ désigne l application symétrie par rapport à l axe des ordonnées alors τ(x, y = ( x, y. Montrons que G(f = τ (G(f par double inclusion. : Si (x, y G(f alors x D f et y = f(x. On écrit (x, y = τ(x, y où x = x et y = y. On a donc x D f et y = f(x, c est-à-dire (x, y G(f. 4

5 Ainsi G(f τ(g(f. : Si (x, y G(f alors x D f et y = f(x. Puis τ(x, y = ( x, y avec ( x, y G(f puisque x D f et y = f( x. Ainsi τ(g(f G(f. Définition F : Fonction périodique Soit T > 0. Une fonction f est dite périodique de période T si D f + T = D f et si pour tout x D f, f(x = f(x + T. Si, de plus, T est la plus petite période de la fonction f alors on dit que f est T -périodique. Remarque II On peut montrer qu une fonction continue, périodique et non constante admet toujours une plus petite période. Exemple 5 : Parmi les fonctions suivantes, f : R R g : [0, π] R h : ]kπ, (k + π] R x cos(x x cos(x x cos(x k Z seules les fonctions f et h sont π-périodiques. Exemple 6 : La fonction f : R R { si x Q, x 0 sinon. est périodique de période,, 8 etc. En revanche, il n existe aucun T > 0 tel que f soit T -périodique. Propriété 3 Si f est une fonction périodique de période T alors G(f est invariant par translation de vecteur T i. Preuve : Remarquons que si τ désigne l application translation de vecteur T i alors τ(x, y = (x + T, y. Montrons que G(f = τ (G(f par double inclusion. : Si (x, y G(f alors x D f et y = f(x. On écrit (x, y = τ(x, y où x = x T et y = y. On a donc x D f et y = f(x, c est-à-dire (x, y G(f. Ainsi G(f τ(g(f. : Si (x, y G(f alors x D f et y = f(x. Puis τ(x, y = (x + T, y avec (x + T, y G(f puisque x + T D f et y = f(x + T. Ainsi τ(g(f G(f. Parties positive et négative d une fonction 5

6 Définition G : Partie positive et partie négative d une fonction Soit f : A R une fonction. Posons f + : A R et f : A R x f(x si f(x 0, x f(x si f(x 0, x 0 sinon. x 0 sinon. Exemple 7 : C f C f + C f Propriété 4 Si f : A R alors f = f + f et f = f + + f. Preuve : { x A, f + (x f f(x si f(x 0 (x = f(x si f(x < 0 = f(x. { x A, f + (x + f f(x si f(x 0 (x = f(x si f(x < 0 = f(x. 3 Définitions de base Définition H : Fonction majorée, minorée et bornée Une fonction f est dite majorée sur A si M R / x A, f(x M. Une fonction f est dite minorée sur A si m R / x A, f(x m. Une fonction f est dite bornée sur A si m, M R / x A, m f(x M. 6

7 Remarque III Une fonction f est donc bornée sur A si, et seulement si, la fonction f est majorée sur A. Exemple 8 : La fonction est minorée mais non majorée. Exemple 9 : La fonction est majorée mais non minorée. Exemple 0 : La fonction est bornée. f : R + R x x g : R R x (x h : R + R x e x Définition I : Minimum, Maximum d une fonction Une fonction f admet un minimum en a A si x A, f(x f(a. On dit alors que la valeur f(a est le minimum de la fonction f. Une fonction f admet un maximum en a A si x A, f(x f(a. On dit alors que la valeur f(a est le maximum de la fonction f. On dit qu une fonction admet un extremum si elle admet un maximum ou un minimum. Exemple : Parmi les exemples précédents, f ne possède pas de maximum, g possède un maximum de valeur 0, h ne possède pas de minimum et h possède un maximum en 0 de valeur. Remarque IV Une fonction qui admet un maximum est nécessairement majorée mais la réciproque est fausse comme le montre l exemple de la fonction suivante : f : R + R x x. Exemple : Graphiquement, la fonction suivante est bornée mais ne possède ni de maximum, ni de minimum. 7

8 Remarque V f admet un minimum en a si, et seulement si, f admet un maximum en a. Définition J : Fonction croissante, décroissante et monotone Une fonction f est dite croissante sur A si x, y A, x y f(x f(y. Une fonction f est dite décroissante sur A si x, y A, x y f(x f(y. Une fonction f est dite monotone sur A si elle est croissante ou décroissante sur A. Remarque VI Une fonction qui n est pas croissante n a aucune raison d être décroissante. Définition K : Fonction strictement croissante, décroissante et monotone Une fonction f est dite strictement croissante sur A si x, y A, x < y f(x < f(y. Une fonction f est dite strictement décroissante sur A si x, y A, x < y f(x > f(y. Une fonction f est dite strictement monotone sur A si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur A. Exemple 3 : La fonction x x est strictement croissante sur R + et strictement décroissante sur R. Exemple 4 : La fonction x x est strictement croissante sur R + et strictement décroissante sur R. Exemple 5 : La fonction x x 3 est strictement croissante sur R. Exemple 6 : La fonction x x est strictement décroissante sur R, strictement décroissante sur R + mais n est pas strictement décroissante sur R. Définition L : Fonction continue sur un intervalle Une fonction réelle f définie sur un intervalle I est dite continue si son graphe peut être tracé «sans lever le crayon». On note C 0 (I, R l ensemble des fonctions continues sur I à valeurs réelles. Exemple 7 : Soit n N. La fonction x x n est continue sur R. 8

