TS, devoir maison. Exercice 1, Antilles-Guyane, septembre Avril Soit f la fonction définie sur [0;1] par :

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1 TS, devoir maison Avril Eercice, Anilles-Guyane, sepembre Soi f la foncion définie sur ; par f () = f () = f () = (ln ) ln( ), pour ; où ln désigne la foncion logarihme népérien. On noe C sa courbe représenaive dans un repère orhonormal (unié graphique cm). On adme que f () = e f () =, ainsi que le résula suivan Parie A - Éude de la foncion f pour α >, α ln =. ln( ). (a) Déerminer la ie quand end vers de l epression. (b) En déduire la ie quand end vers de l epression f () ; que peu-on en déduire pour la courbe C?. Monrer que pour ou ; ( ) ( ), f = f +. Que peu-on en conclure pour C?. Soi ϕ la foncion définie sur ; par ϕ() = ( )ln( ) ln. (a) Déerminer ϕ (), puis monrer l égalié ϕ () = ; en déduire les variaions de ϕ ( ) sur ;. (b) Monrer que ϕ s annule en deu valeurs α e α sur ; (on ne cherchera pas à calculer ces valeurs). Donner le signe de ϕ sur ;. (c) Déerminer la ie quand end vers de l epression ϕ() e la ie quand end vers de ϕ(). ( ) Calculer ϕ. En déduire le signe de ϕ() sur ;.. (a) Monrer que f () a même signe que ϕ() sur ;. (b) Donner le ableau de variaions de f. (c) Monrer que, pour ou ;, les inégaliés suivanes son vraies (d) Tracer C. < (ln ) ln( ) (ln).

2 Parie B - Encadremen d une inégrale Pour ;, on pose I () = ln d, I () =. (a) À l aide d inégraions par paries, monrer que ln d, I() = f () d. I () = ln 8 6 ln + ; I () = ln 7 ln + 9. (b) Déerminer les ies de I () e de I () quand end vers.. Soi g e h les foncions définies sur ; par g () = + e (a) Éudier sur ; les variaions de la foncion ln( ) g (). (b) En déduire que, pour ou ; ln( ) g (). (c) Par un procédé analogue, monrer que pour ou ln( ) h(). (d) En déduire un encadremen de f () sur ;. h() = g (). ;. (a) Monrer que I () I () I() I () I (). (b) En supposan que I() adme une ie noée l quand end vers, donner un encadremen de l. Eercice n o, Baccalauréa La Réunion, juin On considère l équaion différenielle (E) y y = e cee équaion définies sur ; +. e on cherche l ensemble des soluions de. (a) Démonrer que la foncion u définie sur ; + par u() = e es soluion de (E). (b) Démonrer qu une foncion v définie sur ; + es soluion de (E) si e seulemen si la foncion v u, définie sur ; +, es soluion de l équaion différenielle y y =. (c) En déduire oues les soluions définies sur ; + de l équaion (E).

3 . Pour ou réel négaif ou nul, on considère la foncion f définie sur ; + par f () = + e. (a) Déerminer les ies de f en e en +. (b) Calculer f () pour ou réel de l inervalle ; + e déerminer le nombre de soluions sur ; + de l équaion f () =.. On noe C la courbe représenaive de la foncion f dans un repère orhonormai (O; ı ; j). On a racé sur le graphique ci-join les courbes C, C,5, C,5 e C. En uilisan la deuième quesion, reconnaîre chaque courbe (les réponses doiven êre jusifiées).. Pour ou réel a sricemen posiif, on pose A (a) = (a) Inerpréer géomériquemen A (a). a+ e a d. (b) On désigne par F une primiive de la foncion e sur ; +. En remarquan que A (a) = F(a + ) F(a) éudier le sens de variaion de la foncion qui à ou réel a élémen de ; + associe le réel A (a). (c) On veu découper dans le plan une bande vericale de largeur une unié de elle sore que l aire siuée dans cee bande enre les courbes C e (O) soi minimale. Commen doi-on procéder?

4 9 () () () ()

5 Correcion Eercice, Anilles-Guyane, sepembre Soi f la foncion définie sur ; par f () = f () = f () = (ln ) ln( ), pour ; où ln désigne la foncion logarihme népérien. On noe C sa courbe représenaive dans un repère orhonormal (unié graphique cm). Parie A - Éude de la foncion f ln( ). (a) Limie quand end vers de l epression ( ln( ) ln( ) ln( ) = = (ln( )) = (b) Limie quand end vers de l epression f () ) = f () f () f () ln( ) ln( ) = = ln = +, car ln = e = La courbe C? possède une angene vericale en.. Pour ou ; ( ) ( ) f = ln ln ( ) ( ) ( ) ( ) + = ln ln + = f + C possède un ae de symérie d équaion =.. Soi ϕ la foncion définie sur ; par (a) Dérivée première ϕ () Dérivée seconde ϕ () ϕ() = ( )ln( ) ln. ϕ () = ln( ) + ( ) ln = ln( ) ln() ϕ () = = ( ) Variaions de ϕ sur ; ϕ () es du signe de, car ( ) es posiif sur ;. Donc ϕ es décroissane sur ; e es croissane sur (b) On a ϕ ( ) = ln. De plus ;. De même, Ainsi, ϕ () = +, car ln = e ln( ) = ϕ () = +, car ln( ) = e ln() = sur ; +. Elle réalise donc un bi- ;. la foncion ϕ es sricemen décroissane e coninue de jecion de ; ; sur ; +. n a qu un seul anécédan α sur 5

