L2 2012/2013 USTV. Analyse. numérique M33. Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire G. FACCANONI. Dernière mise-à-jour

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1 L / Recueil d exercices corrigés et aide-mémoire USTV M Analyse numérique G FACCANONI Dernière mise-à-jour Jeudi janvier

2 Ce fascicule est un support au cours d analyse numérique Il aborde : la recherche de racines d une fonction, l interpolation, l intégration numériques, l intégration d équations différentielles, le fitting de données et la résolution de systèmes linéaires Les applications se feront avec le langage Python dont la documentation et les sources peuvent être téléchargées à l adresse Avertissement : ces notes sont régulièrement mises à jour et corrigées, ne vous étonnez pas si vous découvrez des erreurs Merci de me les communiquer Toutes les remarques ou questions permettant d en améliorer la rédaction peuvent être envoyées à l adresse gloriafaccanoni@univ-tlnfr Gloria FACCANONI IMATH Bâtiment U-8 T () Université du Sud Toulon-Var Avenue de l université B gloriafaccanoni@univ-tlnfr 8957 LA GARDE - FRANCE i

3 Table des matières Notations 5 Introduction au calcul scientifique 7 Résolution d équations non linéaires 9 Étape : localisation des zéros 9 Étape : construction d une suite convergente Méthodes de dichotomie (ou bissection), de LAGRANGE (ou Regula falsi) et de la sécante Méthodes de point fixe Interpolation 47 Position du problème 47 Interpolation de LAGRANGE 48 Polynôme d HERMITE ou polynôme osculateur 5 4 Splines : interpolation par morceaux 54 4 Interpolation linéaire composite 54 5 Approximation de dérivées 55 Quadrature 7 Principes généraux 7 Exemples de formules de quadrature interpolatoires 75 4 Équations différentielles ordinaires 99 4 Schémas numériques 4 Stabilité 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés 5 Fitting par une relation affine 5 Fitting par un polynôme 5 6 Systèmes linéaires 6 Systèmes mal conditionnés 6 Méthode (directe) d élimination de Gauss et factorisation LU 6 Méthodes itératives 7 A Python : guide de survie pour les TP 59 A Obtenir Python et son éditeur IDLE 59 A Utilisation de base d IDLE 59 A Notions de base de Python 6 A Fonctions et Modules 68 A Fonctions 68 A Modules 7 A4 Structure conditionnelle 7 A5 Boucles 7

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5 Ensembles usuels en mathématiques Notations On désigne généralement les ensemble les plus usuels par une lettre à double barre : N l ensemble des entiers naturels N l ensemble des entiers strictement positifs Z l ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) Z l ensemble des entiers Q l ensemble des nombres rationnels R l ensemble des réels R l ensemble des réels autres que C l ensemble des nombres complexes Intervalles ( p q, p Z, q Z ) Inégalité Ensemble Représentation graphique a x b a < x < b a x < b a < x b x a x > a x b x < b [a,b] ]a,b[ [a,b[ ]a,b] [a,+ [ ]a,+ [ ],b] ],b[ x a avec a [ a, a] x < a avec a ] a, a[ x a avec a x > a avec a x R ], a] [a,+ [ ], a[ ]a,+ [ ],+ [ Symboles utilisés dans le document définition théorème, corollaire, proposition propriété(s) astuce attention remarque méthode, algorithme, cas particulier exercice de base exercice exemple a a a a a a a a a a b b b b b b a a a a 5

6 Notations Jeudi janvier curiosité égal par définition > strictement supérieur < strictement inférieur supérieur ou égal inférieur ou égal différent } ensemble ensemble vide tel que appartient n appartient pas pour tout (quantificateur universel) il existe (quantificateur universel) il n existe pas! il existe un et un seul est sous-ensemble (est contenu) union d ensembles intersection d ensembles = si alors si et seulement si ssi si et seulement si ln logarithme de base e log a logarithme de base a infini symbole d intégrale n a i somme par rapport à l indice i, équivaut à a + a + + a n n a i produit par rapport à l indice i, équivaut à a a a n n! n factoriel, équivaut à n g f f, d f d x g composé f symboles de dérivée Conventions pour la présentation du code Pour l écriture du code, on utilise deux présentations : les instructions précédées de chevrons dans une boite grisée sont à saisir dans une session interactive >>> + les instructions sans chevrons dans une boite grisée sont des bouts de code à écrire dans un fichier print Coucou! 6 G Faccanoni

7 Introduction au calcul scientifique On peut définir le CALCUL SCIENTIFIQUE comme la discipline qui permet de reproduire sur un ordinateur un phénomène ou un processus décrit par un modèle mathématique PHÉNOMÈNE PHYSIQUE, ÉCO- NOMIQUE, BIOLOGIQUE Observation expérimentale Modèle conceptuel MODÈLE MATHÉMATIQUE Mise en équations : équations différentielles, intégrales, stochastiques ANALYSE MATHÉMATIQUE Bien posé Bien conditionné Propriétés de la solution Solutions analytiques CALCULS PROGRAMMATION Langage de programmation (C, C++, Fortran, Java, Python, Matlab, Scilab, Octave ) Structure des données Implémentation de l algorithme Optimisation ANALYSE NUMÉRIQUE Méthodes de discrétisation Analyse des algorithmes (rapidité, précision, souplesse) Estimation des erreurs POSTPROCESSING Visualisation Analyse des résultats CALCUL SCIENTIFIQUE L ordinateur est aujourd hui un outil incontournable pour simuler et modéliser des systèmes complexes, mais il faut encore savoir exprimer nos problèmes (physiques, économiques, biologiques ) en langage formalisé des mathématiques pures sous la forme d équations mathématiques (différentielles, intégrales ) Nous sommes habitués à résoudre les problèmes de façon analytique, alors que l ordinateur ne travaille que sur des suites de nombres On verra qu il existe souvent plusieurs approches pour résoudre un même problème, ce qui conduit à des algorithmes différents Un des objectifs de ce cours est de fournir des bases rigoureuses pour développer quelques algorithmes utiles dans la résolution de problèmes en mathématique, économie, physique Un algorithme, pour être utile, doit satisfaire un certain nombre de conditions Il doit être : rapide : le nombre d opérations de calcul pour arriver au résultat escompté doit être aussi réduit que possible ; précis : l algorithme doit savoir contenir les effets des erreurs qui sont inhérentes à tout calcul numérique (ces erreurs peuvent être dues à la modélisation, à la représentation sur ordinateur ou encore à la troncature) ; souple : l algorithme doit être facilement transposable à des problèmes différents Le choix et l optimisation des algorithmes numériques mis en pratique sont absolument cruciaux tant pour les calculs de type industriel souvent très répétitifs et devant donc pouvoir être exécutés en un temps très court, que pour les calculs de référence pour lesquels la seule limite est la patience de celui qui les fait Par exemple, en fluidodynamique, en laissant tourner une station de travail pendant quelques jours, les numériciens résolvent des systèmes frisant le milliard d inconnues L expérience montre qu entre une approche numérique standard et une approche soigneusement réfléchie 7

8 Introduction au calcul scientifique Jeudi janvier et optimisée un gain de temps de calcul d un facteur, voire davantage, est souvent observé Il est clair qu on peut passer ainsi, grâce à cet effort, d un calcul totalement déraisonnable à un calcul parfaitement banal : tout l enjeu de l analyse numériques est là! C est dire l importance pour tous scientifique de bien connaître ces méthodes, leurs avantages et leurs limites Exemple Calcul de A Sur ordinateur, l addition de deux entiers peut se faire de façon exacte mais non le calcul d une racine carrée On procède alors par approximations successives jusqu à converger vers la solution souhaitée Il existe pour cela divers algorithmes Le suivant est connu depuis l antiquité (mais ce n est pas celui que les ordinateurs utilisent) Soit A un nombre réel positif dont on cherche la racine carrée Désignons par x la première estimation de cette racine (généralement le plus grand entier dont le carré est inférieur à A ; par exemple, si A = 78, alors x = car = 69 < 78 et 4 = 96 > 78) et par ε l erreur associée : A = x + ε Cherchons une approximation de ε On a A = (x + ε ) = x + x ε + ε Supposons que l erreur soit petite face à x, ce qui permet de négliger le terme en ε : A x + x ε Remplaçons l erreur ε par un ε, qui en est une approximation, de telle sorte que On en déduit que donc A = x + x ε ε = A x x x = x + ε = ( ) A + x x constitue une meilleure approximation de la racine que x (sous réserve que le développement soit convergent) De plus, rien ne nous empêche de recommencer les calculs avec x, puis x, etc, jusqu à ce que la précision de la machine ne permette plus de distinguer le résultat final de la véritable solution On peut donc définir une suite, qui à partir d une estimation initiale x devrait en principe converger vers la solution recherchée Cette suite est x k+ = ( ) A + x x k, x > k L algorithme du calcul de la racine carrée devient donc Démarrer avec une première approximation x > de A À chaque itération k, calculer la nouvelle approximation x k+ = ( Axk + x k) Calculer l erreur associée ε k+ = A x k+ x k+ 4 Tant que l erreur est supérieure à un seuil fixé, recommencer au point Le tableau ci-dessous illustre quelques itérations de cet algorithme pour le cas où A = 5 : k x k ε k On voit que l algorithme converge très rapidement et permet donc d estimer la racine carrée d un nombre moyennant un nombre limité d opérations élémentaires (additions, soustractions, divisions, multiplications) Il reste encore à savoir si cet algorithme converge toujours et à déterminer la rapidité de sa convergence L analyse numérique est une discipline proche des mathématiques appliquées, qui a pour objectif de répondre à ces questions de façon rigoureuse Dans la plupart des domaines scientifiques, tout calcul passe par l exploitation de techniques de représentation des fonctions et des algorithmes de localisation de zéros, de recherche d éléments propres de matrices, de calcul d intégrales, de résolution d équations différentielles, aux dérivées partielles et/ou intégrales Une partie de ces différents problèmes est traité dans ce polycopié ; à noter la présence d exercices corrigés en fin de chaque chapitre permettant de vérifier ou de consolider l assimilation des notions introduites 8 G Faccanoni

9 Résolution d équations non linéaires Recherche de la solution de l équation non linéaire f (x) = où f est une fonction donnée Soit f : R R une fonction continue donnée dont on veut chercher numériquement un ou plusieurs zéros x, c est-à-dire f ( x) = Les méthodes numériques pour approcher x consistent à : localiser grossièrement le (ou les) zéro(s) de f en procédant à des évaluation qui sont souvent de type graphique ; on note x cette solution grossière ; construire, à partir de x, une suite x, x, x, telle que lim k x k = x où f ( x) = On dit alors que la méthode est convergente Définition Méthode itérative à deux niveaux On appelle méthode itérative à deux niveaux un procédé de calcul de la forme x k+ = G(x k ), k =,,, dans lequel on part d une valeur donnée x pour calculer x, puis à l aide de x on calcul x etc La formule même est dite formule de récurrence Le procédé est appelé convergent si x k tend vers un nombre fini lorsque k tend vers + Il est bien évident qu une méthode itérative n est utile que s il y a convergence vers les valeurs cherchées On peut parfaitement envisager des méthodes itératives multiniveaux, comme par exemples les schémas à trois niveaux dans lesquels on part de deux valeurs données x et x pour calculer x, puis à l aide de x et x on calcule x etc Définition Ordre de convergence Soit p un entier positif On dit qu une méthode (à deux niveaux) convergente est d ordre p s il existe une constante C telle que x x k+ C x x k p Si p = (et C < ) on parle de convergence linéaire, si p = on parle de convergence quadratique Étape : localisation des zéros Pour localiser grossièrement le (ou les) zéro(s) de f on va faire d abord une étude de la fonction f, puis on va utiliser les théorèmes suivants afin de trouver un intervalle qui contient un et un seul zéro Théorème Théorème des valeurs intermédiaires Formulation L image d un intervalle de R par une fonction continue est un intervalle de R Formulation Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a;b] de R Alors f atteint toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b) Autrement dit : si f (a) f (b) alors pour tout d [f (a), f (b)] il existe c [a;b] tel que f (c) = d ; si f (a) f (b) alors pour tout d [f (b), f (a)] il existe c [a;b] tel que f (c) = d Ce théorème donne alors le corollaire immédiat suivant Corollaire Théorème de BOLZANO ou des zéros d une fonction continue Soit une fonction continue f : [a,b] R, si f (a)f (b) <, alors il existe (au moins un) x ]a,b[ tel que f ( x) = Ce théorème garantit juste l existence d un zéro Pour l unicité on essayera d appliquer le théorème de la bijection dont l énoncé est rappelé ci-dessous Théorème Théorème de la bijection Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f induit une bijection de I dans f (I ) De plus, sa bijection réciproque est continue sur I, monotone sur I et de même sens de variation que f 9

10 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier Étape : construction d une suite convergente Ayant encadré les zéros de f, la construction de suites qui convergent vers ces zéros peut se faire à l aide de plusieurs méthodes numériques Ci-dessous on décrit les méthodes les plus connues et on étudie leurs propriétés (convergence locale vs globale, vitesse de convergence, etc) Méthodes de dichotomie (ou bissection), de Lagrange (ou Regula falsi) et de la sécante Dans les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE, à chaque pas d itération on divise en deux un intervalle donné et on choisit le sous-intervalle où f change de signe Concrètement, soit une fonction numérique strictement monotone sur un intervalle [a,b] On suppose que l équation f (x) = n a qu une et une seule solution dans cet intervalle On se propose de déterminer cette valeur avec une précision donnée Soit [a,b ] un intervalle dans lequel f (a )f (b ) < et soit c ]a,b [ Si f (a )f (c ) <, alors la racine appartient à l intervalle [a,c ] et on reprend le procédé avec a = a et b = c Sinon, c est-à-dire si f (a )f (c ) > on pose a = c et b = b On construit ainsi une suite d intervalles emboîtés [a k,b k ] Les suites a k et b k sont adjacentes et convergent vers x Définition Méthodes de dichotomie et de LAGRANGE Soit deux points a et b (avec a < b ) d images par f de signe contraire (ie f (a ) f (b ) < ) En partant de I = [a,b ], les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k pour k et tels que f (a k ) f (b k ) < Dans la méthode de dichotomie, on découpe l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, ie on divise [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est c k = a k + b k Dans la méthode de Lagrange, plutôt que de diviser l intervalle [a k ;b k ] en deux intervalles de même longueur, on découpe [a k ;b k ] en [a k ;c k ] et [c k ;b k ] où c k est l abscisse du point d intersection de la droite passant par (a k, f (a k )) et (b k, f (b k )) et l axe des abscisses, ie est solution de l équation qui est f (b k ) f (a k ) b k a k (c a k ) + f (a k ) = b k a k c k = a k f (b k ) f (a k ) f (a k) = a k f (b k ) b k f (a k ) f (b k ) f (a k ) Dans les deux cas, pour l itération suivante, on pose soit [a k+ ;b k+ ] = [a k ;c k ] soit [a k+ ;b k+ ] = [c k ;b k ] de sorte à ce que f (a k+ ) f (b k+ ) < La suite (c k ) k N converge vers x puisque la longueur de ces intervalles tend vers quand k tend vers + Les algorithmes s écrivent alors comme suit : DICHOTOMIE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k + b k while b k a k > ε or f (x k ) > ε do if f (a k )f (x k ) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k+ + b k+ k k + end while LAGRANGE : Require: a, b > a, ε, f : [a,b] R k a k a b k b x k a k b k a k f (b k ) f (a k ) f (a k) while b k a k > ε or f (x k ) > ε do if f (a k )f (x k ) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if x k+ a k+ k k + end while b k+ a k+ f (b k+ ) f (a k+ ) f (a k+) G Faccanoni

11 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires Exemple Soit f (x) = 9 4x + 9x 5x On cherche a estimer x [;5] tel que f (x) = y DICHOTOMIE f (5) = f (x) = 9 + ( 4 + (9 5x)x)x f () = f (5) = f () = x f () = y I = [;] I = [;] I = [;5] LAGRANGE I = [;5] f (5) = f (x) = 9 + ( 4 + (9 5x)x)x f ( ) = f () = 6 5 x f () = I = [; ] I = [; ] I = [;5] Remarque Avec la méthode de la dichotomie, les itérations s achèvent à la m-ème étape quand x m x I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a, donc pour avoir une erreur x k m x < ε, on doit prendre le plus petit m qui vérifie b a m log ε Notons que cette inégalité est générale : elle ne dépend pas du choix de la fonction f Exemple Fond d investissement Le client d une banque dépose au début d une année v euros dans un fonds d investissement et en retire, à la fin de la n-ème année, un capital de M > v euros Nous voulons calculer le taux d intérêt annuel moyen T de cet investissement Le capital final M est relié aux taux d intérêt annuel moyen T par la relation n M = v ( + T ) k = v ( + T )n k= ( + T ) = v + T ( ( + T ) n ) T On en déduit que T est racine de l équation algébrique non linéaire f (T ) = où f (T ) = v + T T ( ( + T ) n ) M Étudions la fonction f : f (T ) > pour tout T >, lim T + f (T ) = nv M < (n )v, lim T + f (T ) = +, f (T ) = v ( + ( + T ) n T (T n ) ) > pour tout T > (comparer le graphe de /( + T ) n et de nt ) G Faccanoni

12 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier En étudiant la fonction f on voit que, comme nv < M dès que n >, elle admet un unique zéro dans l intervalle ],+ [ (on peut même prouver que elle admet un unique zéro dans l intervalle ], M[) Supposons que v = et qu après 5 ans M est égal à 6 En étudiant la fonction f on voit qu elle admet un unique zéro dans l intervalle ],[ Si on applique la méthode de la dichotomie avec ε =, après 6 itérations la méthode converge vers On conclut ainsi que le taux d intérêt T est approximativement égal à 64% La méthode de dichotomie est simple mais elle ne garantit pas une réduction monotone de l erreur d une itération à l autre : tout ce dont on est assuré, c est que la longueur de l intervalle de recherche est divisée par deux à chaque étape Par conséquent, si le seul critère d arrêt est le contrôle de la longueur de I k, on risque de rejeter de bonnes approximations de x En fait, cette méthode ne prend pas suffisamment en compte le comportement réel de f Il est par exemple frappant que la méthode ne converge pas en une seule itération quand f est linéaire (à moins que le zéro x ne soit le milieu de l intervalle de recherche initial) Définition Méthode de la Sécante Il s agit d une méthode à trois niveaux : approcher les zéros de f se ramène à calculer la limite de la la suite récurrente x donné, Cette méthode a ordre + 5 x donné, x k x k x k+ = x k f (x k ) f (x k ) f (x k), Remarque Interprétation géométrique de la méthode de la sécante Soit f : R R une fonction continue et soit x [a,b] un zéro de f Pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec la droite passant par les points (x k, f (x k )) et (x k, f (x k )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x k ) f (x k ) x k x k (x x k ) + f (x k ), y =, ce qui donne On reconnaît la méthode de la sécante x = x k x k x k f (x k ) f (x k ) f (x k) Méthodes de point fixe En s amusant avec une calculatrice de poche ou avec le code python ci-dessous import math x = for i in range (,): 4 x = mathcos(x) 5 print x_, i, =, x on peut vérifier qu en partant de la valeur et en appuyant plusieurs fois de suite sur la touche «cosinus», on obtient cette suite de valeurs : x =, x = cos(x ) = , x = cos(x ) = , x = cos(x ) = , x 55 = 79857, x = qui tend vers la valeur 7985 En effet, on a par construction x k+ = cos(x k ) pour k =,, (avec x = ) Si cette suite converge, sa limite l satisfait l équation cos(l) = l Pour cette raison, l est appelé point fixe de la fonction cosinus G Faccanoni

13 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y y b x 6 5 x 4 x x f b x x x 5 7 x 6 x 4 x f ϕ([a;b]) [a;b] ϕ (x) < convergence x a a x x x x x 4 x 5 b x a a x x x 4 x 6 x 5 x x b x ϕ([a;b]) [a;b] < ϕ (x) convergence FIGURE : Interprétation géométrique du théorème de point fixe Définition Point fixe Soit ϕ : R R une fonction Si x R est tel que ϕ( x) = x, on dit que x est un point fixe de ϕ (l image de x par ϕ est lui-même) On peut se demander comment exploiter cette procédure pour calculer les zéros d une fonction donnée Remarquons qu on peut voir l comme un point fixe du cosinus, ou encore comme un zéro de la fonction f (x) = x cos(x) La méthode proposée fournit donc un moyen de calculer les zéros de f Précisons ce principe : soit f : [a,b] R la fonction dont on cherche le zéro Il est toujours possible de transformer le problème chercher x tel que f (x) = en un problème équivalent (ie admettant les mêmes solutions) chercher x tel que x ϕ(x) = Pour que les deux problèmes soient équivalent, la fonction auxiliaire ϕ: [a,b] R doit être choisie de manière à ce que ϕ( x) = x si et seulement si f ( x) = Clairement, il existe une infinité de manières pour opérer cette transformation Par exemple, on peut poser ϕ(x) = x f (x) ou plus généralement ϕ(x) = x + γf (x) avec γ R quelconque On peut même remplacer γ par une fonction de x pour autant qu elle ne s annule pas Définition Méthode de point fixe Supposons que x R soit un zéro de f ou, de façon équivalente, un point fixe de ϕ Approcher les zéros de f se ramène donc au problème de la détermination des points fixes de la fonction ϕ, ce qui se fait en construisant la suite récurrente xk+ = ϕ(x k ), x donné On utilise alors l algorithme itératif suivant : Require: x, ε, ϕ: [a,b] R k while x k+ x k > ε do x k+ ϕ(x k ) k k + end while Naturellement toute méthode de point fixe n est pas forcement convergente Par contre, si elle converge, c est-à-dire si la suite x k a une limite que nous notons x, et si ϕ est continue, alors cette limite est nécessairement un point fixe de ϕ puisque ( ) x = lim x k+ = lim ϕ(x k ) = ϕ lim x k = ϕ( x) k k k On a le résultat suivant : Théorème Convergence (globale) des itérations de point fixe Considérons une fonction ϕ: [a;b] R On se donne x [a;b] et on considère la suite x k+ = ϕ(x k ) pour k Si les deux conditions suivantes sont satisfaites : condition de stabilité : ϕ(x) [a,b] pour tout x [a,b] condition de contraction stricte : il existe K < tel que ϕ(x) ϕ(y) K x y pour tout x, y [a,b] alors ϕ est continue, a un et un seul point fixe x dans [a,b] et la suite x k+ = ϕ(x k ) converge vers x pour tout choix de x dans [a,b] Démonstration G Faccanoni

14 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier Continuité La condition de contraction stricte implique que ϕ est continue puisque, si on prend une suite (y k ) k [a,b] qui converge vers un élément x de [a,b], alors nous avons ϕ(x) ϕ(y n ) K x y n et par suite lim k ϕ(y k ) = ϕ(x) Existence Commençons par prouver l existence d un point fixe de ϕ La fonction g (x) = ϕ(x) x est continue dans [a,b] et, grâce à la condition de stabilité, on a g (a) = ϕ(a) a et g (b) = ϕ(b) b En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que g a au moins un zéro dans [a,b], ie ϕ a au moins un point fixe dans [a,b] Unicité L unicité du point fixe découle de la condition de contraction stricte En effet, si on avait deux points fixes distincts x et x, alors x x = ϕ( x ) ϕ( x ) K x x < x x ce qui est impossible Convergence Prouvons à présent que la suite x k converge vers l unique point fixe x quand k tend vers + pour toute donnée initiale x [a;b] On a x k+ x = ϕ(x k ) ϕ( x) K x k x où K < est la constante de contraction En itérant k + fois cette relation on obtient ie, pour tout k x k+ x K k+ x x, x k+ x K k+ x x En passant à la limite quand k tend vers + on obtient x k+ x tend vers zéro Remarque Si ϕ est de classe C ([a,b]) et si ϕ (x) < pour tout x [a,b], alors la condition de contraction stricte est satisfaite De plus, on a x k+ x lim k x k x = ϕ ( x) Ce théorème assure la convergence, avec un ordre, de la suite (x k ) k N vers le point fixe x pour tout choix d une valeur initiale x [a;b] Il constitue donc un exemple de résultat de convergence globale Mais en pratique, il est souvent difficile de déterminer a priori l intervalle [a;b] ; dans ce cas, le résultat de convergence locale suivant peut être utile Théorème d OSTROWSKI ou de convergence (locale) des itérations de point fixe Soit x un point fixe d une fonction ϕ continue et différentiable dans un intervalle [a;b] contenant x Si ϕ ( x) <, alors il existe un intervalle [c;d] [a;b] tel que la suite (x k ) k converge vers x pour tout x [c;d] De plus, si < ϕ ( x) < la suite converge de façon monotone, c est-à-dire, l erreur x k x garde un signe constant quand k varie ; si < ϕ ( x) < la suite converge de façon oscillante, c est-à-dire, l erreur x k x change de signe quand k varie Remarque Soit x un point fixe d une fonction ϕ continue et différentiable dans un intervalle [a;b] contenant x et soit x k+ = ϕ(x k ) la suite de point fixe associée Alors, si ϕ ( x) > la suite diverge ; plus précisément, si ϕ ( x) > la suite diverge de façon monotone, tandis que pour ϕ ( x) < elle diverge en oscillant ; si ϕ ( x) =, on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème considéré, il peut y avoir convergence ou divergence Par exemple, soit φ(x) = x x qui admet x = comme point fixe On a φ ( x) = et x k x pour tout x [ ;] car si x = ± alors x k = x pour tout k, si x ],[ alors x k ],[ pour tout k et la suite est monotone ; considérons maintenant φ(x) = x + x qui admet aussi x = comme point fixe À nouveau φ ( x) = mais dans ce cas la suite diverge pour tout choix de x Exemple La fonction ϕ(x) = cos(x) vérifie toutes les hypothèses du théorème d OSTROWSKI En effet, ϕ ( x) = sin( x) 67 <, donc il existe par continuité un intervalle [c,d] qui contient x tel que ϕ ( x) < pour x [c,d] La fonction ϕ(x) = x possède deux points fixes x = ( + 5)/ et x = ( 5)/ mais ne vérifie l hypothèse pour aucun d eux puisque ϕ( x, ) = ( ± 5)/ > Les itérations de point fixe ne convergent d ailleurs pas 4 G Faccanoni

15 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires En général, la méthode de point fixe ne converge pas pour des valeurs arbitraires de x, mais seulement pour des valeurs suffisamment proches de x, c est-à-dire appartenant à un certain voisinage de x Au premier abord, cette condition semble inutilisable : elle signifie en effet que pour calculer x (qui est inconnu), on devrait partir d une valeur assez proche de x! En pratique, on peut obtenir une valeur initiale x en effectuant quelques itérations de la méthode de dichotomie ou en examinant le graphe de f Si x est convenablement choisi alors la méthode de point fixe converge Proposition Calcul de l ordre de convergence d une méthode de point fixe Soit x un point fixe d une fonction ϕ C p+ pour un entier p dans un intervalle [a;b] contenant x Si ϕ (i ) ( x) = pour i p et ϕ (p+) ( x), alors la méthode de point fixe associée à la fonction d itération ϕ est d ordre p + Méthodes de point fixe particulièrement connues Soit f : [a,b] R une fonction continue (continûment dérivable pour la méthode de la corde et la méthode de NEW- TON) et soit x un zéro de f Supposons que l on connaisse une valeur x proche de x Approcher les zéros de f se ramène au problème de la détermination des points fixes de la fonction ϕ, ce qui se fait en construisant la suite récurrente xk+ = ϕ(x k ), x donné Considérons les fonctions ϕ suivantes qui définissent des méthodes célèbres : Méthode de la Corde : ϕ(x k ) = x k Méthode de la Corde : ϕ(x k ) = x k f (x k) f (x ) Méthode de Newton : ϕ(x k ) = x k f (x k) f (x k ) b a f (b) f (a) f (x k) ordre : ordre : ordre : si x est une racine simple sinon Preuve de l ordre de convergence de la méthode de Newton Soit la méthode de Newton pour le calcul de l zéro de f Cette méthode peut être mise sous la forme d une itération de point fixe u n+ = ϕ(u n ) en posant ϕ(x) = x f (x) f (x) Si f (l) (ie si l est racine simple), on trouve ϕ (x) = (f (x)) f (x)f (x) (f (x)) = f (x)f (x) (f (x)), ϕ (l) =, ϕ (x) = f (x) f (x) + f (x)f (x) (f (x)) f (x)(f (x)) (f (x)), ϕ (l) = f (l) f (l) La méthode de Newton est donc d ordre Si la racine l est de multiplicité m >, alors la méthode n est plus du second ordre En effet, f (x) = (x l) m h(x) où h est une fonction telle que h(l) On a alors ϕ(x) = f (x) f (x) = (x l)h(x) mh(x) + (x l)h (x), ϕ (x) = h(x)( m(m )h(x) + (x l)h (x) + (x l) h (x) ) ( mh(x) + (x l)h (x) ), ϕ (l) = m Si la valeur de m est connue a priori, on peut retrouver la convergence quadratique en modifiant la méthode de Newton comme suit : ϕ(x) = x m f (x) f (x) Remarque Interprétation géométrique de la méthode de NEWTON et des méthodes de la corde Soit f : R R une fonction continûment dérivable et soit x un zéro simple de f, c est-à-dire f ( x) = et f ( x) Supposons que l on connaisse une valeur x k proche de x Pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec G Faccanoni 5