9 Remarque VII Cette définition n est pas mathématiquement satisfaisante, mais nous nous en satisferons pour le moment. Définition M : Fonction dérivable en un point Soient f : I R une fonction définie sur un intervalle I non vide de R et a I. On dit que f est dérivable en a si le taux d accroissement f(a + h f(a h admet une limite finie quand h 0 (avec h 0. Cette limite est notée f (a, on l appelle nombre dérivé de f en a. Définition N : Fonction dérivable sur un intervalle On dit qu une fonction f : I R, définie sur un intervalle I non vide de R, est dérivable si elle l est en chaque point a de l intervalle I. On peut alors introduit la fonction f : I R appelée dérivée de f. Exemple 8 : Soit n N. La fonction f : x x n est dérivable sur R de fonction dérivée f : x nx n. En effet, pour x R et h 0 alors, par le binôme de Newton, f(x + h f(x h = n k=0 ( n x k h n k k h 0 ( n x n = nx n. n Définition O : Classe d une fonction Soit n N. On dit que f est de classe C n sur I si f est dérivable n fois sur I et que chacune de ces n dérivées sont continues sur I. On dit que f est de classe C si f est de classe C n pour tout n N. On note C n (I, R l ensemble des fonctions de classe C n sur I et C (I, R l ensemble des fonctions de classe C sur I. Exemple 9 : Soit p N. La fonction x x p est de classe C sur R. 4 Opérations usuelles sur les fonctions. 9

10 Définition P Soient f : D f R et g : D g R deux fonctions et λ un scalaire réel non nul alors on définit les fonctions λf, f + g, f g, f, f g et f g de la façon suivante - si x D f alors (λf(x = λf(x. - si x D f D g alors (f + g(x = f(x + g(x. - si x D f D g alors (f g(x ( = f(x g(x. - si x D f et f(x 0 alors f (x = f(x (. - si x D f D g et g(x 0 alors f g (x = f(x g(x. - si g(d g D f alors, pour x D g, f g(x = f(g(x. Propriété 5 Soient f : D f R et g : D g R deux fonctions et λ un scalaire réel non nul. Alors D f+g = D f D g. D λf = D f. D f g = D f D g. D = {x D f / f(x 0}. f D f = {x D f D g / g(x 0}. g D f g = {x D g / g(x D f }. Preuve : La preuve est immédiate. Dans la suite, on suppose donnés I et J deux intervalles non vides de R et non disjoints, ainsi que f : I R et g : J R deux fonctions définies respectivement sur I et J. Théorème 6 On suppose que f : I R et g : J R sont des fonctions continues. Les fonctions f + g et f g sont continues sur I J. Si f ne s annule pas sur I alors f est continue sur I. Si g ne s annule pas sur J alors f g est continue sur I J. Si λ R alors λf est continue sur I. Si g(j I alors f g est continue sur J. Preuve : Admise pour le moment. 0

11 Théorème 7 On suppose que f : I R et g : J R sont des fonctions dérivables. La fonction f + g est dérivable sur I J et La fonction f g est dérivable sur I J et Si λ R alors λf est dérivable sur I et x I J, (f + g (x = f (x + g (x. x I J, (f g (x = f (xg(x + f(xg (x. x I, (λf (x = λf (x. Si f ne s annule pas sur I alors f est dérivable sur I et x I, ( (x = f (x f f(x. Si g ne s annule pas sur J alors f g x I J, est dérivable sur I J et ( f (x = f (xg(x f(xg (x g g(x. Si g(j I alors f g est dérivable sur J et x J, (f g (x = f (g(xg (x. Preuve : Admise pour le moment. Exemple 0 : Si f : x cos(x alors f : x x sin(x. Remarque VIII En prenant appui sur les dérivées des fonctions usuelles connues, on peut retrouver les formules de dérivations déjà connues. Par exemple, u = u u, (un = nu n u, ln(u = u u et en proposer de nouvelles utiles (cos(u = u sin(u, (sin(u = u cos(u et (f(u = f (u u. 5 Les théorèmes fondamentaux Tous les théorèmes qui suivent sont d une importances capitales pour étudier les fonctions usuelles. Ils sont admis pour le moment mais seront démontrés dans des chapitres ultérieurs.

