3. APPLICATIONS DE L EQUATION DE FOURIER (cas unidimensionnels et stationnaires)

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1 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 3. APPLICATIONS DE L EQUATION DE FOURIER (cas undmnsonnls t statonnas) Avc l équaton. nous somms caabls d calcul la dstbuton d la tméatu n foncton d l ndot t du tms dans un cos sold. L calcul d la dnsté du flux d chalu q st auss ossbl. En tout cas, l faut n m calcul T(x,y,z, t) t aès, a l calcul d la mè dévé d T on ut touv un équaton ou q. L Equaton (.) st un équaton dfféntll atll t touv un soluton st latvmnt dffcl. Mas déjà ou ds cas statonnas ( T 0 ) l équaton dvnt un équaton dfféntll odna t t un ésoluton sans to d ffot st souvnt ossbl. 3. La méthod basqu La méthod basqu st d l xlqu n utlsant l xml d un mu ou s déoul un éacton chmqu. Exml 3. Un long t mnc (éassu ) mu n béton st n cous d ducssmnt a un éacton 3 chmqu (hydataton du cmnt). Ctt éacton st xothmqu ( q > 0 W/m ). Ls dux sufacs xtéus sont gadés à la tméatu ambant T w. Calcul la tméatu maxmal à l ntéu ou l cas statonna. z q T w T w y x Fgu 3. : Systèm ds coodonnés. Chox du systèm d coodonnés t dntfcaton ds vaabls ndéndants Pou c oblèm, ls codonnés catésnns sont bn adatés à la stuaton. La tméatu va chang sulmnt dans la dcton x. Dans ls auts dctons (y t z) on ut attnd un dstbuton d tméatu homogèn (q x t q y 0) ; vo Fgu3.. Pac qu on n attnd as un tès gand dffénc d la tméatu à l ntéu du mu, l st ossbl d d qu st constant.. Ec l équaton d Fou adaté au oblèm T T T T q + + x y z α t 0,ac qu T T 0 y z 0,cas statonna (3.)

2 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou (3.) dvnt T x q (3.) 3. Touv la soluton généal d l équaton dfféntll Il faut ntég l équaton (3.) dux fos : q T( x) x + Cx+ C (3.3) 4. Ec ls condtons aux lmts t ls condtons ntals Pou xml 3. sulmnt dux condtons aux lmts sont connus (t nécssas): T(x 0) T w t T(x ) T w Imotant : utls sulmnt ds nfomatons accssbls ou ls condtons aux lmts t ntals. Autmnt, la soluton n st as utl. 5. Utls ls condtons aux lmts t ntals ou touv ls valus ds constants d ntégaton Ctt éta ut êt tès comlqué. Pou xml 3. ll st nco sml : Pou x 0, on touv avc l équaton (3.3) : T C donc C T (3.4) w w Pou x, on touv q q Tw + C + C donc C Tw (3.5) 6. Utls ls solutons (3.4) t (3.5) dans l équaton (3.3) ou obtn un soluton atculè ou l oblèm : ( ) q q + + T x x x Tw (3.6) On ut éc équaton (3.6) auss, dans un fom sans dmnson (ctt fom d équaton va nous donn la ossblté d évalu l ésultat) : T Tw x x q (3.7)

3 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 3 7. Véf s la soluton st coct T-Tw /(q /) x/ Sé Fgu 3. Equaton 3.7 Il faut «jou» avc la soluton, véf ls cas xtêms (x 0 ; x ), s ossbl constu un gah avc la soluton. Fnalmnt, l faut touv la dnsté du flux d chalu q n foncton d x T q q q( x) x x (3.8) ou x 0, l équaton (3.8) dvnt q q x 0 (3.9) t ou x : q q x (3.0) La dffénc nt ls équatons (3.9) t(3.0) st sulmnt l sgn ou la dcton du flux! Pou x /, q dvnt nul (l gadnt d la tméatu st auss nul à ct ndot!) Il st auss ntéssant qu la dnsté du flux d chalu n dénd as d! Exml 3. Un mu sml dans un état thmqu stabl t sans ussanc calofqu (as d oducton d chalu q 0 ). L mu st mnc, l flux d chalu st aallèl à la dcton x. Ls tméatus ds dux côtés sont dffénts. Calcul l ofl d la tméatu t la dnsté du flux d chalu (Fgu 3.3).. T T(x),cas statonna, flux sulmnt dans la dcton x

