AL1 Complexes Séance de TD - Corrigés des exercices -

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1 L Complexes Séance de TD - Corrgés des exercces - GI F 03 Test calcul et rotaton GI FC34 0 Test angle 3 3 GI F 0 Test racnes cubques 4 4 GI F 0 Test foncton complexe 5 5 GI F 03 Test nverson de cercle 7 6 GI FC34 0 Test complexe de fonctons 9 7 GI F 0 Test Euler et équaton trgonométrque 8 GI F 0 Test polynôme de degré 4 9 GIN F 0 Test trnôme à coeffcents complexes 3 0 GIN F 0 Test polynôme de degré 3 4 Page sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

2 GI F 03 Test calcul et rotaton On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( ; u, v) Soent les ponts et B d affxes respectves : = et B = 3. On consdère la foncton f de C dans C défne par : f ( ) = + Pour alléger les écrtures, on notera = f ( ) On assoce au vecteur MM l'affxe. O, drect. ) Placer et B sur une fgure que l on complètera au fur et à mesure de l exercce. ) Dans cette queston, on consdère un pont M, dfférent de, donc d affxe. a. Détermner le complexe Z =. ( ) Z = = = = b. Détermner le module Z et un argument arg(z) de Z. Z = = ; arg ( Z ) = arg ( ) = c. Exprmer l'affxe de M en foncton de celle dem = = et = = M M Donc =. = e d'où ( M, M M M M ) = d. En dédure la nature de la foncton f.. En dédure l angle ( M, M ) La foncton f est la rotaton de centre et d angle (donc de sens drect).. Page sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

3 3) a. Calculer f ( ). Remarque? f ( ) = + = =. On vot effectvement que le pont est nvarant par cette rotaton, pusqu l en est le centre. b. Calculer f ( B ) et placer sur la fgure le pont B' d'affxe ( B ) f ( ) = ( ) + = + B 3 3 f. 4) Sot C le pont dont l mage par la foncton f est le pont C d affxe C = 3 3. Détermner, par le calcul, l affxe C du pont C. Placer C et C' sur la fgure. Deux façons de fare : * avec les écrtures cartésennes et la défnton de f :. = f = + En multplant les deux membres par : C = C + +, d où C C C C = C + + = = + 4 * en utlsant la rotaton : C est l mage de C par la rotaton de centre et d angle, d où C ( C ) C C = e = 3 3 = = + 4 GI FC34 0 Test angle ) On donne, dans le plan complexe, les nombres = + 3 et B = +. a. Représenter précsément les ponts et B dans la fgure c-dessous. Page 3 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

4 b. Calculer les modules de ces deux nombres complexes. = + 3 = 4 = ; = + = B c. Donner leurs écrtures exponentelles, pus grâce à ces écrtures, détermner les réels postfs ρ et θ tels que = ρe θ.. B 3 = + = e ; B = + = e l on vot les valeurs des réels ρ et θ B d. l ade de leurs écrtures cartésennes, calculer. ( + )( 3), donc B = = = = B 4 3 = e = e où e. En dédure la valeur exacte du cosnus de l angle 5. B La parte réelle de est cos. Donc cos = 4. 3 GI F 0 Test racnes cubques Les questons et sont ndépendantes. ) Détermner les racnes cubques complexes du nombre, en utlsant l écrture cartésenne. 3 On cherche les nombres complexes de forme a + b tels que ( a + b) =. Développons : ( 3 ) 0 ( ) ( ) a 3ab = 0 a a b = E a + b = a + 3a b 3ab b = 3 3a b b = b 3a b = E vec ( E ), on dstngue deux cas : 3. a = 0. lors ( E ) donne b =, sot b = -. Premère racne cubque : = 0. = -. E donne a = b E : b = sot b = /. 8 Comme a = 3 b 3, on a alors a = 4, sot a = 3 ou a = 3. Deux autres racnes cubques : = 3 + ; 3 = a 0. lors 3, pus par substtuton dans 3 Page 4 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