16 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier la droite tangente au graphe de f passant par le point (x k, f (x k )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x k )(x x k ) + f (x k ), y = On obtient ce qui correspond à la méthode de NEWTON y x = x k f (x k) f (x k ) f y = f (x )(x x ) + f (x ) x x x x x y = f (x )(x x ) + f (x ) Soit f : R R une fonction continue et soit x [a,b] un zéro de f Cette fois-ci, pour calculer x k+ on prend l intersection de l axe des abscisses avec la droite passant par le point (x k, f (x k )) et parallèle à la droite passant par les points (a, f (a)) et (b, f (b)), ie on cherche x solution du système linéaire f (b) f (a) y = b a (x x k ) + f (x k ), y =, ce qui donne x = x k b a f (b) f (a) f (x k) Il s agit de la méthode de la corde Cette méthode permet d éviter qu à chaque itération on ait à évaluer f (x k ) car on remplace f (x k ) par f (b) f (a) b a y f y = y = f (b) f (a) b a (x x ) + f (x ) f (b) f (a) b a (x x ) + f (x ) a x x x x b x 6 G Faccanoni

17 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires Une variante de la méthode de la corde consiste à calculer x k+ comme l intersection entre l axe des abscisses et la droite passant par le point (x k, f (x k )) et parallèle à la droite tangente au graphe de f passant par le point (x, f (x )), ie on cherche x solution du système linéaire y = f (x )(x x k ) + f (x k ), y =, ce qui donne Dans cette variante on remplace f (x k ) par f (x ) y x = x k f (x k) f (x ) f y = f (x )(x x ) + f (x ) x x x x x y = f (x )(x x ) + f (x ) Exemple On se trouve en possession d une calculatrice qui ne sait effectuer que les opérations addition, soustraction et multiplication Lorsque a > est donné, on veut calculer sa valeur réciproque /a Le problème peut être ramené à résoudre l équation x = /a ce qui équivaut à chercher le zéro de la fonction Selon la formule de NEWTON on a f : R + R x x a x k+ = ( + a)x k + x k, une récurrence qui ne requiert pas de divisions Pour a = 7 et partant de x = par exemple, on trouve x =,, x =,9,x =,4765, x 4 =,485785, etc Cette suite converge vers /7, Exemple Comparaison des méthodes de Newton pour différentes formulation de la fonction initiale Dans R + on veut résoudre l équation x = e /x () En transformant l équation donnée de différentes manières, on arrive à différentes formules de récurrence : L équation () équivaut à chercher le zéro de la fonction f : R + R En utilisant la méthode de Newton on trouve la formule itérative x x e /x x k+ = x k f (x k ) f (x k ) = x k x k e /xk + e/x k x k = x k x x k e /x k k x k + e/x k Si on pose y = /x, alors on a l équivalence x = e /x y = e y, G Faccanoni 7

18 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier donc la solution x de l équation () est la réciproque du zéro de la fonction g : R + R En utilisant la méthode de Newton on trouve la formule itérative et x k = /y k y k+ = y k g (y k ) g (y k ) = y k y ye y L équation () est encore équivalente à chercher le zéro de la fonction h : R + R En utilisant la méthode de Newton on trouve la formule itérative y k e yk ( + y k )e y = y k + e yk y k k + y k x x ln(x) x k+ = x k h(x k ) h (x k ) = x k + x k ln(x k ) = + x k + ln(x k ) + ln(x k ) La représentation graphique de f montre qu il n existe qu une seule racine Comme f (7) f (9) <, elle se trouve dans l intervalle [7;9] En partant de x = 8 on trouve les suites suivantes : La solution est x,76845 Formule Formule Formule x =, x = x = Attention À noter que même si la méthode de NEWTON permet en général d obtenir une convergence quadratique, un mauvais choix de la valeur initiale peut provoquer la divergence de cette méthode (notamment si la courbe représentative de f présente au point d abscisse x un tangente à peu près horizontale) D où l importance d une étude préalable soignée de la fonction f (cette étude est d ailleurs nécessaire pour toute méthode de point fixe) Critères d arrêt Supposons que (x n ) n soit une suite qui converge vers x zéro de la fonction f Nous avons le choix entre deux types de critères d arrêt pour interrompre le processus itératif d approximation de x : ceux basés sur le résidu et ceux basés sur l incrément Nous désignerons par ε une tolérance fixée pour le calcul approché de x et par e n = x x n l erreur absolue Nous supposerons de plus f continûment différentiable dans un voisinage de la racine Contrôle du résidu : les itérations s achèvent dès que f (x n ) < ε Il y a des situations pour lesquelles ce test s avère trop restrictif ou, au contraire, trop optimiste si f ( x) alors e n ε : le test donne donc une indication satisfaisante de l erreur ; si f ( x), le test n est pas bien adapté car e n peut être assez grand par rapport à ε ; si enfin f ( x) alors e n ε et le test est trop restrictif Dans l exemple précédent f ( x) = : le test est trop restrictif (comparer la colonne f (x n ) à la colonne x x n ) Contrôle de l incrément : les itérations s achèvent dès que x n+ x n < ε Soit (x n ) n la suite produite par la méthode de point fixe x n+ = ϕ(x n ) Comme x = ϕ( x) et x n+ = ϕ(x n ), on obtient par un développement au premier ordre e n+ = x x n+ = ϕ( x) ϕ(x n ) = ϕ (ξ n )( x x n ) = ϕ (ξ n )e n, ξ n I x,xn I x,xn étant l intervalle d extrémités x et x k En utilisant l identité on en déduit que e n = ( x x n+ ) + (x n+ x n ) = e n+ + (x n+ x n ) = ϕ (ξ n )e n + (x n+ x n ), e n = x n+ x n ϕ (ξ n ) Par conséquent, ce critère fournit un estimateur d erreur satisfaisant si ϕ (x) dans un voisinage de x C est le cas notamment des méthodes d ordre, dont la méthode de Newton Cette estimation devient d autant moins bonne que ϕ s approche de 8 G Faccanoni

19 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y y f f (x k ) f x e k x k x x e k x k f (x k ) x FIGURE : Deux situations pour lesquelles le résidu e k = x k x est un mauvais estimateur d erreur : f (x) >> (à gauche), f (x) << (à droite), pour x dans un voisinage de x Conclusion Les méthodes pour le calcul des zéros d une fonction f sont généralement itératives ; la méthode de dichotomie permet le calcul d un zéro d une fonction f en construisant une suite d intervalles dont la longueur est divisée par deux à chaque itération Cette méthode est convergente dès que f est continue sur l intervalle initial et a des signes opposés aux extrémités de cet intervalle ; la méthode de NEWTON permet le calcul d un zéro x de f en faisant appel aux valeurs de f et de sa dérivée Une condition nécessaire de convergence est que la donnée initiale appartienne à un certain voisinage (assez petit) de x ; 4 la convergence de la méthode de NEWTON n est quadratique que quand x est un zéro simple de f, autrement elle est linéaire ; 5 une valeur x telle que ϕ( x) = x est appelée point fixe de la fonction ϕ Pour la calculer, on utilise des méthodes itératives de la forme x k+ = ϕ(x k ), appelées itérations de point fixe ou méthode du point fixe ; 6 la méthode du point fixe converge sous des conditions portant sur la fonction d itération ϕ et sa dérivée première La convergence est typiquement linéaire, mais devient quadratique quand ϕ ( x) = ; 7 il est possible d utiliser des itérations de point fixe pour calculer les zéros d une fonction f Ce qu on n a pas dit La méthode de NEWTON peut être étendue au cas d un système d équations non linéaires ; pour toute méthode de point fixe, non nécessairement convergente, il est toujours possible de construire une nouvelle suite en utilisant la méthode d AITKEN qui converge en général plus vite ; si f est une fonction polynomiale, des méthodes spécifiques ont été étudiées (on peut citer, outre la méthode de NEWTON-HÖRNER, les méthodes basées sur les suites de STURM, les méthodes de MÜLLER et de BAIRSTOW ; une autre technique consiste à voir les zéros d un polynôme comme les valeurs propres d une matrice particulière, appelée matrice compagnon, et à utiliser des algorithmes de recherche de valeurs propres) ; 4 les méthodes les plus sophistiquées pour le calcul des zéros d une fonction combinent différents algorithmes G Faccanoni 9

20 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier Codes Python dichotomie, lagrange, newton et point_fix sont quatre fonctions (informatiques) qui renvoient la valeur approchée du zéro d une fonction (mathématique) f En paramètre elles reçoivent f, la fonction dont on cherche la racine, a et b sont les extrémités de l intervalle de recherche pour les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE, x_init est la donnée initiale pour les méthodes de NEWTON et de point fixe, maxiter est le nombre maximal d itérations et tol est la tolérance Elles renvoient #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- Méthodes numériques 4 import math, sys 5 6 def dichotomie(f,a,b,tol,maxiter): 7 fa = f(a) 8 if abs(fa)<=tol: 9 return a fb = f(b) if abs(fb)<=tol: return b if fa*fb > : 4 print "La racine n est pas encadree" 5 sysexit() 6 n = int(mathceil(mathlog(abs(b-a)/tol)/mathlog())) 7 for k in range(min(n+,maxiter)): 8 c = (a+b)*5 9 fc = f(c) if fc == : return c if fc*fb < : a = c 4 fa = fc 5 else: 6 b = c 7 fb = fc 8 return (a+b)*5 9 def lagrange(f,a,b,tol,maxiter): fa = f(a) if abs(fa)<=tol: return a 4 fb = f(b) 5 if abs(fb)<=tol: 6 return b 7 if fa*fb > : 8 print "La racine n est pas encadree" 9 sysexit() 4 k = 4 while ( ((abs(b-a)>tol) or (abs(fc)>tol)) and (k<maxiter) ): 4 k += 4 c = a-fa*(b-a)/(fb-fa) 44 fc = f(c) 45 if fc == : 46 return c 47 if fc*fb < : 48 a = c 49 fa = fc 5 else: 5 b = c 5 fb = fc 5 return a-fa*(b-a)/(fb-fa) def newton(f,x_init,tol,maxiter): 56 k = G Faccanoni

21 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires 57 x = x_init 58 fx = f(x) 59 h = tol 6 dfx = (f(x+h)-fx)/h # calcul approche de f (x) 6 while ( (abs(fx)>tol) and (k<maxiter) ): 6 x = x - fx/dfx 6 fx = f(x) 64 dfx = (f(x+h)-fx)/h 65 k += 66 if k==maxiter: 67 print "Pas de convergence" 68 else: 69 return x 7 7 def point_fix(f,x_init,tol,maxiter): 7 k = 7 x = x_init 74 while ( (abs(phi(x)-x)>tol) and (k<maxiter) ): 75 x = phi(x) 76 k += 77 if k==maxiter: 78 print "Pas de convergence" 79 else: 8 return x 8 # CHOIX DU CAS TEST 8 exemple = Exemple d utilisation 8 84 # DEFINITION DU CAS TEST 85 if exemple== : 86 tol = e-9 87 maxiter = 88 def f(x): 89 return (x+)*(x-) 9 def phi(x): 9 return x**- 9 elif exemple== : 9 tol = e-9 94 maxiter = 95 def f(x): 96 return x**- 97 def phi(x): 98 return x**+x- 99 else: print "Cas test non defini" sysexit() 4 # CALCUL 5 a = - 6 b = 7 print "A) Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b,tol,maxiter) 8 print "B) Zero calcule par la methode de Lagrange dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", lagrange(f,a,b, tol,maxiter) 9 a = b = print "C) Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b,tol,maxiter) print "D) Zero calcule par la methode de Lagrange dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", lagrange(f,a,b, tol,maxiter) 4 G Faccanoni

22 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier 5 x_init = 6 print "E) Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol,maxiter) 7 print "F) Zero calcule par la methode de point fix a partir du point x_ =",x_init," : ", point_fix(phi, x_init,tol,maxiter) 8 9 x_init = print "G) Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol,maxiter) print "H) Zero calcule par la methode de point fix a partir du point x_ =",x_init," : ", point_fix(phi, x_init,tol,maxiter) 4 # Dans python il existe un module qui implement deja ces methodes, comparons nos resultats avec ceux du module: 5 from scipyoptimize import fsolve 6 x_init = 7 print "** Zero calcule par le module scipyoptimize a partir du point x_ =",x_init," : ", fsolve(f,x_init ) 8 x_init = 9 print "** Zero calcule par le module scipyoptimize a partir du point x_ =",x_init," : ", fsolve(f,x_init ) G Faccanoni

23 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires Exercices Exercice Décrire les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE et les utiliser pour calculer le zéro de la fonction dans l intervalle [;] avec une précision de f (x) = x 4x 895 CORRECTION En partant de I = [a,b], les méthodes de la dichotomie et de LAGRANGE produisent une suite de sousintervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k, k, et tels que f (a k )f (b k ) < Dans notre cas on a k a k b k while b k a k > do x k g (a k,b k ) k k + if (a k 4a k 895)(x k 4x k 895) < then a k+ a k b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if end while avec g (a k,b k ) = ak +b k pour la méthode de la dichotomie, pour la méthode de la LAGRANGE a k f (b k ) b k f (a k ) f (b k ) f (a k ) Dichotomie k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) LAGRANGE k a k x k b k signe de f (a k ) signe de f (x k ) signe de f (b k ) Exercice Déterminer la suite des premiers itérés des méthodes de dichotomie dans l intervalle [,] et de Newton avec x = pour l approximation du zéro de la fonction f (x) = x Combien de pas de dichotomie doit-on effectuer pour améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine? CORRECTION On cherche les zéros de la fonction f (x) = x : Méthode de la dichotomie : en partant de I = [a,b], la méthode de la dichotomie produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ] avec I k+ I k et tels que f (a k )f (b k ) < Plus précisément on pose a = a, b = b, x = a +b, G Faccanoni

24 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier y 7 f (x) y f (x) I I I 4 I I x 7 x (a) Méthode de la dichotomie (b) Méthode de Newton FIGURE : Approximation du zéro de la fonction f (x) = x pour k si f (a k )f (x k ) < on pose a k+ = a k, b k+ = x k sinon on pose a k+ = x k, b k+ = b k et on pose x k+ = a k++b k+ Voir la figure a Méthode de Newton : x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k = x k x k + x k Voir la figure b Donc on a le tableau suivant x x x x Dichotomie Newton =,5 5 4 =,5 8 =,75 =,5 7 =, ,4456 On rappelle qu avec la méthode de la dichotomie, les itération s achèvent à la m-ème étape quand x m x I m < ε, où ε est une tolérance fixée et I m désigne la longueur de l intervalle I m Clairement I k = b a, donc pour avoir x k m x < ε on doit prendre b a m log ε Améliorer d un ordre de grandeur la précision de l approximation de la racine signifie avoir x k x = x j x donc on doit effectuer k j = log (), itérations de dichotomie Exercice Donner la suite définissant la méthode de Newton pour la recherche d un zéro de fonction Justifier l expression de la suite Écrire l algorithme pour une convergence à 6 près Déterminer l ordre de convergence minimale de cette suite 4 G Faccanoni

25 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires CORRECTION Supposons f C et f ( x) (c est-à-dire x est une racine simple de f ) La méthode de Newton revient à calculer le zéro de f en remplaçant localement f par sa tangente : en partant de l équation de la tangente à la courbe (x, f (x)) au point x k y(x) = f (x k ) + f (x ) (x x k ) et en faisant comme si x k+ vérifiait y(x k+ ) =, on obtient x k+ = x k f (x k) f (x k ) Étant donné une valeur initiale x (), cette formule permet de construire une suite x k Algorithmes pour une convergence à ε = 6 : Require: x, x f (x) while x k+ x k > 6 do x k+ x k f (x k ) f (x k ) end while La relation précédent peut être mise sous la forme d une itération de point fixe x k+ = g (x k ) avec g (x) = x f (x) f (x) Si x est racine simple, c est-à-dire si f ( x), on trouve g ( x) = et g ( x) = f ( x) f : la méthode de Newton est donc ( x) d ordre Si la racine x est de multiplicité m >, alors g ( x) = m et la méthode n est que d ordre Si la valeur de m est connue à priori, on peut retrouver la convergence quadratique de la méthode de Newton en modifiant la méthode comme suit : x k+ = x k m f (x k) f (x k ) Exercice 4 On veut calculer le zéro de la fonction f (x) = x dans l intervalle [;] On applique la méthode de LAGRANGE : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k ) < 4 ) k a k x k b k signe de f (a k ) f (x k ) signe de f (b k ) x k On applique la méthode de NEWTON : écrire l algorithme et l utiliser pour remplir le tableau (on s arrêtera au plus petit k qui vérifie f (x k ) < 4 ) Le point de départ x est donné k x k f (x k ) x k CORRECTION En partant de I = [a,b], la méthode de LAGRANGE produit une suite de sous-intervalles I k = [a k,b k ], k, avec I k I k, k, et tels que f (a k )f (b k ) < Dans notre cas on a k a k b k x k a k while x > do k x k a k b k + a k +b k if (a k )(x ) < then k a k+ a k G Faccanoni 5

26 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier b k+ x k else a k+ x k b k+ b k end if k k + end while k a k x k b k signe de f (a k ) f (x k ) signe de f (b k ) x k - > > > > > > < + La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec fonction d itération φ(x) = x f (x) f ce qui donne l algorithme suivant (x) : k x k while x k > 4 do x k+ x k k k + end while + x k k x k f (x k ) x k - > > > < Exercice 5 Pour calculer les racines de la fonction f (x) = x x + 8x 8 on utilise 4 méthodes de point fixe différentes décrites par les fonctions d itération suivantes : ϕ (x) = x + x 7x + 8 ϕ (x) = 8 x 8 x ϕ (x) = x + x + 5 x Dans le tableau suivant sont reportées les suites des itérées obtenues par ces quatre méthodes ϕ 4 (x) = x x + 8 x x + 8 Méthode A Méthode B Méthode C Méthode D x x x x x x x Montrer que l = est l unique racine réelle de f Associer chaque méthode à sa fonction d itération (justifier chaque réponse) CORRECTION Les fonctions ϕ i sont de classe C au voisinage de l De plus, on remarque que f (x) = (x )(x +8), donc l unique racine réelle de f est l = On sait que si ϕ i (l) <, alors il existe un intervalle [c;d] l tel que la suite (x k) k converge vers l pour tout x [c;d] ; plus précisément, si < ϕ i (l) < la suite converge de façon monotone, c est-à-dire, l erreur x k l garde un signe constant quand k varie, tandis que si < ϕ i (l) < la suite converge de façon oscillante, c est-à-dire, l erreur x k l change de signe quand k varie ; si ϕ i (l) > la suite diverge ; plus précisément, si ϕ (l) > la suite diverge de façon monotone, tandis que pour i ϕ (l) < elle diverge en oscillant ; i 6 G Faccanoni

27 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires si ϕ (l) =, on ne peut en général tirer aucune conclusion : selon le problème considéré, il peut y avoir convergence i ou divergence Enfin, si ϕ (j ) (l) = pour j p et ϕ (p+) (l), alors la méthode de point fixe associée à la fonction d itération ϕ i i i est d ordre p + Calculons donc ϕ (l) pour i =,,,4 : i ϕ (x) = x + x 7 et ϕ () = 8 : la suite diverge en oscillant (colonne C) ; ϕ (x) = x (8 x)+(8 x ) et ϕ 4 (8 x) () = 49 : la suite converge de façon oscillante (colonne D) ; ϕ (x) = x + 5 x + 5 et ϕ () = 4 : la suite converge de façon monotone (colonne A ou B) ; 4 ϕ 4 (x) = (6x x)(x x+8) (x x +8)(6x ) et ϕ (x x+8) 4 () = : la suite converge à l ordre au moins (colonne B) Exercice 6 Entre deux murs (verticaux) parallèles, on place deux échelles en les croisant La première fait m de long, la seconde m On constate qu elles se croisent à une hauteur de m Quelle est la distance entre les deux murs? CORRECTION Avec un peu de trigonométrie, on obtient une mise en équation de cette distance d sous la forme : d = sin(α) = sin(β) et cos(α) + cos(β) = Il reste à résoudre + = 4 d 9 d Exercice 7 Soit la fonction f γ (x) = cosh(x) + cos(x) γ Pour γ =,, trouver (graphiquement) un intervalle qui contient le zéro de f γ Calculer ce dernier par la méthode de dichotomie avec une tolérance de Utiliser ensuite la méthode de Newton Pourquoi cette méthode n est-elle pas précise quand γ =? CORRECTION Étude de f γ On se rappelle que cosh(x) = e x +e x et sinh(x) = e x e x donc lim x ± f γ (x) = + f γ (x) = sinh(x) sin(x) et f γ (x) = si et seulement si x = (comparer les graphes de sinh et sin et se rappeler que pour x > on a sinh(x) > x > sin(x) et pour x < on a sinh(x) < x < sin(x)) f γ (x) = cosh(x) cos(x) > pour tout x par conséquent pour γ =, la fonction n a pas de zéro réel, pour γ = il n y a que le zéro x = et il est de multiplicité quatre (c est-à-dire f ( x) = f a( x) = f ( x) = f ( x) = et f (IV ) ( x) ), pour γ =, f admet deux zéros distincts, un dans l intervalle ], [ et l autre dans ],[ y y = f(x) y = f(x) y = f(x) x Méthode de la dichotomie Dans le cas γ =, la méthode de dichotomie ne peut pas être utilisée car il est impossible de trouver un intervalle ]a,b[ sur lequel f (a)f (b) < Pour γ =, en partant de [a,b] = [, ], la méthode de dichotomie converge en 4 itérations vers la valeur x = avec f ( x) 6 De même, en prenant [a,b] = [,], la méthode de dichotomie converge en 4 itérations vers la valeur x = avec f ( x) 6877 Méthode de Newton Considérons le cas où γ = En partant de la donnée initiale x =, la méthode de NEWTON converge vers la valeur x = en itérations avec ε = tandis que la racine exacte de f est Cet écart est dû au fait que f est quasiment constante au voisinage de sa racine, donc le problème de recherche du zéro est mal conditionné La méthode converge vers la même solution et avec le même nombre d itérations même si on prend ε égal au zéro machine Considérons le cas γ = La méthode de Newton avec ε égal au zéro machine converge vers après 9 itérations en partant de x =, alors que si x =, elle converge après 9 itérations vers G Faccanoni 7

28 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier Voici les instructions : def f(x): return mathcosh(x)+mathcos(x)-gamma maxiter = 4 5 gamma = 6 tol = e-5 7 a = - 8 b = - 9 x_init = - 4 print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b, tol,maxiter) 4 print "Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol, maxiter) 4 a = 4 b = 44 x_init = 45 print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", a, ",", b,"] : ", dichotomie(f,a,b, tol,maxiter) 46 print "Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol, maxiter) gamma = 49 tol = e- 5 x_init = - 5 print "Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol, maxiter) 5 x_init = 5 print "Zero calcule par la methode de Newton a partir du point x_ =",x_init," : ", newton(f,x_init,tol, maxiter) Exercice 8 Équation d état d un gaz Nous voulons déterminer le volume V occupé par un gaz dont la température est T et dont la pression est p L équation d état (ie l équation liant p, V et T ) selon le modèle de VAN DER WAALS est donnée par ( p + a ( N V ) ) (V N b) = kn T, où a et b sont deux coefficients qui dépendent du gaz considéré, N est le nombre de molécules contenues dans le volume V et k est la constante de Boltzmann Nous devons donc résoudre une équation non linéaire dont la racine est V Pour le dioxyde de carbone CO, les coefficients a et b dans prennent les valeurs suivantes : a = 4Pam et b = 47 6 m Trouver le volume occupé par molécules de CO à la température T = K et la pression p = 5 7 Pa par la méthode de dichotomie, avec une tolérance de (la constante de Boltzmann vaut k = 865 JK ) CORRECTION On doit calculer les zéros de la fonction f (V ) = pv + an /V abn /V pn b kn T, où N est le nombre de molécules On a lim V + f (V ) = et lim V + f (V ) = + f (V ) = p an /V + abn /V = p + an (bn /V )/V f p (V ) = si et seulement si V V = bn donc pour aucun V > an En traçant le graphe de f, on voit que cette fonction n a qu un zéro simple dans l intervalle ],6[ avec f () < et f (6) > On peut calculer ce zéro en utilisant la méthode de dichotomie comme suit : 54 def f(v): 55 a = 4 56 b = 47e-6 57 N = 58 T = 59 p = 5e7 6 k = 865e- 6 return p*v+a*n**/v-a*b*n**/v**-p*n*b-k*n*t 8 G Faccanoni

29 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires 6 6 tol = e- 64 left = 65 right = print "Zero calcule par la methode de dichotomie dans l intervalle [", left, ",", right,"] : ", dichotomie (f,left,right,tol,maxiter) ce qui donne V = m Exercice 9 Soit A est un nombre positif donné et considérons l algorithme suivant : étant donné une valeur x, on calcule x k+ = x k + A x k, k =,,, Montrer que si la suite x k converge, alors sa limite est soit A soit A On considère le cas où A ],4[ Montrer qu il existe ε > tel que, si x A ε alors la suite x k converge vers A Vérifier graphiquement que si x est proche de A mais différent de A, alors la suite x k ne converge pas vers A 4 Vérifier que si x =, alors l algorithme coïncide avec la méthode de la corde pour résoudre x A = 5 Proposer un algorithme plus efficace pour calculer la racine carrée d un nombre positif A CORRECTION Supposons que x k converge vers l En passant à la limite dans la formule de récurrence on obtient c est-à-dire l = A et donc l = ± A l = l + A l, La méthode peut s écrire sous la forme d une méthode de point fixe où la fonction ϕ est définie par ϕ(x) = x + A x Si A ],4[ et l = A, puisque ϕ (x) = x, alors ϕ (l) = A < : on peut appliquer le théorème d OSTROWSKI donc il existe ε > tel que, si x A ε alors la suite x k converge vers A On a représenté dans la figure ci-dessous le graphe de la fonction ϕ lorsque A = / Si on choisit x < A alors la suite diverge vers ; si A < x < A alors la suite converge (de manière monotone croissante) vers A ; si A < x < + A alors la suite converge (de manière monotone croissante après la première itération) vers A ; si x > + A alors la suite diverge vers y y = x A x 5 A x x x x 4 x x x x 4 A + A x x A ϕ 4 Soit f la fonction définie par f (x) = x A La méthode de la corde pour résoudre f (x) = s écrit dans ce cas x k+ = x k f (x k) f (x ) = x k x k A, k =,,, x G Faccanoni 9

30 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier Si on choisit x =, cette méthode s écrit donc x k+ = x k f (x k) f (x ) = x k x k A, k =,,, Ainsi on conclut que la méthode donnée coïncide avec la méthode de la corde pour résoudre x A = lorsque x = comme point de départ 5 Si on choisit la méthode de Newton pour résoudre f (x) = avec f (x) = x A, on a x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k A, k =,,, x k Cette méthode est plus efficace que la précédente car elle converge à l ordre pour tout x > Exercice Soit f : R R la fonction définie par f (x) = x On veut approcher le zéro α de f par la méthode de point fixe suivante : x donné, x k+ = g ω (x k ) pour tout k, () avec g ω : R R la fonction définie par g ω (x) = ( ω)x + ( ω ) x + (ω ) + ω, ω R x Pour quelles valeurs du paramètre ω la méthode de point fixe () est-elle consistante (ie α est un point fixe de g ω )? Pour quelles valeurs du paramètre ω la méthode de point fixe () est-elle d ordre? Existe-t-il des valeurs du paramètre ω pour lesquelles la méthode de point fixe () est-elle d ordre? CORRECTION Comme α est le zéro de f, on a α = La méthode de point fixe () est consistante pour tout ω R car ( g ω (α) = ( ω)α + ω ) α+(ω )+ ω ( α = ( ω)(α )+ ω ) α+ ω ωα = α α + ω α = α ω(α ) α = α La méthode de point fixe () est au moins d ordre si g (α) = On a g ω (α) = ( ω)α + ω 4ω α = ( ω)α + ω = ( ω)(α + ) donc la méthode de point fixe () est au moins d ordre si ω = Pour que la méthode de point fixe () soit d ordre il faudrait g (α) = g (α) = Puisque g (α) = si et seulement si ω = et g 4ω (α) =, il n est pas possible d avoir une convergence d ordre supérieur à α 4 Exercice On considère le problème du calcul de l [,π] tel que l = 4 cos(l) Montrer qu on peut utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l Que vaut l approximation de l après itérations? Quel est l erreur maximale qu on obtient après itérations? k [a k,b k ] [,π] l k On considère la méthode de point fixe suivante : x [,π], π x k+ = g (x k ) pour tout k, avec g : [,π] R la fonction définie par g (x) = 4 cos(x) Étudier graphiquement la convergence de cette méthode Montrer rigoureusement que la méthode converge pour tout x [,π] Montrer que l erreur satisfait l inégalité x k l C k x l Donner une estimation de la constante C et l utiliser pour minorer le nombre d itérations nécessaires pour approcher l à près () G Faccanoni