4 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 4. T x 0 (3.)! T T T T-(T-T) x/ T T T x 0 x Poblèm Soluton Fgu 3.3 Mu sml, cas statonna 3. Soluton généal : 4. Condtons aux lmts : T(x 0) T ; T(x ) T (3.) 5. constants d ntégaton : 6. Soluton : T C C T T C C C 0 + donc ; + donc (3.3) T T T T T( x) T + x (3.4) 7. La soluton satsfat ls condtons aux lmts. Equaton (3.4) st lnéa ac qu l tm (T -T )/ st constant. 8. Qu vaut q dans c cas là? T T T T T T T q T+ x T x x x x donc T q (3.5) Ctt soluton st l équaton la lus sml ou la conducton d chalu.

5 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 5 Exml 3.3 Touv la dstbuton d la tméatu dans un long tub cylndqu ccula (Fgu 3.4). Cas statonna sans oducton d chalu. T T o T o T() T o T o Fgu 3.4 Exml tub cylndqu. T T() (ca ndéndant d ϕ t d z). On a donc T T 0 (3.6) t avc ds coodonnés cylndqus : T T T θ z donc T () 0 T T 0; t 0 θ z (3.7) 3. Intégatons d l équaton (3.7) T () mè ntégaton: C ; t duxèm ntégaton: T() C + C 4. Condtons aux lmts : T( ) T ; T( 0 ) T 0 5. Qu valnt ls C (,)?

6 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 6 T C + C T C + C 0 o T To T To C ; C T o o (3.8) 6. T To T ( ) T + o ( ) T T T T ou T T0 T o T o o (3.9) 7. La soluton satsfat ls condtons aux lmts. 8. Qu vaut q? T () C T To o qadal (3.0) 3. Ba ou tub cylndqu avc oducton d chalu S dans l équaton (3.9) tnd vs zéo (ba cylndqu) l tm C ( ) (vo ont 3 xml 3.3) tnd vs l nfn, c qu st mossbl sauf s C st nul. Ans, dans un ba ccula T C. La tméatu st donc unfom t l n y a aucun flux d chalu. (Attnton : c cas là ésnt un stuaton umnt statonna (dffclmnt éalsabl)) Pou la conducton d chalu dans un tub cux avc oducton d chalu. La lo d la oagaton d la chalu dvnt (vo auss équaton. (3.7)) : q T (3.) S q st constant dans tout l volum, la éatton d tméatu st : q T () + C+ C (3.) 4 avc ds condtons aux lmts T( ) T ; T( o ) T o on ut touv ls constants d ntégaton :

7 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 7 To T q o C + o 4 o C T T q + o 4 o o o o o (3.3) Donc on ut touv T( )s on mlac C t C d équaton (3.3) dans l équaton (3.). La dnsté du flux d chalu st T () q q q + C + C C 4 (3.4) avc C comm défn dans l équaton (3.3). Dans l cas d la ba cylndqu avc oducton d chalu, ls équatons aoés sont : q q T + C3 T() T0 + ( 0 ) 4 4 (3.5) T () q q La lo d dstbuton st aabolqu, l maxmum étant au cnt d la ba. La sul condton aux lmts st T( o ) T o. 3.3 Mu comost S l mu st consttué d n couchs juxtaosés d éassus,, 3, n d conductvté,, 3,. n. On suos qu l contact nt dux couchs st afat, c st-àd qu l on admt qu l n y a as d dscontnuté d la tméatu aux ntfacs. Il n y a n t n oducton d chalu. On suos l cas statonna (q st constant!) t avc (3.5) on touv : q ( T T) ( T T )... ( T Tn) (3.6) n 0 n n Sot S la sufac d c mu comost, l flux P st égal à ( T0 Tn ) P qs hs( T0 Tn ) [ W] (3.7) hs

