PARALLELES ET PERPENDICULAIRES

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1 GEOMETRIE : RAPPELS PARALLELES ET PERPENDICULAIRES Théorème 1: Si deux droites sont parallèles à une même troisième. Alors elles sont parallèles entre elles. Théorème 2: Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième. Alors elles ont parallèles entre elles. Théorème 3: Si deux droites sont parallèles entre elles. Alors toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Théorème 4: Si deux droites sont parallèles entre elles. Alors toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. PARALLELOGRAMME Définition 1: Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. SI PARALLELOGRAMME. ALORS Propriété 1: Si un quadrilatère est un parallélogramme.alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Propriété 2: Si un quadrilatère est un parallélogramme.alors le milieu de ses diagonales est centre de symétrie. Propriété 3: Si un quadrilatère est un parallélogramme.alors ses côtés opposés ont même longueurs deux à deux. Propriété 4: Si un quadrilatère est un parallélogramme.alors ses angles opposés sont de même mesure deux à deux. Propriété 5: Si un quadrilatère est un parallélogramme.alors deux angles consécutifs sont supplémentaires. RECIPROQUE :SI ALORS PARALLELOGRAMME Propriété 6: Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu. Alors c est un parallélogramme. Propriété 7: Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux. Alors c est un parallélogramme. Propriété 8: Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur. Alors c est un parallélogramme. Propriété 9: Si un quadrilatère a ses angles opposés de même mesure. Alors c est un parallélogramme. Propriété 9 : Si un quadrilatère a un centre de symétrie. Alors c est un parallélogramme. RECTANGLE Définition 2: Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Définition 3: Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit. SI RECTANGLE.ALORS Propriété 10: Si un quadrilatère est un rectangle. Alors il a toutes les propriétés du parallélogramme (propriétés de 1 à 5). Propriété 11: Si un quadrilatère est un rectangle. Alors ses diagonales sont de même longueur. Propriété 12: Si un quadrilatère est un rectangle. Alors les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie. Propriété 13: Si un quadrilatère est un rectangle. Alors ses diagonales sont des diamètres de son cercle circonscrit. RECIPROQUE :SI ALORS RECTANGLE Propriété 14 : Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur. Alors c est un rectangle. Propriété 15 : Si un quadrilatère a trois angles droits. Alors c est un rectangle.

2 LOSANGE : Définition 4: Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés égaux. Définition 5: Un losange est parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. SI LOSANGE. ALORS Propriété 16: Si un quadrilatère est un losange. Alors il a toutes les propriétés du parallélogramme (propriétés 1 à 5). Propriété 17: Si un quadrilatère est un losange. Alors ses diagonales sont perpendiculaires. Propriété 18: Si un quadrilatère est un losange. Alors ses diagonales sont axes de symétries. RECIPROQUE :SI ALORS LOSANGE Propriété 19: Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires. Alors c est un losange. Propriété 20: Si un quadrilatère a ses diagonales pour axes de symétrie. Alors c est un losange. CARRE Définition 6: Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. Propriété 21: Un carré a toutes les propriétés du rectangle et du losange (propriétés 10 à 13 et 16 à 18). TRIANGLE RECTANGLE : Théorème 6 :(théorème du cercle circonscrit) Si un triangle est rectangle. Alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Théorème 7:(théorème du cercle circonscrit) Si un triangle est rectangle. Alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de l hypoténuse. Théorème 8 :(théorème de la médiane) Si un triangle est rectangle. Alors la médiane relative à l hypoténuse a pour longueur la moitié de l hypoténuse. Théorème 9 :(Egalité de Pythagore) Si un triangle est rectangle. Alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs deux autres côtés. RECIPROQUE : Théorème 10:(réciproque du théorème du cercle circonscrit) Si un côté d un triangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle. Alors ce triangle est rectangle, d hypoténuse ce diamètre. Théorème 11:(réciproque du théorème du cercle circonscrit autre formulation) Si le milieu d un des côtés d un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Alors ce triangle est rectangle, d hypoténuse ce côté. Théorème 12: (réciproque du théorème de la médiane) Si dans un triangle la longueur de la médiane relative à un côté vaut la moitié de la longueur de ce côté. Alors ce triangle est rectangle, d hypoténuse ce côté. Théorème 13:(Egalité de Pythagore) Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Alors ce triangle est rectangle, d hypoténuse le plus grand côté. TRIGONOMETRIE Dans un triangle ABC, rectangle en A :