31 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires 4 Montrer que si on utilise le critère d arrêt x k+ x k ε alors x k+ l ε C Quelle valeur de ε faut-il choisir pour approcher l à près? CORRECTION Soit f : [,π] R la fonction définie par f (x) = 4 cos(x) x Elle est de classe C, f () = /4 > et f (π) = 5/4 π <, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu il existe au moins un l [,π] tel que f (l) = De plus, comme f (x) = 4 cos(x) <, ce zéro est unique On peut alors utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l et l on a k [ ] [ [a k,b k ] [,π], π π 4, π ] [ π 4, π ] 8 l k On considère la méthode de point fixe de fonction d itération g Étude graphique de la convergence : π π 4 y π π 8 5π 6 g est de classe C, g () = /4, g (π) = 5/4, g (x) = 4 sin(x) [, /4], g est croissante sur [, π] La suite x n est monotone croissante si x < l et monotone décroissante si x > l g x x x x x g ([,π]) = [/4,5/4] [,π] et g (x) /4 < : la méthode de point fixe converge vers l pour tout x [,π] Pour tout k N il existe ξ k compris entre l et x k tel que x k l = g (x k ) g (l) g (ξ k ) x k l 4 k x l π 4 k Donc, pour approcher l à près, il faut prendre le plus petit k N qui vérifie k log 4 ( π) 59, ie k = 6 4 Pour tout k N on a x k l x k+ x k x k+ x k + x k l = x k+ l C x k l avec C = /4 d où x k+ l C x k+ x k ε C Pour que l erreur soit inférieur à il faut alors choisir ε ( C ) π x Exercice On considère le problème du calcul de l [,π] tel que l = + sin(l) Montrer qu on peut utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l Que vaut l approximation de l après itérations? On considère la méthode de point fixe suivante : x [,π], x k+ = g (x k ) pour tout k, (4) CORRECTION avec g : [,π] R la fonction définie par g (x) = + sin(x) Étudier graphiquement la convergence de cette méthode Montrer rigoureusement que la méthode converge pour tout x [,π] Montrer que l erreur satisfait l inégalité x k l C k x l Donner une estimation de la constante C et l utiliser pour minorer le nombre d itérations nécessaires pour approcher l à près 4 Montrer que si on utilise le critère d arrêt x k+ x k ε alors x k+ l ε C Quelle valeur de ε faut-il choisir pour approcher l à près? (Rappel : a c c b a b a c + c b pour tout a,b,c R) Soit f : [,π] R la fonction définie par f (x) = + sin(x) x Elle est de classe C, f () = > et f (π) = π <, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu il existe au moins un l [,π] tel que f (l) = De plus, comme f (x) = cos(x) <, ce zéro est unique On peut alors utiliser la méthode de la dichotomie pour approcher l et l on a G Faccanoni

32 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier k [ ] [ [a k,b k ] [,π], π π 4, π ] [ π 8, π ] l k On considère la méthode de point fixe de fonction d itération g Étude graphique de la convergence : π π 4 y π π 8 7π 6 g est de classe C, g () = g (π) =, g (x) = cos(x) [ /,/], g est croissante sur [, π ], décroissante sur [ π,π] et g (π/) = / < π g x x x π g ([,π]) = [,/] [,π] et g (x) / < : la méthode de point fixe converge pour tout x [,π] Pour tout k N il existe ξ k compris entre l et x k tel que x k l = g (x k ) g (l) g (ξ k ) x k l k x l π k Donc, pour approcher l à près, il faut prendre le plus petit k N qui vérifie k log ( π) 7, ie k = 4 Pour tout k N on a [ x k l x k+ x k x k+ x k + x k l = x k+ l C x k l d où x k+ l C x k+ x k ε C Pour que l erreur soit inférieur à il faut alors choisir ε π x Exercice Le but de cet exercice est de calculer la racine cubique d un nombre positif a Soit g la fonction définie sur R + par g (x) = x + a x (a > fixé) Faire l étude complète de la fonction g Comparer g à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence 4 Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang 5 Calculer l ordre de convergence de la suite 6 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer a à une précision de 6 7 Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x) = x a Que remarque-t-on? CORRECTION Étude de la fonction g : R + R définie par g (x) = x + g (x) > pour tout x R + ; g (x) = lim g (x) = + ; lim x + lim x + x + g (x) x = ( ax ) ; a x : et lim g (x) x + x = donc y = x est un asymptote et l on a g (x) > x pour tout x > ; g (x) = g est croissante sur [ a,+ [, décroissante sur [, a] ; x = a est un minimum absolu et g ( a) = a, g (x) = a > : g est convexe sur R x 4 + G Faccanoni

33 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y y i (x) i (x) g (x) y = x g (x) a a a x x x 4 x x x a x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 4: Exercice x a + g (x) + g (x) + a + Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 4a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x + a x = x x = a Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe : voir la figure 4a 4 On en déduit que pour tout x > on a g (x) a Donc, pour tout k >, x k = g (x k ) a Vérifions les hypothèses du théorème de point fixe qui fournit une condition suffisante de convergence de la suite : 4 pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x) > a donc g ([ a,+ [) [ a,+ [ (ie l intervalle a,+ [ est stable) ; 4 g C ([ a,+ [) ; 4 pour tout x dans [ a,+ [ on a g (x) = ( a ) x < donc g est contractante Alors la méthode converge vers x point fixe de g De plus, pour tout x [ a,+ [ on a x = g ( x) x = a : la méthode permet donc de calculer de façon itérative la racine cubique de a 5 Étant donné que la méthode de point fixe converge à l ordre 6 Algorithme de point fixe : Require: x > while x k+ x k > 6 do x k+ g (x k ) end while g ( x) =, g ( x) = a x 4 Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + ) peut être évaluée par un développement de Taylor au premier ordre e k+ = g ( x) g (x k ) = g (z k )e k G Faccanoni

34 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier avec z k compris entre x et x k Donc Puisque g ( x) =, on a bien x k+ x k e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k ) e k g ( x) e k 7 La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec g (x) = x f (x) f Ici elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k a x = x k x k + a x = x k + a x k k k autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de Newton (qu on sait être d ordre de convergence égale à lorsque la racine est simple) Exercice 4 On veut résoudre l équation e αx = x avec < α < Vérifier que cette équation admet une unique solution, notée l α, dans R Soit g : R R la fonction définie par g (x) = e αx On définit la suite récurrente u R u n+ = g (u n ) (5) On veut montrer que u n converge vers l α Pour cela, comparer d abord le graphe de g à l identité et observer graphiquement la convergence, ensuite justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement Écrire la méthode de Newton pour résoudre l équation e αx = x avec < α < Parmi la méthode de Newton et la méthode de point fixe (5), laquelle faut-il préférer vis-à-vis de la vitesse de convergence? CORRECTION Deux méthodes (équivalentes) possibles : Méthode : La fonction g : x e αx est continue monotone décroissante, lim x e αx = + et lim x + e αx = ; par conséquente elle intersecte la droite d équation y = x une et une seule fois Notons ce point l α Comme la fonction x e αx est positive pour tout x R tandis que la fonction x x est positive si et seulement si x >, on en déduit que l α > De plus, comme g () = e α <, on peut conclure que l α ];[ Méthode : La fonction f : x e αx x est continue monotone décroissante, lim x e αx x = + et lim x + e αx x = ; par le théorème des valeurs intermédiaires on conclut qu il existe un et un seul l α R tel que f (l α ) = Comme f () >, on peut appliquer à nouveau le théorème des valeurs intermédiaires à l intervalle [; [ et en déduire que l α > De plus, comme f () < e <, on peut conclure que l α ];[ Le graphe de la fonction g est celui en figure 4 On en déduit que la suite (u n ) n converge pour tout u R ; g (R) =];+ [ et g (];+ [) =];[ ainsi u ];+ [ et u n ];[ pour tout n > ; la convergence n est pas monotone : la sous-suite des termes d indice pair est monotone croissante tandis que la sous-suite des termes d indice impair est monotone décroissante (ce qui veut dire d une part qu on ne pourra pas utiliser les théorèmes du type «monotone+bornée=convergente» pour prouver la convergence, d autre part on voit aussi que ni l intervalle [l α ;+ [ ni l intervalle [;l α ] sont stables) ; g (x) n est pas bornée pour tout x R (croissance exponentielle à ) Plus particulièrement, g (x) < ssi e αx > α ssi x > ln(α)/α Comme < α <, on conclut que g (x) < pour tout x Cette étude préliminaire suggère d utiliser le théorème de point fixe dans l intervalle ];+ [ On a g C (];+ [), g (];+ [) ];+ [, g (x) < pour tout x ];+ [, on peut alors utiliser le théorème de point fixe pour conclure que la suite (u n ) n N converge vers l α pour tout u ];+ [ Comme g (x) ];+ [ pour tout x R, alors u n ];+ [ pour tout n N, on peut donc conclure que la suite (u n ) n N converge vers l α pour tout u R Soit f (x) = e αx x La méthode de Newton (qui s applique à f et non à g ) définit la suite récurrente u R u n+ = u n e αun u n αe αun (6) La méthode de point fixe (5) n est que d ordre car g (l α ) tandis que la méthode de Newton, qui est encore une méthode de point fixe, est d ordre 4 G Faccanoni

35 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y i (x) y i (x) l α l α l α g (x) x x x x x l α g (x) x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 5: Exercice 4 Exercice 5 Soit f une application de R dans R définie par f (x) = exp(x ) 4x On se propose de trouver les racines réelles de f Situer les 4 racines de f (ie indiquer 4 intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine) Montrer qu il y a une racine x comprise entre et Soit la méthode de point fixe xk+ = φ(x k ), (7) x ],[, exp(x avec φ l application de R dans R définie par φ(x) = ) Examiner la convergence de cette méthode et en préciser l ordre de convergence 4 Écrire la méthode de Newton pour la recherche des zéros de la fonction f 5 Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe (7), quelle est la plus efficace? Justifier la réponse CORRECTION On cherche les zéros de la fonction f (x) = exp(x ) 4x On remarque que f ( x) = f (x) : la fonction est paire On fait donc une brève étude sur [,+ [ : f () = et lim f (x) = +, x + f (x) = pour x = et x = ln4 et on a f () = et f ( ln4) = 4( ln4) < ; f est croissante pour x > ln4 et décroissante pour < x < ln4 On a une racine dans l intervalle ], ln4[, une racine dans l intervalle ] ln4,[, une racine dans l intervalle ], ln4[, une racine dans l intervalle ] ln4, [ Voir la figure 6a pour le graphe de f sur R Puisque f () = > et f () = e 4 <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un x ], [ tel que f ( x) = Puisque f (x) = x exp(x ) 8x = x(exp(x ) ) < x(e 4) < pour tout x ],[, ce x est unique Voir la figure 6b Étude de la convergence de la méthode (7) : pour tout x dans ],[ on a donc φ: ],[ ],[ ; φ C (],[) ; pour tout x dans ],[ on a donc φ est contractante < exp(x ) 4 < e 4 < φ x exp(x ) (x) = = xφ(x) < x < Alors la méthode (7) converge vers x point fixe de φ De plus, pour tout x ],[, x = φ( x) x = exp( x ) 4 x = exp( x ) f ( x) = ; G Faccanoni 5

36 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier y y f (x) f (x) ln4 x x x 4( ln4) y (a) Graphe de f (x) = exp(x ) 4x FIGURE 6: Exercice 5 (b) Zoom y x x x x x x FIGURE 7: Exercice 5 : convergence de la méthode de point fixe donc x, point fixe de φ, est un zéro de f Étant donné que φ ( x) = xφ( x) = x, la méthode de point fixe (7) converge seulement à l ordre 4 La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec φ(x) = x f (x) f Ici donc elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k exp(x k ) 4x k x k exp(x k ) 8x k = x k exp(x k ) 4x k x k (exp(x k ) 4) 5 Puisque x est une racine simple de f, la méthode de Newton converge à l ordre tandis que la méthode de point fixe (7) converge seulement à l ordre : la méthode de Newton est donc plus efficace Exercice 6 On cherche à évaluer 5 à l aide d un algorithme n autorisant que les opérations élémentaires Soit (x n ) n N la suite définie par récurrence x =, x n+ = x n xn + 5 n N x x 6 G Faccanoni

37 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y 5 i (x) y i (x) 5 g (x) g (x) 5 x x x x x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe x k+ = g (x k ) FIGURE 8: Exercice 6 Montrer que si la suite converge, alors elle converge vers ou 5 Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x) = x Étudier g et la comparer à l identité x +5 Montrer que la suite (x n ) n N est croissante et majorée par 5 Conclure 4 Déterminer l ordre de convergence de cette suite CORRECTION Supposons qu il existe l R tel que x n n + l Par définition de convergence on a l = l l +5 et par conséquent l 5,, 5 } On prouve par récurrence que si x = alors x n = pour tout n N donc l =, si x > alors x n > pour tout n N donc l, si x < alors x n < pour tout n N donc l Comme x = >, alors x n > pour tout n N et l, 5 } Soit la fonction g définie sur [; 5] par g (x) = x On étudie la fonction g : x +5 g (x) > pour tout x [; 5] ; g () = 5, g ( 5) = 5 ; g (x) = x 5 (x +5) ; g est croissante sur [; 5[ et g ( 5) = Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 8a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x dans [; 5] : g (x) = x x x + 5 = x x = 5 On a g (x) [5/; 5] pour tout x [; 5] et on a vu au point précédent que g est croissante et g ( 5) = 5 De plus, g (x) x car g (x) = par conséquent la suite x k+ = g (x k ) x k est croissante x x + 5 x ( 5) + 5 = x, Comme g (x) ( 5) = 5 alors la suite x k+ = g (x k ) 5 est bornée On a ainsi une suite croissante et borné, ce qui implique qu elle converge Comme au premier point on a montré que si elle converge vers l alors l, 5 }, on conclut que x n 5 Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 8b n + Dans ce cas, on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [; 5] En effet g est au moins de classe C ([; 5]) g ([; 5]) = [5/; 5] [; 5] mais g (x) < ssi x [ + 5 5; 5] (et on a > ) G Faccanoni 7

38 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier En revanche, on peut utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la suite sur l intervalle [5/; 5] car g est au moins de classe C ([5/; 5]) g ([5/; 5]) [5/; 5] g (x) < pour tout x [5/; 5] 4 Comme g ( 5) = et g ( 5), la méthode de point fixe associée à la fonction d itération g est d ordre Exercice 7 L objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d une fonction C (R,R) vérifiant < f (x) < sur R On définit la suite x n } n N de R par la récurrence suivante x n+ = g (x n ) = x n + αf (x n ), où α > et x R sont donnés Montrer que lim f (x) = + et lim f (x) = x x + En déduire qu il existe un unique l élément de R tel que f (l) = Montrer que si < α <, la fonction g définie par g (x) = x + αf (x) vérifie < α < g (x) < α sur R 4 En déduire la convergence de la suite x n } n N si < α < 5 La suite converge-t-elle pour α = f (l)? 6 Donner l ordre de convergence de la suite x n } n N pour < α < en distinguant le cas α = f (l) 7 Peut-on choisir α = f d un point de vue pratique? (l) 8 On choisit alors d approcher α = f (l) par α n = f (x n ) et la suite x n} n N est définie par x n+ = g (x n ) = x n + α n f (x n ) Quel est le nom de cette méthode itérative? Montrer que la suite x n } n N converge quel que soit x R CORRECTION Puisque f est de classe C (R,R) et f (x) < sur R alors f est monotone décroissante De plus, f (x) < sur R donc lim f (x) = + lim x f (x) = x + NB : seul la condition f (x) < permet de conclure car une fonction peut être monotone décroissante mais avoir une limite finie! En effet, la condition f (x) < garantie que la fonction décroit plus vite qu une droite comme on peut facilement vérifier : f (x) f (x) lim = lim x ± x x ± Puisque lim f (x) = + > et lim f (x) = <, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins x x + un l R tel que f (l) = Puisque f (x) < pour tout x R, ce l est unique Considérons la fonction g définie par g (x) = x + αf (x) alors g est de classe C (R,R) et g (x) = + αf (x) sur R Puisque f (x) < et < α < on a et puisque f (x) > et < α < alors Autrement dit g (x) < α < sur R g (x) > α > sur R g (x) < sur R 4 Soit < α < On étudie la suite x n+ = g (x n ) et on va vérifier qu il s agit d une méthode de point fixe pour le calcul du zéro l de f 8 G Faccanoni

39 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires 4 On vérifie d abord que, si la suite converge vers un point fixe de g, ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi) : soit l R, alors l = g (l) l = l + αf (l) = αf (l) f (l) = ; 4 vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu on a vu au point précédant, elle converge vers l unique zéro de f ) : 4 on a évidemment que g : R R ; 4 on a déjà remarqué que g C (R,R) ; 4 pour tout x dans R on a prouvé que g (x) <, ie que g est contractante Alors la suite x n+ = g (x n ) converge vers l point fixe de g et zéro de f 5 Si α = f (l) alors x n+ = g (x n ) = x n f (x n) f (l), qui converge car < f (l) < ssi < α < et donc on rentre dans le cas de < α < 6 Étant donné que g (l) = + αf (l) la méthode de point fixe converge à l ordre si αf (l) =, la méthode de point fixe converge à l ordre si < αf (l) < mais αf (l), la méthode de point fixe ne converge pas si αf (l) < ou αf (l) > Étant donné que < f (l) < et que < α < on peut conclure que la méthode de point fixe converge à l ordre si α = f (l), la méthode de point fixe converge à l ordre si α f (l) 7 D un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f car on ne connaît pas l (l) 8 Si on choisit d approcher α = f (l) par α n = f (x n ) et on considère la suite x n} n N définie par x n+ = g (x n ) = x n + α n f (x n ), on obtient la méthode de Newton (qui est d ordre ) De plus, comme < f (x) < on rentre dans le cas < α < donc la suite x n } n N converge quel que soit x R Exercice 8 Recherche de zéro d une fonction non-linéaire L objectif de cet exercice est de déterminer le zéro d une fonction f C (R,R) vérifiant < f (x) < sur R On définit la suite x n } n N de R par la récurrence suivante x n+ = g (x n ), où α > et x R sont donnés et la fonction g : R R est définie par g (x) = x αf (x) Montrer que lim f (x) =, lim f (x) = + et en déduire qu il existe un unique l R tel que f (l) = x x + Montrer que si < α <, la fonction g vérifie g (x) < sur R En déduire la convergence de la suite x n } n N pour tout α ];[ quel que soit x R Donner l ordre de convergence de la suite x n } n N en fonction de α ];[ 4 Comme d un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f (l), on va l approcher par α n = f et on obtient (x n ) la suite x n } n N définie par x n+ = x n α n f (x n ) CORRECTION Quel est le nom de cette méthode itérative? Montrer que la suite x n } n N converge quel que soit x R Puisque f est de classe C (R,R) et f (x) > sur R alors f est monotone croissante De plus, f (x) > sur R donc lim f (x) = lim x f (x) = + x + NB : seul la condition f (x) > permet de conclure car une fonction peut être monotone croissante mais avoir une limite finie! En effet, la condition f (x) > garantie que la fonction croit plus vite qu une droite comme on peut facilement vérifier : Puisque lim x f (x) = < et lim x + f (x) lim x ± x [H] f (x) = lim x ± un l R tel que f (l) = Puisque f (x) > pour tout x R, ce l est unique f (x) = + >, pour le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins G Faccanoni 9

40 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier g est de classe C (R,R) Puisque < f (x) < et < α < on a Autrement dit On étudie alors la suite < α < g (x) = αf (x) < α < g (x) < sur R x n+ = g (x n ) et on va vérifier qu il s agit d une méthode de point fixe pour le calcul du zéro l de f On vérifie d abord que, si la suite converge vers un point fixe de g, ce point est bien un zéro de f (ici le réciproque est vrai aussi) : soit l R, alors l = g (l) l = l αf (l) = αf (l) α f (l) = ; vérifions maintenant que la suite converge vers un point fixe de g (et donc, grâce à ce qu on a vu au point précédant, elle converge vers l unique zéro de f ) : g C (R,R) et pour tout x dans R on a prouvé que g (x) <, ie g est contractante, alors la suite x n+ = g (x n ) converge vers l point fixe de g et zéro de f Étant donné que g (l) = αf (l) avec < f (l) < et < α <, on peut conclure que la méthode de point fixe converge à l ordre si α = f (l), la méthode de point fixe converge à l ordre si α f (l) 4 D un point de vue pratique on ne peut pas choisir α = f car on ne connaît pas l Si on choisit d approcher α = (l) f (l) par α n = f (x n ) et on considère la suite x n} n N définie par on obtient la méthode de NEWTON (qui est d ordre ) x n+ = x n α n f (x n ), De plus, comme < f (x) < alors < α n < donc la suite x n } n N converge quel que soit x R Exercice 9 Soit g la fonction définie sur R + par g (x) = x + 4x + x + 8x Faire l étude complète de la fonction g (On admettra que x +4x = admet comme unique solution m,6 et que g (m) = m) Comparer g à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x > À l aide des graphe de g et de l identité sur R +, dessiner la suite (x n) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence En particulier, montrer que cette suite est décroissante à partir du rang 4 Expliciter (sans la vérifier) la condition nécessaire pour la convergence observée graphiquement 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer le point fixe à une précision de ε 6 Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f définie par f (x) = x + 4x Que remarque-t-on? 7 Donner l ordre de convergence de la suite CORRECTION Étude de la fonction g : R + R définie par g (x) = x +4x + x +8x g (x) > pour tout x R + ; lim x + lim x + g (x) = lim x + g (x) = + ; g (x) x = et lim g (x) x + x = 4 9 donc y = x 4 9 est un asymptote ; g (x) = (x+4)(x +4x ) x (x+8) ; : 4 G Faccanoni

41 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y y i (x) i (x) g (x) y = x 4 9 g (x) m m x x x 4 x x x x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE 9 g est croissante sur [m,+ [, décroissante sur [,m] où m,6 ; x = m est un minimum absolu et g (m) = m x m + g (x) + g (x) + m + Graphe de g comparé au graphe de i (x) = x : voir la figure 9a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x + 4x + x + 8x = x x + 4x = x = m f (x) = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure 9b 4 On en déduit que pour tout x > on a g (x) m Donc, pour tout k >, x k = g (x k ) m Pour étudier la convergence de la méthode vérifions si on peut appliquer le théorème de point fixe : 4 pour tout x dans [m,+ [ on a g (x) > m donc g ([m,+ [) [m,+ [ ; 4 g C ([m,+ [) ; 4 pour tout x dans [m,+ [, on a g (x) = (6x +8x) g (x)(6x+8) < alors g est contractante x +8x Si les conditions précédentes sont vérifiées alors la méthode converge vers m point fixe de g De plus, pour tout α [m,+ [ : α = g (α) α = m donc le point fixe de g est racine de f 5 Algorithme de point fixe : Require: x > Require: g : x g (x) while x k+ x k > ε do x k+ g (x k ) end while 6 La méthode de Newton est une méthode de point fixe avec g (x) = x f (x) f Ici donc elle s écrit (x) x k+ = x k f (x k) f (x k ) = x k x k + 4x k x k + 8x = g (x k ) k G Faccanoni 4

42 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de Newton 7 Étant donné que la méthode de point fixe donnée est la méthode de Newton et que la racine m de f est simple, elle converge à l ordre Quelques remarques à propos du critère d arrêt basé sur le contrôle de l incrément Les itérations s achèvent dès que x k+ x k < ε ; on se demande si cela garantît-t-il que l erreur absolue e k+ est elle aussi inférieur à ε L erreur absolue à l itération (k + ) peut être évaluée par un développement de Taylor au premier ordre avec z k compris entre m et x k Donc e k+ = g ( x) g (x k ) = g (z k )e k x k+ x k = e k+ e k = g (z k ) e k g (m) e k Puisque g (x) = x+4 x (x+8) f (x), alors g (m) = donc on a bien x k+ x k e k Exercice On se propose de calculer 4 en trouvant les racines réelles de l application f de R dans R définie par f (x) = x4 Situer les racines de f (ie indiquer intervalles disjoints qui contiennent chacun une et une seule racine) En particulier, montrer qu il y a une racine x comprise entre et Soit g la fonction définie sur [;] par g (x) = x(9x4 + 5) (5x 4 + ) Faire l étude complète de la fonction g et la comparer à l identité Soit la suite (x n ) n N définie par x n+ = g (x n ), x ];[ À l aide des graphe de g et de l identité sur [;], dessiner la suite (x n ) n N sur l axe des abscisses Observer graphiquement la convergence Justifier mathématiquement la convergence observée graphiquement 4 Calculer l ordre de convergence de la suite 5 Écrire l algorithme défini par la suite (x n ) n N qui permet de déterminer 4 à une précision de ε Expliciter la méthode de Newton pour la recherche du zéro de la fonction f 4 Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe x k+ = g (x k ), quelle est la plus efficace? Justifier la réponse CORRECTION f est paire ; comme f (x) = 4x, f est croissante pour x > et décroissante pour x < ; puisque f () < et f ( ) = f () >, on conclut que il n y a que deux racines réelles distinctes : x ];[ et x ] ;[ On étudie la fonction g (x) = x(9x4 +5) pour x (5x 4 +) g (x) pour tout x et g (x) = ssi x = ; g (x) = 5(9x8 6x 4 +) 4 (5x 4 +) = 5 Enfin, g (x) = concave pour x ]; 4 ( x 4 5x 4 + x 4 x = 5x 4 + (5x 4 +) ) ( donc g (x) pour tout x ];[ et g (x) = ssi x = 4 De plus, g 4 g (x) [, convexe pour x > 4 x = x (x 4 ) (5x 4 +) (5x 4 +) donc g (x) = ssi x = ou x = 4 ) =, g est Pour le graphe de g comparé au graphe de i (x) = x pour x [;] voir la figure a On vérifie analytiquement qu il existe une et une seule intersection entre la courbe d équation y = g (x) et la droite d équation y = x : g (x) = x x(9x4 + 5) (5x 4 + ) = x 9x4 + 5 = (5x 4 + ) x 4 = f (x) = Pour l étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe voir la figure b Étudions la convergence de la méthode On remarque que = 9x4 k + 5 x k (5x 4 k + ) > x k < 4 x k+ 4 G Faccanoni

43 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires y y i (x) g (x) i (x) g (x) 4 y = 5 x 4 4 x x x x x x 4 4 x (a) Graphe de g comparé au graphe de i (b) Étude graphique de la convergence de la méthode de point fixe FIGURE donc la suite récurrente x ]; 4 [ x k+ = g (x k ) est monotone croissante et majorée par 4 : elle est donc convergente vers l 4 4, on conclut qu elle converge vers 4 De même, la suite récurrente ] [ 4 x ; x k+ = g (x k ) Comme l = g (l) ssi l = est monotone décroissante et minoré par 4 : elle est donc convergente vers l 4 Comme l = g (l) ssi l = 4, on conclut qu elle converge vers 4 Par conséquent, quelque soit le point initiale, la méthode de point fixe donnée converge vers 4 point fixe de g (et racine de f ) Soulignons qu on ne peut pas utiliser le théorème de point fixe pour prouver la convergence de la méthode car g n est pas contractante sur [;] En effet, dans [;] on a g (x) < g (x) < 5(x 4 ) < (5x 4 + ) 5x 8 + x 4 > x 4 > + = 5 (5 x 4 +) 4 4 Si on pose x = 4 alors g ( x) = x, g ( x) =, g ( x) = et g ( x) = x 5 x8 x 4 + suite converge à l ordre 5 Algorithme de point fixe : Require: x > Require: g : x g (x) while x k+ x k > ε do x k+ g (x k ) end while 6 5 ];[ : on conclut que la Entre la méthode de Newton et la méthode de point fixe x k+ = g (x k ), la plus efficace est la méthode de point fixe x k+ = g (x k ) car elle est d ordre tandis que celle de Newton n est que d ordre Exercice Comparer les méthodes de la dichotomie, de Lagrange et de Newton pour approcher la racine x de la fonction f (x) = cos (x) x sur l intervalle ],5[ avec une précision de 6 Pour la méthode de Newton on prendra x = 75 G Faccanoni 4