5 ) Trater la queston précédente en utlsant la notaton exponentelle. + k. En écrture exponentelle, = e. Ses racnes cubques correspondent donc à des nombres complexes dont le module est le même (racne cubque de : ) et dont les arguments sont le ters du précédent, sot modulo Réponses : e = e ; e = e ; e = e = e = 3) Représenter les mages du nombre complexe et de ses racnes cubques sur le cercle trgonométrque donné c-dessous. Quelle fgure forment-elles? Les mages des racnes sont les sommets d un trangle équlatéral. 4 GI F 0 Test foncton complexe Sot la foncton f qu, à tout nombre complexe non nul, assoce le complexe f complexe conjugué de. =, où est le ) Dans cette queston, on utlsera exclusvement la notaton cartésenne des nombres complexes. a. Sot = x + y. Explcter f ( ) en foncton de x et y. x y f = = +. x + y x + y b. Calculer f ( ). x y x + y f = = = = ou f = + = = x + y x + y x + y Page 5 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

6 c. Montrer que, quel que sot, f f + f est un nombre réel. f f ( f ) + f = f f f Re. ( f ) f + = + = R f f =. d. Détermner les complexes tels que x y f f f. x y x y x + y x + y = = + = + + = Ou ben : = = L ensemble soluton est celu des complexes de module, représenté par le cercle centré en O et de rayon. ) Dans C, on consdère le sous-ensemble des nombres complexes de la forme = x +. Ces nombres sont représentés dans le plan complexe par les ponts mages M d'affxes (M()). Dans le plan complexe, quel est l ensemble des ponts mages des complexes f ( )? On utlsera pour cela la forme complexe approprée. x f = +.. La forme cartésenne n est pas des plus adaptées pour détermner x + 4 x + 4 θ l ensemble de ponts correspondants. Notons = ρe ; on a alors f e θ = =. Les arguments des nombres complexes de la forme = x + décrvent tout l ntervalle ouvert ; ;0, et comme leur module ] 0 [. Ceux des complexes f ( ) décrvent l ntervalle ouvert ] [ vaut, l ensemble de ponts cherché est le dem-cercle nféreur trgonométrque, prvé des ponts (, 0) et (-, 0). 3) Représenter sur un même graphque l ensemble des ponts mages des complexes ans que l ensemble demandé en queston a.. y M N ( f ) x Page 6 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

7 5 GI F 03 Test nverson de cercle Les questons,, 3 et 4 sont largement ndépendantes. Dans l ensemble Mathématques L - Complexes * C des complexes non nuls, on défnt la foncton f par : f =. On désgne par le conjugué de, par le module de, et enfn par le complexe de parte magnare postve tel que ² = -. On nomme P le plan complexe assocé à l ensemble des nombres complexes. ) a. Détermner tous les complexes vérfant f() =. rg = = e = = et rg = k = ± b. Détermner tous les complexes vérfant f() =. = = = = = e c. Détermner le module et un argument de f() en foncton de ceux de. Sot = ρ e θ. e ρ θ =. = et rg = rg d. Détermner les partes réelle et magnare de f() en foncton de celles de. Sot = a + b. a b. Re a = = = et Im = b a + b a + b a + b. En dédure que s =, alors f() = f(). = = ( ) f = = et s =, alors = = f ) a. Montrer que f() = ( ) Donc b. Dans le plan P (fgure page suvante), tracer l ensemble C des ponts représentant les complexes qu vérfent = (justfer brèvement). Page 7 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04 θ est la dstance entre le pont M d affxe et le pont d affxe, c est à dre le pont (,0). Dre que cette dstance vaut, c est dre que M est sur le cercle de centre (, 0) et de rayon. C est ce cercle. 3 3) Sot le pont d affxe α = + et B le pont d affxe β = + e. a. Placer les ponts et B dans le plan P. b. Vérfer par le calcul que α et β sont éléments de l ensemble C défn en queston. α = =, donc est élément de C. β = 3 e =, donc B est élément de C..

