Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

Transcription

1 Espaces vectoriels

2 v u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

3 v u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

4 v u + v u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

5 v u + v u u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

6 v u + v u u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

7 v u + v u u 2. 5 u Définition géométrique de l addition vectorielle et du produit par un scalaire.

8 v u v + u

9 v u v + u

10 v v + u u v + u

11 v v + u u v + u = u + v

12 v u w

13 v u w

14 v u w

15 v u w ( u + v ) + w

16 v u w ( u + v ) + w ( v + w )

17 v u w ( u + v ) + w = u + ( v + w )

18 v u

19 v u ( u + v )

20 v u 2 ( u + v )

21 v u 2 ( u + v ) 2 u 2 v

22 v u 2 ( u + v ) 2 u + 2 v

23 v u 2 ( u + v ) = 2 u + 2 v

24 Mais tout ça, c est de la blague! 2. (2, 0) + 2. (1, 2) = (6, 4) = 2. [(2, 0) + (1, 2)]

25 Notations du chapitre Dans ce chapitre désigne ou.

26 Espaces vectoriels

27 Déf. 1.1 Espace vectoriels sur Soit E un ensemble. On dit que E est un espace vectoriel sur le corps s il vérifie les propriétés suivantes 1. E est non vide;

28 2. on peut définir dans E une loi de composition interne notée +, appelée addition vectorielle, telle que (x, y, z) E 3, (x, y) E 2, e E, x E, x E, x E, x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x x + e = x x + x = e

29 3. on peut définir dans E une loi externe sur, notée. appelée multiplication par un scalaire, telle que x E, (λ, µ) 2, x E, λ, (x, y) E 2, (λ, µ) 2, x E, 1. x = x (λ + µ). x = λ. x + µ. x λ. (x + y) = λ. x + µ. y λ. (µ. x) = (λ µ). x

30 Vocabulaire les éléments de E sont dénommés vecteurs; les éléments de sont des scalaires; on dit que E est un espace vectoriel sur le corps, ou encore un espace vectoriel (en abrégé : e.v.); l élément neutre pour l addition s appelle le vecteur nul de E et se note habituellement 0 E.

31 Pté. 1.2 Quelques propriétés Soit E un espace vectoriel. 1. Pour tout vecteur x de E : 0. x = 0 E. 2. Pour tout scalaire λ : λ. 0 E = 0 E. 3. D ailleurs, pour x E et λ K : λx = 0 E λ = 0 ou x = 0 E 4. Pour x E, l opposé de x est ( 1). x. Il est noté x.

32 Thm. 1.3 L ensemble n L ensemble n muni de l addition vectorielle : (x 1, x 2,..., x n )+(y 1, y 2,..., y n ) = déf. (x 1 +y 1, x 2 +y 2,..., x n +y n ) et du produit par un scalaire λ : λ. (x 1, x 2,..., x n ) = déf. (λx 1,λx 2,...,λx n ) est un espace vectoriel sur. Le vecteur nul de n est (0, 0,..., 0). }{{} n fois

33 Déf. 1.4 Sous-espace vectoriel Soit (E, +,.) un espace vectoriel sur et F un sous-ensemble de E. On dit que F est sous-espace vectoriel de E si et seulement si (F, +,.) est lui-même un espace vectoriel sur.

34 Thm. 1.5 Caractérisation des sous-espaces vectoriels Soit (E, +,.) un espace vectoriel sur et F un sous-ensemble de E. F est sous-espace vectoriel de E si et seulement si 1. F ; 2. pour tout couple (u, v) F 2 on a u + v F ; 3. pour tout scalaire λ et tout vecteur u F on a λu F

35 Thm. 1.6 Intersection de sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel. Toute intersection de sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de E.

36 Famille de vecteurs

37 Déf. 2.1 Famille de vecteurs Soit p et E un espace vectoriel. On appelle famille de p vecteurs de E la donnée d un élément de E p, noté (u 1, u 2,..., u p ).

38 Déf. 2.2 Combinaison linéaire Soit E un espace vectoriel, = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de de p vecteurs de E, et (λ 1,λ 2,...,λ p ) p. On appelle combinaison linéaire des u i affectés des coefficients λ i le vecteur p u = λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p = λ i u i On dit que le vecteur u est combinaison linéaire des vecteurs de la i=1 famille ou encore que u se décompose suivant.

39 Déf. 2.3 Espace vectoriel engendré Soit E un espace vectoriel et (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E. L ensemble des vecteurs qui sont combinaisons linéaires des u i est un sous-espace vectoriel de E. C est l espace vectoriel engendré par la famille (u 1,..., u p ), noté Vect(u 1,..., u p ).

40 Déf. 2.4 Famille génératrice Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. S il existe une famille (u 1, u 2,..., u p ) de vecteurs de E telle que F = Vect(u 1, u 2,..., u p ), alors on dit que la famille (u 1, u 2,..., u p ) engendre l espace vectoriel F ou encore qu elle est une famille génératrice de F.