44 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier CORRECTION On modifie les fonctions données à la page pour que les méthodes s arrêtent lorsque le nombre d itérations est égal à maxiter : import math, sys def dichotomie(f,a,b,tol,maxiter): 4 fa = f(a) 5 if abs(fa)<=tol: 6 return a 7 fb = f(b) 8 if abs(fb)<=tol: 9 return b if fa*fb > : print "La racine n est pas encadree" sysexit() n = int(mathceil(mathlog(abs(b-a)/tol)/mathlog())) 4 for k in range(min(n+,maxiter)): 5 c = (a+b)*5 6 fc = f(c) 7 if fc == : 8 return c 9 if fc*fb < : a = c fa = fc else: b = c 4 fb = fc 5 return (a+b)*5 6 7 def lagrange(f,a,b,tol,maxiter): 8 fa = f(a) 9 if abs(fa)<=tol: return a fb = f(b) if abs(fb)<=tol: return b 4 if fa*fb > : 5 print "La racine n est pas encadree" 6 sysexit() 7 k = 8 fc = *tol 9 while ( (abs(b-a)>tol) and (abs(fc)>tol) and (k<maxiter) ): 4 k += 4 c = a-fa*(b-a)/(fb-fa) 4 fc = f(c) 4 if fc == : 44 return c 45 if fc*fb < : 46 a = c 47 fa = fc 48 else: 49 b = c 5 fb = fc 5 return a-fa*(b-a)/(fb-fa) 5 5 def newton(f,x_init,tol,maxiter): 54 k = 55 x = x_init 56 fx = f(x) 57 h = tol 58 dfx = df(x) 59 while ( (abs(fx)>tol) and (k<maxiter) ): 6 x = x - fx/dfx 6 fx = f(x) 6 dfx = df(x) 44 G Faccanoni

45 Jeudi janvier Résolution d équations non linéaires 6 k += 64 return x Ensuite on construit une matrice dont la première colonne contient le nombre d itérations, la deuxième colonne l erreur absolue obtenue par la méthode de la dichotomie avec le nombre d itérations indiqué dans la première colonne, la troisième colonne l erreur absolue obtenue par la méthode de LAGRANGE et la dernière par la méthode de NEWTON 65 def f(x): 66 return (mathcos(*x))**-x** 67 def df(x): 68 return -4*mathcos(*x)*mathsin(*x)-*x 69 7 exact = niter = 7 tol = sysfloat_infoepsilon 74 a = 75 b = 5 76 x_init = XXX = [] 8 Dic = [] 8 Lag = [] 8 New = [] 8 84 for i in range(niter): 85 maxiter = i 86 XXXappend(maxITER) 87 Dicappend(abs(exact-dichotomie(f,a,b,tol,maxITER))) 88 Lagappend(abs(exact-lagrange(f,a,b,tol,maxITER))) 89 Newappend(abs(exact-newton(f,x_init,tol,maxITER))) 9 print "%g %57f %57f %57f" % (XXX[i], Dic[i], Lag[i], New[i]) On obtient ainsi le tableau maxiter Dichotomie LAGRANGE NEWTON On affiche enfin les erreurs absolues x x maxiter en fonction du nombre d itérations pour chaque méthode avec une échelle logarithmique pour l axe des ordonnées 9 from matplotlibpylab import * 9 xlabel( Iterations ) 9 ylabel( Absolute error ) 94 axis([,niter,,]) 95 semilogy(xxx,dic,"r-o",xxx,lag,"g-o",xxx,new,"y-o") 96 legend([ Dichotomie, Lagrange, Newton ]) 97 show() Le résultat est le suivant G Faccanoni 45

46 Résolution d équations non linéaires Jeudi janvier On remarque tout d abord que la décroissance de l erreur avec la méthode de la dichotomie n est pas monotone De plus, on voit que la méthode de NEWTON est d ordre tandis que la méthode de LAGRANGE est d ordre 46 G Faccanoni

47 Interpolation Étant donné n + points (x i, y i ) } n, trouver un polynôme p = p(x) tel que p(x i ) = y i Étant donné n + couples (x i, y i ), le problème consiste à trouver une fonction ϕ = ϕ(x) telle que ϕ(x i ) = y i ; on dit alors que ϕ interpole y i } aux nœuds x i } Les quantités y i peuvent, par exemple, représenter les valeurs aux nœuds x i d une fonction f connue analytiquement ou des données expérimentales Dans le premier cas, l approximation a pour but de remplacer f par une fonction plus simple en vue d un calcul numérique d intégrale ou de dérivée Dans l autre cas, le but est d avoir une représentation synthétique de données expérimentales dont le nombre peut être très élevé On parle d interpolation polynomiale quand ϕ est un polynôme, d approximation trigonométrique quand ϕ est un polynôme trigonométrique et d interpolation polynomiale par morceaux (ou d interpolation par fonctions splines) si ϕ est polynomiale par morceaux Position du problème Notons R m [x] l espace vectoriel formé par tous les polynômes de degré inférieur ou égale à m Il est bien connu que R m [x] a dimension m + et que sa base canonique est donnée par, x, x,, x m } Supposons que l on veuille chercher un polynôme P m de degré m qui, pour des valeurs x, x, x,, x m distinctes données (appelés nœuds d interpolation), prenne les valeurs y, y, y,, y m respectivement, c est-à-dire P m (x i ) = y i pour i m () Si un tel polynôme existe, il est appelé polynôme d interpolation ou polynôme interpolant Une manière apparemment simple de résoudre ce problème est d écrire le polynôme dans la base canonique de R m [x] : P m (x) = a + a x + a x + + a m x m, où a, a, a,, a m sont des coefficients qui devront être déterminés Les (m + ) relations () s écrivent alors a + a x + a n x m = y a + a x + a n x m = y a n + a x m + a m xm m = y m Puisque les valeurs x i et y i sont connues, ces relations forment un système linéaire de (m + ) équations en les (m + ) inconnues a, a, a,, a m qu on peut mettre sous la forme matricielle x x m x x m x m xm m a a a m = y y y m () Ainsi, le problème consistant à chercher le polynôme P m satisfaisant () peut se réduire à résoudre le système linéaire () Cependant, résoudre une système linéaire de (m + ) équations à (m + ) inconnues n est pas une tache triviale Cette méthode pour trouver le polynôme P m n est donc pas une bonne méthode en pratique Dans la suite on va étudier une méthode plus astucieuse pour construire le polynôme P m x x m x x m La matrice s appelle matrice de VANDERMONDE x m xm 47

48 Interpolation Jeudi janvier Interpolation de LAGRANGE Quand on écrit le polynôme P m dans la base canonique de R m [x], le problème est de déterminer les (m + ) coefficients a, a, a,, a m tels que P m (x) = a + a x + a x + + a m x m On se demande s il existe une autre base L,L,L,,L m } de R m [x] telle que le polynôme P m s écrit Les (m + ) relations () imposent la condition : P m (x) = y L (x) + y L (x) + y L (x) + + y m L m (x) L i (x j ) si i = j sinon pour i, j m, ce qui donne L i (x) = n j = j i x x j = (x x )(x x ) (x x i )(x x i+ ) (x x m ) x i x j (x i x )(x i x ) (x i x i )(x i x i+ ) (x i x m ) Clairement, le numérateur de L i (x) est un produit de m termes (x x j ) avec i j et est donc un polynôme de degré m Le dénominateur est une constante et il est facile de vérifier que L i (x) R m [x], L i (x j ) = si i j, i m, L i (x i ) = De plus, les polynômes L,L,L,,L m sont linéairement indépendants car si l équation m α i L i (x) = doit être satisfaite pour tout x R alors m α i L i (x j ) = doit être vraie pour tout j =,,,m et puisque m α i L i (x j ) = α j, on conclut que tous les α j sont nuls Par conséquent, la famille L,L,L,,L m } forme une base de R m [x] Il est important de remarquer que nous avons construit explicitement une solution du problème () et ceci pour n importe quelles valeurs y, y, y,, y m données Ceci montre que le système linéaire () a toujours une unique solution Définition Interpolation de Lagrange Étant donné m + points distincts x,, x m et m + valeurs correspondantes y,, y m, il existe un unique polynôme P m R m [x] tel que P m (x i ) = y i, pour i =,m qu on peut écrire sous la forme m m x x j P m (x) = y i L i (x) R m [x] où L i (x) = x i x j Cette relation est appelée formule d interpolation de LAGRANGE et les polynômes L i sont les polynômes caractéristiques (de LAGRANGE) j = j i Exemple Pour m = le polynôme de Lagrange s écrit (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) Exemple On cherche le polynôme d interpolation de LAGRANGE qui en vaut 8, en vaut et en vaut 6 On a (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) x(x ) (x + )(x ) (x + )x = = 4x x + Remarque Si m est petit il est souvent plus simple de calculer directement les coefficients a, a,, a m en résolvant le système linéaire () 48 G Faccanoni

49 Jeudi janvier Interpolation Soit f : R R une fonction continue donnée et soit x, x, x,, x m, (m+) points distincts donnés Interpoler la fonction f aux points x i, i m signifie chercher un polynôme P m de degré m tel que La solution de ce problème est donc donnée par P m (x i ) = f (x i ) pour i m () m m x x j P m (x) = f (x i )L i (x) R m [x] où L i (x) = x i x j et le polynôme P m est appelée interpolant de f de degré m aux points x, x, x,, x m Exemple Soit f : R R la fonction définie par f (x) = e x On cherche l interpolant de f aux points,, On a P(x) = f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) + f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) + f (x ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) ( ( x(x ) (x + )(x ) e = e + (x + )x + e = e e j = j i ) x + La figure ci-dessous montre le graphe de la fonction f et de son interpolant aux points,, y e ) x + f P e e x Proposition Erreur Si y i = f (x i ) pour i =,,,n, f : I R étant une fonction donnée de classe C n+ (I ) où I est le plus petit intervalle contenant les nœuds x i } n, l erreur d interpolation au point x I est donné par où ξ I et ω n+ (x) n (x x j ) E n (x) f (x) P n (x) = f (n+) (ξ) ω n+ (x) (n + )! Évidemment, E n (x i ) = pour i =,,,n De plus, dans le cas d une distribution uniforme de nœuds, ie quand x i = x i + h avec i =,,,n et h > et x donnés, max E n(x) max x I f (n+) (x) h n+ x I 4(n + ) Attention À priori on pourrait penser que cette erreur tend vers quand n + puisque lim n + h n+ 4(n + ) = En réalité il existe des fonctions f pour lesquelles max x I E n (x) n + + Ce résultat frappant indique qu en augmentant le degré n du polynôme d interpolation, on n obtient pas nécessairement une meilleure reconstruction de f G Faccanoni 49

50 Interpolation Jeudi janvier Exemple RUNGE Ce phénomène est bien illustré par la fonction de RUNGE : soit la fonction f : [ 5,5] R définie par f (x) = +x La fonction f est infiniment dérivable sur [ 5,5] et f (n) (±5) devient très rapidement grand lorsque n tend vers l infini Si on considère une distribution uniforme des nœuds on voit que l erreur tend vers l infini quand n tend vers l infini Ceci est lié au fait que la quantité hn+ max x [ 5,5] f (n+) (x) tend plus vite vers l infini que 4(n+) tend vers zéro La figure a montre ses polynômes interpolants de degrés, 5 et pour une distribution équirepartie des nœuds Cette absence de convergence est également mise en évidence par les fortes oscillations observées sur le graphe du polynôme d interpolation (absentes sur le graphe de f ), particulièrement au voisinage des extrémités de l intervalle Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de RUNGE On peut éviter le phénomène de RUNGE en choisissant correctement la distribution des nœuds d interpolation Sur un intervalle [a, b], on peut par exemple considérer les nœuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO (voir figure b) x i = a + b b a ( π ) cos n i, pour i =,,n Pour cette distribution particulière de nœuds, il est possible de montrer que, si f est dérivable sur [a,b], alors P n converge vers f quand n + pour tout x [a,b] Les nœuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO, qui sont les abscisses des nœuds équirépartis sur le demi-cercle unité, se trouvent à l intérieur de [a, b] et sont regroupés près des extrémités de l intervalle Ces figures ont été obtenue par les instructions suivantes : from matplotlibpylab import * def lagrange(t,x,y): 4 p = 5 n = len(x) 6 L = [ for i in range(n)] 7 for i in range(n): 8 for j in range(n): 9 if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) p += y[i]*l[i] return p 4 def f(x): 5 return /(+x**) x = linspace(-5,5,) x = linspace(-5,5,5) x = linspace(-5,5,) 4 y = f(x) 5 y = f(x) 6 y = f(x) "Noeuds équirépartis" 7 8 # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage 9 t = arange(-5,5,) lt = [] lt = [] lt = [] for k in t: 4 ltappend(lagrange(k,x,y)) 5 ltappend(lagrange(k,x,y)) 6 ltappend(lagrange(k,x,y)) 7 8 plot(t,f(t), r-,t,lt, b:,t,lt, m-,t,lt, y-- ) 9 legend([ f, p_, p_5, p_ ],loc= lower center ) axis([-5, 5, -5, ]) show() def Tchebychev(a,b,n): "Noeuds de CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO" return [5*(a+b)-5*(b-a)*cos(pi*i/(n-)) for i in range(n)] 4 x = Tchebychev(-5,5,) 5 x = Tchebychev(-5,5,5) 5 G Faccanoni

51 Jeudi janvier Interpolation f p_ p_5 p_ f p_ p_5 p_ 4 4 (a) (b) FIGURE : Interpolation de LAGRANGE, exemple de RUNGE 6 x = Tchebychev(-5,5,) 7 y = [f(x) for x in x] 8 y = [f(x) for x in x] 9 y = [f(x) for x in x] # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage t = arange(-5,5,) lt = [] 4 lt = [] 5 lt = [] 6 for k in t: 7 ltappend(lagrange(k,x,y)) 8 ltappend(lagrange(k,x,y)) 9 ltappend(lagrange(k,x,y)) plot(t,f(t), r-,t,lt, b:,t,lt, m-,t,lt, y-- ) legend([ f, p_, p_5, p_ ],loc= lower center ) axis([-5, 5, -5, ]) 4 show() Polynôme d HERMITE ou polynôme osculateur On peut généraliser l interpolation de LAGRANGE pour prendre en compte, en plus des valeurs nodales, les valeurs de la dérivée du polynôme interpolateur dans ces nœuds Considérons n + triplets (x i, y i, y i ), le problème est de trouver un polynôme Π m(x) = a + a x + a m x m P m tel quel Πm (x i ) = y i, Π m (x i ) = y i, i =,n Il s agit d un système linéaire de (n + ) équations et m + inconnues Si m = n + on a le résultat suivant : Théorème Étant donné n + points distincts x,, x n et n + couples correspondantes (y, y ),,(y n, y n ), il existe un unique G Faccanoni 5

52 Interpolation Jeudi janvier polynôme Π n+ P n+ tel que Π n+ (x i ) = y i et Π n+ (x i ) = y, pour i =,n qu on peut écrire sous la forme i Q(x) = n y i A i (x) + y i B i (x) P n+ où L i (x) c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j A i (x) = ( (x x i )c i )(L i (x)), B i (x) = (x x i )(L i (x)), qu on peut réécrire comme n Q(x) = (y i D i (x) + y i (x x i ))(L i (x)) où L i (x) c i = n j = j i = n j = j i x x j x i x, j x i x, j D i (x) = (x x i )c i Cette relation est appelée formule d interpolation de HERMITE Exemple Pour n = le polynôme de Hermite s écrit qu on peut réécrire comme ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) Q(x) = y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) + y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) ( ))( ) (x x )(x x ) ( ) + y ( (x x ) + + y (x x x x x x (x x )(x x ) (x x )(x x ) ), (x x )(x x ) ( ( Q(x) = (y (x x ) ( + (y (x x ) ( + (y (x x ) + x x x x ( + x x x x ( + x x x x )) )( + y (x x (x x )(x x ) ) (x x )(x x ) )) + y (x x ) )) + y (x x ) )( (x x )(x x ) ) ) (x x )(x x ) )( ) (x x )(x x ) (x x )(x x ) Remarque Si n est petit on peut calculer directement les coefficients a, a,, a n+ en résolvant le système linéaire de n + équations a + a x + a n+ x n+ = y a + a x + a n+ x n+ = y a n + a x n + a n+ xn n+ = y n a + a x + n + a n+ x n+ = y a + a x + n + a n+ x n+ = y a n + a x n + n + a n+ xn n+ = y n ie x x n+ x x n+ x n xn n+ x n + x n+ x n + x n+ x n n + xn n+ } } (n+) (n+) a a a n+ } } (n+) = y y y n y y y n } } (n+) 5 G Faccanoni

53 Jeudi janvier Interpolation Exemple RUNGE On veut voir si avec l interpolation d HERMITE on arrive à mieux approcher la fonction de RUNGE Soit la fonction f : [ 5,5] R définie par f (x) = +x La figure ci-dessous montre les polynômes interpolants de degrés, 5 et pour une distribution équirepartie des nœuds 5 5 f q_ q_5 q_ 4 4 Cette figure a été obtenue par les instructions : from matplotlibpylab import * def hermite(t,x,y,dy): 4 p = 5 n = len(x) 6 L = [ for i in range(n)] 7 c = [ for i in range(n)] 8 for i in range(n): 9 for j in range(len(x)): if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) c[i] += /(x[i]-x[j]) p += (y[i]*(-*(t-x[i])*c[i])+dy[i]*(t-x[i]))*l[i]** 4 return p 5 6 def f(x): 7 return /(+x**) 8 9 def df(x): return -*x/(+x**)** # INPUT x = linspace(-5,5,) 4 x = linspace(-5,5,5) 5 x = linspace(-5,5,) 6 y = f(x) 7 y = f(x) 8 y = f(x) 9 dy = df(x) dy = df(x) dy = df(x) # Calcul des polynomes en plusieurs points d un intervalle pour affichage 4 t = arange(-5,5,) 5 ht = [] 6 ht = [] 7 ht = [] 8 for k in t: 9 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 4 4 plot(t,f(t), r-,t,ht, b:,t,ht, m-,t,ht, y-- ) 44 legend([ f, q_, q_5, q_ ],loc= lower center ) 45 axis([-5, 5, -, ]) 46 show() G Faccanoni 5

54 Interpolation Jeudi janvier Même avec l interpolation d HERMITE on voit que l erreur tend vers l infini quand n tend vers l infini pour une distribution uniforme des nœuds Algorithmes LAGRANGE : Require: t, n, (x i, y i ) } n p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j end if end for p p + y i L i end for return p HERMITE : Require: t, n, (x i, y i, y i ) } n p for i = to n do L i for j = to n do if j i then L i t x j L i x i x j c i x i x j + c i end if end for p p + ( y i ( (t x i ) c i ) + y i (t x i ) ) L i end for return p 4 Splines : interpolation par morceaux L interpolation aux nœuds de Chebyshev fournit une approximation précise de toute fonction régulière f dont l expression est connue Quand f n est pas régulière ou quand f n est connue qu en certains points (qui ne coïncident pas avec les nœuds de Chebyshev), on peut recourir à une autre méthode d interpolation, appelée interpolation composite Définition Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction s k : [a;b] R est une spline de degré k relative aux nœuds x i } si sk (x) [xi ;x i +] R k [x], i =,,,n, s k C k ([a;b]) Évidemment tout polynôme de degré k est une spline, mais en pratique une spline est constituée de polynômes différents sur chaque sous-intervalle Il peut donc y avoir des discontinuités de la dérivée k-ième aux nœuds internes x,, x n 4 Interpolation linéaire composite Étant donné une distribution (non nécessairement uniforme) de nœuds x < x < < x n, on approche f par une fonction continue qui, sur chaque intervalle [x i, x i+ ], est définie par le segment joignant les deux points (x i, f (x i )) et (x i+, f (x i+ )) Cette fonction est appelée interpolation linéaire par morceaux (ou spline linéaire) Définition Splines linéaires Étant donné n + points distincts x,, x n de [a;b] avec a = x < x < < x n = b, la fonction l: [a;b] R est une spline linéaire relative aux nœuds x i } si l(x) [xi ;xi +] R, i =,,,n, l C ([a;b]) Autrement dit, dans chaque sous-intervalle [x i ; x i + ], la fonction l: [x i, x i+ ] R est le segment qui connecte le point (x i, y i ) au point (x i+, y i+ ) ; elle s écrit donc l(x) [xi ;x i +] = y i + y i+ y i x i+ x i (x x i ) 54 G Faccanoni

55 Jeudi janvier Interpolation Il est intéressant de noter que la commande plot(x,y), utilisée pour afficher le graphe d une fonction f sur un intervalle donné [a, b], remplace en fait la fonction par une interpolée linéaire par morceaux, les points d interpolation étant les composantes du vecteur x Proposition Erreur Si y i = f (x i ) pour i =,,,n et f : [a;b] R est une fonction donnée de classe C ([a;b]), alors on peut majorer l erreur d interpolation au point x [a; b] par (b a) max f (x) l(x) max xı[a;b] 8 f (x) x [a;b] Par conséquent, pour tout x dans l intervalle [a;b], l(x) tend vers f (x) quand n +, à condition que f soit assez régulière Le principale défaut de cette interpolation par morceaux est que l n est que continue Or, dans des nombreuses applications, il est préférable d utiliser des fonctions ayant au moins une dérivée continue On peut construire pour cela une fonction s comme l interpolation d HERMITE des points (x i, f (x i ), f (x i )) et (x i+, f (x i+ ), f (x i+ )) sur chaque [x i ; x i + ] pour i =,,,n 5 Approximation de dérivées Soit f : R R une fonction de classe C (R), x i R et f sa dérivée On sait que Une idée naturelle pour calculer numériquement f (x i ) consiste donc à se donner une valeur de h positive assez petite et à calculer f f (x i + h) f (x i ) (x i ) = lim h h f (x i ) f (x i h) = lim h h f (x i + h/) f (x i h/) = lim h h y f (x i ) δ + h f (x i ) f (x i + h) f (x i ), (4) h f (x i ) δ h f (x i ) f (x i ) f (x i h), (5) h f (x i ) δ h f (x i ) f (x i + h) f (x i h), (6) h f (x i + h) f (x i ) f (x) On les appelles taux d accroissement ou différences finies à droite (ou progressive) δ + h, à gauche (ou rétrograde) δ h, centrée δ h f (x i h) x i h h x i h x i + h x Si f est de classe C, en écrivant le développement de Taylor de f en x autour du point x i on obtient f (x i + h) f (x i ) h f (x i ) f (x i h) h f (x i + h) f (x i h) h f (x i ± h) = f (x i ) ± h f (x i ) + h f (x i ) +O(h ), = f (x i ) + h f (x i ) + h f (x i ) +O((h) ) f (x i ) h = f (x i ) f (x i ) + h f (x i ) h f (x i ) +O(h ) h = f (x i ) +O(h), = f (x i ) +O(h), = f (x i ) + h f (x i ) + (h) f (x i ) +O(h ) f (x i ) + h f (x i ) (h) f (x i ) h = f (x i ) +O(h ) Donc, si f est assez régulière, les différences finies convergent vers f (x i ) lorsque h tend vers zéro De plus, pour les différences finies à gauche et à droite la convergence est d ordre alors que la différence finie centrée converge à l ordre G Faccanoni 55

56 Interpolation Jeudi janvier Exemple On compare pour différentes valeurs de h les valeurs données par ces trois formules pour la dérivée de la fonction sinus en : from math import * def DFgauche(f,x,h): 4 return (f(x+h)-f(x))/h 5 6 def DFdroite(f,x,h): 7 return (f(x)-f(x-h))/h 8 9 def DFcentree(f,x,h): return (f(x+5*h)-f(x-5*h))/h # TEST def f(x): 4 return sin(x) 5 6 x = 7 for i in range(,): 8 h = **(-i) 9 dfg = DFgauche(f,x,h) dfd = DFdroite(f,x,h) dfc = DFcentree(f,x,h) print "%5e %75f %75f %75f" %(h, dfg, dfd, dfc) On constate qu à partir de h = 8 la valeur donnée est exacte e e e e e e e e-8 9 e-9 e- e- e- Définition Erreur de troncature Les différences f (x i ) δ + h, f (x i ) δ h, sont appelées erreur de troncature Elles sont d ordre h et on dit que les différences finies sont consistantes à l ordre en h De même, l erreur de troncature f (x i ) δ h, est d ordre h et on dit que la différence finie est consistante à l ordre en h Elle est ainsi plus précise que les formules de différences finies progressives et rétrogrades Remarque Erreurs d arrondis Les erreurs de troncature diminuent lorsque h diminue En revanche, les erreurs d arrondis augmentent lorsque h diminue En effet, le calcul de δ ± h se fait avec une précision absolue de l ordre de ε f (x) /h où ε 5 Par ailleurs, d après l inégalité de Taylor-Lagrange, on a f (x i ) δ ± h h max f (x) L inégalité triangulaire entraîne alors f (x i ) flt(δ ± h ) h max f (x) + ε f (x) h fonction possède un minimum absolu sur R + atteint en h = Une étude rapide de la fonction h h max f (x) + ε ε f (x) max f (x) f (x) h montre que cette Pour une fonction suffisamment régulière, il est donc judicieux de choisir une valeur de h qui soit de l ordre de ε, c est-à-dire de l ordre de 8 56 G Faccanoni

57 Jeudi janvier Interpolation Exemple Par exemple, en utilisant le code de l exemple précédent pour calculer la dérivée première de la fonction + x en, on obtient e e e e e e e e e e e e e e Cette fois-ci on voit apparaître très nettement la perte de précision lorsque h est trop petit De manière analogue, la dérivée seconde peut être approchée par et on a l estimation d erreur : f (x i + h) f (x i ) + f (x i h) h f (x i ) f (x i + h) f (x i ) + f (x i h) (h) = f (x i ) + h f (x i ) + (h) f (x i ) +O((h) ) f (x i ) + f (x i ) h f (x i ) + (h) f (x i ) h = f (x i ) +O(h ) Conclusion Approcher un ensemble de données ou une fonction f dans [a, b] consiste à trouver une fonction f capable de les représenter avec suffisamment de précision ; l interpolation polynomiale consiste à déterminer un polynôme p tel que p(x i ) = y i, où les x i } sont des nœuds donnés et les y i } sont soit de la forme f (xi ) }, soit des valeurs prescrites ; si les n + nœuds x i } sont distincts, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n qui interpole les valeurs données y i } aux nœuds xi } ; pour une distribution de nœuds équidistants dans [a, b], l erreur d interpolation en un point quelconque de [a, b] ne tend pas nécessairement vers quand n tend vers l infini Néanmoins, il existe des nœuds particuliers, par exemple ceux de CHEBYSHEV, pour lesquels on a cette propriété de convergence pour toutes les fonctions continûment différentiables ; 4 l interpolée linéaire par morceaux d une fonction f est la fonction continue, linéaire par morceaux, l, qui interpole f en un ensemble de nœuds x i } Avec cette approximation, on évite le phénomène de RUNGE quand le nombre de nœuds augmente Ce qu on n a pas dit L interpolation trigonométrique est bien adaptée à l approximation des fonctions périodiques Elle est basée sur le choix d une fonction combinaison linéaire de sinus et de cosinus La FFT est un algorithme très efficace qui permet le calcul des coefficients de Fourier d une fonction d interpolation trigonométrique à partir de ses valeurs aux nœuds Elle admet une inverse, la IFFT, également très rapide L interpolation par des splines cubiques permet d approcher f par une fonction cubique par morceaux deux fois continûment dérivable Augmenter le degré d un polynôme d interpolation de Lagrange n améliore pas toujours l approximation d une fonction donnée Ce problème peut être résolu avec l interpolation composite (avec des fonctions linéaires par morceau ou des splines cubiques) Néanmoins, aucune des deux méthodes n est adaptée à l extrapolation d informations à partir des données disponibles, c est-à-dire, à la génération de nouvelles valeurs en des points situés à l extérieur de l intervalle contenant les nœuds d interpolation Pour cela on verra l approximation au sens des moindres carrées G Faccanoni 57

58 Interpolation Jeudi janvier 4 Les polynômes d interpolation peuvent aussi approcher des données ou des fonctions en plusieurs dimensions En particulier, l interpolation composite, basée sur des fonctions linéaires par morceaux ou des splines cubiques, est bien adaptée quand le domaine Ω est subdivisé en polygones en D (triangles ou quadrilatères) ou en polyèdres en D (tétraèdres ou prismes) 58 G Faccanoni

