Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire

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1 Lycée Louise Michel Gisors) 1S Corrigé QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 u + v u v ). On applique avec u = AB et v = BC. 1 On obtient : AB BC = Ainsi, AB + BC AB BC ). 1 AB BC = A vous. C est à vous de "voir" la formule à utiliser compte tenu des données. AB + BC AB BC = AC AC AB BC ) = 1 = ) = 1 84) = 4 Exercice 68 AC BC = AC CB) = AC CB. Explications On utilise la propriété : u) v = u v) = u v. Les propositions a. et b. ne peuvent pas être exactes car pour qu elles le soient il aurait fallu que les points A, B et C soient alignés et donc que les vecteurs AC et BC soient colinéaires)... et ils ne le sont pas regardez les longueurs données!) Exercice 69 On développe : AB + BC) AB + BC) = AB + AB BC + BC AB + BC = AB + AB BC + BC = AB + AB BC + BC D autre part, AB + BC = AC. Ainsi, AB + BC) AB + BC) = AC AC = AC = AC. Explications On développe en n oubliant pas que AB AB = AB = AB. C est le carré scalaire. N écrivez pas de signe entre deux vecteurs sous peine de... sanctions de la part de votre professeur! Réponse : a. 1

2 Exercice 70 CM AB = 0 signifie que les vecteurs CM et AB sont orthogonaux, c est-à-dire que les droites CM) et AB) sont perpendiculaires, c est-à-dire que M est sur la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Essentiel C est très important de savoir interpréter un produit scalaire nul. Exercice 71 On calcule les coordonnées du vecteur AB : x B x A = 5 = 3 y B y A On calcule les coordonnées du vecteur CD : x D x C = 0 8) = 8 y D y C On calcule le produit scalaire avec les coordonnées : AB CD = ) = 0. Exercice 7 Puisque le produit scalaire AB CD est nul, on en déduit que les droites AB) et CD) sont perpendiculaires et donc sécantes aussi, évidemment). Exercice 73 Le cercle de centre C et de rayon 3 a pour équation : avec x C = 8, y C = 10 et R = 3. On obtient : x 8)) + y 10) = 3, soit x x C ) + y y C ) = R x + 8) + y 10) = 9 Exercice 74 On utilise la formule : u v = u v cos u ; v). u v = u v cos u ; v) = 5 cos π 3 Réponse : a. = 10 1 = 5

3 Exercice 75 On utilise la projection orthogonale : AI AE = AH AE Car le point H est le projeté orthogonal du point E sur AB). = AI AH Car les vecteurs AI et AH sont colinéaires de même sens. = 1 = Exercice 76 On utilise encore la projection orthogonale : AB GF = AB IA Car les points I et A sont les projetés orthogonaux des points G et F sur AB). = AB IA Car les vecteurs AB et IA sont colinéaires de sens contraires. = 3 = 6 Réponse : c. et d. Remarque En fait, c est deux fois la même réponse car IA = AI. Ce sont des longueurs. Exercice 77 On veut le cosinus de l angle EAB. Cela nous incite à calculer le produit scalaire AE AB. Explication En fait, ce produit scalaire fait intervenir le cosinus qui nous intéresse. AE AB = AE AB cos EAB) cos EAB) = AE AB AE AB Il nous faut calculer la longueur AE. Pour cela, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADE. Il nous faut calculer aussi AE AB. AD + DE = AE AE = AE = 10 Ainsi, cos EAB) = AE AB = AH AE Car le point H est le projeté orthogonal du point E sur AB). = AH AB Car les vecteurs AH et AE sont colinéaires de même sens. = 1 3 = 3 AE AB AE AB = =

4 Exercice 78 Dans ce repère, Le point B a pour coordonnées 3 ; 0). Le point E a pour coordonnées 1 ; 3). Le point I a pour coordonnées ; 0). Le point C a pour coordonnées 3 ; 3). Les coordonnées du vecteur BE sont : 1 3 Les coordonnées du vecteur IC sont : Ainsi, BE IC = = 7. = = Petite remarque On remarque tout d abord que le repère proposé est bien orthonormé. En effet AH AF et AH = AF = 1. Exercice 79 Si l équation de la droite est donnée sous la forme ax + by + c = 0, alors un vecteur normal de cette droite est le vecteur n a. b La droite a pour équation x 3 y + 47 = 0, donc un vecteur a b directeur est n. 3 Le vecteur n 4 4 est colinéaires à n car n 4 = n. 6 3 Donc n 1 et n 4 sont deux vecteurs à cette droite. Pensez-y! Une droite admet une infinité de vecteurs normaux. En fait tout vecteur colinéaire au vecteur n est un vecteur normal de cette droite. Réponse : a. et d. Exercice 80 Le vecteur n 1 est un vecteur normal à la droite. 3 Donc une équation de cette droite est donnée par 1 x + 3 y + c = 0 soit par x + 3y + c = 0. a b Le point A4 ; 7) est sur la droite, donc ses coordonnées vérifient son équation : c = c = 0 c = 17 Une équation de cette droite est donnée par : x + 3y 17 =

5 Autre méthode Une autre méthode consiste à considérer que cette droite est l ensemble des points M du plan tels que AM et n sont orthogonaux. Le vecteur AM a pour coordonnées x 4. y 7 AM et n sont orthogonaux si et seulement si 1 x 4) + 3y 7) = 0, soit x y 1 = 0 soit encore x + 3y 17 = 0. Exercice 81 Le cercle de diamètre [BC] est l ensemble des points M du plan tels que MB Les coordonnées du vecteur MB sont Les coordonnées du vecteur MC sont 6 x 8 y x 4 y MC = 0. Les vecteurs MB et MC sont orthogonaux si et seulement si 6 x) x) + 8 y)4 y) = 0. On développe : 6 x) x) + 8 y)4 y) = 0 1 6x + x + x + 3 8y 4y + y = 0 x 4x + y 1y +0 = 0 C est la réponse d. =x ) 4 =y 6) 36 x ) 4 + y 6) = 0 x ) + y 6) = 0 Autre méthode xb + x C On cherche le centre I du cercle. C est le milieu de [BC]. Ce point a pour coordonnées ) 6 + ) soit ; soit ; 6). Son rayon est donné par IB = x B x I ) + y B y I ) = 6 ) + 8 6) = 0. Ainsi une équation du cercle est donnée par : x ) + y 6) = 0. En développant, on retrouve : x 4x + y 1y + 0 = 0. Réponse : c. ; ) y B + y C 5