41 Prop. 2.5 Opérations sur les familles génératrices Soit E un espace vectoriel, = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de vecteurs de E et F = Vect(u 1, u 2,..., u p ). L ensemble F est aussi engendré par la famille de vecteurs obtenue en 1. permutant les vecteurs de ; 2. ajoutant ou retirant le vecteur nul à ; 3. multipliant un vecteur de par un scalaire non nul; 4. ajoutant à un vecteur de une combinaison linéaire des autres ; 5. retirant un vecteur de qui est combinaison linéaire des autres.

42 Déf. 2.6 Famille libre Une famille de vecteurs d un espace vectoriel E est libre si et seulement si aucun vecteur de la famille n est combinaison linéaire des autres.

43 Une famille qui n est pas libre est dite liée.

44 Pté. 2.7 Dans un espace vectoriel toute sous-famille d une famille libre est libre ;

45 Pté. 2.7 Dans un espace vectoriel toute sous-famille d une famille libre est libre ; toute sur-famille d une famille liée est liée;

46 Pté. 2.7 Dans un espace vectoriel toute sous-famille d une famille libre est libre ; toute sur-famille d une famille liée est liée; en ajoutant à une famille libre un vecteur qui n est pas combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, la famille obtenue est libre.

47 Thm. 2.8 Caractérisation d une famille libre Soit E un espace vectoriel et (u 1, u 2,..., u n ) une famille de vecteurs de E. Cette famille est libre si et seulement si l équation d inconnues (λ 1,λ 2,...,λ n ) λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = 0 E admet pour unique solution (0, 0,..., 0).

48 Deux cas simples Dans un espace vectoriel la famille (e 1 ) est libre si et seulement si e 1 est non nul;

49 Deux cas simples Dans un espace vectoriel la famille (e 1 ) est libre si et seulement si e 1 est non nul; la famille (e 1, e 2 ) est liée si et seulement si l un des vecteurs est égal à l autre multiplié par un scalaire (on dit qu ils sont colinéaires).

50 Pté Unicité de la décomposition sur une famille libre Soit E un espace vectoriel et (u 1, u 2,..., u n ) une famille de vecteurs de E. La famille (u 1, u 2,..., u n ) est libre si et seulement si tout vecteur u de Vect(u 1, u 2,..., u n ) se décompose d une manière unique u Vect(u 1, u 2,..., u n ),!(λ 1,λ 2,...,λ n ) n, u = λ 1 u λ n u n

51 Base, dimension finie

52 Déf. 3.1 Base Une famille (u 1, u 2,..., u n ) est une base d un espace vectoriel E si et seulement si (u 1, u 2,..., u n ) est une famille libre et génératrice de E.

53 Thm. 3.2 Caractérisation d une base La famille = (u 1, u 2,..., u n ) est une base d un espace vectoriel E si et seulement si u E,!(x 1, x 2,..., x n ), u = x 1 u 1 + x 2 u x n u n Les scalaires (x 1, x 2,..., x n ) s appellent les coordonnées de u selon la base.

54 Déf. 3.3 Dimension finie On dit qu un espace vectoriel E est de dimension finie si et seulement si il existe une base finie de E ou si E est réduit au vecteur nul.

55 Thm. 3.4 Théorème de la dimension Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Si E n est pas réduit au vecteur nul, toutes les bases de E ont le même nombre de vecteurs. On appelle ce nombre dimension de E et on le note dim E ou encore dim E. Si E est réduit au vecteur nul, alors par convention dim E = 0.

56 Thm. 3.5 Extraction d une base Soit E un espace vectoriel. De toute famille génératrice finie de E on peut extraire une base finie de E.

57 Cor. 3.6 Famille génératrice et dimension Une famille génératrice d un espace vectoriel de dimension n compte au moins n vecteurs.

58 Thm. 3.7 Théorème de la base incomplète Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On peut compléter une famille libre quelconque de E en une base de E.

59 Cor. 3.8 Famille libre et dimension Une famille libre d un espace vectoriel de dimension n compte au plus n vecteurs.

60 Cor. 3.9 Base et dimension Soit E un espace de dimension n et une famille de n vecteurs de E. est libre est génératrice de E est une base de E

61 Thm Dimension d un sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F est un ev de dimension finie, et dim F dim E. De plus dim F = dim E si et seulement si F = E.

62 Déf Rang d une famille de vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension n et = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E. On appelle rang de la famille la dimension de l espace vectoriel Vect(u 1, u 2,..., u p ) : rg(u 1, u 2,..., u p ) = dim(vect(u 1, u 2,..., u p ))

63 Prop Rang et familles de vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension finie et = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E. est une famille génératrice de E si et seulement si rg = dim E ;

64 Prop Rang et familles de vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension finie et = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E. est une famille génératrice de E si et seulement si rg = dim E ; est une famille libre si et seulement si rg = card C ;

65 Prop Rang et familles de vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension finie et = (u 1, u 2,..., u p ) une famille de p vecteurs de E. est une famille génératrice de E si et seulement si rg = dim E ; est une famille libre si et seulement si rg = card C ; est une base de E si et seulement si rg = card C = dim E.