59 Jeudi janvier Interpolation Codes Python Voici les function python des méthodes illustrées dans ce chapitre : t est le point où on veut évaluer le polynôme d interpolation, x est une liste qui contient les abscisses des points d interpolation, y est une liste qui contient les ordonnées des points d interpolation et dy est une liste qui contient la valeur de la dérivée aux points d interpolation Elles renvoient l évaluation du polynôme en t def lagrange(t,x,y): p = n = len(x) 4 L = [ for i in range(n)] 5 for i in range(n): 6 for j in range(n): 7 if j!=i: 8 L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) 9 p += y[i]*l[i] return p Méthodes numériques def hermite(t,x,y,dy): p = 4 n = len(x) 5 L = [ for i in range(n)] 6 c = [ for i in range(n)] 7 for i in range(n): 8 for j in range(len(x)): 9 if j!=i: L[i] *= (t-x[j])/(x[i]-x[j]) c[i] += /(x[i]-x[j]) p += (y[i]*(-*(t-x[i])*c[i])+dy[i]*(t-x[i]))*l[i]** return p et voici un exemple d utilisation de ces fonctions : 4 from matplotlibpylab import * Cas test 5 6 # INPUT 7 x = [,,,4,5] 8 y = [,,,,] 9 dy = [-,,,-,] # Calcul des polynomes en un point t = 5 print "La valeur du polynome de Lagrange en", t, "est", lagrange(t,x,y) 4 print "La valeur du polynome de Hermite en", t, "est", hermite(t,x,y,dy) 5 6 # Calcul des polynomes en plusieurs pointd d un intervalle pour affichage 7 axis([, 6, -, ]) 8 t = arange(,6,) 9 lt = [] 4 ht = [] 4 for k in t: 4 ltappend(lagrange(k,x,y)) 4 htappend(hermite(k,x,y,dy)) 44 plot(x,y, ro,t,lt, b,t,ht, m ) 45 show() G Faccanoni 59

60 Interpolation Jeudi janvier Exercices Exercice Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a y (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = P(x) (x )(x )(x ) (x )(x )(x ) = + ( )( )( ) ( )( )( ) (x )(x )(x ) (x )(x )(x ) + + ( )( )( ) ( )( )( ) = (x )(x )(x ) x(x )(x ) = + x(x )(x ) x(x )(x ) + = x + x 8 x + x Sinon, comme on cherche p(x) = a i x i un polynôme de degré, il s agit de trouver les 4 coefficients a, a, a et a solution du système linéaire a + a + a + a = a + a + a + a = a + a + a + a = a + a + a + a = L L L L L L L 4 L 4 L donc a =, a =, a = 8 et a = ie L L L L 4 L 4 L a a 4 8 a = 9 7 a L 4 L 4 L 6 6 Exercice Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec + x, x 4 } qui interpole les points (,) et (,) CORRECTION Il s agit de trouver un polynôme p(x) qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x) = α( + x ) + β(x 4 )) et qui interpole les deux points (,) et (,) : y p(x) p() =, p() =, α( + ) + β( 4 ) =, α( + ) + β( 4 ) =, d où α = et β = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x) = + x + x 4 x 6 G Faccanoni

61 Jeudi janvier Interpolation Exercice Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les points (,), (,), (,) Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x) P(x) = λ(x + )x(x ) CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a Par construction (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) x(x )(x ) (x + )(x )(x ) = + = x + x + x + Q( ) = P( ), Q() = P(), Q() = P(), (x + )x(x ) (x + )x(x ) + = donc le polynôme Q(x) P(x) s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que Q(x) P(x) = R(x)(x + )x(x ) Puisque P(x) a degré et Q(x) a degré, le polynôme Q(x) P(x) a degré, donc le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré (ie R(x) est une constante) Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a (x x )(x x ) Q(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) = x(x ) (x + )(x ) + (x + )x = x + Ainsi [ (x x )(x x ) Q(x) P(x) = y x x ] (x x )(x x ) x x [ (x x )(x x ) + y x x (x x )(x x ) x x (x x )(x x )(x x ) = y [ (x x )(x x ) + y x x ] (x x )(x x ) x x ] (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) [ y = (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) y + (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x + )x(x ) = ] (x x )(x x )(x x ) G Faccanoni 6

62 Interpolation Jeudi janvier et λ = Sinon directement avec λ = Q(x) P(x) = x + + x x + x = x + (x + )x(x ) x = = λx(x + )(x ) y Q(x) x x x P(x) x x Exercice 4 Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,e), (,) et (,e) Sans faire de calculs, donner l expression du polynôme de Lagrange Q qui interpole les trois points (, ), (, ) et (, ) Trouver le polynôme de l espace vectoriel Vec, x, x } qui interpole les trois points (, ), (,) et (, ) CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit Ici n = donc on a n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i y e P(x) (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) = x(x ) (x + )x = e (x + )(x ) + e = = (e )x + x 6 G Faccanoni

63 Jeudi janvier Interpolation Il suffit de changer les coefficients y i dans l expression précédente : x(x ) Q(x) = (x + )x = x y Q(x) x Il s agit de trouver un polynôme p(x) qui soit combinaison linéaire des deux polynômes assignés (ie p(x) = α+βx + γx ) et qui interpole les trois points (, ), (,) et (, ) : p( ) =, p() =, p() =, α β + γ =, α =, α + β + γ =, d où α =, β = et γ = Le polynôme cherché est donc le polynôme p(x) = x En fait, il suffisait de remarquer que le polynôme Q Vec, x, x } pour conclure que le polynôme cherché est Q Exercice 5 Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Soit Q le polynôme de Lagrange qui interpole les points (,), (,), (,) Montrer qu il existe un réel λ tel que : Q(x) P(x) = λ(x + )x(x ) CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i Ici n = donc on a (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) x(x )(x ) (x + )(x )(x ) = + 6 = 6 x + x + x + (x + )x(x ) (x + )x(x ) + = Par construction Q( ) = P( ), Q() = P(), Q() = P(), donc le polynôme Q(x) P(x) s annule en, en et en, ceci signifie qu il existe un polynôme R(x) tel que Q(x) P(x) = R(x)(x + )x(x ) Puisque P(x) a degré et Q(x) a degré, le polynôme Q(x) P(x) a degré, donc le polynôme R(x) qu on a mis en facteur a degré (ie R(x) est une constante) Si on n a pas remarqué ça, on peut tout de même faire tous les calculs : dans ce cas n = donc on a (x x )(x x ) Q(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) G Faccanoni 6

64 Interpolation Jeudi janvier x(x ) = (x + )(x ) + (x + )x = x + x + Ainsi [ (x x )(x x ) Q(x) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) x x ] (x x )(x x ) + y x x (x x )(x x ) [ x x x x [ x x ] x x ] (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) [ y = (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) y + (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x + )x(x ) = 6 ] (x x )(x x )(x x ) et λ = 6 Sinon directement Q(x) P(x) = x + x x x x = 6 x 6 x = 6 x(x ) = λx(x + )(x ) avec λ = 6 Q(x) y x P(x) x x x x Exercice 6 Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,α), (,β) et (,α) où α et β sont des réels Si α = β, donner le degré de P Montrer que P est pair Peut-on avoir P de degré? CORRECTION Construire le polynôme de Lagrange P qui interpole les trois points (,α), (,β) et (,α) où α et β sont des réels Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit n n p n (x) = y x x j i x i x j j = j i 64 G Faccanoni

65 Jeudi janvier Interpolation Ici n = donc on a (x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + y (x x )(x x ) (x x )(x x ) + x(x ) (x + )(x ) = α + β (x + )x + α = = α x(x ) β(x + )(x ) + α x(x + ) = (α β)x + β Si α = β, P = α qui est un polynôme de degré P( x) = P(x) donc P est pair Donc P ne peut pas être de degré car un polynôme de degré est de la forme a + a x qui ne peut pas être pair Exercice 7 Vérifier que le polynôme d interpolation d HERMITE d une fonction f en un point coïncide avec le polynôme de TAYLOR d ordre de f en ce point CORRECTION Le polynôme d interpolation d HERMITE en un point (x, f (x ), f (x )) est l unique polynôme q R [x] qui vérifie q(x ) = f (x ) et q (x ) = f (x ) On cherche alors a et a tels que q(x) = a + a x : q(x ) = f (x ), q (x ) = f (x ), donc q(x) = f (x ) + (x x )f (x ) a + a x = f (x ), a = f (x ), a = f (x ) x f (x ), a = f (x ), Exercice 8 Soit f une fonction de classe C et x D f Soit l le polynôme d interpolation de LAGRANGE de f en x et h le polynôme d interpolation d HERMITE en x Calculer h(x) l(x) CORRECTION Le polynôme d interpolation de LAGRANGE de f en x est l unique polynôme l R [x] qui vérifie l(x ) = f (x ), donc l(x) = f (x ) Le polynôme d interpolation d HERMITE de f en x est l unique polynôme h R [x] qui vérifie h(x ) = f (x ) et h (x ) = f (x ) On cherche alors a et a tels que h(x) = a + a x : h(x ) = f (x ), h (x ) = f (x ), a + a x = f (x ), a = f (x ), a = f (x ) x f (x ), a = f (x ), donc h(x) = f (x ) + (x x )f (x ) et h(x) l(x) = f (x ) + (x x )f (x ) f (x ) = (x x )f (x ) Exercice 9 Soit f : R R une fonction de classe C (R) qui s annule au moins une fois et dont la dérivée ne s annule pas Soit x D f donné Pour i N construisons la suite (x i ) i comme suit : x i+ est la racine du polynôme interpolateur d HERMITE de f en x i Quelle méthode reconnait-on? Justifier la réponse CORRECTION Le polynôme d HERMITE d une fonction f en x i a équation q(x) = f (x i )+(x x i )f (x i ) : il s agit de la droite tangente au graphe de f en x i On cherche x i+ tel que f (x i ) + (x x i )f (x i ) =, d où x i+ = x i f (x i ) f On a alors la suite (x i ) définie par récurrence x donnée, x i+ = x i f (x i ) f (x i ), qui correspond à la méthode de NEWTON pour l approximation de la racine de f Exercice Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme interpolateur d Hermite (de degré ) de f vérifiant p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f () G Faccanoni 65

66 Interpolation Jeudi janvier Écrire le polynôme p CORRECTION On a deux points d interpolation (n = ), on cherche alors un polynôme de R [x] On a deux méthodes pour calculer le polynôme interpolateur d HERMITE : Première méthode : le polynôme interpolateur d Hermite s écrit n [ p(x) = yi ( (x x i )c i ) + y i (x x i ) ] n (x x j ) (x i x j ) j = j i où c i = n x i x j j = j i Pour n = on a alors ( ))( ) (x x ) ( ) (x p(x) = y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) ( ))( ) (x x ) ( ) (x + y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) Dans notre cas x =, x =, y = f ( ), y = f (), y = f ( ), y = f () donc p(x) = 4 = 4 [ f ( )(x + )(x ) + f ( )(x + )(x ) + f ()( x)(x + ) + f ()(x )(x + ) ] [ ] f ( )(x x + ) + f ( )(x x x + ) + f ()( x + x + ) + f ()(x + x x ) = f ( ) + f ( ) + f () f () 4 + f () f ( ) 4 + f () f ( ) f ( ) f () x 4 x + f ( ) + f ( ) f () + f () x 4 Le polynôme interpolateur d Hermite est donc le polynôme où α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4 p(x) = α + βx + γx + δx, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 Deuxième méthode : le polynôme interpolateur d Hermite est un polynôme de degré n + On cherche donc un polynôme p(x) = α + βx + γx + δx tel que c est-à-dire tel que p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f (), α β + γ δ = f ( ), α + β + γ + δ = f (), β γ + δ = f ( ), β + γ + δ = f () En utilisant la méthode d élimination de Gauss on obtient : [A b] = f ( ) f () f ( ) f () L L L L L L f ( ) L 4 L 4 L f () f ( ) f ( ) f () f () f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) f () f ( ) L 4 L 4 +L f () f ( ) f f () f ( ) ( ) 4 f () + f ( ) f () + f ( ) 66 G Faccanoni

67 Jeudi janvier Interpolation ainsi α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 Exercice Construire le polynôme de Lagrange p qui interpole les points (,), (,), (,) et (,) Construire l ensemble des polynômes de degré 4 qui interpolent les points (,), (,), (,) et (,) Construire le polynôme d Hermite Q qui interpole les points (,,) et (,, ) CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit Ici n = et y i = pour i =,,, donc p (x) = n n p n (x) = y x x j i x i x j Comme les points donnés appartiennent tous à la droite d équation y =, il s agit de construire les polynômes de degré 4 qui ont 4 racines réelles distinctes x, x, x, x 4 } Ils sont tous de la forme r a (x) = a(x x )(x x )(x x )(x x 4 ) ; ici donc r a (x) = a(x + )x(x )(x ) = a(x 4 x x + x) Étant donné n+ points distincts x,, x n et n+ couples correspondantes (y, y ),,(y n, y n ), le polynôme d HERMITE Q de degré N = n + tel que Q(x i ) = y i et Q (x i ) = y, pour i =,n s écrit i L i (x) = n x x j Q(x) = n y i A i (x) + y i B i (x) R N [x] Ici n = et le polynôme de Hermite s écrit j = j i où c i = n j = j i j = j i x i x j, x i x, j A i (x) = ( (x x i )c i )(L i (x)), B i (x) = (x x i )(L i (x)) Q(x) = y A + y B + y A + y B = B B ( ) x ( ) x x ( ) x x ( x + = (x x ) (x x ) = (x + ) (x ) x x x x = (x ) (x + ) (x )(x + ) (x )(x + ) = = x + x Si on a oublié la formule, il suffit de remarquer qu on cherche un polynôme de degré qui a comme racines et et donc qui s écrit Q(x) = (x + )(x )(ax + b) = ax + ( a + b)x + ( b a)x b ; de plus on sait que Q ( ) = et Q () =, on trouve alors a et b en résolvant le système linéaire ) a( ) + ( a + b)( ) + ( b a) =, a() + ( a + b)() + ( b a) =, a + a b b a =, a 4a + 4b b a =, a =, b = / On obtient le polynôme Q(x) = (x+)(x ) Une autre idée pour calculer le polynôme Q sans utiliser la formule ni la remarque précédente est de calculer directement le polynôme selon la définition : on cherche un polynôme de degré, donc de la forme Q(x) = a +a x +a x + a x, qui vérifie Q( ) =, Q() =, Q ( ) = et Q () = On doit alors résoudre le système linéaire a a +a a x = a +a +4a +8a x = a a +a x = a +4a +a x = G Faccanoni 67

68 Interpolation Jeudi janvier qu on peut réécrire sous la forme Aa = b avec a A = 4 8, a = a a et b = 4 a On utilise la méthode d élimination de Gauss : (A b) = 4 8 L L L 4 et finalement on obtient L L L / L 4 L 4 L / a =, a =, a =, a =, L 4 L 4 +L 9 9 d où Q(x) = x + x + y y = x + r a (x) x P(x) Q(x) y = x + Exercice L espérance de vie dans un pays a évoluée dans le temps selon le tableau suivant : Année Espérance 7,8 74, 75, 76,4 Utiliser l interpolation de Lagrange pour estimer l espérance de vie en 977, 98 et 988 La comparer avec une interpolation linéaire par morceaux CORRECTION Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (x i, y i )} n s écrit n n p n (x) = y x x j i x i x j Ici n = et si on choisit de poser x = pour l année 975, x = 5 pour l année 98 etc, on a j = j i (x x )(x x )(x x ) P(x) = y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) + y (x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x ) = On a alors que (x 5)(x )(x 5) (x )(x )(x 5) = 7,8 + 74, ( 5)( )( 5) (5 )(5 )(5 5) (x )(x 5)(x 5) (x )(x 5)(x ) + 75, + 76,4 ( )( 5)( 5) (5 )(5 5)(5 ) = 7,8(x 5)(x )(x 5) + 74,x(x )(x 5) 75,x(x 5)(x 5) + 76,4x(x 5)(x ) = G Faccanoni

69 Jeudi janvier Interpolation l espérance de vie en 977 correspond à P() = 7,45, l espérance de vie en 98 correspond à P(8) = 74,8, l espérance de vie en 988 correspond à P() = 75,86 Si on considère une interpolation linéaire par morceaux (splines de degré ) ; on obtient que l espérance de vie est sousestimé en 977 et sur-estimé en 988 par rapport à l interpolation précédente car l espérance de vie en 977 correspond à 74, 7,8 5 l espérance de vie en 98 correspond à 75, 74, 5 l espérance de vie en 988 correspond à 76,4 74, 5 + 7,8 = 7,6 < P(), 8 + 7, = 74,8 P(8), + 7,8 = 75,9 > P() 75,86 74,8 7,45 y 76,4 75, 74, 7,8 P(x) x Exercice Pour calculer le zéro d une fonction y = f (x) inversible sur un intervalle [a;b] on peut utiliser l interpolation : après avoir évalué f sur une discrétisation x i de [a;b], on interpole l ensemble (y i, x i ) } n et on obtient un polynôme x = p(y) tel que f (x) = x = p() Utiliser cette méthode pour évaluer l unique racine α de la fonction f (x) = e x dans l intervalle [;] avec trois points d interpolation Comparer ensuite le résultat obtenu avec l approximation du zéro de f obtenue par la méthode de Newton en itérations à partir de x = CORRECTION Calculons d abord les valeurs à interpoler i x i y i e e Le polynôme d interpolation de Lagrange de degré n sur l ensemble des n + points (y i, x i )} n s écrit Ici n = donc on a n n p n (y) = x y y j i y i y j (y y )(y y ) p(y) = x (y y )(y y ) + x (y y )(y y ) (y y )(y y ) + x (y y )(y y ) (y y )(y y ) = (y + )(y e + ) ( e + )( e e + ) + (y + )(y e + ) (e + )(e e + ) Par conséquent une approximation de la racine de f est p() = La méthode de Newton s écrit x =, j = j i e+ ( e +)( e e+) + e+ (e +)(e e+) x k+ = x k e x k e x k = x k + e x k, G Faccanoni 69

70 Interpolation Jeudi janvier on obtient ainsi la suite k x k e e e e e Remarque : comme il n y a que trois points d interpolation, on pourrait calculer directement le polynôme interpolateur de f plutôt que de sa fonction réciproque et chercher les zéros de ce polynôme directement car il s agit d un polynôme de degré Cependant cette idée ne peu pas être généralisée au cas de plus de trois points d interpolation car on ne connait pas de formule générale pour le calcul des zéros d un polynôme de degré n Exercice 4 Soit f une fonction continue dont on connait les valeurs uniquement pour t entier, c est-à-dire on suppose connues les valeurs f (κ) pour tout κ Z Si t R \ Z, on définit une approximation p(t) de f (t) en interpolant la fonction f par un polynôme de degré aux quatre points entiers les plus proches de t Calculer p(t) et écrire un algorithme qui fournit p(t) CORRECTION points Soit l = E[t] la partie entière de t Alors t [l;l + ] et il s agit de définir le polynôme p interpolant les (κ, f (κ )), (κ, f (κ)), (κ +, f (κ + )), (κ +, f (κ + )), ce qui donne P(t) = Require: f : Z R, t κ E[t] x κ x κ x κ + x κ + y for i = to do L for j = to do if j i then L t x j x i x j L end if end for y y + f (x i ) L end for return y f (κ + i ) t (κ + j ) (κ + i ) (κ + j ) = f (κ + i ) t κ + j i j j = j i f (κ ) = (t κ)(t κ )(t κ ) + f (κ) (t κ + )(t κ )(t κ ) 6 f (κ + ) f (κ + ) (t κ + )(t κ)(t κ ) + (t κ + )(t κ)(t κ ) 6 j = j i Pour tout nombre réel x, la partie entière notée E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x Par exemple, E() =, E( ) = et E( ) = La fonction partie entière est aussi notée [x] (ou x par les anglo-saxons) On a toujours E(x) x < E(x) + avec égalité si et seulement si x est un entier relatif Pour tout entier relatif k et et pour tout nombre réel x, on a E(x + k) = E(x) + k L arrondi à l entier le plus proche d un réel x peut être exprimé par E(x + 5) 7 G Faccanoni

71 Jeudi janvier Interpolation Exercice 5 Calculer le polynôme p de LAGRANGE qui interpole la fonction f (x) = 4 x aux points d abscisse x =, x = et x = 4 Esquisser les graphes de f et de p pour x [,4] Vérifier que l erreur ε(x) f (x) p(x) prend sa valeur maximale en un unique point x dans l intervalle [,4] Calculer ensuite x à près (on pourra utiliser la méthode de dichotomie) Comparer la fonction ε avec l estimation théorique de l erreur CORRECTION f est une hyperbole et p est la parabole qui passe par les points (,4), (,) et (4,) : p(x) = x 7 x + 7 y 4 p f 4 x On a ε(x) f (x) p(x) = 4 x 7+ 7 x x Comme ε (x) = 7 x 4, il s agit de trouver x tel que ε (x) = Une simple x comparaison des graphes des fonctions u : x 7 4 x et v : x montre que ε (x) = admet une solution dans x l intervalle [,] et une solution dans l intervalle [,4] (en effet, ε () = u() v() = 5 4 <, ε () = u() v() = 5 > et ε (4) = u(4) v(4) < ) On a ε (x) = +8/x : l erreur étant convexe pour x < et concave pour x >, on conclut qu elle prend sa valeur maximale pour x = x [,4] On( cherche ( alors x [,4] tel que ε ( x) = par la méthode de dichotomie Pour que l erreur soit inférieur à, il faut E log 4 + = E ( log () + log (5) ) + = 5 étapes : )) k 4 5 [ ] [ ] [ ] [ [a k,b k ] [,4] [,4], 7, 4, , 5 ] l k b k a k > > 5 > 5 > 5 > 65 < L erreur prend sa valeur maximale pour x 99 = 975 et vaut ε( x) Comparons ce résultat avec l estimation théorique de l erreur n = et f est de classe C ([,4]), donc pour tout x [,] il existe ξ x [,4] tel que Comme ε(x) = 4 x x x, on obtient ξ x = 4 6x ε(x) = f (ξ x ) (x )(x )(x 4) =! ξ 4 (x 7x + 4x 8) x G Faccanoni 7

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73 Quadrature Calculer b a f (x) dx où f est une fonction donnée Dans les méthodes d intégration, l intégrale d une fonction continue sur un intervalle borné [a, b] est remplacée par une somme finie Le choix de la subdivision de l intervalle d intégration et celui des coefficients qui interviennent dans la somme approchant l intégrale sont des critères essentiels pour minimiser l erreur Ces méthodes se répartissent en deux grandes catégories : les méthodes composées dans lesquelles la fonction est remplacée par un polynôme d interpolation sur chaque intervalle élémentaire [x i, x i+ ] de la subdivision de [a,b] (ie [a,b] = i [x i, x i+ ]) et les méthodes de Gauss fondées sur les polynômes orthogonaux pour lesquelles les points de la subdivision sont imposés Principes généraux Soit f une fonction réelle intégrable sur l intervalle [a;b] Le calcul explicite de l intégrale définie I (f ) = b a f (x)dx peut être difficile, voire impossible On appelle formule de quadrature ou formule d intégration numérique toute formule permettant de calculer une approximation de I (f ) Une possibilité consiste à remplacer f par une approximation f n, où n est un entier positif, et calculer I (f n ) au lieu de I (f ) En posant I n (f ) = I (f n ) (la dépendance par rapports aux extrémités a et b sous-entendue), on a b I n (f ) = f n (x)dx, n a Si f est de classe C sur [a;b], l erreur de quadrature E n (f ) = I n (f ) I (f ) satisfait E n (f ) b a f (x) f n (x) dx (b a) f f n L approximation f n doit être facilement intégrable, ce qui est le cas si, par exemple, f n est un polynôme En effet, si f n = n ξ i x i R n [x], alors b I (f ) I n (f ) = f n (x)dx = a b a ( n n ( b ξ i x )dx i = ξ i a ) x i dx = n ξ i i + [x i+] b n = b i+ a i+ ξ i a i + Une approche naturelle consiste à prendre f n = Π n f = n f (x i )L i (x), le polynôme d interpolation de LAGRANGE de f sur un ensemble de n + nœuds distincts x i } i=n Ainsi on déduit I n (f ) = n ( f (x i ) b a ) L i (x)dx Il s agit d un cas particulier de la formule de quadrature suivante I n (f ) = où L i (x) = n α i f (x i ) n x x j x i x j qui est une somme pondérée des valeurs de f aux points x i : on dit que ces points sont les nœuds de la formule de quadrature et que les nombres α i R sont les coefficients ou encore les poids La formule de quadrature de LAGRANGE peut être généralisée au cas où on connaît les valeurs de la dérivée de f : ceci conduit à la formule de quadrature d HERMITE Les formules de Lagrange et d HERMITE sont toutes les deux des formules de quadrature interpolatoires, car la fonction f est remplacée par son polynôme d interpolation Définition Degré d exactitude On définit le degré d exactitude d une formule de quadrature comme le plus grand entier r pour lequel I n (q) = I (q) pour tout polynôme q R r [x] j = j i 7

74 Quadrature Jeudi janvier Astuce Si q est un polynôme de R r [x], il existe α,α,,α r tels que q(x) = r k= α k x k Alors I (q) = b a q(x) dx = ( ( r )) b α k= k a xk dx = ( r αk I (x k ) ) Pour vérifier qu une formule de quadrature I k= n a degré d exactitude r il suffit alors de vérifier que I n (x k ) = I (x k ) pour tout k = r Théorème Toute formule de quadrature interpolatoire utilisant n + nœuds distincts a un degré d exactitude au moins égale à n En effet, si f R n [x], alors le polynôme d interpolation coïncide avec f La réciproque aussi est vraie : une formule de quadrature utilisant n + nœuds distincts et ayant un degré d exactitude au moins égale à n est nécessairement de type interpolatoire Le degré d exactitude peut même atteindre n + dans le cas des formules de quadrature de Gauss Définition Stabilité Une formule de quadrature I n (f ) = n α i f (x i ) est dite stable s il existe M R + tel que n α i M Théorème Une méthode de quadrature de type interpolation est convergente sur C [a;b] ssi les formules sont stables Définition Formule de quadrature composite On décompose l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles T j = [y j ; y j + ] tels que y j = a + j H où H = b a } m pour j =,,,m On utilise alors sur chaque sous-intervalle une formule interpolatoire de nœuds x (j ) n et de poids k k= α (j ) k } n Puisque k= b I (f ) = f (x)dx = a m j = y j + y j f (x)dx, une formule de quadrature interpolatoire composite est obtenue en remplaçant I (f ) par m I n,m (f ) = n j = k= α (j ) k f (x(j ) k ) Astuce Changement de variable affine Souvent on définit d abord une formule de quadrature sur l intervalle [;] ou sur l intervalle [ ;] et puis on la généralise à l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine Soit x [a; b] et soit y [c; d], on cherche une transformation y = g (x) qui envoie l intervalle [a; b] dans l intervalle [c; d] ainsi d b g (y)dy = f (g (x))g (x)dx c a Si g (x) est une constante, ie si g est une transformation affine g (x) = mx + q, alors d c b g (y)dy = m f (mx + q)dx a Pour déterminer cette transformation affine, on doit résoudre le système linéaire c = ma + q, On obtient Par conséquent y = d c cb ad x + b a b a d où d c m = d c b a, d = mb + q cb ad q = b a f (y)dy = d c b ( ) d c cb ad f x + dx b a a b a b a 74 G Faccanoni

75 Jeudi janvier Quadrature Exemple Transformer l intervalle [;] dans l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine On a y = (x i+ x i )x + x i et f (y)dy = (x i+ x i ) f ((x i+ x i )x + x i )dx x i xi+ On voit que lorsque x = alors y = x i, lorsque x = alors y = x i+, ou encore lorsque x = / alors y = x i +x i+ etc Exemple Transformer l intervalle [ ;] dans l intervalle [x i ; x i+ ] par un changement de variable affine On a y = x i+ x i x + x i+ x i, qu on peut réécrire y = x i + ( + x) x i+ x i et xi+ x i f (y)dy = x i+ x i f ( x i + ( + x) x i+ x ) i dx Exemples de formules de quadrature interpolatoires Définition Formule du rectangle à gauche La formule du rectangle à gauche est obtenue en remplaçant f par une constante égale à la valeur de f en la borne gauche de l intervalle [a;b] (polynôme de degré ), ce qui donne Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est I (f ) = (b a)f (a) E (f ) = h f (η), h = b a, η ]a;b[ Le degré d exactitude de la formule du rectangle à gauche est Remarque Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + kh pour k =,,,m on obtient la formule composite du rectangle à gauche m m I,m (f ) = H f (x k ) = H f (a + kh) Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est k= k= E,m (f ) = b a H f (η), η ]a;b[ Définition Formule du rectangle à droite La formule du rectangle à droite est obtenue en remplaçant f par une constante égale à la valeur de f en la borne droite de l intervalle [a;b] (polynôme de degré ), ce qui donne Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est I (f ) = (b a)f (b) E (f ) = h f (η), h = b a, η ]a;b[ Le degré d exactitude de la formule du rectangle à droite est G Faccanoni 75