6 la foncion ϕ es sricemen croissane e coninue de ; sur ; +. Elle réalise donc un bijecion de ; sur ; +. n a qu un seul anécédan α sur ;. Signe de ϕ sur ; Tableau de variaions de ϕ ϕ () ϕ () signe de ϕ () α α ln ϕ() signe de ϕ() + + ϕ () > sur ; α e sur α ;, ϕ () < sur α ; α, ϕ () = pour = α e pour = α. (c) Limie quand end vers de l epression ϕ() Limie quand end vers de ϕ() ϕ() = car Signe de ϕ() sur ; ϕ() > sur. (a) Dérivée f () sur ; f () = ( ϕ ϕ() = car ln = ; ( )ln( ) = X lnx = avec X = + X ) ( = ) ( ln ) ln =, ϕ() < sur ;,, ϕ() = pour =, = e pour =. ( )ln( ) ln ln( ) + ln() = = ϕ() ( ) ( ) Comme ( ) > sur ;, f () a même signe que ϕ() sur ;. (b) Tableau de variaions de f f () f () + (ln) (c) Le maimum de la foncion f es aein pour =, il a pour valeur f ( Le minimum de la foncion es. Ainsi, pour ou ; (d) Tracer C. < (ln ) ln( ) (ln). ) = ln ( ) ( ln ) = (ln). 6

7 .6.5 (ln).. C Parie B - Encadremen d une inégrale Pour ;, on pose I () = ln d, I () =. (a) À l aide d inégraions par paries En posan on obien En posan on obien I () = ln I () = ln (b) Comme α ln =, on obien u() = ln v () = d = 8 ln u() = ln v () = ln d, I() = f () d. u () = v() = ln u () = v() = d = ln ln I () = ln 8 6. Soi g e h les foncions définies sur ; par g () = + (a) Variaions de la foncion φ() = ln( ) g () sur Ainsi φ () = e e ; I () = ln 7 h() = g (). + + = < sur ; 7 = ln 8 6 ln + = ln 7 ln + 9

8 φ () φ() (b) Ainsi, φ() sur ; ; donc pour ou ; ln( ) g () (c) Variaions de la foncion ψ() = ln( ) h() sur ; ψ () = + + = ( ) sur ; ψ () + φ() Ainsi ψ() = ln( ) h(). (d) Encadremen de f () sur ;. Sachan que ln sur ; ln( ) =. (a) Comme ;, e ( ) ln f () ( ) ln ( ) ln f () ( ) ln = ( ) ln d f () d = I () I () I() I () I () ( ) ln d (b) En supposan que I() adme une ie noée l quand end vers, voici un encadremen de l Ainsi,75 l,99 7ln 8 + ln ln 8 + l ln ln + 7 = ln 6 + Eercice n o, Baccalauréa La Réunion, juin On considère l équaion différenielle (E) y y = e définies sur ; +.. (a) La foncion u définie sur ; + par u() = e es soluion de (E) e on cherche l ensemble des soluions de cee équaion u() u () = e e e = e (b) Une foncion v définie sur ; + es soluion de (E) si e seulemen si la foncion v u, définie sur ; +, es soluion de l équaion différenielle (E ) y y = Parie direce. Sur ; +, on a { v soluion de (E) u soluion de (E) En sousrayan membre à membre, on obien ainsi = v() v () = e u() u () = e ( v() v () ) ( u() u () ) = (v u)() (v u) () = = v u soluion de (E ) 8

9 Parie réciproque. Sur ; +, on a v u soluion de (E ) = (v u)() (v u) () = Résoluion de (E ) = ( v() v () ) ( u() u () ) = = v() v () = e = v soluion de (E) }{{} = e (E ) y() = y() y() = e avec R (c) Toues les soluions v définies sur ; + de l équaion (E) son, pour ou de R v u soluion de (E ) v() u() = e v() = e + e = +. Pour ou réel négaif ou nul, on considère la foncion f définie sur ; + par e (a) Limies de f en e en + f () = + e. f () = + car = ( + )e = e = > ; < ; = ; f () = + car + f () = car + f () = + car e = + = > e + e = + = < e + e = + (b) f () pour ou réel de l inervalle ; + f ( + ) () = e + + Nombre de soluions sur ; + de l équaion f () = ( e = e ) + f () = + = ; = + Si >, Si =, Si <, alors l équaion f () = possède soluions alors l équaion f () = possède soluion alors l équaion f () = ne possède aucune soluion. On noe C la courbe représenaive de la foncion f dans un repère orhonormai (O; ı ; j). D après le graphique join, seul () vérifie + f () = +. Donc. Seul = convien. La courbe () change rois fois de sens de variaions, donc >, ainsi, =,5. La courbe () es sricemen monoone (ici décroissane), donc <, ainsi, =. La courbe () correspond donc à =. Pour ou réel a sricemen posiif, on pose A (a) = a+ e a 9 d.

10 (a) Inerpréaion géomérique de A (a) Sur ;+ ; e > e a < a + ; donc A (a) représene l aire comprise enre C, l ae des abscisses e les droies d équaions = a e = a +. (b) On désigne par F une primiive de la foncion e sur ; +. Donc A (a) = F(a + ) F(a). Tableau de variaions A (a) = ea+ a + ea a = e a (a(e ) ), du signe de a(e ). a(a + ) a A (a) e + + A () (c) On veu découper dans le plan une bande vericale de largeur une unié de elle sore que l aire siuée dans cee bande enre les courbes C e (O) soi minimale. On race les droies vericales d équaions = e e = e e. 9 = =, =,5 =

3) a) Etudier la fonction f. En particulier, f est-elle dérivable en zéro? Sa courbe représentative, notée C, u n = 1 + ln x x. F(x) = t - ln t dt.

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