Produit dans le plan

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1 Exercice ABC est un triangle isocèle de somme principal A et I le milieu du segment [BC]. H est le projeté orthogonal de I sur [AC] et J le milieu de [IH]. On cherche à établir que : AJ et BH sont orthogonales.. Justifier les égalités : BH AI = CH AI = CH AH. Soit B' le projeté orthogonal de B sur AC, montrer que : BH AH = HC AH. Prouver que AJ AI AH problème. = + et utiliser les questions précédentes pour répondre au Exercice. Montrer que x + y 6x+ y 5 = est l équation d un cercle C dont on précisera le centre Ω et le rayon. a Vérifier que A, est sur le cercle C b Déterminer une équation cartésienne de la droite D tangente à C au point A. Soit B le point de coordonnées 4;-. On se propose de déterminer les équations des droites D et D tangentes à C respectivement en A et A a Montrer que A et A sont sur le cercle C de diamètre [BΩ] b Déterminer une équation du cercle C c Déterminer les coordonnées de A et A puis les équations cherchées Année scolaire page / 9

2 Exercice Soit le triangle équilatéral ABC de côté 4 et k un réel tel que < k <. On appelle M le point du segment [ AB] tel que BM = kba On appelle N le point du segment [ BC] tel que BN = kbc. Faire une figure en prenant k = 4. Justifier que BA BC = 8. Exprimer les vecteurs AN et CM en fonction de BA et BC. 4. Montrer que AN CM = 8k k En déduire la ou les valeurs de k pour lesquelles les droites AN et CM sont perpendiculaires. Exercice 4 On considère les points A ;, B4 ;, C ; 5. Déterminer les équations des médiatrices D et D' respectivement des segments [AC] et [AB]. En déduire les coordonnées de I centre du cercle C circonscrit au triangle ABC.. Déterminer une équation du cercle C. Exercice 5 ABC est triangle tel que : AB = 8,4 m, α = 44, β = 8 Calculer AC au cm près par excès. Exercice 6 ABC est un triangle tel que AB = 5, AC = 6 et BC=7. A,B et C sont les milieux respectifs des côtés [BC],[AC] et [AB]. Calculer la longueur la médiane AA et une mesure de l angle BAC. Année scolaire page / 9

3 Exercice. BH AI = BC + CH AI = BC AI + CH AI = CH AI Car la médiane AI est aussi une hauteur donc BC AI ou encore BC AI = H est le projeté orthogonal de I sur la droite AC donc HI est perpendiculaire à AC = HC d'où CH HI =. Il en résulte ainsi que : CH AI = CH AH + HI = CH AH + CH HI = CH AH. BH AH = BB' + B'H AH = BB AH + B H AH = B'H AH BB' AH = car B étant projeté de B sur AC, on a BB AH De plus, dans le triangle BB C, la droite passe par le milieu du côté [BC] et est parallèle à la BB', nous pouvons en déduire que H est le milieu du côté [B'C] donc B'H =HC Par conséquent, BH AH = B'H AH = CH AH. J est le milieu de [IH] donc AJ= AI + AH Calculons le produit scalaire : AJ BH= AI + AH BH = AI BH + AH BH En utilisant les questions précédentes on obtient : AJ BH= CH AH HC AH CH HC AH AH + = + = = Nous pouvons en déduire que les droite AJ et BH sont perpendiculaires. Année scolaire page / 9

4 Exercice. Il faut écrire l équation cartésienne du cercle : x +y 6x+y 5 = x +y+ 9 5 = x +y+ = 5 Le cercle C a pour centre le point Ω ; et pour rayon 5 =5. a + 6x+x 5 = donc A ; est sur le cercle b La tangente en A est perpendiculaire au rayon [AΩ] donc On a AΩ ; 4 et AM xy ;, Mx ;y D AΩ AM = Une équation cartésienne de D est x 4y+ = x 4 y = x 4y+ =. a Une tangente est toujours perpendiculaire au rayon donc BA Ω et BA Ω sont des triangles rectangles en A et A or le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse par conséquent A et A sont sur le cercle C de diamètre [BΩ] j O i Année scolaire page 4 / 9