12 Théorème 8 Soit f : I R une fonction dérivable sur un intervalle I de R à valeurs réelles. f est croissante si, et seulement si, x I, f (x 0. f est décroissante si, et seulement si, x I, f (x 0. f est constante si, et seulement si, x I, f (x = 0. Si f > 0 sur I, sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I. Si f < 0 sur I, sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement décroissante sur I. Remarque IX Attention si f est strictement croissante alors cela ne signifie pas que f > 0 comme le montre l exemple de x x 3. De plus, les sens réciproques des deux derniers points sont faux comme le montre l exemple qui suit. Exemple : La fonction x x+cos(x est strictement croissante sur R car strictement croissante sur tout segment de R puisque sa dérivée x sin(x y est strictement positive sauf en un nombre fini de point. Théorème 9 : Le théorème de la bijection pour les fonctions Soient I un intervalle non vide de R et f : I R une fonction strictement monotone et continue. Notons J = f(i. Alors J est un intervalle Il existe une fonction g définie et continue sur J, à valeurs dans I, de même sens de monotonie que f vérifiant les deux conditions suivantes x I, g(f(x = x et y J, f(g(y = y. La fonction g est unique et on note g = f. On dit alors que f induit une bijection de I dans J et f s appelle la fonction réciproque de f ou encore la fonction inverse de f. Les courbes représentatives de f et f sont symétriques par rapport à la première bissectrice. Soit x 0 I tel que f soit dérivable en x 0 et posons y 0 = f(x 0. Alors f est dérivable en y 0 si, et seulement si, f (x 0 0 et dans ce cas nous avons ( f (y0 = f f (y 0. Dans le cas contraire, la courbe représentative de f admet une tangente verticale au point d abscisse y 0. Si f est de classe C n sur I avec n et si f est ne s annule pas sur I alors f est de classe C n sur J.

13 Remarque X Si les hypothèses du théorème de la bijection sont satisfaites, comment déterminer J? On se sert du théorème des valeurs intermédiaires et du tableau récapitulatif qui suit. I [a, b] [a, b[ ]a, b] ]a, b[ f J = f(i [f(a, f(b] [f(a, lim f[ b ]lim f, f(b] a ]lim f, lim f[ a b f J = f(i [f(b, f(a] ]lim b f, f(a] [f(b, lim a f[ ]lim b f, lim a f[ Remarque XI Si les hypothèses du théorème de la bijection sont satisfaites, comment déterminer f? Méthode N o : On fixe x I et y J tels que y = f(x. On cherche alors à exprimer x en fonction de y. L expression obtenue n est d autre que f (y. Méthode N o : On trouve g : J I qui vérifie Dans ce cas, g n est d autre que f. x I, g(f(x = x et y J, f(g(y = y. Exemple : Considérons la fonction f : R + R x x. Cette fonction est strictement croissante et continue sur R +. [ [ Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que f(r + = f(0, lim x + = [0, + [. Par le théorème de la bijection, on peut donc affirmer que la fonction f induit donc une bijection de R + dans R +. Calculons ensuite f. On pose g : R + R + x x. Il est immédiat que, pour tout x R +, g(f(x = x et que, pour tout x R +, f(g(x = x. On peut alors affirmer que g = f. Enfin, comme f : x x ne s annule qu en 0 alors f est dérivable sur [0, + [\{f(0} =]0, + [ et x R +, (f (x = f (f (x = x. Exemple 3 : Soit f : R + R définie par f(x = x +. La fonction f est continue et dérivable sur R + et, pour tout x R +, f (x = x. f > 0 sauf en 0 : la fonction f est donc strictement croissante sur R +. [ [ Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que f(r + = f(0, lim = x + f(x [, +, [. Par le théorème de la bijection, on peut donc affirmer que f induit une bijection de [0, + [ dans [, + [. 3

14 Calculons ensuite f. Soient x R + et y [, + [ tels que y = f(x. Comme y = f(x y = x + x = y x = y, on en déduit que f : [, + [ R + y y. Enfin, comme f ne s annule qu en 0 alors f est dérivable sur [, + [\{f(0} =], + [ et x ], + [, (f (x = f (f (x = x. Définition Q : Fonction bijective Une fonction f : I J est dite bijective si, pour tout y J, l équation y = f(x, d inconnue x admet une unique solution dans I. Théorème 0 Soit f : I J une fonction continue alors f est bijective si, et seulement si, J = f(i et f est strictement monotone. Dans cette situation, on peut appliquer à f le théorème de la bijection. Exemple 4 : La fonction f : R + R +, x x est bijective alors que les fonctions g : R + R, x x et h : R R +, x x ne le sont pas. Théorème : Le théorème fondamental de l analyse Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Plus précisément, si I désigne un intervalle de R, x 0 un point de I et f une fonction continue sur I alors F x0 : x x x 0 f(t dt est l unique primitive de f s annulant en x 0. Toutes les primitives d une fonction continue sur un intervalle diffèrent à une constante additive près. Exemple 5 : La fonction x e x admet des primitives sur R puisqu elle y est continue sur cet intervalle. 6 Les fonctions logarithmes et exponentielles 6. La fonction logarithme Définition R : Fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie comme l unique primitive de x x qui s annule en. sur ]0, + [ 4

