Fonctions : Généralités

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1 Fonctions : Généralités Table des matières I Définition et vocabulaire I. Définitions I.. Tableau de valeurs I.. Courbe représentative I. Etude qualitative de fonctions I.. Sens de variation I.. Etrema I..3 Tableau de signes I..4 Parité et smétries I.3 Fonctions composées II Fonctions de référence 9 II. Fonctions linéaires et affines II. Fonction carré II.3 Fonction inverse II.4 Fonction cube II.5 Fonction racine carrée II.6 Fonctions Polnômes de degré II.7 Fonctions Polnôme II.8 Fonction valeur absolue II.9 Fonction partie entière II.0 Fonctions trigonométriques II.0. Définition dans un triangle rectangle II.0. Définition sur le cercle trigonométrique II.0.3 Courbes représentatives I Définition et vocabulaire I. Définitions Une fonction est la donnée d un sous-ensemble D de R, et d un procédé qui à un nombre appartenant à D associe un nombre. On note : f : D R, = f() mais parfois aussi, de façon moins rigoureuse, f ou encore f : ou encore = f(). On dit que est l image de par la fonction f et que est un antécédent de par la fonction f.

2 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités L ensemble D (souvent noté D f ) s appelle l ensemble de définition de la fonction f. Eemple Soit g la fonction définie sur R par g() = + 3. L image de 5 est g(5) = = 8, Les antécédents de 7 sont les nombres tels que g() = 7, c est à dire les solutions de l équation + 3 = 7, qui sont = et =. (7 a donc deu antécédents : et.) Il n a pas d antécédent de car l équation g() = n a pas de solution : + 3 = =. Remarque : Comme l illustre cet eemple, un nombre dans l ensemble D possède une unique image, alors qu un nombre peut possèder plusieurs antécédents par f. Remarque : Formellement, une fonction doit être donnée avec son ensemble de définition. Il est pourtant fréquent que l on donne une fonction sans spécifier son ensemble de définition : dans ce cas, on prendra pour ensemble de définition l ensemble maimal, c est-à-dire l ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par f. Dans de nombreu eercices, on demande ainsi de déterminer l ensemble de définition d une fonction. Eemple La fonction f : 4 a pour ensemble de définition ] ; [ ] ; + [. En effet, l epression n a de 4 sens que pour les valeurs de telles que 4 0, c est-à-dire pour. On dit aussi que est une valeur interdite pour la fonction f. Mais on peut aussi considérer la fonction g :] ; + [ R ;, donnée par la même epression algébrique 4 mais aant un ensemble de définition différent (et qui ne contient pas la valeur interdite ). Remarque : Une fonction peut très bien être constante, c est-à-dire que toutes les valeurs ont la même image k fiée (indépendant de ). On dit alors que f est la fonction constante f() = k. I.. Tableau de valeurs Pour une fonction f donnée, on peut établir un tableau de valeurs. Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels, et la seconde ligne contient leurs images respectives = f(). Eemple 3 Soit la fonction f définie sur R par f() = +, on obtient le tableau suivant (grâce par eemple à une calculatrice) : f() 4, 7 3, , 7 (on notera que le fait que f n est pas définie en 0 est représenté par le smbole ). --

3 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités I.. Courbe représentative Dans tout le reste du chapitre, on munit le plan d un repère orthonormal. Un tableau de valeur donne une liste limitée d informations sur une fonction, car on ne peut lire qu un nombre fini de valeurs. Mais on peut donner graphiquement l ensemble des valeurs prises par une fonction : Définition Dans un repère orthogonal, l ensemble des points de coordonnées (; f()) forment la courbe représentative de la fonction f (souvent notée C f ). Eemple 4 Soit la fonction f définie sur R par : f() = 5 +. On trace la portion de courbe représentative de f dont les abscisses sont comprises entre 3 et : 3 C f 3 3 Notons que l on a placé sur cette courbe les points correspondant au tableau de valeurs ci-dessous : 3, 5, 5 0, 5 0 0, 5, 5 f(), 5, 7, 3, 5 0, 5, 3 Comme l illustre l eemple précédent, la courbe représentative d une fonction nous permet de déterminer l ensemble de ses valeurs, ainsi que leurs antécédents : Méthode pour lire une image ou un antécédent à partir d une courbe (au degré de précision permis par le dessin bien sûr) : -3-