5 b On a : x 4 BM et ΩM Mx ;y C BM ΩM x y+ BM Ω M = - y+ x 4 x + y+ y+ = x + y 7x+ 4y+ 45 = c Les coordonnées de A et A sont les solutions du syctème : x + y x+ y = x + y x+ y = = x y 6 = x y x y x + y x+ y = 6 5 x 6 = y En remplaçant y dans la première équation par x 6, on obtient : x 6 x = = 4 x x x x 5 5 x x+ = On calcule de discriminant et les deux racines : =b ac = 5 4x5x = 64 = 8 b 5 8 b x = = = 4, 4 et x = = = 6 a a Il reste à trouver les ordonnées en utilisant l équation : y x 6 = = 5,8 et y x 6 = = Les deux cercles sont sécants en deux points : A 4,4 ; 5,8 et A 6 ; Année scolaire page 5 / 9

6 Il reste à déterminer les équations des tangentes. 7_ - 5 On a : Ω A et AM y x Mx ;y D ΩA A M= 7 x 4 9 y + = x 4 y 4 = 5 5 Une équation cartésienne de D est 7x 4y 7= On a : ΩA ;4 et AM x 6; y Mx ;y D ΩA A M= x y = x+ 4y = Une équation cartésienne de D est x+ 4y = Exercice A C M N B BA BC = BA BC BA BC 4 4 AN = AB+ BN = BA+ kbc CM= CB+ BM= BC+ kba 4 cos ; = cos _ π = 4 4 _ = 8 AN CM= BA+ kbc BC + kba = BA BC kba kbc + k BA BC = 8 6k 6k + 8k = 8k k+ 8 Année scolaire page 6 / 9

7 5 Pour que les droites AN et CM soient perpendiculaires il faut et il suffit que AN CM= 8k k + 8 = k 4k + = Le discriminant réduit de cette équation du second degré : ' = -²- = donc = Les solutions sont donc : k = et k = + Or k est un réel de l'intervalle [, ], seulement k appartient à [, ] donc il y'a qu'un seul réel k = pour lesquelles les droites AN et CM sont perpendiculaires. Exercice 4 Soit I le milieu de [AB], il a pour coordonnées A B A B I x + x ; y + y A C A C Soit J le milieu de [AC], il a pour coordonnées J x + x ; y + y d où I ; d où J ; La médiatrice de [AB] est la droite D qui passe par I et qui est perpendiculaire à AB on a : AB 4 x et IM 4 y Mx ; y D AB IM= 4 x + 4 y = 4x + 4y = x + y = Par conséquent, une équation de la médiatrice de [AB] est x + y = Année scolaire page 7 / 9

8 La médiatrice de [AC] est la droite D qui passe par I et qui est perpendiculaire à AB On a : AC et JM x- -4 y + Mx ; y D AC JM = x 4 y + = x 4y 4 = x y 7 = Par suite, une équation de la médiatrice de [AC] est x y 7 = Le centre Ω du cercle circonscrit est le point d intersection des médiatrices, ses coordonnées vérifient donc le système : x + y = { x y 7 = L L y + 4 = L L { x = L + L 4 y = x = 4 donc Ω 4 ; Le rayon R du cercle circonscrit vérifie R = AΩ = x x + y y = Une équation du cercle circonscrit au triangle ABC est donc x y Ω A Ω A = 9 Exercice 5 La somme des angles dans un triangle vaut 8 donc γ = =98 On a AB = AC = BC sin γ sin β sin α donc AB sinβ 8, 4 sin8 AC = = 49, 998 sin γ sin 98 La longueur AC mesure donc 5 m au cm près par excès. Année scolaire page 8 / 9

9 Exercice 6 C A' A B. D après le théorème de la médiane : AB + AC = AA' + BC 7 = + = + 6 _ 7 = _ donc AA' AB AC BC 5² donc AA' = _ 7 4,7. D après le théorème d Al Kashi : BC = AB + AC AB AC cosbac donc BC = AB + AC AB AC cosbac cosbac = AB + AC BC AB AC = =, donc BAC 78, 5 Année scolaire page 9 / 9

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