15 Remarque XII C est grâce au théorème fondamental de l analyse que nous sommes assuré que la fonction x x admet une primitive sur ]0, + [ s annulant en puisqu elle est continue sur cet intervalle. Théorème La fonction ln est de classe C sur ]0, + [, strictement croissante sur ]0, + [ et s annule en. De plus, x R +, ln ( x = ln(x. Preuve : ln est de classe C en tant que primitive d une fonction continue. Pour x R +, ln (x = > 0 donc la fonction x ln est strictement croissante sur R +. La dérivée de la fonction ln étant de classe C, la fonction ln est elle-même C sur R +. On pose ensuite pour x R +, g(x = ln ( x + ln(x. Nous avons x R +, g (x = x + x = 0 x et g est constante égale à g( = 0 sur R +. On en déduit la relation demandée. Théorème 3 La fonction ln vérifie les propriétés suivantes lim ln(x = +, lim x + ln(x =. x 0 + Preuve : Supposons la fonction ln majorée par M. Pour tout x et α >, nous avons M ln(x = x t dt Soit n N. Choisissons α = + n et x = nn pour obtenir x t dt = ( x α. α α M n((n n n n. Ce qui est absurde en faisant tendre n vers +. Ainsi, la fonction ln n est donc pas majorée. Étant croissante, par le théorème de la limite monotone, on en déduit que lim ln(x = +. x + Grâce à la relation ln ( x = ln(x, on en déduit que lim ln(x =. + x 0 5

16 Théorème 4 x, y R +, ln(xy = ln(x + ln(y. Preuve : Soit y R +. On pose, pour x R +, f(x = ln(xy ln(x. f est dérivable sur R + et, pour tout x R +, f (x = 0. f est constante sur R + égale à f( = ln(y. On en déduit la relation demandée. Théorème 5 x R +, α R, ln(x α = α ln(x. Preuve : Soit α R. Pour x R +, on pose g(x = ln(x α α ln(x. g est dérivable sur R + et, pour tout x R +, g (x = 0. g est constante sur R + égale à g( = 0. On en déduit la relation demandée. Théorème 6 x >, ln( + x x. Preuve : Pour x >, on pose ϕ(x = x ln( + x. La fonction ϕ est dérivable sur ], + [ et nous avons ϕ (x = = x. La fonction ϕ est donc décroissante sur ], 0] puis croissante sur [0, + [. Par conséquent, +x +x L inégalité escomptée suit aisément. x >, ϕ(x ϕ(0 = 0. 6

17 6. La fonction exponentielle Dans la partie précédente, nous avons montré que la fonction ln : ]0, + [ R vérifie les hypothèses du théorème de la bijection pour les fonctions (en effet, elle est continue, strictement croissante sur ]0, + [ et vérifie ln(]0, + = R. On appelle fonction exponentielle et on note exp la fonction réciproque de ln. Nous avons donc le théorème qui suit. Théorème 7 La fonction exp est définie sur R, est strictement positive, strictement croissante sur R et vérifie les propriétés suivantes : x ]0, + [, exp(ln(x = x et x R, ln (exp(x = x. Ces deux dernières relations permettent d en déduire que lim x + ex = + et lim x ex = 0. Théorème 8 La fonction exponentielle est l unique fonction de classe C sur R solution du problème { x R, f (x = f(x, f(0 =. Preuve : Existence : La fonction ln est dérivable sur ]0, + [ et sa dérivée ne s annule pas sur cet intervalle. On en déduit que exp est dérivable sur R et que x R, exp (x = exp(x = exp(x. De plus, de ln( = 0, on en déduit que exp(0 =. Ainsi, on en déduit que exp est bien solution du problème. Unicité : Si f et g sont deux fonctions solutions du problème initilae alors on pose h = f g qui est solution du problème { x R, h (x = h(x, h(0 = 0. 7

18 ( d Ainsi, dx e x h(x = 0. La fonction x e x h(x est donc constante sur R, égale à saleur en 0 qui vaut 0. On en déduit donc que h est nulle puisque exp ne s annule pas sur R. Ainsi, f = g et la solution du problème étudié est nécessairement unique. Théorème 9 x, α R, e αx = (e x α. Preuve : Soient x, α R. Pour tout y ]0, + [, ln(y α = α ln(y. En choisissant y = e x, nous obtenons ln((e x α = α ln(e x = αx. On compose l égalité par la fonction exp pour obtenir le résultat. Théorème 0 x, y R, e x+y = e x e y. Preuve : Soient x, y R. Pour tous X et Y strictement positifs, ln(xy = ln(x + ln(y. En choisissant X = e x et Y = e y, nous obtenons ln(e x e y = ln(e x + ln(e y = x + y. On compose l égalité par la fonction exp pour obtenir le résultat. Théorème x R, e x + x. Preuve : Soit x R. Pour tout y > 0, ln(y + y. En choisissant y = e x, nous obtenons Ce qui permet obtenir l inégalité escomptée. x = ln(e x + e x. 6.3 L exponentielle de base a Soit a > 0 fixé. Posons, pour x R, f a (x = a x. Théorème - Si a = alors la fonction f a est constante égale à. - Si a > alors f a est strictement croissante sur R et nous avons lim f a(x = + et x + - Si a < alors f a est strictement décroissante sur R et nous avons lim +. Dans tous les cas, f a est de classe C sur R et f a = ln(a f a. lim f a(x = 0. x f a(x = 0 et lim f a(x = x + x Preuve : Il suffit de remarquer que, pour tout x R, f a(x = e x ln(a. Ainsi, x R, f a(x = ln(a e x ln(a. 8