4 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités Image d un nombre 0 : Antécédent(s) d un nombre 0 : on place 0 sur l ae des abscisses, on se déplace verticalement pour rencontrer C f on lit f( 0 ) sur l ae des ordonnées L image de par f est. 3 on trace la droite (horizontale) = 0, à partir des points d intersection avec C f, on lit les antécédents sur l ae des abscisses. Les antécédents de par f sont 0 et 4. Remarque Pour toute valeur 0 dans l ensemble de définition de f, il eiste une unique image de 0 par f, que l on note f( 0 ). Graphiquement, cela signifie que, lorsque l on place 0 sur l ae des abscisses et que l on se déplace verticalement, on rencontre le graphe C f de f eactement une fois. Si 0 n est pas dans l ensemble de définition de f, cela signifie que, lorsque l on place 0 sur l ae des abscisses et que l on se déplace verticalement, on ne rencontre jamais C f. I. Etude qualitative de fonctions I.. Sens de variation Définition On dit qu une fonction f est croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels et dans I tels que, on a f( ) f( ). Autrement dit, les images de et de sont rangées dans le même ordre que et. On dit qu une fonction f est décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels et dans I tels que, on a f( ) f( ). Autrement dit, les images de et de sont rangées dans l ordre inverse de et. Eemple 5 (Sens de variation de la fonction carré) Montrons, avec cette définition, que la fonction f() = est croissante sur [0; + [. On choisit et dans [0; + [ tels. On calcule f( ) f( ) : f( ) f( ) = = ( + )( ). On obtient un produit de deu facteurs. Or ( + ) 0 car et sont positifs. Et ( ) 0 puisque l on a supposé que. Donc le produit est positif, donc f( ) f( ) 0, et on a donc montré que f( ) f( ). -4-

5 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités En conclusion, f est croissante sur [0; + [. (Remarque : si on avait choisi et quelconques, on n aurait rien pu dire du signe de +.) Fonction croissante Fonction décroissante Donner les variations d une fonction signifie découper l ensemble de définition en intervalles sur lequels la fonction varie dans un sens bien déterminé (ou bien croissante ou bien décroissante). Le tableau de variations d une fonction est un tableau snthétique regroupant les informations concernant les variations de la fonction. Eemple 6 Considérons la fonction f donnée par la courbe suivante : C f Cette fonction est décroissante sur [ 5; 3], croissante sur [ 3; ], décroissante sur [; 5], puis croissante [5; 7]. Le tableau de variations de la fonction f est : f() Notons que le tableau de variation contient aussi, à la seconde ligne, les valeurs prises par la fonction lorsque la courbe change de sens de variation. On peut parfois être plus précis, et parler de fonction strictement (dé)croissante : -5-

6 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités On dit qu une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si quels que soient les réels et dans I tels que <, on a f( ) < f( ). On dit qu une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si quels que soient les réels et dans I tels que <, on a f( ) > f( ). Eemple 7 (Sens de variation de la fonction inverse) Montrons que la fonction inverse f : est strictement décroissante sur ]0; + [. Soient deu réels et tels que 0 < <. En divisant des deu cotés par, puis par qui sont strictement positifs, on obtient <, puis <. On a donc f( ) < f( ). Eercice. Démontrer que f : est strictement décroissante sur ] ; 0[. f est-elle strictement décroissante sur RR \ {0}?. Démontrer que la fonction f() = est strictement décroissante sur ], 0[. 3. Démontrer que f : est strictement croissante sur [0; + [. I.. Etrema Définition 3 Soit f une fonction et I un intervalle compris dans l ensemble de définition de f. Soit 0 un réel dans I. La fonction f admet un maimum M sur l intervalle I en 0 si, quel que soit le réel dans I, on a f() f( 0 ) = M. La fonction f admet un minimum m sur l intervalle I en 0 si, quel que soit le réel dans I, on a f() f( 0 ) = m. Eemple 8 Dans le cas de la fonction f de l eemple 6 : Le maimum de f sur [ 5; 7] est M = 4, atteint pour = 5 et =. Le minimum de f sur [ 5; 7] est m =, atteint pour = 5. Attention, la valeur d un etremum dépend de l intervalle! Par eemple, dans l eemple précédent, le minimum de f sur [ 5; ] est m =, atteint pour = 3. On dit que cet etremum est local car il faut restreindre l ensemble d étude pour faire de lui un etremum. Plus précisément, on dit qu une fonction f, définie sur un intervalle I admet un etremum local en I s il eiste des nombres a et b dans I tels que a < < b et f() est un etremum sur [a, b]. I..3 Tableau de signes Lorsque la courbe représentative d une fonction f croise l ae des abscisses, cela signifie que f s annule en ce point. Plus généralement, sa position par rapport à l ae des abscisses donne le signe la fonction. On réunit au sein d un tableau appelé tableau de signes les informations concernant le signe de la fonction f sur son intervalle de définition. Eemple 9 Le tableau de signes de la fonction f des eemples précédents est : signe de f()