76 Quadrature Jeudi janvier Remarque Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + (k + )H pour k =,,,m on obtient la formule composite du rectangle à droite m m I,m (f ) = H f (x k ) = H f (a + (k + )H) Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est k= k= E,m (f ) = b a H f (η), η ]a;b[ Définition Formule du rectangle ou du point milieu La formule du rectangle ou du point milieu est obtenue en remplaçant f par une constante égale à la valeur de f au milieu de [a;b] (polynôme de degré ), ce qui donne Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est Le degré d exactitude de la formule du point milieu est ( ) a + b I (f ) = (b a)f E (f ) = h f (η), h = b a, η ]a;b[ Remarque Formule composite On décompose maintenant l intervalle d intégration [a;b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + k+ H pour k =,,,m on obtient la formule composite du point milieu Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est m I o,m (f ) = H f k= ( a + k + ) H E,m (f ) = b a 4 H f (η), η ]a;b[ Définition Formule du trapèze La formule du trapèze est obtenue en remplaçant f par le segment qui relie (a, f (a)) à (b, f (b)) (polynôme de Lagrange de degré ), ce qui donne I (f ) = b a ( ) f (a) + f (b) Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est E (f ) = h f (η), h = b a, η ]a;b[ Le degré d exactitude de la formule du point milieu est, comme celle du point milieu Remarque Formule composite Pour obtenir la formule du trapèze composite, on décompose l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = b a m avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + kh pour k =,,,m on obtient I,m (f ) = H m k= ( f (xk ) + f (x k+ ) ) ( m = H f (a) + f (a + kh) + ) f (b) k= 76 G Faccanoni

77 Jeudi janvier Quadrature Si f C ([a;b]) alors l erreur de quadrature est E,m (f ) = b a H f (η), η ]a;b[ Définition Formule de Cavalieri-Simpson ( La formule ( )) de Cavalieri-Simpson est obtenue en remplaçant f par la parabole qui interpole (a, f (a)), (b, f (b)) et a+b, f a+b (polynôme de Lagrange de degré ), ce qui donne I (f ) = b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b ) ) + f (b) Si f C 4 ([a;b]) alors l erreur de quadrature est Le degré d exactitude de la formule du point milieu est E (f ) = h5 9 f (4) (η), h = b a, η ]a;b[ Remarque Formule composite Pour obtenir la formule composite, on décompose l intervalle d intégration [a; b] en m sous-intervalles de largeur H = avec m En introduisant les nœuds de quadrature x k = a + kh pour k =,,,m on obtient b a m ( ) ( I,m (f ) = H m s f (a) + f (x r ) + 4 f (x s+ ) + f (b) = H r = s= Si f C 4 ([a;b]) alors l erreur de quadrature est E,m (f ) = b a 8 m f (a) + r = ( ) H 4 f (4) (η), η ]a;b[ 4 m ( f (a + r H) + 4 f s= a + s + H ) ) + f (b) G Faccanoni 77

78 Quadrature Jeudi janvier a b x (a) Formule du rectangle à gauche x = a x x x x4 = b x (b) Formule du rectangle à gauche composite a b x (c) Formule du rectangle à droite x = a x x x x4 = b x (d) Formule du rectangle à droite composite a a+b b x x +x x +x x +x x +x 4 x = a x x x x4 = b x (e) Formule du point milieu (f) Formule du point milieu composite a b x (g) Formule du trapèze x = a x x x x4 = b x (h) Formule du trapèze composite a a+b b x x = a x x x x4 = b x (i) Formule de Cavalieri-Simpson (j) Formule de Cavalieri-Simpson composite FIGURE : Formules de quadrature pour n =,, 78 G Faccanoni

79 Jeudi janvier Quadrature Algorithmes MÉTHODE DU RECTANGLE À GAUCHE Require: f, a, b > a, n > h b a n s for i = to n do s s + f (a + i h) end for return I hs MÉTHODE DU POINT MILIEU Require: f, a, b > a, n > h b a n s for i = to n do s s + f ( a + ( i + ) ) h end for return I hs MÉTHODE DU RECTANGLE À DROITE Require: f, a, b > a, n > h b a n s for i = to n do s s + f (a + (i + )h) end for return I hs MÉTHODE DES TRAPÈZES Require: f, a, b > a, n > h b a n f (a)+f (b) s for i = to n do s s + f ( a + i h ) end for return I hs MÉTHODE DE SIMPSON Require: f, a, b > a, n > h b a n s s f (a + h) for i = to n do s s + f (a + i h) s s + f (a + (i + )h) end for return I h ( ) f (a) + f (b) + s + 4s Conclusion Une formule de quadrature est une formule permettant d approcher l intégrale de fonctions continues sur un intervalle [a, b] ; elle s exprime généralement comme une combinaison linéaire des valeurs de la fonction en des points prédéfinis (appelés noeuds) et avec des coefficients appelés poids ; le degré d exactitude d une formule de quadrature est le degré maximal des polynômes pouvant être intégrés exactement Le degré d exactitude vaut pour les formules du point milieu et du trapèze, pour les formules de SIMPSON ; 4 l ordre de précision d une formule de quadrature composite est exprimé par rapport à la taille H des sous-intervalles Il vaut pour les formules du point milieu et du trapèze Ce qu on n a pas dit Les formules du point milieu, du trapèze et de SIMPSON sont des cas particuliers d une classe de méthodes de quadrature appelées formules de NEWTON-COTES De même, il existe des formules de quadrature très utilisées dite de Gauss-Legendre et de Gauss-Legendre-Lobatto Le degré d exactitude vaut pour les formules de GAUSS, n + pour les formules de GAUSS-LEGENDRE avec n + points de quadrature, et n pour celles de GAUSS-LEGENDRE-LOBATTO avec n + points de quadratures ; G Faccanoni 79

80 Quadrature Jeudi janvier Codes Python Voici cinq function python qui renvoient la valeur approchée d une intégrale par les méthodes (composites à n intervalles équirépartis) du rectangle à gauche, du rectangle à droite, du point de milieu, du trapèze et de SIMPSON En paramètre elles reçoivent f, la fonction (mathématique) à intégrer, a et b sont les extrémités de l intervalle d intégration et n est le nombre de sous-intervalles de l intervalle [a, b] (chaque sous-intervalle a largeur (b a)/n) Elles renvoient la valeur approchée de b a f (x) dx Méthodes #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- numériques 4 import math, sys 5 6 def rectangle_gauche_composite(f,a,b,n): 7 h = (b-a)/n 8 s = 9 for i in range(n): s += f(a+i*h) return h*s def rectangle_droite_composite(f,a,b,n): 4 h = (b-a)/n 5 s = 6 for i in range(n): 7 s += f(a+(i+)*h) 8 return h*s 9 def milieu_composite(f,a,b,n): h = (b-a)/n s = for i in range(n): 4 s += f(a+(i+5)*h) 5 return h*s 6 7 def trapeze_composite(f,a,b,n): 8 h = (b-a)/n 9 s = (f(a)+f(b))*5 for i in range(,n): s += f(a+i*h) return h*s 4 def simpson_composite(f,a,b,n): 5 h = (b-a)/(*n) 6 s = 7 s = f(a+h) 8 for i in range(,n): 9 s += f(a+*i*h) 4 s += f(a+(*i+)*h) 4 return (f(a)+f(b)+*s+4*s)*h/ et voici quelques exemples d utilisation de ces méthodes 4 # CHOIX DU CAS TEST 4 exemple = # DEFINITION DU CAS TEST 46 if exemple==: 47 n = 48 a = 49 b = 5 def f(x): 5 return x** 5 def primitive(x): 5 return x**4/4 54 elif exemple==: 8 G Faccanoni

81 Jeudi janvier Quadrature 55 n = 56 a = 57 b = 58 def f(x): 59 return x** 6 def primitive(x): 6 return x**4/4 6 elif exemple==: 6 n = 64 a = - 65 b = 66 def f(x): 67 return mathexp(-x**) 68 def primitive(x): 69 return # on ne connait pas la primitive 7 else: 7 print "Cas test non defini" 7 sysexit() print "** Exacte : ", primitive(b)-primitive(a) 76 print "A) Formule du point milieu composite : ", milieu_composite(f,a,b,n) 77 print "B) Formule des trapezes composite : ", trapeze_composite(f,a,b,n) 78 print "C) Formule de Simpson composite : ", simpson_composite(f,a,b,n) 79 8 # Dans python il existe un module qui implement deja ces methodes, comparons nos resultats avec ceux du module: 8 from scipy import integrate 8 results = integratequad(f,a,b) 8 print "Avec scipyintegrate l integrale est approchee par ", results[], "avec une erreure de ", results [] G Faccanoni 8

82 Quadrature Jeudi janvier Exercices Exercice Estimer 5/ f (x) dx à partir des données en utilisant la méthode des trapèzes composite x / / 5 / f (x) / CORRECTION [a,b] s écrit La méthode des trapèzes composite à m + points pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle b Ici on a a =, b = 5/, h = / donc a 5/ ( ) m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) f (x) dx i= avec h = b a m ( ) = Exercice Estimer π sin(x) dx en utilisant la méthode des trapèzes composite avec 8 et puis 6 sous-intervalles en prenant en compte l erreur CORRECTION [a,b] s écrit et l erreur est donné par La méthode des trapèzes composite à m + points pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle b a ( ) m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) i= avec h = b a m E = b a h f (ξ) avec a < ξ < b Ici on a a =, b = π Avec 8 sous-intervalles on a h = π/8 donc ( ) π sin(x) dx π sin() 7 + sin(iπ/8) + sin(π) et l erreur est i= E = π 768 sin(ξ) pour ξ ];π[ Comme on ne connait pas la valeur de ξ, on ne peut pas connaitre E mais on peut en déterminer les bornes : ainsi E min = π 768 sin() = E max = π π sin(π/) = (974 ) π sin(x) dx ( ) = 46 La valeur exacte est bien évidemment Avec 6 sous-intervalles on a h = π/6 et les nouveaux noeuds se trouvent au milieux des sous-intervalles précédents : x j = π/6 + j π/8 = ( + j )π/6 pour j =,,,7, ainsi π sin(x) dx π 6 7 sin(( + j )π/6) 9958 et le limites de l erreur deviennent (observons que E est divisé par 4 lorsque h est divisé par ) : ainsi j = E min = E max π = 9 sin(x) dx ( ) = 67 8 G Faccanoni

83 Jeudi janvier Quadrature Exercice On considère l intégrale Calculer la valeur exacte de I I = x dx Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes avec m = sous-intervalles Pourquoi la valeur numérique obtenue à la question précédente est-elle supérieure à ln()? Est-ce vrai quelque soit m? Justifier la réponse (On pourra s aider par un dessin) 4 Quel nombre de sous-intervalles m faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 4? On rappelle que l erreur de quadrature associée s écrit, si f C ([a;b]), E m = (b a) 4 m f (ξ), ξ ]a;b[ CORRECTION Une primitive de x [ln(x) est F (x) = ln(x) La valeur exacte est alors I = = ln() x= La méthode des trapèzes composite à m + points pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle [a, b] s écrit ( ) b m f (t)d t h f (a) + f (a + i h) + f (b) avec h = b a m a Ici on a f (x) = x, a =, b =, m = d où h = et on obtient I ( f () + f ( + /) + f ( + /) + ) f () = ( ) = 4 =,7 i= La valeur numérique obtenue à la question précédente est supérieure à ln() car la fonction f (x) = x est convexe On peut se convaincre à l aide d un dessin que les trapèzes sont au-dessus de la courbe y = /x, l aire sous les trapèzes sera donc supérieure à l aire sous la courbe Pour bien visualiser la construction considérons m = : Cela reste vrai quelque soit le pas h choisi car la fonction est convexe ce qui signifie qu une corde définie par deux points de la courbe y = /x sera toujours au-dessus de la courbe et par le raisonnement précédant l aire sous les trapèzes sera supérieure à l aire exacte 4 L erreur est majorée par ] x= 5 5 (b a)4 E m sup f (ξ) ξ ]a;b[ Donc ici on a f (x) = /x, f (x) = /x et f (x) = /x, ainsi E m max ξ ];[ ξ = 6m Pour que E < 4 il suffit que 6m < 4, ie m > / 6 4,8 À partir de 4 sous-intervalles, l erreur de quadrature est inférieure à 4 Exercice 4 On considère l intégrale I = ln(x) dx Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes composite avec m = 4 sous-intervalles et G Faccanoni 8

84 Quadrature Jeudi janvier comparer le résultat ainsi obtenu avec la valeur exacte Pourquoi la valeur numérique est-elle inférieure à la valeur exacte? Est-ce vrai quel que soit m? (Justifier la réponse) Quel nombre de sous-intervalles m faut-il choisir pour avoir une erreur E m inférieure à? On rappelle que, pour une fonction f de classe C, l erreur de quadrature E m associée à la méthode des trapèzes composite avec une discrétisation uniforme de pas h = (b a)/m de l intervalle [a,b] en m sous-intervalles vérifie E m = (b a) h f (ξ), ξ ]a;b[ CORRECTION La méthode des trapèzes composite à m + points (m sous-intervalles) pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle [a,b] s écrit ( ) b m f (t)d t h a f (a) + y f (a + i h) + i= f (b) avec h = b a m Ici on a f (x) = ln(x), a =, b =, m = 4 d où h = 4 et on obtient I ( ( ) ( ) ( ) f () + f + f + f + ) 4 4 f () = ( ( ) ( ) ( ) 5 7 ln + ln + ln + ) ln() Une primitive de ln(x) est F (x) = x(ln(x) ) La valeur exacte est alors I = [x(ln(x) )] x= x= = ln() La valeur numérique obtenue est inférieure à celle exacte quelque soit le pas h choisi car la fonction f est concave, ce qui signifie qu une corde définie par deux points de la courbe y = ln(x) sera toujours en-dessous de la courbe, donc l aire sous les trapèzes 5 sera inférieure à l aire exacte Pour bien visualiser la construction considérons m = : y L erreur est majorée par E m x (b a) 5 5 h sup ξ ]a;b[ On a f (x) = ln(x), f (x) = /x et f (x) = /x, ainsi Pour que E m < il suffit que quadrature est inférieure à Exercice 5 Intégration Étant donnée l égalité E m m max ξ ];[ f (b a) (ξ) = m ξ = m sup ξ ]a;b[ f (ξ) x <, ie m > / 886 À partir de sous-intervalles, l erreur de m ( + ( π = 4 e dx) x = 4 e x dx + ɛ), avec < ɛ < 44, utiliser la méthode des trapèzes composite à intervalles pour estimer la valeur de π CORRECTION La méthode des trapèzes composite à m intervalles pour calculer l intégrale d une fonction f sur l intervalle [a,b] s écrit ( ) b m f (t)d t h a f (a) + f (a + i h) + i= f (b) avec h = b a m Ici on a f (x) = e x, a =, b =, m = d où h = et on obtient I + i= e i + e = + e + e 4 + e 9 + e 6 + e 5 + e 6 + e 49 + e 64 + e e 84 G Faccanoni

85 Jeudi janvier Quadrature Exercice 6 Soit f une fonction C (R,R) On considère l approximation f (x) dx Quel est le degré d exactitude de cette formule de quadrature? ( f ( ) f () + f ( ) ) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a + i h avec h = b a n À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx En tirer une formule de quadrature composite pour l intégrale b a f (x)dx Écrire l algorithme pour approcher b a f (x)dx CORRECTION On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( /) p k () + p k (/)) Degré d exactitude au moins x au moins x / / au moins x au moins 4 x 4 /5 /6 La formule est donc exacte de degré Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f [ ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i f ( xi + x i++x i Soit h = x i+ x i = b a n La formule précédente se réécrit xi+ f (x)dx h [ ( f x i + h ) ( f x i + h ) ( + f x i + h )] x i 4 4 et la formule de quadrature composite déduite de cette approximation est b a f (x)dx = n xi+ Algorithme d approximation de b a f (x)dx Require: f, a, b > a, n > h b a n s for i = to n do x a + i h s s + f ( x + h 4 end for return I h s ) f ( x + h x i f (x)dx h ) ( ) + f x + h 4 n ) ( xi+ + x i f [ ( f x i + h ) ( f x i + h ) ( + f x i + h )] 4 4 ( ) xi+ +x )] i + x i+ + f G Faccanoni 85

86 Quadrature Jeudi janvier Exercice 7 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale b a n f (x)dx () On propose dans un premier temps (question à 4) de construire la formule de quadrature à deux points suivantes : g (x)dx g ( α) + g (α), () où < α < est à déterminer Choisir α pour rendre la formule de quadrature exacte pour des polynômes de degré le plus élevé possible Quel est alors le degré d exactitude de cette formule de quadrature? À l aide d un changement de variable affine, étendre cette formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de () Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F CORRECTION On a k p k (x) = x k p k(x)dx p k ( α) + p k (α) Degré d exactitude au moins x au moins x / α si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 /9 Donc la formule de quadrature a degré d exactitude si α / et degré d exactitude si α = / Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( ) xi+ x i ) dx ) ( ( + f x i + + ) xi+ x i Si h = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b a f (x)dx h n [ ( ( f x i + h )) ( ( + f x i + h + ))] = h n [ ( ( f a + h i + Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs 4 Algorithme du calcul de F : Require: f, a, b > a, n > h b a n ( ) α a + h ( ) α a + + h for i = to n do s s + f (α + i h) + f (α + i h) end for return I h s )] )) ( ( + f a + h i + + ))] 86 G Faccanoni

87 Jeudi janvier Quadrature Exercice 8 Interpolation et Intégration Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme de Lagrange qui interpole f aux points, et Écrire le polynôme p En déduire une méthode de quadrature pour approcher l intégrale f (t)dt Étudier le degré d exactitude de la formule de quadrature ainsi trouvée 4 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx 5 Soit h = b a n h et x i = a + i h pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur a h h b x x i x i+ x i+ x n En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a 6 Écrire l algorithme associé à cette formule de quadrature f (x)dx CORRECTION On a trois points, donc le polynôme interpolateur de Lagrange est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α, β et γ du polynôme p(x) = α + βx + γx tels que f ( ) = α β + γ, f () = α, f () = α + β + γ (a) (b) (c) L équation (b) donne α = f (), la somme (c)+(a) donne γ = donne β = f () f ( ) On en déduit la méthode de quadrature f () f ( ) et enfin la soustraction (c) (a) f (t)dt p(t)dt = (α + γ/) = f ( ) + 4f () + f () Par construction, cette formule de quadrature a degré d exactitude au moins De plus k p k (x) = x k p p k ( )+4p k ()+p k () k(x)dx Degré d exactitude x au moins 4 x 4 /5 / La formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 4 Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] 6 G Faccanoni 87

88 Quadrature Jeudi janvier 5 h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n xi+ x i f (x)dx n x i+ x i 6 [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] = h n [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] [ ] = h n n f (a) + f (b) + f (x i ) + 4 f (x i + h) = h 6 Algorithme du calcul associé à cette formule de quadrature Require: f, a, b > a, n > h b a n s s s + f (a + h) for i = to n do s s + f (a + i h) s s + f (a + (i + )h) end for return h [ ] f (a) + f (b) + s + 4s [ i= n n f (a) + f (b) + f (a + i h) + 4 f (a + (i + )h) i= ] Exercice 9 Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n + points basée sur la formule de SIMPSON pour approcher b a f (x)dx (4) On propose dans un premier temps (question à ) de construire la formule de quadrature à points de Simpson : g (x)dx αg ( ) + βg () + αg (), (5) où les réels α et β sont à déterminer Déterminer α et β pour que la formule de quadrature (5) ait degré d exactitude maximale À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature exacte sur l espace des polynôme de degré au plus pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (4) Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F 5 Soit x un élément de [x i ; x i+ ] Écrire une formule de Taylor f (x) = P i (x) + R i (x) à l ordre pour f en x, avec P i P Majorer R i sur [x i ; x i+ ] en fonction de h 6 En déduire une estimation d erreur entre (4) et F CORRECTION 88 G Faccanoni

89 Jeudi janvier Quadrature On a k p k (x) = x k p k(x)dx αp k ( ) + βp k () + αp k () Degré d exactitude α + β même pas si β ( α), au moins si β = ( α) Soit β = ( α) x au moins x / α si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 / Si β ( α) la formule de quadrature n est même pas exacte pour une constante, si β = ( α) mais α /, elle est exacte pour les polynômes de degré au plus, si α = / et β = 4/ la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] 6 On trouve ainsi la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles) b a f (x)dx = n xi+ x i f (x)dx n x i+ x i 6 [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] Si h = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on a [ b a n f (x)dx h [ f (xi ) + 4f (x i+ ) + f (x i+ ) ] = h [ = h n f (a) + f (b) + i= n f (a) + f (b) + i= n f (x i ) + 4 n f (a + i h) + 4 Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs et on a [ ] h n n = b a b a [ + (n ) + 4n] = 6n = (b a) 6n 6n 4 Algorithme du calcul de F : i= Require: f : [a,b] R, a, b > a, n > H b a n s s s + f (a + H/) for i = to n do s s + f (a + i H) s s + f (a + (i + )H/) end for return I H [ ] 6 f (a) + f (b) + s + 4s 5 Soit x un élément de [x i ; x i+ ] Une formule de TAYLOR à l ordre pour f en x s écrit f (x) = P i (x) + R i (x), f (x i + h) ] f (a + (i + )h) ] avec et le reste de LAGRANGE P i (x) = f (x i ) + (x x i )f (x i ) + (x x i ) f (x i ) + (x x i ) f (x i ) 6 R i (x) = (x x i ) 4 f IV (ξ) 4 avec ξ ]x i ; x i+ [ P G Faccanoni 89

90 Quadrature Jeudi janvier On peut majorer R i sur [x i ; x i+ ] en fonction de H = x i+ x i : R i (x) H 4 4 max f IV (ξ) = b a n H 4 max f IV (ξ) 6 On en déduit l estimation d erreur entre (4) et F suivante b n f (x)dx F xi+ n P a i (x)dx F x i + xi+ R i (x)dx x i n xi+ nh R i (x i+ ) + R i (x)dx Exercice H x i nh b a n 4 max f IV (ξ) + nh b a n = (b a) H 4 sup f IV (ξ) H 4 max f IV (ξ) Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale b a n f (x)dx (6) On propose dans un premier temps de construire la formule de quadrature à trois points suivantes : g (x)dx ( g ( α) + g () + g (α) ), (7) où le réel < α < sera à déterminer par la suite Déterminer α pour que la formule de quadrature (7) ait degré d exactitude maximale Quel est alors le degré d exactitude de cette formule de quadrature? À l aide d un changement de variable affine, étendre cette formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (6) Cette formule de quadrature est-elle stable? CORRECTION On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( α) + βp k () + p k (α)) Degré d exactitude au moins x au moins x / α / si α /, au moins si α = / Soit α = / x au moins 4 x 4 /5 / Si α / la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré au plus, si α = / la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( ) xi+ x i ) dx ) ( + f x i + x i+ x ) ( ( i + f x i + + NB : le polynôme P i n est pas le polynôme d interpolation en x i, x i+ et (x i + x i+ )/ donc x i+ x i P i (x)dx F ) xi+ x i )] 9 G Faccanoni

91 Jeudi janvier Quadrature Si H = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b a f (x)dx H = H n [ ( )) f x i + H ( + f ( x i + H ) ( ))] + f x i + H ( + n [ ( )) f a + H (i + + f ( x i + H ) ( ))] + f a + H (i + + Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs Exercice Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [a;b] : x i = a+i h avec h = b a Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature à n points pour approcher l intégrale définie b a n f (x)dx (8) On propose dans un premier temps (question à ) de construire la formule de quadrature à deux points : g (x)dx 4 g ( w/) + g (w), (9) où < w est à déterminer Déterminer w pour que la formule de quadrature (9) soit exacte pour toute fonction g polynomiale de degré m > et donner la plus grande valeur de m À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale suivante : xi+ x i f (x)dx En déduire une formule de quadrature à n points, notée F, pour le calcul approché de (8) Cette formule de quadrature est-elle stable? 4 Écrire l algorithme du calcul de F CORRECTION On a k p k (x) = x k p k(x)dx (p k( w/) + p k (w)) Degré d exactitude au moins x au moins x / w si w /, au moins si w = / Soit w = / x w / Si w / la formule de quadrature est exacte pour les polynômes de degré au plus, si w = / la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Par le changement de variable y = x i + (x + ) x i+ x i on déduit la formule de quadrature xi+ x i f (y)dy = x i+ x i x i+ x i [ f f ( x i + (x + ) x i+ x i ( x i + ( + ) x i+ x i ) dx ) ( + f x i + ( 6 ) x )] i+ x i Si H = x i+ x i = b a n (ie si on considère une subdivision de l intervalle [a;b] équirépartie) alors on trouve la formule de quadrature composite (ie sur n sous-intervalles et à n points) b f (x)dx H n [ ( ( )) ( ( ))] f x i + H + a + f x i + H 6 [ ( ( = H )) ( ( ))] n f a + H i f a + H i + 6 Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients sont positifs G Faccanoni 9

92 Quadrature Jeudi janvier 4 Algorithme du calcul de F : Require: f, a, b > a, n > H b a n α a + H( + /) α a + H( /6) for i = to n do s s + f (α + i H) + f (α + i H) end for return I H s Exercice Soit < α un nombre réel donné et soit ω,ω,ω trois nombres réels Considérons la formule de quadrature g (t)dt ω g ( α) + ω g () + ω g (α) Calculer α, ω,ω,ω pour que le degré d exactitude de la formule de quadrature soit de 5 À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx Soit h = b a n et x i = a +i h pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h En déduire la formule de quadrature composite pour le calcul approché de b a 4 Écrire l algorithme associé à cette formule de quadrature f (x)dx CORRECTION On a k p k (x) = x k p k(x)dx ω p k ( α) + ω p k () + ω p k (α) ω + ω + ω Soit ω = ω ω x αω + αω Soit ω = ω et donc ω = ω x α ω Soit ω = α et donc ω = α et ω = α x 4 x 4 5 Soit α = α 5 et donc ω = ω = 5 9 et ω = x 5 6 x 6 7 Si α = 5, ω = ω = 5 9 et ω = 8 9 alors la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus 5 (il s agit de la formule de GAUSS-LEGENDRE à points) Remarquons que si on choisit α = on retrouve la formule de SIMPSON Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec 6 5 xi = m + q, x i+ = m + q, 9 G Faccanoni

93 Jeudi janvier Quadrature d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus 5) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i x i+ x i 8 [ 5f f ( ( x i + (t + ) x i+ x i ( x i + 5 ) dt ) x i+ x i ) ( xi+ + x i + 8f ( ( ) + 5f x i ) )] x i+ x i h = b a n = x i+ x i pour i =,,n On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h On trouve ainsi la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n xi+ x i [ ( ( n x i+ x i f (x)dx 5f x i [ ( ( = h ) ) n 5f x i + h + 8f 8 5 [ ( ( = h ) ) n 5f a + i + h + 8f Algorithme du calcul associé à cette formule de quadrature Require: f, a, b > a, n > h b a n c a + ( /5 ) h c a + h c a + ( + /5 ) h s for i = to n do s s + 5f (c + i h) + 8f (c + i h) + 5f (c + i h) end for return h 8 s ) x i+ x i ) ( xi+ + x i + 8f ( x i + h ) ( ( ) )] + 5f x i + + h 5 ( ( a + i + ) ) ( ( h + 5f a + i + + ( ( ) + 5f x i ) )] h 5 ) )] x i+ x i Exercice Interpolation et quadratures Soit f une fonction C (R,R) On se donne les points x i } i=n de subdivision uniforme de l intervalle [a;b] définis par x i = a + i h avec h = b a n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature composite pour approcher l intégrale b a f (x)dx Soit p le polynôme de LAGRANGE qui interpole f aux points et Écrire le polynôme p, en déduire une formule de quadrature basée sur l approximation f (x)dx p(x) dx et étudier le degré d exactitude de cette formule de quadrature À l aide d un changement de variable affine, en déduire une formule de quadrature pour l intégrale xi+ x i f (x)dx En utilisant le résultat au point précédent, proposer une formule de quadrature composite pour le calcul approché de l intégrale CORRECTION Quelle méthode de quadrature reconnait-on? b a f (x)dx G Faccanoni 9