8 c. Détermner les écrtures cartésennes des complexes f(α) et f(β) pus placer leurs ponts mages et B dans le plan P. f ( α ) = = = + f ( β ) ( ) = = = = = = 3 cos sn e ) Sot M un pont parcourant le cercle C de centre G(, 0) et de rayon, horms l orgne du repère. On admet que son affxe M peut s écrre + e θ, où θ parcourt l ntervalle ]- ; [. snθ a. Montrer que f( M ) =. + cosθ + cosθ snθ + cosθ snθ snθ f ( M ) = = = = = θ + e + cosθ + snθ + cosθ + cosθ ( + cosθ ) + sn θ snθ b. Etuder la parté de et en dédure un domane d étude de cette foncton de θ. + cosθ sn ( θ ) snθ =. Cette forme est donc mpare et peut être étudée sur [0 ; [. + cos θ + cosθ snθ c. Etuder les varatons de pus en dresser un tableau de varaton sur ]- ; [. + cosθ snθ On admettra, pour compléter ce tableau, que lm = ±. θ ± + cosθ snθ cosθ ( + cosθ ) snθ ( snθ ) + cosθ = 0 = = >. Cette forme est + cosθ + cosθ + cosθ + cosθ donc strctement crossante sur [0 ; [ (et on admet que sa lmte en est + ). Le fat que cette forme sot mpare nous autorse à dresser le tableau suvant : θ - 0 dérvée postve postve + forme 0 - d. Concluson : lorsque M parcourt le cercle C, détermner et tracer l ensemble décrt par les ponts M, mages des complexes f( M ). snθ Rappelons que f ( M ) = =. Ces nombres complexes ont une parte θ + e + cosθ réelle constante égale à 0,5 et une parte magnare qu parcourt R tout enter. Les ponts correspondants forment donc toute la drote d équaton x =. Page 8 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

9 y 6 GI FC34 0 Test complexe de fonctons Sot deux fonctons f et g d expressons f(x) = 3cos(x) et g(x) = 4sn(x + ), pour lesquelles la 4 varable x parcourt l ntervalle [0 ; ]. ) Donner les valeurs exactes de f(x) et g(x) pour x = 0, pus x = et enfn x =. f (0) = 3cos(0) = 3 ; f ( ) = 3cos( ) = 0 ; f () = 3cos() = g(0) = 4sn = ; g = 4sn = ; g() = 4sn = ) Justfer que f est maxmale pour x = 0 et que g est maxmale pour x = 4. (on utlsera les résultats connus sur le snus et le cosnus, ou alors on pourra dérver f et g et étuder leurs varatons sur [0 ; ]). vec les proprétés du snus et du cosnus : Un cosnus est maxmal s l argument cté vaut 0. Pour la foncton f, l faut donc que x = 0. Un snus est maxmal s l argument vaut. Pour la foncton g, l faut que x + 4 =, sot x = 4. En étudant les fonctons : f (x) = -3sn(x), négatf sur [0 ; ]. Donc f est maxmale pour x = 0. g (x) = 4cos(x + 4 ), postf sur [0 ; 4 ] et négatf sur [ 4 ; ]. Donc g est maxmale pour x = 4. Page 9 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

10 3) On crée le nombre complexe = f (x) +.g(x). Lorsque x parcourt l ntervalle [0 ; ], les ponts mages de dans le plan complexe forment la courbe c-dessous. g max M 4 M (x = /) f max M (x = 0) M 5 a. Sur cette fgure, repérer les résultats demandés ou annoncés aux questons et. b. Montrer que la dérvée par rapport à x de ² (carré du module de ) est : = 9cos ( x) + 6sn x +. 4 d dx 9sn ( x) + 6sn x +. = -8 sn ( x) cos( x) + 3sn x + cos x + = -9sn ( x) + 6sn x c. Sachant que sn(a + ) = cos a, dre pour quelle(s) valeur(s) de x cette dérvée s annule. d x = sn 0 ss d cos ( x) M 3 (x = ) 6 tan ( x) x = = 9 ss x =,0584 rad [] ss x = 0,59 rad [ ]. Dans l ntervalle [0 ; ], seules deux solutons sont possbles : 0,59 rad et, rad. d. Repérer sur la fgure le(s) pont(s) correspondant(s), explquer. Le module de est la dstance OM. Postf, l vare dans le même sens que son carré. Les deux valeurs de x trouvées précédemment correspondent c à un maxmum ou un mnmum de OM. Pour x = 0,59 rad, on défnt le pont M 4 (f(x), g(x)) = (,59, 3,87). Pour x =, rad, on défnt le pont M 5 (f(x), g(x)) = (-,54,,04). Page 0 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