7 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités I..4 Parité et smétries Soit f une fonction d ensemble de définition D f. On dit que D f est centré en 0 si pour toute valeur appartenant à D f, alors appartient aussi à D f. Par eemple, R, [ 5; 5] et ] 3; ] [; 3[ sont des eemples d ensembles centrés en 0, tandis que [; 8], R \ {} et [ ; [ ne le sont pas. Définition 4 Soit f une fonction dont l ensemble de définition D f est centré en 0. On dit que f est paire si pour tout dans D f, on a f( ) = f(). Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l ae des ordonnées comme ae de smétrie. f est impaire si pour tout dans D f, on a f( ) = f(). Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l origine O comme centre de smétrie. Eemple 0 Soit f() = 3. Son ensemble de définition est R, qui est bien centré en 0. Pour tout réel, on a f( ) = ( ) 3 = 3 = f(). Donc cette fonction est paire. Eemple Soit f() = +. Son ensemble de définition est R, qui est bien centré en 0. Pour tout réel, on a f( ) = + = = f(). Donc cette fonction est impaire. I.3 Fonctions composées La section suivante propose une liste de fonctions de référence, avec leurs propriétés importantes. L intérêt de bien connaitre ces fonctions de référence est que nombre de fonctions que nous allons rencontrer -7-

8 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités sont construites à partir de celles-ci, en les composant. Prenons la fonction f() =. Son ensemble de définition est D f = [ ; + [ (car 0 si et seulement si ). Cette fonction est construite de la façon suivante : pour un réel D f, on commence par prendre l epression de degré un (cf. fonctions affines ci dessous), puis on prend la racine carrée du résultat. On dit que f est la composée de deu fonctions, qui sont les deu étapes de cette construction : la première fonction est la fonction affine, et la seconde est la fonction racine carrée. Plus précisément, si on note u() = et v() =, alors on a : f() = v(u()) = v( ) =. Définition 5 Soient u et v deu fonctions. On appelle composée de u par v la fonction v(u()). On note cette nouvelle fonction v u. Eemple Soit u() = 3 et v() = +. Alors la composée v u de u par v est la fonction qui à associe (v u)() = v(u()) = 3 +. On peut aussi considérer la composée u v de v par u, qui est la fonction qui à associe ( (u v)() = u(v()) = +) 3. Notons que se sont bien deu fonctions différentes! L ordre dans lequel on compose les fonctions est donc important! Ensemble de définition d une fonction composée : Etant données deu fonctions f et g d ensembles de définitions respectifs D f et D g, l ensemble de définition de la composée f(g()) de g par f est l ensemble des valeurs de telles que D g et g() D f. (Autrement dit, on veut non seulement pouvoir évaluer g en, mais aussi pouvoir évaluer f en la valeur g().) Eemple 3 Soit f() = et g() =. Quel est l ensemble de définition de la composée de g par f, f g() =? L ensemble de définition de g est D g = R : les seules valeurs interdites proviennent donc de f. Or la fonction f a pour ensemble de définition ] ; 0[ ]0; + [ (on ne peut pas diviser par zero). L ensemble des valeurs de telles que g() D f est donc l ensemble des réels tels que 0. Or, on a = 0 ( )( + ) = 0 = ou =. Donc l ensemble de définition de la composée de g par f est ] ; [ ] ; [ ]; + [. -8-

9 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités II Fonctions de référence Dans cette section, nous dressons une liste de fonction simples, et de certaines de leurs propriétés. II. Fonctions linéaires et affines Nous avons déja rencontré ce tpe de fonction dans le chapitre précédent : Soient a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Elle est représentée par une droite où : Le réel a est le coefficient directeur de cette droite, Le réel b est l ordonnée à l origine. Dans le cas où b = 0, la fonction est appelée fonction linéaire, représentée par une droite passant par l origine. Eemple 4 Représentations graphiques de quatre fonctions affines : C : f() = + (en vert), C : g() = (en bleu), C 3 : h() = 3 (en rouge), C 4 : l() = (en violet). 0 Le sens de variation d une fonction affine est déterminé par le signe du coefficient directeur de la droite : Propriété Soit f une fonction affine définie par f() = a + b, alors : Si a > 0, f est croissante sur R, Si a < 0, f est décroissante sur R, Si a = 0, f est constante sur R. Eemple 5 La fonction f définie par f() = 3 + est croissante, La fonction f définie par f() = + 3 est décroissante, La fonction f définie par f() = 5 est constante. Rappelons que l équation a + b = 0 a pour unique solution = b a (lorsque a 0). Suivant le signe du coefficient directeur a, on obtient donc les tableau de signes suivants : -9-