8 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 8 L tm hs st la ésstanc thmqu R (analogu à la ésstanc élctqu) ; donc (3.7) T0 Tn dvnt P (3.8) R Pou la ésstanc thmqu n sé (mu comost, tansft flud- mu, ésstanc thmqu nt ls dffénts couchs d un mu) on ut éc (comm ou la ésstanc élctqu n sé) : R [K/W] S h (3.9) Pou la conducton on a ; ou la ésstanc nt dux couchs :. En fat, ls h contacts éls sont mafats t ls ntodusnt un vaaton busqu d tméatu au nvau ds ntfacs. (valu tyqu ou / h ntfac : W/m C). Fgu 3.5 mont un cas généal. La ésstanc thmqu ou c cas st : R + j + (3.30) S h L tm ésnt la ésstanc dans la matè, l duxèm la ésstanc nt dux comosés t j t l tosèm la ésstanc nt l mu t l flud nvonnant. La dnsté du flux d chalu dvnt : ' '' T0 T0 Tn Tn T T q n (3.3) + j + h j n En généal, ls dux tméatus du flud T 0 t T 0 sont connus mas as ls tméatus su la sufac du mu (T o, T n ) L oblèm du chox du coffcnt d tansft d chalu h fa objt d la at convcton. T 0 q T/ j h T 0 Fgu 3.5 Mu comost

9 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou La conductvté thmqu f(t) Pou l cas sml (flux d chalu dans la dcton x, cas statonna) on ut amélo l ésultat du calcul s on mlac a moynn ( m ). Il convnt d éc l équaton (3.5) : dt q ( T) dx ou (3.3) qdx ( T ) dt t, n ntégant a vaabls séaés : T T0 ( ) q ( 0) TdT (3.33) Avc la défnton du m : on touv ou équaton (3.33) : m T ( T) dt T T (3.34) q T T T T 0 m (3.35) T0 La éatton d tméatu s éct T T T T q x T 0 Tx x 0 m T m 0 T0 T m T T 0 T0 T( x) T0 + x Tx m T0 (3.36) La coub T(x) n st lus lnéa n x. 3.5 Résstanc thmqu d un tub cylndqu ccula t l éassu ctqu d un vêtmnt solant Calculons l flux d chalu P tavsant l cylnd d ayon (utlsant l équaton.(3.0)) : ( T T ) P qπ L π L dou ' π L P T T (3.37)

10 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou 0 L flux st donc, n conta n dnsté du flux, l mêm qul qu sot (as d oducton d chalu). Dans cs condtons t n comaason avc l équaton. (3.8) on obtnt : R π L [ C/W] (3.38) Exml Un tub cylndqu (comost ou non) d longuu L t d ayon t ossèd un ésstanc thmqu R 0. Suosons qu autou d c tub sot lacé un solant d ayon xtéu t d conductvté. h st l coffcnt d convcton avc l a ambant d tméatu T a. La tméatu ntéu du tub st T, la ésstanc thmqu nt flud ntéu t la ao st néglgabl. La ésstanc thmqu du systèm (vo auss Fg. 3.6) st alos : R R + 0 π L + hπ L (3.39) T a T h Fgu 3.6 : Rvêtmnt cylndqu Examnons commnt va R avc l ayon d l solant : dr d πl πhl πl h avc c (3.40) h dr ( c ) d π L On maqu qu l fat d mtt un éassu d solant a d abods un fft négatf ca l augmntaton d la sufac d échang dmnu la ésstanc total. Mas ct fft t admnt atténué a l éassu d solant. dr dr Ans > 0 s > c t < 0 s < c d d

11 Phénomèns d tansft 3. Alcatons d l équaton d Fou Alqué à Fg 3.6 : a) S c comm c dr > 0 R cot toujous avc d b) S c alos: dr losqu < < c < 0 ; R décot avc. d dr losqu c < > 0 ; R cot avc d Ans R ass a un valu mnmal losqu c. Fg 3.7 mont dr /d n foncton d t c. 0 dr/d ab. unts >c c Fg 3.7 gahqu Cas a) n tat ln (avc > c ), cas b) n tatllé avc c 0.

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