19 7 Les fonctions puissances Dans cette partie, on fixe m R et on étudie la fonction f m : x x m. Remarquons déjà que si m = 0 alors la fonction f m est constante égale à. 7. Cas où m N Dans ce cas, f m (x = } x {{ x } et donc D fm = R. m fois Théorème 3 La fonction f m est définie sur R et de classe C avec f m = mf m. Si m est pair alors la fonction f m est paire et strictement décroissante sur ], 0] puis strictement croissante sur [0, + [. Si m est impair alors la fonction f m est impaire et est strictement croissante sur R. 7. Cas où m Z \ N Dans ce cas, on écrit f m (x = f m (x et donc D f m = R. Théorème 4 La fonction f m est définie sur R et de classe C avec f m = mf m. Si m est pair alors la fonction f m est paire et strictement croissante sur ], 0[ puis strictement décroissante sur ]0, + [. Si m est impair alors la fonction f m est impaire et strictement décroissante sur ], 0[ ainsi que sur ]0, + [. 7.3 Cas où m R \ Z On note que f m (x = e m ln(x. Ainsi f m est définie sur R + et nous avons le théorème qui suit. 9

20 Théorème 5 La fonction f m est définie sur R + et de classe C avec f m = mf m. Si m < 0 alors la fonction f m est décroissante sur R +. Si m > 0 alors la fonction f m est croissante sur R +. Remarque XIII Si m 0 alors f m admet une limite en 0 qui vaut 0 et on peut donc prolonger f m par continuité en Représentations graphiques 0

21 7.5 Règles de calculs Théorème 6 Si m, n R et si x, y R + alors (xy m = x m y m, x m+n = x m x n, (x m n = x mn. Preuve : Soient m, n R et x, y R +. (xy m = exp(m ln(xy = exp(m ln(x + m ln(y = exp(m ln(x exp(m ln(y = x m y m. x m+n = exp((m + n ln(x = exp(m ln(x + n ln(x = exp(m ln(x exp(n ln(x = x m x n. (x m n = exp(n ln(x m = exp(nm ln(x = x mn. 7.6 Les croissances comparées Théorème 7 : Croissances comparées Nous avons les résultats suivants : α > 0, β > 0, α > 0, a >, 0 < a <, α > 0, α > 0, a >, lim x + (ln(x α = 0, x β x lim α x + a = 0, x lim x + xα a x = 0, lim x 0 xα ln(x = 0, + lim x xax = 0. Preuve : Pour x, posons ϕ(x = ln(x + x. La fonction ϕ est dérivable sur [, + [ et, pour tout x [, + [, ϕ (x = + x x = x 0. La fonction ϕ est strictement croissante sur [, + [. Ainsi, pour x, on a ϕ(x x ϕ( = 0. On a donc prouvé que ln(x x,. ( x x

22 Ainsi, par (, pour x 3, nous avons 0 (ln(xα x β = exp (α ln(ln(x β ln(x ( β ln(x = exp ( exp β ln(x ( α β ln(ln(x ln(x ( α β. ln(x ( ( Or lim exp β ln(x α (ln(x = 0 donc, par théorème d encadrement, nous avons lim α = 0. n β ln(x x + x β De même, par (, pour x, nous avons 0 xα a x = exp (α ln(x x ln(a ( ( = exp x ln(a α ln(a ln(x x ( ( exp x ln(a α ln(a. x ( ( Or lim exp x ln(a α x ln(a x = 0 donc, par théorème d encadrement, nous avons lim De même, par (, pour x, nous avons x + x α a x = 0. 0 x α a x = exp (α ln(x + x ln(a ( ( = exp x ln(a + α ln(a ln(x x ( ( exp x ln(a + α ln(a. x ( ( Or lim exp x ln(a + α x + ln(a x = 0 donc, par théorème d encadrement, nous avons lim x + xα a x = 0. On pose X =. Faire tendre x vers x 0+ revient à faire tendre X vers +. De plus, x α ln(x = ln(x. Par ce qui X α ln(x précède, lim = 0 et donc lim X + X α xα ln(x = 0. x 0 + On pose X = x. Faire tendre x vers revient à faire tendre X vers +. De plus, ( X xa x = Xa X = X a Or a < donc, par ce qui précède, lim X ( X = 0 puis lim X + a x xax = 0. 8 Les fonctions hyperboliques Définition S : Cosinus et sinus hyperboliques Les fonctions ch et sh, appelées cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, sont définies par : x R, ch(x = ex + e x et sh(x = ex e x. Théorème 8 La fonction ch est de classe C sur R, paire, strictement positive et strictement décroissante sur ], 0] puis strictement croissante sur [0, + [. De plus, pour tout x R, ch (x = sh(x. Enfin, lim x + ch(x = + et lim x ch(x = +.