10 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités Tableau de variations et de signe des fonctions f() = a + b a > 0 b a + variations signe de a + b 0 + a < 0 b a + variations signe de a + b b/a 4 4 b/a 4 Eemple 6 Tableau de signes des fonctions définies sur R par f() = + 4 et g() = + 3 : + variations de f signe de f() variations de g signe de g() + 0 II. Fonction carré La fonction définie sur R par s appelle la fonction carré. Propriété La fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; + [. (Ceci a fait l objet de l eemple 5 dans la section I..). Tableau de variations de la fonction carré : 0 + f 0 La courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet O. -0-

11 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités Cette parabole admet l ae des ordonnées comme ae de smétrie : la fonction carré est une fonction paire. (En effet, pour tout R, nous avons = ( ), ce qui est la définition d une fonction paire.) II.3 Fonction inverse La fonction définie sur R = ] ; 0 [ ] 0 ; + [ par est appelée fonction inverse. Propriété 3 La fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0 [ et sur ] 0 ; + [. Preuve : Voir eemple 7. On montre de la même manière que g est décroissante sur ] ; 0 [. Tableau de variations de la fonction inverse : g 0 La courbe représentative de la fonction inverse est une hperbole de centre O. Cette hperbole admet l origine O du repère comme centre de smétrie : en effet, la fonction inverse est une fonction impaire. --

12 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités II.4 Fonction cube La fonction cube est définie sur R par f() = 3. Cette fonction est impaire. (En effet, pour tout réel, f( ) = ( ) 3 = () 3. 3 = 3 = f()) De plus la fonction cube est strictement croissante sur R, et a courbe représentative : II.5 Fonction racine carrée La fonction racine carrée est définie par f() =. Son ensemble de définition est R + = [0; + [. Elle est strictement croissante sur [0; + [, et a pour représentation graphique :

13 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités II.6 Fonctions Polnômes de degré On appelle fonction polnôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme P () = a + b + c où a, b et c sont des réels, appelés coefficients, avec a 0. Eemple 7 Eemples de fonctions polnômes du second degré, et de fonctions similaires mais d un autre tpe : fonctions polnôme de degré coefficients autres fonctions P () = a =, b = 5, c = 3 P () = P () = + 3 a =, b = 0, c = 3 P () = 5 P () = a = 7, b = 3, c = 0 f() = 5 + Tableau de variations et représentation graphique d une fonction Polnôme de degré : Propriété 4 La fonction polnôme de degré définie sur R par P () = a + b + c est : strictement décroissante puis strictement croissante si a > 0, strictement croissante puis strictement décroissante si a < 0, Suivant le signe de a, on a donc les tableau suivants : a > 0 : b a + f ( ) f b a a < 0 : b ( ) f b a a + f -3-

14 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités Eemple 8 Soit P () = Alors a = > 0, et b =, et on obtient : a P est décroissante sur ] ; ], croissante sur [ + [. Son minimum atteint en vaut. + f Eemple 9 Soit P () = + 3. Alors a = b < 0, et =, et on obtient : a P est croissante sur ] ; ], décroissante sur [ + [. Son maimum atteint en vaut. + - f Dans un repère orthonormal (O, I, J), la courbe représentative d une fonction polnôme de degré est une parabole. Cette parabole admet un ae de smétrie parallèle à l ae des ordonnées. II.7 Fonctions Polnôme Plus généralement, on appelle fonction polnôme de degré n une fonction P de la forme : P () = a n n + a n n + + a p p + + a + a + a 0, où a 0, a,..., a n sont des réels appelés coefficients de P, avec a n 0, et où l entier n est le degré du polnôme P. Une fonction polnôme est définie sur R. Eemple 0 La fonction P définie par P () = est une fonction polnôme de degré 6. La fonction affine a + b avec a 0 est une fonction polnôme de degré. La fonction constante k avec k 0 est une fonction polnôme de degré 0. La fonction Q définie par : Q() = n est pas une fonction polnôme. Deu fonctions polnômes P et Q sont égales si et seulement si elles ont même degré et les coefficients des termes de même degré sont égau deu à deu.. Eemple Les polnômes P () = et R() = a + b + c sont égau pour a = b = 3 c =