11 7 GI F 0 Test Euler et équaton trgonométrque Mathématques L - Complexes ) Lnéarser, c'est-à-dre, à l'ade de la formule d'euler, exprmer en foncton de cosx et cos4x, l'expresson : 4 cos 4 x + 4sn 4 x l'ade de la formule d'euler, on écrt : x x 4 4 e + e 4 4 x x 4 x x x x ( e e ) ( e 4e 6 4e e ) cos x = = + = x 4 x x x 4 4 x 4 x 4 x x 6 e + e e + e 3 cos x = ( e + e ) + ( e + e ) + = cos x = cos4x + cosx De la même façon : sn x x 4 4 e e 4 4 x x 4 x x x x ( e e ) ( e 4e 6 4e e ) x = = = x 4 x x x 4 4 x 4 x 4 x x 6 e + e e + e 3 sn x = ( e + e ) ( e + e ) + = sn x = cos4x cosx Donc : 4 cos x + 4sn x = 4 cos4x + cosx cos4x cosx cos x + 4sn x = cos4x + 3 ) En dédure les solutons de l'équaton 4 cos x + 4sn x = cos x + 4sn x = cos4x + 3 = cos4x = Deux famlles de solutons : 4x = + k. x = + k. 3 6 (4 valeurs) ou 4x = + k. x = + k. 3 6 (4 valeurs) 3) Représenter sur un cercle trgonométrque les dfférentes famlles de solutons. Page sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

12 8 GI F 0 Test polynôme de degré 4 On consdère l'applcaton f défne dans l'ensemble des nombres complexes par : f = Dans ce problème, on aura avantage à utlser la formule de Movre. ) Montrer que, s l'équaton () : f ( ) = 0 admet pour racne le nombre complexe α, alors elle admet auss pour racne le nombre α (complexe conjugué de α ). Sot α, soluton de l'équaton () : f ( ) = 0. On peut écrre α sous forme trgonométrque : α = ρ ( cosθ + snθ ) L'équaton () s'écrt donc : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) ρ θ + θ ρ θ + θ + ρ θ + θ + = 0 En utlsant la formule de Movre, on obtent : ( cos sn ) ( cos sn ) ( cos sn ) 4 3 ρ 4θ + 4θ ρ 3θ + 3θ + ρ θ + θ + = 0 En regroupant les termes réels et magnares, on a donc : ρ cos4θ ρ cos3θ + ρ cosθ + + ρ sn4θ ρ sn3θ + ρ snθ = 0 Par dentfcaton des termes réels et magnares à 0, on a donc les deux relatons : ρ cos4θ ρ cos3θ + ρ cosθ + = 0 et ρ sn4θ ρ sn3θ + ρ snθ = 0 Consdérons le même traval avec le conjugué de α, dont l argument vaut θ. Par rapport aux écrtures c-dessus, les cosnus sont nchangés et les snus prennent des valeurs opposées, ce qu fat que les égaltés «= 0» sont encore respectées et donc α est soluton de l'équaton (). 3 ) Montrer que les nombres + et + sont racnes de l'équaton (). Ecrvons les nombres donnés sous forme trgonométrque. cos sn 0 = + = + = Remplaçons dans l'expresson de f ( ) : 4 3 f ( + ) = cos + sn cos + sn + cos + sn = 4( cos + sn ) cos + sn + cos + sn = 4( ) = = 0 Donc 0 = + est racne de l'équaton (). Page sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