23 Preuve : La fonction ch est de classe C sur R en tant qu opérations usuelles sur les fonctions de classe C sur R. R est symétrique par rapport à 0 et, pour tout x R, La fonction ch est donc paire. Pour tout x R, ch( x = e x + e x = ch(x. ch (x = ex e x = sh(x. Si x > 0 alors, par stricte croissance de la fonction exponentielle, nous obtenons que sh(x > 0 puisque x > x. Par conséquent, ch > 0 sur ]0, + [ et la fonction ch est strictement croissante sur ]0, + [ puis sur [0, + [. Par parité de la fonction ch, cette dernière est strictement décroissante sur ], 0]. Enfin, pour tout x R, ch(x ch(0 =. Théorème 9 La fonction sh est de classe C sur R, impaire et strictement croissante sur R. De plus, pour tout x R, sh (x = ch(x. Enfin, sh(x = + et lim sh(x =. lim x + x Preuve : La fonction sh est de classe C sur R en tant qu opérations usuelles sur les fonctions de classe C sur R. R est symétrique par rapport à 0 et, pour tout x R, La fonction sh est donc impaire. Pour tout x R, sh( x = e x e x = sh(x. sh (x = ex + e x = ch(x > 0. Cela permet d affirmer que la fonction sh est strictement croissante sur R. 3

24 Théorème 30 x R, ch(x + sh(x = e x et ch (x sh (x =. Preuve : Soit x R. ch(x + sh(x = ex + e x + ex e x = e x. ( ch (x sh e x + e x ( e x e x (x = =. Définition T : Tangente hyperbolique La fonction th, appelée tangente hyperbolique est définie par, pour tout x R, th(x = sh(x ch(x. Théorème 3 La fonction th est de classe C sur R, impaire et est strictement croissante sur R. De plus, pour tout x R, th (x = ch (x = th (x. Enfin, lim x + th(x = et lim x th(x =. Preuve : La fonction th est de classe C sur R en tant que quotient de fonctions classe C sur R dont le dénominateur est donné par la fonction ch qui ne s annule pas. R est symétrique par rapport à 0 et, pour tout x R, La fonction th est donc impaire. Pour tout x R, th( x = sh( x ch( x = th(x. th (x = ch(x sh (x ch (x = ch (x = th (x > 0. 4

25 La fonction th est strictement croissante sur R. De plus, pour x R, On en déduit que lim x th(x = e x + e x x +. th(x = par imparité de la fonction th. 9 Les fonctions trigonométriques Définition U : Cosinus et sinus Soient t R et M t le point du cercle trigonométrique déterminé par ( i, OM t [π]. L abscisse et l ordonnée du point M t sont notées cos(t et sin(t. On définit ainsi deux fonctions cos et sin de R dans [, ]. Comme le point M t a pour affixe e it dans le plan complexe, on peut alors affirmer que cos(t = Re(e it et sin(t = Im(e it. 5

26 Théorème 3 x R, cos (x + sin (x =. Preuve : e ix = puisque e ix est sur le cercle trigonométrique. Or e ix = cos(x + i sin(x donc cos (x + sin (x =. Remarque XIV Á l aide du cercle trigonométrique, il est clair que les fonctions cos et sin sont π-périodiques. Ce cercle trigonométrique permet également d établir les formules des angles associés. Les autres formules du formulaire trigonométrique se démontrent à l aide du passage par les nombres complexes comme cela a été expliqué dans le chapitre adéquat. Théorème 33 On a la tableau de valeurs qui suit. θ 0 π cos(θ 6 3 sin(θ 0 π 4 π π Preuve : Les valeurs extrémales du tableau sont immédiates d après le cercle trigonométrique. Appliquons la formule cos(θ = cos (θ à θ = π 4. Nous obtenons cos ( π peut affirmer que cos ( π 4 =. Appliquons la formule cos(θ = sin (θ à θ = π. Nous obtenons ( 4 sin π =. 4 4 =. Par positivité de cos ( π 4, on =. Par positivité de sin ( π 4, on peut affirmer que sin ( π 4 Appliquons la formule sin(3θ = 3 sin(θ 4 sin 3 (θ à θ = π. Nous obtenons 0 = 3 sin ( ( π sin 3 π 3. Par non nullité de sin ( π 3, on obtient 3 = ( ( 4 sin π 3. Par positivité de sin π ( 3, on peut affirmer que sin π 3 = 3. De cos ( ( ( π 3 + sin π 3 = et positivité de cos π ( 3, on peut affirmer que cos π 3 =. Appliquons la formule cos(3θ = 4 cos 3 (θ 3 cos(θ à θ = π. Nous obtenons 0 = 4 ( ( 6 cos3 π 6 3 cos π 6. Par non nullité de cos ( π 6, on obtient 3 = ( ( 4 cos π 6. Par positivité de cos π ( 6, on peut affirmer que cos π 6 = 3. De cos ( ( ( π 6 + sin π 6 = et positivité de sin π ( 6, on peut affirmer que sin π 6 =. Théorème 34 Les fonctions cos et sin sont de classe C sur R et, pour tout x R, cos (x = sin(x et sin (x = cos(x. Preuve : f : x e ix est une fonction de classe C sur R. Il en est de même pour sa partie réelle, c est-à-dire la fonction cos et sa partie imaginaire, c est-à-dire la fonction sin. De plus, pour tout x R, f (x = ie ix = i(cos(x + i sin(x = sin(x + i cos(x. Or f = Re(f + i Im(f = cos + i sin donc, par identification, cos = sin et sin = cos. 6