94 Quadrature Jeudi janvier On a deux points d interpolation, donc le polynôme interpolateur de LAGRANGE est un polynôme de R [x] On cherche alors les coefficients α et β du polynôme p(x) = α + βx tels que f ( ) = p( ) = α β, (a) f () = p() = α + β (b) f ()+f ( ) La somme des équations (b)+(a) donne α = et la soustraction des équations (b) (a) donne f () f ( ) β = On en déduit la méthode de quadrature f (t)dt p(t)dt = α + βt dt = α = f ( ) + f () Par construction, cette formule de quadrature a degré d exactitude au moins Soit f (x) = x, alors f (x)dx = / tandis que f ( ) + f () = : la formule est exacte pour les polynômes de degré au plus Soit x = mt + q, alors xi+ x i f (x)dx = m f (mt + q)dt avec xi = m + q, x i+ = m + q, d où le changement de variable x = x i + (t + ) x i+ x i On en déduit la formule de quadrature (exacte sur l espace des polynôme de degré au plus ) xi+ x i f (x)dx = x i+ x i f ( x i + (t + ) x i+ x ) i dt x i+ x i [ f (xi ) + f (x i+ ) ] On subdivise l intervalle [a;b] en n intervalles [x i ; x i+ ] de largeur h = b a n la formule de quadrature composite b a f (x)dx = n xi+ x i f (x)dx n x i+ x i Il s agit de la méthode des trapèzes composite n [ f (xi ) + f (x i+ ) ] = h [ f (xi ) + f (x i+ ) ] [ ] [ = h n f (a) + f (b) + f (x i ) = h i= = x i+ x i pour i =,,n On trouve ainsi n f (a) + f (b) + i= f (a + i h) ] Exercice 4 Soit f une fonction de classe C ([,]) et p le polynôme interpolateur d HERMITE (de degré ) de f vérifiant Écrire le polynôme p p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f () En déduire la méthode d intégration numérique élémentaire f (s)ds f ( ) + f () + ( f ( ) f () ) Connaissant la formule sur [ ; ], en déduire la formule de quadrature des trapèzes-hermite sur l intervalle [a; b] par exemple grâce au changement de variable y = a + (x + ) b a CORRECTION On a deux méthodes pour calculer le polynôme interpolateur d HERMITE : Première méthode : le polynôme interpolateur d HERMITE s écrit où p(x) = n y i A i (x) + y i B i (x) A i (x) = ( (x x i )c i )(L i (x)), B i (x) = (x x i )(L i (x)), 94 G Faccanoni

95 Jeudi janvier Quadrature L i (x) = c i = n x x j, x i x j j = j i n x i x j Pour n = on a alors ( ))( ) (x x ) ( ) (x p(x) = y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) ( ))( ) (x x ) ( ) (x + y ( (x x ) + y x x (x x ) (x x x ) ) (x x ) Dans notre cas x =, x =, y = f ( ), y = f (), y = f ( ), y = f () donc p(x) = 4 = 4 j = j i [ f ( )(x + )(x ) + f ( )(x + )(x ) + f ()( x)(x + ) + f ()(x )(x + ) ] [ ] f ( )(x x + ) + f ( )(x x x + ) + f ()( x + x + ) + f ()(x + x x ) = f ( ) + f ( ) + f () f () 4 + f () f ( ) 4 + f () f ( ) f ( ) f () x 4 x + f ( ) + f ( ) f () + f () x 4 Le polynôme interpolateur d HERMITE est donc le polynôme où α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4 p(x) = α + βx + γx + δx, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 Deuxième méthode : le polynôme interpolateur d HERMITE est un polynôme de degré n + On cherche donc un polynôme p(x) = α + βx + γx + δx tel que c est-à-dire tel que On obtient p( ) = f ( ), p ( ) = f ( ), p() = f (), p () = f (), α β + γ δ = f ( ), α + β + γ + δ = f (), β γ + δ = f ( ), β + γ + δ = f () α = f ( ) + f () + f ( ) f () 4 γ = f ( ) + f () 4 En intégrant le polynôme ainsi trouvé on en déduit, β = f ( ) + f () f ( ) f (), 4, δ = f ( ) f () + f ( ) + f () 4 [ p(x)dx = αx + β x + γ x + δ ] 4 x4 = α + γ = f ( ) + f () + f ( ) f () + f ( ) + f () 6 = 6f ( ) + 6f () + f ( ) f () f ( ) + f () 6 G Faccanoni 95

96 Quadrature Jeudi janvier = f ( ) + f () + (f ( ) f ()) Remarque : la formule est au moins exacte de degré par construction Elle n est pas exacte de degré supérieure à car si f (x) = x 4 alors [ ] f (x)dx = 5 x5 = 5 = 6 5 f ( ) + f () + (f ( ) f ()) = + + (4 + 4) = 4 = 7 5 Connaissant la formule sur [ ;], on en déduit la formule sur un intervalle [a;b] quelconque par le changement de variable y = a + (x + ) b a qui donne b a f (y)dy = b a = b a = b a ( a + (x + ) b a ) dx f [ f (a) + f (b) + b a ] 6 (f (a) f (b)) (b a) (f (a) + f (b)) + (f (a) f (b)) Exercice 5 Soit f une fonction C ([;],R) On se donne les points x i } i=n de subdivision de l intervalle [;] : x i = i h avec h = n Le but de l exercice est de trouver une formule de quadrature pour approcher f (x)dx () Soit i un entier fixé ( i n ) Trouver m i un point du segment [x i ; x i+ ] et a, b et c trois coefficients réels tels que la formule de quadrature suivante, sur l intervalle [x i ; x i+ ], soit exacte pour p un polynôme de degré le plus haut possible : xi+ x i p(x) dx = ap(x i ) + bp(m i ) + cp(x i+ ) En déduire en fonction de a, b et c la formule de quadrature Q(f ) Q(f ) = n n α i f (x i ) + β i f (m i ) pour le calcul approché de construite sur la formule de quadrature précédente pour chaque intervalle du type [x i ; x i+ ] Cette formule de quadrature est-elle stable? On rappelle que si p interpole f en k points y < y < < y k, on a l estimation d erreur x [y ; y k ], f (x) p(x) sup ξ [y ;y k ] f (k) (ξ) k! k (x y j ) j = En déduire une estimation de l erreur de quadrature entre () et Q E(h) = f (x) dx Q(f ) La dépendance en h dans cette estimation d erreur est-elle optimale? 4 Écrire l algorithme qui calcule Q(f ) CORRECTION Pour simplifier le calcul, on se ramène à l intervalle [;] Soit x un élément de l intervalle [x i ; x i+ ] et y un élément de l intervalle [;] On transforme l intervalle [x i ; x i+ ] dans l intervalle [;] par le changement de variable affine y = x i+ x x x i i x i+ x On note h = x i i+ x i Alors y = x x i h et on a f (y) dy = xi+ h x i f ( x x i h )d x Comme x i+ x i f (t) dt Rappel : si y = a + (x + ) b a alors dy = b a dx et f (y) = b a f (x) 96 G Faccanoni

97 Jeudi janvier Quadrature f ( x x i h ) dx ( m h a f () + b f ( i x i d où m i = ( M)x i + M x i+ Rechercher a, b, c et m i revient à chercher A, B, C et M avec a f (x i )+b f (m i )+c f (x i+ ), alors f (y) dy = xi+ h x i B = b h, C = c h, M = m i x i h tels que m i = ( M)x i + M x i+, a = Ah, b = Bh, c = C h p(x) dx = Ap() + B p(m) +C p(), où p(x) est un polynôme Si p P (ie si p(x) = d + d x + d x + d x ) on a p(x)dx = Ap() + B p(m) +C p() [ d x + d x + d x + d 4 x 4] Ad + Bd +C d h ) + c f () ) On note alors A = a h, d + d + d + d 4 (A + B +C )d + (B M +C )d + (B M +C )d + (B M +C )d Par conséquent, pour que la formule soit exacte de degré au moins il faut que A + B +C = A + B +C = A = 6 B M +C = B M = B M +C = C, B = ( B M +C = C )M = C, C = 6 4 ( C )M = 4 C, M = La méthode f (x) dx = 6 f () + ( ) f + 6 f (), est exacte pour tout polynôme de degré au moins Soit maintenant f (x) = x 4 On a mais 6 f () + f donc la formule de quadrature est exacte de degré Si on revient aux variables initiales, on trouve L intégrale ( [ x 5 f (x)dx = 5 ] ) + 6 f () = 6 + = 5 m i = x i + x i+, a = 6 h, b = h, c = 6 h f (x)dx = n xi+ x i ( f (x) dx ) = 5 4, peut être calculée numériquement en utilisant la formule précédente pour approcher chaque intégrale On obtient ainsi f (x)dx = n xi+ x i xi+ x i f (x) dx h 6 f (x) dx [ f (x i ) + 4f ( xi + x i+ ) ] + f (x i+ ) G Faccanoni 97

98 Quadrature Jeudi janvier n = h 6 [ = h 6 = n h 6 [ n [ f (x i ) + 4f n f (x i ) + n f (a) + f (b) + ( xi + x ) ] i+ + f (x i+ ) n ( xi + x ) ] i+ f (x i+ ) + 4 f n ( xi + x ) ] i+ f (x i ) + 4 f i= n α i f (x i ) + β i f (m i ) = Q(f ) avec β i = h, α i = h si i =,,n, h 6 sinon Cette formule de quadrature est stable puisque tous les coefficients α i et β i sont positifs et on a n n α i + β i = h n 6 + i= h + h n 6 + h = n ( n i= 6 + On reconnait la formule de Cavalieri-Simpson : remarquons alors que Q(f ) = n x i p(x)dx avec p le polynôme qui interpole (x i, f (x i )), (m i, f (m i )) et (x i+, f (x i+ )) Par conséquent l erreur de quadrature entre () et Q est 4 Algorithme Require: x f Require: n > a 6n b n c 6n I a f () for i = to n do I I + (a + c)f ( i n end for E(h) = f (x) dx Q(f ) n xi+ = f (x) dx ) + b f ( ( return I I + c f () + b f i n n n x i n xi+ x i n xi+ Dh 4 ) ) n f (x) p(x) dx xi+ x i p(x)dx n xi+ sup ξ [xi ;x f i+] (ξ) (x x i )(x m i )(x x i+ )dx x i 6 ) = 98 G Faccanoni

99 4 Équations différentielles ordinaires Calculer la fonction t y(t) qui vérifie l EDO y (t) = f (t, y(t)) et la condition y(t ) = y Les équations différentielles décrivent l évolution de nombreux phénomènes dans des domaines variés Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs dérivées d une fonction inconnue Si toutes les dérivées sont prises par rapport à une seule variable, on parle d équation différentielle ordinaire Une équation mettant en jeu des dérivées partielles est appelée équation aux dérivées partielles On dit qu une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) est d ordre p si elle implique des dérivées d ordre au plus p Dans le présent chapitre, nous considérons des équations différentielles ordinaires d ordre un Définition Équations différentielles Une équation différentielle (EDO) est une équation, dont l inconnue est une fonction y, exprimée sous la forme d une relation F (y, y, y,, y (n) ) = g (t) dans laquelle cohabitent à la fois y = y(t) et ses dérivées y, y, (n est appelé l ordre de l équation) Si la fonction g, appelée «second membre» de l équation, est nulle, on dit que l équation en question est homogène Nous pouvons nous limiter aux équations différentielles du premier ordre, car une équation d ordre p > peut toujours se ramener à un système de p équations d ordre Une équation différentielle ordinaire admet généralement une infinité de solutions Pour en sélectionner une, on doit imposer une condition supplémentaire qui correspond à la valeur prise par la solution en un point de l intervalle d intégration On considérera par conséquent des problèmes, dits de CAUCHY ainsi défini : Définition Problème de CAUCHY Soit f : I R R une fonction donnée et y la dérivée de y par rapport à t On appelle problème de CAUCHY le problème trouver y : I R R tel que y (t) = f (t, y(t)), t I, y(t ) = y, avec t un point de I et y une valeur appelée donnée initiale Exemple On se donne f (t, y(t)) = t y(t) et y = α (un nombre quelconque) On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait Sa solution est donnée par y(t) = (α /)e t + t + / y (t) = t y(t), t >, y() = α Exemple Non unicité de la solution d un problème de CAUCHY On se donne f (t, y(t)) = y(t) et y = On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = y(t), t >, y() = On vérifie que les fonctions y (t) = et y, (t) = ± 8t /7, pour tout t, sont toutes trois solutions du problème de CAUCHY donné C est exemple montre qu un problème de CAUCHY n as pas nécessairement de solution unique Exemple Non existence sur R de la solution d un problème de CAUCHY On se donne f (t, y(t)) = (y(t)) et y = On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = (y(t)), t >, y() = 99

100 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier On vérifie que la solution y est donnée par y(t) = / t qui n est définie que pour t [;/[ C est exemple montre qu un problème de CAUCHY n as pas toujours une solution pour tout t [;+ [ puisqu ici la solution explose lorsque t tend vars la valeur / (en effet, nous avons lim t (/) y(t) = + ) Les trois exemples ci-dessus montrent que l étude mathématique de l existence et de l unicité de solutions d un problème de CAUCHY peut être une affaire délicate Dans ce chapitre, nous nous contentons de rappeler un résultat d existence et d unicité global, au sens où on peut intégrer le problème de CAUCHY jusqu à t = : Proposition Théorème de CAUCHY-Lipschitz Soit un problème de CAUCHY Si la fonction f (t, y) est continue par rapport à ses deux variables ; lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, c est-à-dire qu il existe une constante positive L (appelée constante de Lipschitz) telle que f (t, y ) f (t, y ) L y y, t I, y, y R, alors la solution y = y(t) du problème de CAUCHY existe, est unique et appartient à C (I ) Cas particulier Soient a et g deux fonctions continues d un intervalle I dans R, si f (t, y(t)) = a(t)y(t) + g (t) et si (t, y ) I R, alors il existe une unique solution y de l équation différentielle telle que y(t ) = y Remarque Graphiquement, ce théorème signifie que par tout point du plan dont l abscisse est dans I, il passe une courbe intégrale et une seule, autrement dit deux trajectoires ne peuvent pas se croiser En particulier, si une équation différentielle admet comme solution la solution nulle, alors toute autre solution est soit toujours positive soit toujours négative Exemple On se donne f (t, y(t)) = y(t) + sin(y(t)) + e t / et y = On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = (y(t)), t >, y() = On vérifie facilement que f (t, y (t)) f (t, y (t)) = y (t) + sin(y (t)) y (t) sin(y (t)) y = y (t) y (t) + sin(ϑ)dϑ y y (t) y (t) + y (t) y (t) y (t) y (t) Par le théorème de CAUCHY-Lipschitz, le problème de CAUCHY a une solution globale unique y(t) Cependant, il n est pas possible de donner une expression explicite de la solution En pratique, on ne peut expliciter les solutions que pour des équations différentielles ordinaires très particulières Dans certains cas, on ne peut exprimer la solution que sous forme implicite Dans d autres cas, on ne parvient même pas à représenter la solution sous forme implicite Pour ces raisons, on cherche des méthodes numériques capables d approcher la solution de toutes les équations différentielles qui admettent une solution Attention Problème de CAUCHY numériquement mal posé Une fois calculée la solution numérique u n } N h n=, il est légitime de chercher à savoir dans quelle mesure l erreur y(t n) u n est petite ou non pour n =,, Nous essayons de répondre à cette question en reprenant le premier exemple du chapitre On se donne f (t, y(t)) = t y(t) et y = α (un nombre quelconque) On cherche une fonction y : t R + y(t) R qui satisfait y (t) = t y(t), t >, y() = α Nous avons vu que sa solution est donnée par y(t) = (α /)e t + t + / Si nous cherchons à résoudre le problème de CAUCHY jusqu à t = avec α = /, nous obtenons y() = + / = / Par contre, si nous faisons le calcul avec l approximation α = au lieu de /, nous avons y() = ( /)e + + / = e / + / ce qui représente une différence avec la précédente valeur de e / 7 / Cet exemple nous apprend G Faccanoni

101 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires qu une petite erreur sur la condition initiale (erreur relative d ordre 6 ) peut provoquer une très grande erreur sur y() (erreur relative d ordre 6 ) Ainsi, si le calculateur mis à notre disposition ne calcul qu avec 6 chiffres significatifs (en virgule flottante), alors α = / devient α = et il est inutile d essayer d inventer une méthode numérique pour calculer y() En effet, la seule erreur sur la condition initiale provoque déjà une erreur inadmissible sur la solution Nous sommes en présence ici d un problème numériquement mal posé, appelé aussi problème mal conditionné 4 Schémas numériques Considérons le problème de CAUCHY et supposons que l on ait montré l existence d une solution y Le principe de toutes ces méthodes est de subdiviser l intervalle I = [t,t ], avec T < +, en N h intervalles de longueur h = (T t )/N h = t n+ t n ; h est appelé le pas de discrétisation Alors, pour chaque nœud t n = t + nh ( n N h ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche y(t n ) L ensemble des valeurs } u = y,u,,u Nh représente la solution numérique Les schémas qu on va construire permettent de calculer u n+ à partir de u n et il est donc possible de calculer successivement u, u,, en partant de u Si nous intégrons l EDO y (t) = f (t, y(t)) entre t n et t n+ nous obtenons y(t n+ ) y(t n ) = tn+ t n f (t, y(t))d t Soit u n une approximation de y(t n ) et u n+ une approximation de y(t n+ ) On peut construire différentes schémas selon la formule de quadrature utilisée pour approcher le membre de droite Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à gauche, ie tn+ t n f (t, y(t))d t h f (t n, y(t n )) on obtient le schéma d EULER progressif u = y(y ) = y, u n+ = u n + h f (t n,u(t n )) n =,,, Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n Si on utilise la formule de quadrature du rectangle à droite, ie tn+ t n f (t, y(t))d t h f (t n+, y(t n+ )) on obtient le schéma d EULER rétrograde u = y(y ) = y, u n+ h f (t n+,u n+ ) = u n n =,,, Il s agit d un schéma implicite car il ne permet pas d expliciter directement u n+ en fonction de u n lorsque la fonction f n est pas triviale Si on utilise la formule de quadrature du point du milieu, ie tn+ f (t, y(t))d t h f (t n + h (, y t n + h )) on obtient un nouveau schéma : t n u = y(y ) = y, u n+ = u n + h f (t n + h/,u n+/ ) n =,,, où u n+/ est une approximation de y(t n + h/) Nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive pour approcher le u n+/ dans le terme f (t n + h/,u n+/ ) par ũ n+/ = u n + (h/)f (t n,u n ) Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma d EULER modifié qui s écrit u = y(y ) = y, ũ n+/ = u n + (h/)f (t n,u n ), u n+ = u n + h f (t n + h/,ũ n+/ ) n =,,, Il s agit d un schéma explicite car il permet d expliciter u n+ en fonction de u n G Faccanoni

102 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier Si on utilise la formule du trapèze, ie tn+ t n f (t, y(t))d t h on obtient le schéma du trapèze ou de CRANCK-NICHOLSON u = y(y ) = y, ( f (tn, y(t n )) + f (t n+, y(t n+ )) ) u n+ h f (t n+,u n+ ) = u n + h f (t n,u n ) n =,,, Il s agit à nouveau d un schéma implicite car il ne permet pas d expliciter directement u n+ en fonction de u n lorsque la fonction f n est pas triviale En fait, ce schéma fait la moyenne des schémas d EULER progressif et rétrograde Pour éviter le calcul implicite de u n+ dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive et remplacer le u n+ dans le terme f (t n+,u n+ ) par ũ n+ = u n + h f (t n,u n ) Nous avons construit ainsi un nouveau schéma appelé schéma de HEUN Plus précisément, la méthode de HEUN s écrit u = y(y ) = y, ũ n+ = u n + h f (t n,u n ), u n+ = u n + h ( f (t n,u n ) + f (t n+,ũ n+ ) ) n =,,, Remarque Considérons le schéma d EULER rétrograde Si nous voulons calculer u n+, nous définissons la fonction g (x) = x h f (t n+, x) u n et nous cherchons un zéro de g (x) en prenant par exemple la méthode de NEWTON Ainsi nous pouvons poser x = u et x m+ = x m g (x m )/g (x m ), m =,, Puisque g (x) = h x f (t n+, x), nous obtenons donc dans ce cas le schéma x = u n, x m+ = x m x m h f (t n+,x) u n h x f (t n+,x) m =,,, et u n+ = lim m x m pour autant que f soit suffisamment régulière et que x soit suffisamment proche de u n+, ce qui est le cas si le pas h est suffisamment petit 4 Stabilité Dans la section précédente, on a considéré la résolution du problème de CAUCHY sur des intervalles bornés Dans ce cadre, le nombre N h de sous-intervalles ne tend vers l infini que quand h tend vers zéro Il existe cependant de nombreuses situations dans lesquelles le problème de CAUCHY doit être intégré sur des intervalles en temps très grands ou même infini Dans ce cas, même pour h fixé, N h tend vers l infini On s intéresse donc à des méthodes capables d approcher la solution pour des intervalles en temps arbitrairement grands, même pour des pas de temps h «assez grands» A première vue, il semble que le schéma d EULER progressif soit préférable au schéma d EULER rétrograde puisque ce dernier n est pas explicite Cependant, nous verrons sur un exemple que le schéma progressif peut engendrer des difficultés que le schéma rétrograde n engendre pas Considérons le problème de CAUCHY dans le cas particulier où f (t, y(t)) = βy(t) avec β un nombre réel positif donné Sa solution est trivialement y(t) = y e βt Puisque β est positif, ce problème est numériquement bien posé : y(t) décroît exponentiellement lorsque t tend vers l infini Pour discrétiser la demi-droite t, nous choisissons un nombre réel h > et nous posons t n = nh avec n =,,, Nous allons étudier dans ce cadre les deux schémas d EULER, à savoir le schéma d EULER progressif et le schéma d EULER rétrograde Le schéma d EULER progressif devient u n+ = ( βh)u n, n =,,, et par suite u n+ = ( βh) n u, n =,,, Bien que la solution y(t) tend vers zéro lorsque t tend vers l infini, nous voyons que si u et βh < alors u n tend vers l infini en alternant de signe lorsque t tend vers l infini Nous dirons dans ce cas que le schéma d EULER G Faccanoni

103 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires progressif est instable Pour éviter de phénomène, il convient donc d imposer βh, ce qui aura pour effet de limiter h à h β Cette condition est appelée condition de stabilité : elle limite le pas h d avance en t lorsqu on utilise le schéma d EULER progressif Le schéma d EULER rétrograde devient dans le cadre de notre exemple et par suite ( + βh)u n+ = u n, n =,,, u n+ = ( βh) n+ u, n =,,, Dans ce cas nous voyons que pour tout h > nous avons lim n u n =, le schéma d EULER rétrograde est donc toujours stable, sans limitations sur h Définition La propriété lim u n = n + est appelée stabilité absolue Les méthodes qui sont inconditionnellement absolument stables pour tout complexe de partie réelle négative λ sont dites A-stables Les méthodes d EULER implicite et de CRANK-NICOLSON sont donc A-stables C est aussi le cas de nombreuses autres méthodes implicites Cette propriété rend les méthodes implicites attractives, bien qu elles soient plus coûteuses que les méthodes explicites G Faccanoni

104 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier Codes Python Voici les function python des méthodes illustrées dans ce chapitre #!/usr/bin/python #-*- coding: Utf-8 -*- 4 import math 5 import sys 6 import matplotlibpyplot as plt 7 8 def euler_progressif(f,tt,n): 9 yy = [y] for i in range(n): yyappend(yy[i]+h*f(tt[i],yy[i])) return yy 4 def euler_modifie(f,tt,n): 5 yy = [y] 6 for i in range(n): 7 yyappend(yy[i]+h*f(tt[i]+h*5,yy[i]+h*5*f(tt[i],yy[i]))) 8 return yy 9 def heun(f,tt,n): yy = [y] for i in range(n): yyappend(yy[i]+h*(f(tt[i],yy[i])+f(tt[i+],yy[i]+h*f(tt[i],yy[i])))) 4 return yy et voici un exemple 5 # INITIALISATION 6 N = 7 exemple = if exemple== : t = y = tfinal = def f(t,y): 4 return y 5 def sol_exacte(t): 6 return mathexp(t) 7 elif exemple== : 8 t = 9 y = 4 tfinal = 4 def f(t,y): 4 return t 4 def sol_exacte(t): 44 return +5*t** 45 elif exemple== : 46 t = 47 y = 48 tfinal = 49 def f(t,y): 5 return mathcos(*y) 5 def sol_exacte(t): 5 return 5*mathasin((mathexp(4*t)-)/(mathexp(4*t)+)) 5 else : 54 print "Exemple non defini" 55 sysexit() # CALCUL 58 h = (tfinal-t)/n 59 tt = [ t+i*h for i in range(n+) ] 6 yy_exacte = [sol_exacte(t) for t in tt] 6 yy_euler_progressif = euler_progressif(f,tt,n) 4 G Faccanoni

105 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires 6 yy_euler_modifie = euler_modifie(f,tt,n) 6 yy_heun = euler_modifie(f,tt,n) # AFFICHAGE 66 pltaxis([t, tfinal, min(yy_euler_progressif), max(yy_euler_progressif)]) 67 pltplot(tt,yy_exacte, m,tt,yy_euler_progressif, go,tt,yy_euler_modifie, cs,tt,yy_heun, r^ ) 68 pltshow() G Faccanoni 5

106 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier Exercices Exercice 4 Stabilité de la méthode d EULER explicite en fonction du pas On considère le problème de CAUCHY y (t) = y(t), y() =, sur l intervalle [;] Calculer la solution exacte du problème de CAUCHY Soit t le pas temporel Écrire la méthode d EULER explicite pour cette équation différentielle ordinaire (EDO) En déduire une forme du type y k+ = g ( t,k) avec g ( t,k) à préciser (autrement dit, l itérée en t k ne dépend que de t et k et ne dépend pas de y k ) 4 Utiliser la formulation ainsi obtenue pour tracer les solutions exacte, obtenue avec la méthode d EULER avec t = 5, obtenue avec la méthode d EULER avec t = 5, obtenue avec la méthode d EULER avec t = 5 5 Que peut-on en déduire sur la stabilité de la méthode? CORRECTION Il s agit d une EDO à variables séparables L unique solution constante de l EDO est la fonction y(t), toutes les autres solutions sont du type y(t) = Ce t Donc l unique solution du problème de CAUCHY est la fonction y(t) = e t définie pour tout t R La méthode d EULER est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme y (t) = F (t, y(t)) C est une méthode itérative : la valeur y à l instant t + t se déduisant de la valeur de y à l instant t par l approximation linéaire y(t + t) y(t) + y (t) t = y(t) + F (t, y(t)) t En choisissant un pas de discrétisation t, nous obtenons une suite de valeurs (t k, y k ) qui peuvent être une excellente approximation de la fonction y(t) avec tk = t + k t, y k = y k + F (t k, y k ) t La méthode d EULER explicite pour cette EDO s écrit donc En procédant par récurrence sur k, on obtient y k+ = ( t)y k y k+ = ( t) k+ 4 On a donc ( si t = 5 alors y k = ) k, ( si t = 5 alors y k = ) k, ( ) k si t = 5 alors y k = Ci-dessous sont tracées sur l intervalle [; ], les courbes représentatives de la solution exacte et de la solution calculée par la méthode d EULER explicite En faisant varier le pas t nous pouvons constater que si t = 5 l erreur commise entre la solution exacte et la solution calculée est amplifiée d un pas à l autre 6 G Faccanoni

107 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires y t Exacte t = 5 t = 5 t = 5 NB : les trois premières itérées ont la même pente (se rappeler de la construction géométrique de la méthode d EULER) 5 De la formule y k+ = ( t) k+ on déduit que si < t < alors la solution numérique est stable et convergente, si < t < alors la solution numérique oscille mais est encore convergente, si t > alors la solution numérique oscille et divergente En effet, on sait que la méthode est absolument stable si et seulement si t < Remarque : la suite obtenue est une suite géométrique de raison q = t On sait qu une telle suite diverge si q > ou q =, est stationnaire si q =, converge vers q < Exercice 4 L évolution de la concentration de certaines réactions chimiques au cours du temps peut être décrite par l équation différentielle y (t) = + t y(t) Sachant qu à l instant t = la concentration est y() = 5, déterminer la concentration à t = à l aide de la méthode d EULER implicite avec un pas h = 5 CORRECTION La méthode d EULER implicite est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme y (t) = F (t, y(t)) C est une méthode itérative : en choisissant un pas de discrétisation h, la valeur y à l instant t + h se déduit de la valeur de y à l instant t par l approximation linéaire y(t + h) y(t) + hy (t + h) = y(t) + hf (t + h, y(t + h)) On pose alors t k = t + kh, k N En résolvant l équation non-linéaire y k+ = y k + hf (t k+, y k+ ), on obtient une suite (y k ) k N qui approche les valeurs de la fonction y en t k Dans notre cas, l équation non-linéaire s écrit Elle peut être résolue algébriquement et cela donne la suite h y k+ = y k + t y k+ k+ y k+ = y k + h +t k+ G Faccanoni 7