3 PARALLELES ET PROPORTIONALITE Théorème 14:(théorème des milieux) Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et la longueur joignant ces milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. Théorème 15:(théorème de Thalès) Si A, B, C, M et N sont cinq points distincts du plan ; si les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles. AM AN MN Alors = = AB AC BC RECIPROQUE Théorème 16 :(réciproque du théorème des milieux) Dans un triangle, la droite passant pas le milieu d un côté et parallèle à un second côté coupe le troisième côté en son milieu. Théorème 17:(réciproque du théorème de Thalès) Si A, B, C, M et N sont cinq points distincts du plan ; si les droites (MB) et (NC) sont sécantes en A et si les AM AN points 1, M et B d une part et A, N et C d autre part sont alignés dans le même ordre et si =. AB AC Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles. LES ANGLES Définition 7:(angles opposés par le sommet) Si d et d sont deux droites sécantes en O.Alors les angles opposés par le sommet O sont de même mesure. Propriété 22:(angles alternes internes, angles correspondants) Si d et d sont deux droites parallèles et une sécante à d et d. Alors deux angles alternes internes ou deux angles correspondants formés par ces droites sont de même mesure. Définition 8:(angles inscrits, angle au centre) Soit C cercle de centre O L angle est inscrit dans C lorsque M appartient à C et [MA] et [MB] sont deux cordes de C. L angle est l angle au centre associé à tous les angles inscrits à C, s ils interceptent le même arc. Théorème 18 : (théorème de l angle au centre, théorème de l angle inscrit) Dans un cercle, la mesure d un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l angle au centre associé.. Dans un cercle deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. RECIPROQUE Propriété 23:(réciproque angles alternes internes, angles correspondants) Soit d et d sont deux droites et une sécante à d et d. Si deux angles alternes internes à sont de même mesure, alors d et d sont parallèles. Si deux angles correspondants à sont de même mesure, alors d et d sont parallèles. DROITES ET POINTS REMARQUABLES D UN TRIANGLE Médianes et centre de gravité Une médiane est une droite passant par un sommet d un triangle et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé le centre de gravité du triangle, situé aux 2 de chaque médiane à partir du sommet correspondant. 3 C est à dire : AG= 3 2 AA ; BG= 3 2 BB ; CG= 3 2 CC

4 Hauteurs et orthocentre Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. Médiatrices et centre du cercle circonscrit Définition: Une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le milieu de ce côté. Les trois médiatrices d un triangle ABC sont concourantes en un point O équidistant des trois sommets du triangle, appelé centre du cercle circonscrit au triangle. OA=OB=OC Bissectrices et centre du cercle inscrit Une bissectrice est une droite qui partage un angle du triangle en deux angles de même mesure. Les trois bissectrices d un triangle ABC sont concourantes en un point I, équidistant de chacun des trois côtés du triangle, appelé centre du cercle inscrit dans le triangle, (ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle en P, Q et R). IP=IQ=IR A QUOI CA SERT???????? POUR MONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLELES : Théorème 1 ; Théorème 2 ; Théorème 4 ; Définition 1 ; Théorème 14 ; Théorème 17 ; Propriété 23 POUR MONTRER QUE DEUX DROITES SONT PERPENDICULAIRES : Théorème 3 ; Définition 2 ; Définition 3 ; Propriété 17 ; Propriété 14 ; Propriété 15 ; Théorème 10 ; Théorème 11 ; Théorème 12 ; Théorème 13 ; Hauteurs ; Médiatrices POUR MONTRER QUE DES DROITES SONT CONCOURANTES Médianes, hauteurs, médiatrices, bissectrices. POUR CALCULER DES LONGUEURS : Propriété 1 ; Propriété 3 ; Propriété 11 ; Définition 4 ; Définition 5 ; Théorème 8 ; Théorème 9 ; TRIGONOMETRIE ; Théorème 14 ; Théorème 15 ; Médiatrices LORSQUE L ON PARLE D ANGLES Propriété 4 ; Propriété 5 ; TRIGONOMETRIE ; Définition 7 ; Propriété 22 ; Définition 8 ; Théorème 18 ; Bissectrices POUR MONTRER QU UN QUADRILATERE EST UN PARALLELOGRAMME Propriété 6 ; Propriété 7 ; Propriété 8 ; Propriété 9 ; Définition 1 ; Théorème 5 POUR MONTRER QU UN QUADRILATERE EST UN RECTANGLE Définition 2 ; Définition 3 ; Propriété 14 ; Propriété 15 POUR MONTRER QU UN QUADRILATERE EST UN LOSANGE Définition 4 ; Définition 5 ; Propriété 19 ; Propriété 20 POUR MONTRER QU UN TRIANGLE EST RECTANGLE Théorème 10 ; Théorème 11 ; Théorème 12 ; Théorème 13

5 RECONNAITRE LES CONFIGURATIONS

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Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

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