15 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités On appelle racine d une fonction polnôme P toute solution de l équation P () = 0 Eemple Comme nous l avons déja vu, Les racines de la fonction polnôme P définie sur R par : P () = ( )( + 3)( ) sont 3, et Les fonctions polnômes du er degré a + b admettent toutes une seule racine 0 = b, et celles du second a degré admettent 0, ou solutions. Certaines fonctions polnômes n ont aucune racine réelle (comme par eemple + ). II.8 Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est définie sur R par, si 0, =, si 0. Remarquons que la fonction valeur absolue prend donc toujours des valeurs positives. Notons aussi que c est le premier eemple que nous croisons d une fonction qui est définie par plusieurs epressions algébriques, suivant le signe de : en particulier, pour = 0, les deu formules coincident bien! Propriété 5 La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ] ; 0 ] et strictement croissante sur [ 0 ; + [. La courbe représentative de la fonction valeur absolue est : L ae des ordonnées est un ae de smétrie : la fonction valeur absolue est en effet une fonction paire. II.9 Fonction partie entière La fonction partie entière est définie sur R de la manière suivante : pour tout nombre réel, la partie entière de, notée E(), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à. Par eemple, E(, 345) = 3, E( ) = et E(, 343) =

16 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités Propriété 6 On a toujours E() < E() +, avec égalité si et seulement si est un entier relatif. La courbe représentative de la fonction partie entière est : II.0 Fonctions trigonométriques Nous allons maintenant rappeler les définitions des fonctions cosinus, sinus et tangente. Ce sont des fonctions dont la variable est un angle, habituellement mesuré en radians. Nous ne rappelons pas ici la définition précise de cette notion, mais juste ces quelques équivalences avec les degrés : valeur en radians 0 π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 π 3π π valeur en degrés nom de l angle angle nul angle droit angle plat angle plein II.0. Définition dans un triangle rectangle Commençons par définir ces fonctions pour les angles aigus (i.e. compris entre l angle nul et de l angle droit). Soit ABC un triangle rectangle en C. Alors l angle  est bien aigu et on définit ainsi que cos  = AC AB = côté adjacent hpothénuse et cos  = BC AB tan  = sin  côté opposé = cos  côté adjacent. = côté opposé hpothénuse, Pour l angle nul, on a en particulier cos(0) =, sin(0) = 0 et tan(0) = 0. Pour l angle droit, on a cos( π ) = 0 et sin( π ) =, et la fonction tan n est donc pas définie en = π. -6-

17 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités II.0. Définition sur le cercle trigonométrique Pour définir les valeurs de ces fonctions pour un réel quelconque, on utilise le cercle trigonométrique. Etant donné un repère orthonormé (O, I, J), le cercle trigonométrique est cercle de raon et de centre l origine. Pour un réel quelconque, on peut parcourir le cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d une montre selon un angle de radians par eemple, pour = π (resp. π ou 3π), on fait un demi-tour (resp. un tour complet ou un tour et demi) jusqu à un point M du cercle. Alors on a : Le cosinus de est l abscisse de M dans le repère (O, I, J) Le sinus de est l ordonnée de M dans le repère (O, I, J) La fonction tangente est toujours définie par tan() = sin() cos(). sin j 0 M i cos On peut vérifier les propriétés suivantes. Propriété 7 Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R. La fonction tangente est définie sur R privé de tous les réels de la forme π entier naturel quelconque. cos est une fonction paire. sin et tan sont des fonctions impaires. cos et sin, pour tout réel. cos + sin =, pour tout réel. + kπ, où k est un De plus, les fonctions cosinus et sinus sont π-périodiques : pour tout réel, on a cos( + π) = cos() et sin( + π) = sin(). La fonction tangente est π-périodiques : pour tout réel, on a tan( + π) = tan(). Les valeurs suivantes sont à connaitre (ou, plutôt, il faut savoir les retrouver grâce au cercle trigonométrique : faire l eercice!) : 0 sin 0 cos tan 0 π π π π π

18 DAEU-B Maths Fonctions : Généralités II.0.3 Courbes représentatives Ci-dessous, les courbes représentatives des fonctions cosinus (à gauche) et sinus (à droite) : Enfin, la courbe représentative de la fonction tangente :