Produit scalaire dans le plan 3ème Mathématiques

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1 Produit scalaire dans le plan 3ème Mathématiques Exercice 1 Une seule des réponses est exacte. Trouver cette réponse 1), et sont trois vecteurs du plan non nuls, l expression.. désigne : a) un nombre réel b) un vecteur colinéaire à c) n a pas de sens 2), et sont trois vecteurs du plan non nuls tel que :. =. alors on a nécessairement : a) = b) et c) 3) et deux vecteurs du plan non nuls tel que. = alors : a) b) et sont colinéaires c) et ne sont pas collinaires Exercice 2 Soit un triangle équilatéral de centre de gravité et de coté =9, on désigne par le projeté orthogonal de sur 1) Calculer de deux manières. et. 2) Calculer.,. et. 3) Montrer que =0 Exercice 3 Soit un triangle tel que =6, =4 et =8 et soit =. 1) Montrer que + =2 + 2) Calculer 3) Soit le projeté orthogonal de sur a) Calculer. de deux manières b) En déduire Exercice 4 Soit un triangle et " le milieu de #$ avec "=" =2 ;"=3 et " & = ' ( 1) a) Montrer que. =" " b) En déduire. 2) a) Calculer + et b) En déduire et c) Donner la valeur exacte de cos, -. Kooli Mohamed Hechmi Page 1

2 3) Soit le projeté orthogonal de sur a) Montrer que : 2." b) En déduire " Exercice 5 Soit / un carré tel que 3. On désigne par 1 le symétrique de par rapport à et par 0 le point du segment #/$ $ tel que 0 1 et par 2 le point du segment #1$ tel que 12=0. 1) Montrer que / ) a) Calculer 2/ et 20. et 0/. 2 6 puis déduire que 0 2. b) Calculer cos,/20 &. puis déduire que 20. 2/ 28. 3) a) Soit " le milieu de #02$. b) Soit C 34 6/ @.Montrer que C est le cercle de centre " et de rayon /" 4) a) Vérifier que / est le barycentre des points pondérés 0,3 et, 2. b) Soit et B4 844 et /. Montrer que 8 4 4/ c) Déterminer les ensembless suivants : C 94 6/84 3: et Exercice 6 Dans la figure ci-contre, est un triangle équilatéral de côté 2 et / un triangle isocèle rectangle en. 1) Montrer que /. 2 3 b) Montrer que /. /. c) Montrer alors que. / 2,1 3. d) En déduire que 1 31 e) Montrer que /1 31 2) Soit le milieu de #$et = le point de #$ tel que = 1 a) Déterminer les coordonnées des points,, 1 et / dans le repère,,,=. b) Montrer alors que 1 / Montrer que : /"? 6 et B4 24. / /B4 6: 3) Soient 34 6/ @ et C 94 6/4 4 8: Kooli Mohamed Hechmi ht ttp://mathematiques.kooli.me/ Page 2

3 a) Montrer que 4 équivaut à 24. = 4 3 b) Vérifier que 1 c) Montrer =/1 d) Montrer C que est le cercle de centre et de rayon 3. Exercice 7 1,1, 2,3 et D?,4E 1) a) Calculer et b) Calculer. et donner la valeur de : FGH, -. 2) a) Soit G le barycentre des points pondérés,1 et,2, calculer GA et G b) Montrer que : 4 6 on a : = c) En déduire l ensemble (E) des points M du plan tel que : = ( Exercice 8 2,2 ; 1,1 et 4,0 1) Montrer que le triangle est rectangle en 2) Calculer les distances, et 3) Calculer. et en déduire la valeur de cos, -. 4) On désigne par le projeté orthogonal du point sur la droite et par " = a) Calculer les distances " et b) Déterminer les coordonnées du point Exercice 9 4,0 ;,2,2 3. et 0, 4 1) a) Vérifier que. =8 3,1+ 3. b) Vérifier que =4 2 et =4J2+ 3 c) Montrer que cos, -.= ( 2) a) Calculer /. b) En déduire la nature du triangle / et en déduire la valeur de - Kooli Mohamed Hechmi Page 3

4 3) a) Trouver une équation cartésienne de l ensemble / 4. =12@ déterminer alors E b) Trouver une équation cartésienne de l ensemble = =94 6/ 4 +4 =20: déterminer alors E Exercice 10 Dans la figure ci-contre "0 est un rectangle tel que =4 3 et un point de #"$ tel que = =4 1) Montrer que. = 8 2) En déduire que cos - = K et que " =2 3) Montrer que. CI =121 et. 0 =12. 4) En déduire que "0 5) Soient =9M P/MA MB =32: et Г=9M P/MA +MB =64:. a) Montrer que 4 signifie que 4. AB =16 avec =. b) Montrer que puis déterminer. c) Montre que Г est le cercle de centre passant par. Exercice 11 Dans la figure ci- dessous, / est un carré de côté 3. On désigne par E et F les points tels que 1 = et = = ( ( 1) a) Montrer que /./= = 6 et 1./= = 6 b) En déduire que les droites (DE) et (DF) sont perpendiculaires. 2) a) Montrer que =1. = =28 b) Calculer les distance =1 et =. En déduire FGH1=S. 3) On désigne par I le milieu de #1=$. Soit Γ=34 T/41. 4= a) Montrer que Γ est le cercle de centre I et de rayon? b) Montrer que A C. Construire alors Γ. c) La droite (AF) recoupe Γ en H, soit A le point diamètralement opposé à A sur le cercle Γ. Kooli Mohamed Hechmi Page 4

5 Montrer que =. = 6 4) Soit U V 94 T/54 2MB k :, où k est un paramètre réel. a) Vérifier que = est le barycentre des points pondérés,5 et,2 b) Discuter selon k la nature de l ensemble U V. 5) Soit X un point de (AD) et X le point de (DC) vérifiant.1x On pose 0 X X a) Montrer que /1./0 /1. b) En déduire que lorsque N varie sur (AD), J varie sur une droite que l on précisera. c) Pour quelle valeur de k, est elle tangente à U V? /1 Kooli Mohamed Hechmi ht ttp://mathematiques.kooli.me/ Page 5