13 3 Sot cos = + = + sn 3 3. Remplaçons Mathématques L - Complexes dans l'expresson de f ( ) : f ( ) = cos + sn cos + sn + cos + sn = cos + sn ( cos + sn ) + cos + sn = = 0 Donc = + est racne de l'équaton (). 3) Donner l'ensemble des solutons de l'équaton (). En dédure une factorsaton de f ( ). On a vu (queston ) que, s α est racne de l'équaton (), alors α l'est également. Par conséquent, d'après la queston, l'équaton () admet comme racnes les 4 nombres : 3 0 = + ; 0 = ; = + On factorse donc f ( ) : ( )( ) 3 ; = 3 3 f = ) Ecrre f ( ) comme un produt de deux polynômes du second degré à coeffcents réels. Dans l'expresson de f ( ) c-dessus, on peut développer les facteurs par comme sut : + = = + + = = + Fnalement, f peut s'écrre : f = ( + )( + + ) 9 GIN F 0 Test trnôme à coeffcents complexes 3 = = Résoudre, dans C, l équaton d nconnue : + (8 ) 8 = 0. On pourra vérfer que cette équaton admet une racne magnare pure. * Premère méthode : sans tenr compte de la remarque de l énoncé = (8 )² + 3 = On peut remarquer que = (8 + )². S on ne le vot pas tout de sute, l faut chercher la racne carrée de par la méthode classque Les deux racnes de l équaton sont : = et = 8. * Deuxème méthode : l équaton admet une soluton magnare pure Notons a cette soluton, avec a R, pus reportons-la dans l équaton : a²²+ (8 )a 8 = 0 -a² + a + 8(a ) = 0 a² = a et a = a =. Page 3 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

14 La soluton magnare pure est donc =. On peut ans factorser le polynôme + (8 ) 8 par ( ), ce qu condut faclement à + (8 ) 8 = ( )( + 8) où l on vot que sa seconde racne vaut -8.. Utlser le résultat précédent pour résoudre, dans C, l équaton d nconnue : 6 + (8 ) 3 8 = 0 Exprmer toutes les solutons sous forme algébrque et sous forme trgonométrque. En posant Z = 3, cette equaton revent à celle de la queston, avec pour nconnue Z. ns, on sat que l on a deux cas à trater : 3 = et 3 = -8, sot sous forme exponentelle : 3 re α = e et ( re α ) 3 = 8e La premère égalté donne : 3 r = r = α = + k., k Z α = ou + = ou + = = e = + ; = e = + ; 3 = e =, ce qu donne : La deuxème égalté donne : 3 r = 8 r = 4 5 α = + k., k Z α = ou + = ou + = = e = + 3 ; = e = ; = e = 3, ce qu donne : 0 GIN F 0 Test polynôme de degré 3 On consdère le polynôme P() suvant : P() = (6 ) 3(4 + ).. Démontrer que l'équaton P() = 0 admet une soluton réelle. L expresson (6 ) 3(4 + ), en consdérant réel, est un nombre complexe de parte réelle 3-36 et de parte magnare 9 +. Ces deux partes dovent être nulles s on souhate que P() le sot. Les racnes de la parte magnare ( = 576 = 4²) sont - et /3. Seule - annule la parte réelle de P(), donc - est la soluton réelle de l équaton P() = 0.. Montrer, en posant Q() = + (9 - ) 6( + 3), que l'on a P() = ( - ) Q(). ( + )Q() = ( + )( + (9 - ) 6( + 3)) = 3 + (9 - ) 6( + 3) + + (8-4) ( + 3) = ( ) = P() 3. Démontrer que l'équaton Q() = 0 admet une soluton magnare pure. Notons = a. Q(a) = a + (9 - )a 6( + 3) = -a² - 9a (-a 6) Page 4 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04

15 Ce nombre complexe s annule s -a 6 = 0, sot a = -3, et l se trouve que cette valeur annule également l expresson -a² - 9a 8. Concluson : = -3 est une racne de Q(). 4. Résoudre dans C l'équaton P() = 0. Factorsons Q() : Q() = ( + 3)( x y) = - x - y + 3-3x +3y = + (-x - y + 3) -3x +3y Cette expresson est égale à + (9 - ) 6( + 3) ss : -x = - ET -y + 3 = 9 ET -3x = -6 ET 3y = -8, ce qu est cohérent et donne x = et y = -6. Le seconde racne de Q() et trosème de P() est le nombre complexe 3 = 6. Les tros racnes de P() sont donc : = -, = -3 et 3 = 6. P() = ( + )( + 3)( + 6) 5. On note 3 la trosème soluton de l'équaton P() = 0. Démontrer que les ponts du plan complexe, B et C, d'affxes respectves, et 3, sont algnés. L affxe du vecteur B est = - 3 ; l affxe du vecteur BC est 3 = - 3. Ces deux vecteurs sont donc colnéares (et même égaux, c), donc les ponts, B et C sont algnés. Page 5 sur 5 L - Complexes Exercces TD Corrgés Rev 04