27 Définition V La fonction tangente, notée tan est définie pour x R \ π sin(x (Z + par tan(x = cos(x. Théorème 35 La fonction ] tan est définie [ sur R \ π (Z + et est strictement croissante sur tout intervalle de la forme (k π, (k+π où k Z. De plus, pour tout x R \ π (Z +, tan (x = cos (x = + tan (x. Preuve : La fonction tan est bien définie sur R \ π (Z + puisque la fonction cos s annule uniquement en les points de la forme (k+π où k Z. De plus, pour tout x R \ π (Z +, tan (x = cos(x cos(x + sin(x sin(x cos (x = cos (x > 0. 7

28 0 Les fonctions circulaires réciproques 0. La fonction arctan La restriction de la fonction tan à ] π, π [ est dérivable, strictement croissante et sa dérivée ne s annule pas sur cet intervalle. Elle induit une bijection de ] π, π [ ] dans tan( π, π [ = R. Sa bijection réciproque, notée arctan, est définie sur R, de classe C et strictement croissante sur R. Nous avons ] x R, tan(arctan(x = x, x π, π [, arctan(tan(x = x, De plus, x R, arctan (x = tan (arctan(x = + tan (arctan(x = + x. Théorème 36 La fonction arctan est impaire. Preuve :Le domaine de définition de arctan, R, est symétrique par rapport à 0. Posons, pour x R, f(x = arctan(x + arctan( x. f est dérivable sur R et, pour tout x R, f (x = 0. f est donc constante sur R égale à f(0 = 0. f est nulle, ce qui signifie que f est impaire. 8

29 Théorème 37 ( x > 0, arctan(x + arctan = π ( x. x < 0, arctan(x + arctan = π x. Preuve : On pose, pour x 0, f(x = arctan(x + arctan ( x. f est dérivable sur R + et sur R. Pour tout x 0, f (x = + x x + x = 0 Ainsi, on en déduit donc que f est constante sur chaque intervalle de son domaine de définition. En évaluant en x = et en x =, on établit les égalités souhaitées. 0. La fonction arcsin La restriction de la fonction sin à [ π, π ] est continue et strictement croissante donc elle induit une bijection de [ π, π ] [ dans sin( π, π ] = [, ]. Sa bijection réciproque, notée arcsin, est définie sur [, ], continue sur [, ] et strictement croissante sur [, ]. Par conséquent, [ x [, ], sin(arcsin(x = x et x π, π ], arcsin(sin(x = x. Théorème 38 x [, ], cos(arcsin(x = x. Preuve : Nous avons, pour tout x [, ], cos (arcsin(x = sin (arcsin(x = x. Ainsi, on en déduit que cos(arcsin(x = x. 9

30 Or arcsin(x [ π, π ] donc cos(arcsin(x 0 et on a donc montré que cos(arcsin(x = x. La restriction de la fonction sin à [ π, π ] est de classe C et de dérivée qui ne s annule pas sur ] π, π [, on en déduit que la fonction arcsin est de classe C sur ], [ et que x ], [, arcsin (x = sin (arcsin(x = cos(arcsin(x =. x Théorème 39 La fonction arcsin est impaire. Preuve :Le domaine de définition de arcsin, [ π, π ], est symétrique par rapport à 0. Posons, pour x ], [, f(x = arcsin(x + arcsin( x. f est dérivable et, pour tout x ], [, f (x = 0. f est donc constante sur ], [ égale à f(0 qui vaut 0. De plus arcsin( = π la fonction arcsin est impaire. et arcsin( = π. f est donc nulle sur [, ] et 0.3 La fonction arccos La restriction de la fonction cos à [0, π] est continue et strictement décroissante donc elle induit une bijection de [0, π] dans cos([0, π] = [, ]. Sa bijection réciproque, notée arccos, est définie sur [, ], continue sur [, ] et strictement décroissante sur [, ]. Par conséquent, x [, ], cos(arccos(x = x et x [0, π], arccos(cos(x = x. Théorème 40 x [, ], sin(arccos(x = x. 30

31 Preuve : Nous avons, pour tout x [, ], sin (arccos(x = cos (arccos(x = x. Ainsi, on en déduit que sin(arccos(x = x. Or arccos(x [0, π] donc sin(arccos(x 0 et on a donc montré que sin(arccos(x = x. La restriction de la fonction cos à [0, π] est de classe C et de dérivée qui ne s annule pas sur ]0, π[. On en déduit que la fonction arccos est de classe C sur ], [ et que x ], [, arccos (x = cos (arccos(x = sin(arccos(x = x. Théorème 4 x [, ], arccos(x + arcsin(x = π. x [, ], arccos( x + arccos(x = π. Preuve : Montrons la première relation, la seconde se démontrant de manière identique. Pour x [, ], on pose f(x = arccos(x + arcsin(x. f est dérivable sur ], [ et de dérivée nulle. On en déduit que f est constante sur ], [ égale à f(0 = π. Par ailleurs, f( = f( = π et f est donc constante égale à π sur [, ]. 3

32 A Formulaire de trigonométrie circulaire Angles associés cos( x = cos(x cos(π x = cos(x cos(π + x = cos(x sin( x = sin(x sin(π x = sin(x sin(π + x = sin(x cos ( π x = sin(x cos ( π + x = sin(x sin ( π x = cos(x sin ( π + x = cos(x Relations entre cos, sin et tan cos (x + sin (x = Formules d addition cos(a + b = cos(a cos(b sin(a sin(b sin(a + b = sin(a cos(b + cos(a sin(b tan(a + b = tan(a+tan(b tan(a tan(b Formules de duplication tan(x = sin(x cos(x + tan (x = cos (x cos(a b = cos(a cos(b + sin(a sin(b sin(a b = sin(a cos(b cos(a sin(b tan(a b = tan(a tan(b +tan(a tan(b cos(a = cos (a sin (a sin(a = cos(a sin(a tan(a = tan(a tan (a cos(3a = 4 cos 3 (a 3 cos(a sin(3a = 3 sin(a 4 sin 3 (a tan(3a = 3 tan(a tan3 (a 3 tan (a Formules de linéarisation cos (a = +cos(a sin (a = cos(a tan (a = cos(a +cos(a cos 3 cos(3a+3 cos(a (a = 4 sin 3 sin(3a+3 sin(a (a = 4 tan 3 (a = Passage d un produit à une somme cos(a cos(b = (cos(a b + cos(a + b cos(a sin(b = (sin(a + b sin(a b sin(a sin(b = (cos(a b cos(a + b sin(3a+3 sin(a cos(3a+3 cos(a Passage d une somme à un produit cos(p + cos(q = cos ( p+q ( cos p q sin(p + sin(q = sin ( p+q ( cos p q Résolutions d équations trigonométriques cos(p cos(q = sin ( p+q ( sin p q sin(p sin(q = sin ( p q ( cos p+q cos(u = cos(v U V [π] ou U V [π] sin(u = sin(v U V [π] ou U π V [π] tan(u = tan(v U V [π] Expression du cosinus, sinus et de la tangente en fonction de la tangente de l angle moitié ( a Si t = tan alors cos(a = t t t, sin(a = et tan(a = + t + t t

33 B Formulaire de trigonométrie hyperbolique Formules fondamentales ch( x = ch(x sh( x = sh(x ch(x = ex +e x sh(x = ex e x ch(x + sh(x = e x ch(x sh(x = e x Relations entre ch, sh et th ch (x sh (x = Formules d addition th(x = sh(x ch(x th (x = ch (x ch(a + b = ch(a ch(b + sh(a sh(b sh(a + b = sh(a ch(b + ch(a sh(b th(a + b = th(a+th(b +th(a th(b ch(a b = ch(a ch(b sh(a sh(b sh(a b = sh(a ch(b ch(a sh(b th(a b = th(a th(b th(a th(b Formules de duplication ch(a = ch (a + sh (a sh(a = ch(a sh(a th(a = th(a +th (a ch(3a = 4 ch 3 (a 3 ch(a sh(3a = 3 sh(a + 4 sh 3 (a th(3a = 3 th(a+th3 (a +3 th (a Formules de linéarisation ch (a = +ch(a sh (a = +ch(a th (a = +ch(a +ch(a ch 3 ch(3a+3 ch(a (a = 4 sh 3 sh(3a 3 sh(a (a = 4 th 3 (a = Passage d un produit à une somme Passage d une somme à un produit ch(p + ch(q = ch ( p+q ( ch p q sh(p + sh(q = sh ( p+q ( ch p q ch(a ch(b = (ch(a + b + ch(a b ch(a sh(b = (sh(a + b sh(a b sh(a sh(b = (ch(a + b ch(a b sh(3a 3 sh(a ch(3a+3 ch(a ch(p ch(q = sh ( p+q ( sh p q sh(p sh(q = sh ( p q ( ch p+q Expression du cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et de la tangente hyperbolique en fonction de la tangente hyperbolique de l angle moitié ( a Si t = th alors ch(a = + t t t, sh(a = et th(a = t t + t