108 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier Si à l instant t = la concentration est y() = 5, et si h = /, alors t k = k/ et On obtient donc y k+ = 4 + (k + ) 6 + (k + ) y k k t k y k = = = = = 7 = = = 5 5 La concentration à t = est d environ 5 Comparons avec le calcul exact : y() = 5e arctan() y 5 4 Exacte EULER implicite t Exercice 4 Soit β > un nombre réel positif et considérons le problème de CAUCHY y (t) = βy(t), pour t >, y() = y, (4) où y est une valeur donnée Soit h > un pas de temps donné, t i = i h pour i N et y i une approximation de y(t i ) Écrire le schéma du trapèze (appelé aussi de CRANCK-NICHOLSON) permettant de calculer y i+ à partir de y i Sous quelle condition sur h le schéma du trapèze est-il A-stable? Autrement dit, pour quelles valeurs de h la relation lim i + y i = a-t-elle lieu? À partir du schéma du trapèze, en déduire le schéma de HEUN Sous quelle condition sur h le schéma de HEUN est-il A-stable? CORRECTION Le problème (4) est un problème du type trouver y : I R + R tel que y (t) = f (t, y(t)), t I, y(t ) = y Le principe des méthodes d approximation est de subdiviser l intervalle I en sous-intervalles de longueur h et, pour chaque nœud t i = t +i h (i N ), on cherche la valeur inconnue y i qui approche y(t i ) L ensemble de valeurs y, y, } représente la solution numérique Les schémas numériques permettent de calculer y i+ à partir de y i et il est donc possible de calculer successivement y, y, en partant de y Si nous intégrons l EDO y (t) = f (t, y(t)) entre t i et t i+ nous obtenons ti+ y(t i+ ) y(t i ) = f (t, y(t)) dt t i 8 G Faccanoni

109 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires Soit y i une approximation de y(t i ) et y i+ une approximation de y(t i+ ) Si on utilise la formule du trapèze, ie ti+ t i f (t, y(t)) dt h on obtient le schéma du trapèze ou de CRANCK-NICHOLSON y = y(t ), ( f (ti, y(t i )) + f (t i+, y(t i+ )) ) y i+ h f (t i+, y i+ ) = y i + h f (t i, y i ), pour i =,,, Il s agit d un schéma implicite car il ne permet pas d écrire directement y i+ en fonction de y i lorsque la fonction f n est pas triviale En appliquant le schéma du trapèze au problème (4) on obtient la suite définie par récurrence suivante y = y(t ), ) ) ( + h β y i+ = ( h β y i Par induction on obtient Par conséquent, lim y i = si et seulement si i + ( ) βh i y i = y + βh βh + βh < Notons x le produit βh > et q la fonction q(x) = x +x = x x +x Nous avons < +x < pour tout x R +, donc q(x) < pour tout x R + La relation lim y i = est donc satisfaite pour tout h > i + Pour éviter le calcul implicite de y i+ dans le schéma du trapèze, nous pouvons utiliser une prédiction d EULER progressive et remplacer le y i+ dans le terme f (t i+, y i+ ) par ỹ i+ = y i + h f (t i, y i ) Nous avons construit ainsi le schéma de HEUN Plus précisément, cette méthode s écrit y = y(t ), y i+ = y i + h ( f (ti, y i ) + f ( )) t i+, y i + h f (t i, y i, pour i =,,, En appliquant le schéma de HEUN au problème (4) on obtient la suite définie par récurrence suivante y = y(t ), ) y i+ = ( βh + (βh) y i Par induction on obtient Par conséquent, lim y i = si et seulement si i + ) i y i = ( βh + (βh) y (h) βh + β < Notons x le produit βh et q le polynôme q(x) = x x + dont le graphe est représenté en figure q x = βh Nous avons q(x) < si et seulement si < x < La relation lim y i = est donc satisfaite si et seulement si i + h < β G Faccanoni 9

110 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier Exercice 44 On considère le problème de CAUCHY y (t) = (y(t)) m + cos(t), pour t >, y() =, (4) où m est un entier impair Montrer que le problème (4) possède une solution unique globale Soit t > un pas de temps donné, soit t i = i t pour i N et y i une approximation de y(t i ) Écrire le schéma d EULER rétrograde permettant de calculer y i+ à partir de y i À partir du schéma obtenu au point précédent, écrire un seul pas de la méthode de NEWTON pour calculer une nouvelle approximation de y i+ En déduire ainsi un nouveau schéma explicite CORRECTION Le problème (4) est un problème du type trouver y : I R + R tel que y (t) = f (t, y(t)), t I, Si la fonction f (t, y) est y(t ) = y, continue par rapport à ses deux variables ; lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, c est-à-dire qu il existe une constante positive L (appelée constante de Lipschitz) telle que f (t, y ) f (t, y ) L y y, t I, y, y R, alors la solution y = y(t) du problème de CAUCHY existe, est unique et appartient à C (I ) Dans notre cas, f (t, y(t)) = (y(t)) m + cos(t) et y = Puisque m est impair et t f (y, y(t)) = m(y(t)) m, la fonction f est décroissante et satisfait donc ( f (t, y(t )) f (t, y(t )) ) (t t ) t, t R Par conséquent, le problème (4) possède une solution unique globale Le problème (4) est un problème du type trouver y : I R + R tel que y (t) = f (t, y(t)), t I, y(t ) = y Le principe des méthodes d approximation est de subdiviser l intervalle I en sous-intervalles de longueur t et, pour chaque nœud t n = t + i t (i ), on cherche la valeur inconnue y i qui approche y(t i ) L ensemble de valeurs y, y, } représente la solution numérique Le schéma de EULER rétrograde établit une relation entre y i et y i+ et il est donc possible de calculer successivement y, y,, en partant de y Si nous intégrons l EDO y (t) = f (t, y(t)) entre t i et t i+ nous obtenons ti+ y(t i+ ) y(t i ) = f (t, y(t)) dt t i Soit y i une approximation de y(t i ) et y i+ une approximation de y(t i+ ) Si on utilise la formule du rectangle à droite, ie ti+ t i f (t, y(t)) dt t f (t i+, y(t i+ )) on obtient le schéma d EULER rétrograde : y =, y i+ = y i + t ( (y i+ ) m + cos(t i+ ) ) Ce schéma est implicite car il ne permet pas de calculer y i+ directement à partir de y i G Faccanoni

111 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires Il s agit de trouver y i+ tel que y i+ = y i + t ( y m i+ + cos(t i+) ) Pour déterminer y i+ nous devons chercher le zéro de la fonction g définie par g (x) = x + t x m ( t cos(t i+ ) + y i ) La méthode de NEWTON pour approcher le zéro de g s écrit Le premier pas de la méthode de NEWTON s écrit donc x k+ = x k g (x k) g (x k ) = x k x k + t xm k ( ) t cos(t i+ ) + y i + m t x m k x = x x + t x m ( t cos(t i+ ) + y i ) + m t x m Choisissons x = y i comme valeur de départ Nous pouvons utiliser x comme approximation de y i+ et on obtient le schéma y =, y i+ = y i + t y m ( ) t cos(t i i+ ) + y i + m t y m i Exercice 45 Soit le problème de CAUCHY : u (t) + u(t) =, t R, u() = u > (4) Montrer qu il existe une unique solution globale u C (R,R) que vous préciserez explicitement Soit le schéma numérique de Cranck-Nicholson défini par la suite (u n ) n N vérifiant pour t > fixé u n+ u n t + 5(u n+ + u n ) =, n N, Montrer que la suite (u n ) n N est une suite géométrique dont vous préciserez la raison Montrer que la raison r de la suite vérifie r < pour tout t > Ce schéma est-il inconditionnellement A-stable? 4 Sous quelle condition sur t > le schéma génère-t-il une suite positive? 5 Donner l expression de u n en fonction de n 6 Soit T > fixé, soit n = n ( t) tel que T t < n t T Montrer que lim u n = u e T t 7 Soit (v n ) n N la suite définissant le schéma d EULER explicite pour l équation différentielle (4) Montrer que lim v n = u e T t Montrer que la suite (u n ) converge plus vite que (v n ) lorsque t CORRECTION C est un problème de CAUCHY du type u (t) = f (t,u(t)), t R, u() = u >, (44) avec f (t,u(t)) = g (u(t)) = u(t) Comme g C (R,R), d après CAUCHY-Lipschitz, il existe T > et une unique solution u C ([ T,T ],R) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur u ainsi u C ([ T,T ],R) La fonctionne nulle est solution de l équation différentielle f (t, ) =, par l unicité de la solution du problème de CAUCHY, pour tout t [ T,T ], u(t) > si u > et u(t) < si u > (autrement dit, deux trajectoires ne peuvent pas se croiser) De G Faccanoni

112 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier plus, u est décroissante si u > et croissante si u < On en déduit par le théorème des extrémités que la solution u admet un prolongement sur R solution de l EDO Pour en calculer la solution, on remarque qu il s agit d une EDO à variables séparables L unique solution constante est u(t), toutes les autres solutions sont du type u(t) = Ce t En prenant en compte la condition initiale on conclut que l unique solution du problème de CAUCHY est u(t) = u e t définie pour tout t R y t Soit le schéma numérique de Cranck-Nicholson défini par la suite (u n ) n N vérifiant u n+ u n t + 5(u n+ + u n ) =, n N, pour t > fixé On obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : d où Il s agit d une suite géométrique de raison Pour tout t > on a et u n+ = 5 tu n+ 5 tu n + u n u n+ = 5 t + 5 t u n r = 5 t + 5 t r = 5 t + 5 t = t + 5 t < t + 5 t < Ce schéma est donc inconditionnellement A-stable car u n+ = r n+ u u 4 Le schéma génère une suite positive ssi ie ssi 5 Par récurrence on obtient t + 5 t > t < 5 ( ) 5 t n u n = u + 5 t 6 Soit T > fixé et considérons n = n ( t) tel que T t < n t T En se rappelant que ln( + αx) lim = x αx et en observant que ( 5 t ) T +5 t ln( 5 t) ln(+5 t) (T t) e t 5ln( 5 t) 5ln(+5 t) (T t) e 5 t t ( 5 t +5 t ) n ( 5 t ) T t +5 t e T ln( 5 t) ln(+5 t) t e T 5ln( 5 t) 5ln(+5 t) 5 t e T e T G Faccanoni

113 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires on conclut que ( 5 t lim u n = u lim t t + 5 t ) n = u e T 7 La suite définissant le schéma d EULER explicite pour l EDO assignée s écrit v n+ v n t = f (t n,u n ) = v n+ = v n t v n = ( t)v n = ( t) n+ v Il s agit à nouveau d une suite géométrique de raison r e = t qui converge si et seulement si r e <, ie si et seulement si t <, (le schéma d EULER pour cette EDO est conditionnellement stable) Soit T > fixé et considérons n = n ( t) tel que T t < n t T Alors d où ( t) T t ( t) n ( t) T t ln( t) (T t) e t ln( t) (T t) e t e T e T ln( t) t ln( t) T e t e T lim v n = u lim ( t) T t = u e T t t De plus, on sait (cf cours) que la suite u n } n N converge à l ordre tandis que la suite v n } n N converge à l ordre Exercice 46 Soit le problème de CAUCHY : u (t) + u 5 (t) =, t R +, u() = u > (45) Montrer qu il existe une unique solution globale u C (R +,R + ) Soit le schéma numérique défini par la suite (u n ) n N suivante u n+ u n t + u n+ un 4 =, n N, pour t > fixé Expliciter l expression de u n+ en fonction de u n Montrer que la suite (u n ) n N est une suite décroissante et convergente vers Ce schéma est-il inconditionnellement A-stable? CORRECTION C est un problème de CAUCHY du type avec f (t,u(t)) = g (u(t)) = u 5 (t) u (t) = f (t,u(t)), t R, u() = u >, (46) Comme g C (R +,R + ), d après CAUCHY-Lipschitz, il existe T > et une unique solution u C ([,T ],R + ) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur u et u C ([,T ],R + ) La fonctionne nulle est solution de l équation différentielle g () = Comme u >, par l unicité de la solution du problème de CAUCHY on a u(t) > pour tout t [,T ] (car deux trajectoires ne peuvent pas se croiser) De plus, u est décroissante, ainsi la solution est bornée (u(t) ],u [) On en déduit par le théorème des extrémités que la solution u admet un prolongement sur R + solution de l EDO Pour t > fixé on obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : u n+ = u n + un t 4, n N G Faccanoni

114 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier On étudie la suite u >, pour t > fixé u n+ = u n, n N, +un t 4 Par récurrence on montre que si u > alors u n > pour tout n N De plus, u n+ u n = < pour tout n N : la +un t 4 suite est monotone décroissante On a alors une suite décroissante et bornée par zéro, donc elle converge Soit l la limite de cette suite, alors l et l = l +l 4 t donc l = Ce schéma est donc inconditionnellement A-stable Exercice 47 Soit le problème de CAUCHY : u (t) + sin(u(t)) =, t R, u() = u > (47) Montrer qu il existe une unique solution globale u C (R,R) Écrire le schéma le schéma d EULER explicite pour ce problème de CAUCHY en explicitant vos notations Montrer que la suite (u n ) n N construite par ce schéma vérifie u n+ u n + t, n N, où t > est le pas de la suite 4 En déduire que u n u + n t, n N CORRECTION C est un problème de CAUCHY du type avec f (t,u(t)) = g (u(t)) = sin(u(t)) u (t) = f (t,u(t)), t R, u() = u >, (48) Comme g C (R,R), d après CAUCHY-Lipschitz, il existe T > et une unique solution u C ([ T,T ],R) Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur u et u C ([ T,T ],R) Toutes les fonctions constante u(t) = kπ pour k Z sont solutions de l équation différentielle car g (kπ) = Pour u donné, soit k Z tel que u [ kπ;( k + )π] ; par l unicité de la solution du problème de CAUCHY on a u(t) [ kπ;( k + )π] pour tout t [ T,T ] (car deux trajectoires ne peuvent pas se croiser), ie la solution est bornée On en déduit par le théorème des extrémités que la solution u admet un prolongement sur R solution de l EDO Soit t > fixé et t n = n t pour tout n Z Le schéma d EULER explicite pour l EDO donnée construit la suite u n+ = u n t sin(u n ), n N Comme a + b a + b et comme sin(x) pour tout x R, on conclut que pour t > fixé u n+ = u n t sin(u n ) u n + t sin(u n ) u n + t 4 Par récurrence : u n+ u n + t u n + t u + (n + ) t Exercice 48 Loi de NEWTON K Considérons une tasse de café à la température de 75 C dans une salle à 5 C On suppose que la température du café suit la loi de Newton, c est-à-dire que la vitesse de refroidissement du café est proportionnelle à la différence des températures En formule cela signifie qu il existe une constante K < telle que la température vérifie l équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre T (t) = K (T (t) 5) La condition initiale (CI) est donc simplement T () = 75 4 G Faccanoni

115 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires Pour calculer la température à chaque instant on a besoin de connaître la constante K Cette valeur peut être déduite en constatant qu après 5 minutes le café est à 5 C, c est-à-dire T (5) = 5 Calculer la solution exacte de ce problème de CAUCHY et la comparer avec la solution approchée obtenue par la méthode d EULER explicite CORRECTION Solution exacte On commence par calculer toutes les solutions de l EDO Étant une équation différentielle du premier ordre, la famille de solutions dépendra d une constante qu on fixera en utilisant la CI Il s agit d une EDO à variables séparables donc formellement on a T T (t) (t) = K (T (t) 5) = (T (t) 5) = K = dt (T 5) = K d t = (T 5) dt = K d t = ln(t 5) = K t + c = T 5 = De K t = T (t) = 5 + De K t La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : 75 = T () = 5 + De K = D = 5 = T (t) = 5 + 5e K t Il ne reste qu à établir la valeur numérique de la constante de refroidissement K grâce à l «indice» : 5 = T (5) = 5 + 5e K t = K = ln() 5 On peut donc conclure que la température du café évolue selon la fonction T 75 T (t) = 5 + 5e ln() 5 t 4 = T (t) = 5 + 5e ln() 5 t t Solution approchée par la méthode d Euler progressive Supposons de connaître K mais de ne pas vouloir/pouvoir calculer la fonction T (t) Grâce à la méthode d EULER on peut estimer la température à différentes instantes t i en faisant une discrétisation temporelle du futur (ie on construit une suite de valeurs t i = + i t} i ) et en construisant une suite de valeurs T i } i où chaque T i est une approximation de T (t i ) Si on utilise la méthode d EULER, cette suite de température est ainsi construite : Ti+ = T i ln() 5 t (T i 5), T = 75, qu on peut réécrire comme Exemple avec t = 5 : Ti+ = ( ln() 5 t)t i + 5ln() t, T = 75 G Faccanoni 5

116 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier T Exemple avec t = : T t i T (t i ) T i T (t i ) T i t t t i T (t i ) T i T (t i ) T i G Faccanoni

117 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires Exercice 49 «Les experts - Toulon» La loi de Newton affirme que la vitesse de refroidissement d un corps est proportionnelle à la différence entre la température du corps et la température externe, autrement dit qu il existe une constante K < telle que la température du corps suit l équation différentielle T (t) = K (T (t) T ext ), T () = T Soit t le pas temporel Écrire le schéma d EULER implicite pour approcher la solution de cette équation différentielle Soit T ext = C En déduire une forme du type T n+ = g ( t,n,t ) avec g ( t,n,t ) à préciser (autrement dit, l itéré en t n ne dépend que de t, de n et de T ) Que peut-on en déduire sur la convergence de la méthode? Problème Un homicide a été commis On veut établir l heure du crime sachant que pour un corps humaine on peut approcher K (l échelle du temps est en minutes et la température en Celsius), le corps de la victime a été trouvé sur le lieu du crime à H du matin, à l heure du décès la température du corps était de 7 C, à l heure de la découverte la température du corps est de C, la température externe est T ext = C Approcher l heure de l homicide en utilisant le schéma d EULER implicite avec t = minutes 4 Pour cette équation différentielle, il est possible de calculer analytiquement ses solutions Comparer alors la solution exacte avec la solution approchée obtenue au point précédent CORRECTION La méthode d EULER implicite (ou régressive) est une méthode d intégration numérique d EDO du premier ordre de la forme T (t) = F (t,t (t)) En choisissant un pas de discrétisation t, nous obtenons une suite de valeurs (t n,t n ) qui peuvent être une excellente approximation de la fonction T (t) avec tn = t + n t, T n+ = T n + F (t n+,t n+ ) t La méthode d EULER implicite pour cette EDO s écrit donc T n+ = T n + K t(t n+ T ext ) Si T ext = C, en procédant par récurrence sur n on obtient T n+ = g ( t,n) = K t T n = ( K t) n+ T, autrement dit, l itérée en t n ne dépend que de t et de n mais ne dépend pas de T n Comme < K t < pour tout t >, la suite est positive décroissante ce qui assure que la solution numérique est stable et convergente On cherche combien de minutes se sont écoulés entre le crime et la découverte du corps, autrement dit on cherche n tel que = ( K t) n+ 7 = ( K t)n+ = 7 ( ) 7 = n + = log ( K t) = ln( ) 7 = n 8 ln( K t) Comme t n = t + n t, si t n = H alors t = t n n t = H H = H 4 Calcule analytique de toutes les solutions de l équation différentielle : On cherche d abord les solutions constantes, ie les solutions du type T (t) c R quelque soit t On a = K (c T ext ) d où l unique solution constante T (t) T ext Soit T (t) T ext quelque soit t Puisqu il s agit d une EDO à variables séparables on peut calculer la solution comme suit : T T (t) dt (t) = K (T (t) T ext ) = = K = = K dt = T (t) T ext T T ext dt = K dt = ln(t T ext ) = K t + c = T T ext = De K t = T (t) = T ext + De K t T T ext G Faccanoni 7

118 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : T = T () = De K = D = T = T (t) = T e K t Ici T = 7 C donc la température du cadavre suit la loi T (t) = 7e K t Pour déterminer l heure du meurtre il faut alors résoudre l équation d où t = K = 7e K t ln 7 8,7759 minutes, c est-à-dire 8 minutes avant H : le crime a été commit à H57 T [ C] H H H H H4 H5 H H H t Exercice 4 Un modèle pour la diffusion d une épidémie se base sur l hypothèse que sa vitesse de propagation est proportionnelle au nombre d individus infectés et au nombre d individus sains Si on note I (t) le nombre d individus infectés à l instant t et A > le nombre d individus total, il existe une constante k R + telle que I (t) = ki (t)(a I (t)) Montrer qu il existe T > et une unique solution I C ([,T ]) au problème de CAUCHY : I (t) = ki (t)(a I (t)), I () = I > Montrer que si < I < A alors < I (t) < A pour tout t > Montrer que si < I < A alors I (t) est croissante sur R + 4 Soit < I < A On considère le schéma semi-implicite I n+ I n t Montrer que ce schéma est inconditionnellement A-stable = ki n (A I n+ ) CORRECTION C est un problème de CAUCHY du type I (t) = f (t, I (t)), t R +, I () = I >, (49) avec f (t, I (t)) = g (I (t)) = ki (t)(a I (t)) Comme g C (R,R), d après CAUCHY-Lipschitz, il existe T > et une unique I C ([,T ],R) solution du problème de CAUCHY Par récurrence, en exploitant l EDO et la régularité de g, on grimpe en régularité sur I et I C ([,T ],R) Puisque la fonction nulle et la fonction constante I (t) = A sont solutions de l équation différentielle, si < I < A alors < I (t) < A pour tout t [,T ] (car, par l unicité de la solution du problème de CAUCHY, deux trajectoires ne peuvent pas se croiser) Puisque I (t) = ki (t)(a I (t)), si < I < A alors I est croissante pour tout t [,T ] On en déduit par le théorème des extrémités que la solution I admet un prolongement sur R + solution de l EDO et que I est croissante pour tout t R + 8 G Faccanoni

119 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires 4 Soit < I < A On considère le schéma semi-implicite I n+ I n t = ki n (A I n+ ) pour t > fixé On obtient une formule de récurrence rendue explicite par un calcul élémentaire : Si < I < A alors I n > quelque soit n ; I n est majorée par A car I n+ = + k A t + ki n t I n I n+ A ( + k A t)i n ( + ki n t)a I n A donc par récurrence I n+ A quelque soit n ; I n est une suite monotone croissante (encore par récurrence on montre que I n+ I n I ) ; donc ce schéma est inconditionnellement A-stable Calcul analytique de toutes les solutions : On a déjà observé qu il y a deux solutions constantes de l EDO : la fonction I (t) et la fonction I (t) A Pour chercher toutes les solutions non constantes on remarque qu il s agit d une EDO à variables séparables donc on a A I (t) = De Akt + La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : Exemple avec A = 5, I = 6, k = ln(6/8) 5 et t = : I D = A I I A Exacte Approchée avec t = I t Exercice 4 Considérons une population de bactéries Soit p(t) le nombre d individus ( ) à l instant t Un modèle qui décrit l évolution de cette population est l «équation de la logistique» : soit k et h deux constantes positives, alors p(t) vérifie l équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre p (t) = kp(t) hp (t) On veut calculer p(t) à partir d un nombre initiale d individus donné p() = p CORRECTION Solution exacte G Faccanoni 9

120 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier On commence par calculer toutes les solutions de l EDO Étant une équation différentielle du premier ordre, la famille de solutions dépendra d une constante qu on fixera en utilisant la CI Il s agit d une EDO à variables séparables On cherche d abord les solutions constantes, c est-à-dire les solutions du type p(t) c pour tout t R + : On a donc deux solutions constantes : = kc hc p(t) et p(t) k h Étant donné que deux solutions d une EDO ne s intersectent jamais, dorénavant on supposera p(t) et p(t) k h pour tout t R+, ainsi p (t) kp(t) hp (t) = Formellement on a dp = dt = kp hp k p dp h k k hp dp = dt = ( ) p ln = kt + kc = k hp k p(t) = De + h kt La valeur numérique de la constante d intégration D est obtenue grâce à la CI : p = p() = On peut donc conclure que la population évolue selon la fonction Une simple étude de la fonction p montre que kd p + hde k = D = k hp si p =, k p(t) = h si p = k h, k k hp sinon +h p ekt si p ];k/h[ alors p (t) > et lim t + p(t) = k/h, si p ]k/h;+ [ alors p (t) < et lim t + p(t) = k/h p 5 p(k hp) dp = dt = k ln(p) ln(k hp) = t + c k = p k hp = Dekt = 4 Exemple avec k =, h = et différentes valeurs de p t Solution approchée Supposons de ne pas vouloir/pouvoir calculer la fonction p(t) Grâce à la méthode d EULER on peut estimer le nombre d indivus à différentes instantes t i en faisant une discrétisation temporelle du futur (ie G Faccanoni

121 Jeudi janvier 4 Équations différentielles ordinaires on construit une suite de valeurs t i = + i t} i ) et en construisant une suite de valeurs p i } i où chaque p i est une approximation de p(t i ) Si on utilise la méthode d EULER, cette suite est ainsi construite : pi+ = p i + t p i (k hp i ), p donné, qu on peut réécrire comme pi+ = ( + k t h t p i )p i, p donné On veut appliquer cette méthode au cas de la figure précédente, ie avec k =, h = et les valeurs initiales p = 5 et p = Si on choisit comme pas temporelle t =,5, on obtient les figures suivantes : t i p(t i ) p i p(t i ) p i p 5 4 t t i p(t i ) p i p(t i ) p i p 5 4 t Exercice 4 Méthode de Taylor La méthode de Taylor est basé sur la relation y(x + h) y(x) + y (x)h +! y (x)h +! y (x)h + + m! y (m) (x)h m Cette relation prédit y(x + h) à partir de y(x), ainsi elle permet d écrire une formule d intégration numérique Le dernier terme indique l ordre de la méthode et l erreur de troncature, due aux termes omis, est E = (m + )! y (m+) (ξ)h m+ pour x < ξ < x + h, que l on peut approcher par Considérons le problème de CAUCHY E hm ( y (m) (x + h) y (m) (x) ) (m + )! y (x) + 4y(x) = x, y() = Estimer y() par la méthode de Taylor d ordre 4 avec un seul pas d intégration G Faccanoni

122 4 Équations différentielles ordinaires Jeudi janvier CORRECTION Le développement de Taylor en jusqu à l ordre 4 est y(h) y() + y ()h +! y ()h +! y ()h + 4! y IV ()h 4 En dérivant l EDO on trouve y() =, y (x) = 4y(x) + x, y () = 4, y (x) = 4y (x) + x, y () = 6, y (x) = 4y (x) +, y () = 6, y IV (x) = 4y (x), y IV () = 48 donc, pour x = et h =, on obtient et comme y() = 677 y IV (x + h) = 4y (x) = 4 ( 4y (x) + ) = ( 4 ( 4y (x) + x ) + ) = ( 4 ( 4 ( 4y(x) + x ) + x ) + ) alors y IV () ( 4 ( 4 ( () ) + ) + ) = 6659 et on obtient l estimation de l erreur E 48 ( y IV () y IV () ) = 48 ( ) = G Faccanoni

123 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés Déterminer une fonction f : x f (x) qui minimise l écart entre un ensemble de points expérimentaux (x i, y i ) } n et l ensemble de points (x i, f (x i )) } n Nous avons déjà vu au chapitre sur l interpolation qu augmenter le degré d un polynôme d interpolation de Lagrange n améliore pas toujours l approximation d une fonction donnée Ce problème peut être résolu avec l interpolation composite (avec des fonctions linéaires par morceau ou des splines) Néanmoins, aucune des deux méthodes n est adaptée à l extrapolation d informations à partir des données disponibles, c est-à-dire, à la génération de nouvelles valeurs en des points situés à l extérieur de l intervalle contenant les nœuds d interpolation Un autre cas où ni l interpolation de LA- GRANGE ni l interpolation composite n est d aucune aide est le cas où les données sont bruitées Lorsqu un chercheur met au point une expérience (parce qu il a quelques raisons de croire que les deux grandeurs x et y sont liées par une fonction f ), il récolte des données sous la forme de points (x i, y i ) } n mais en générale ces données sont affectées par des erreurs de mesure Lorsqu on en fait une représentation graphique il cherche f pour qu elle s ajuste le mieux possible aux points observés Soit d i = y i f (x i ) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport à la fonction f La méthode des moindres carrés est celle qui choisit f de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale 5 Fitting par une relation affine On considère un ensemble de points expérimentaux (x i, y i ) } n et on suppose que les deux grandeurs x et y sont liées par une relation affine, c est-à-dire de la forme y = mx + q pour certaines valeurs de m et q, au moins approximativement (autrement dit, lorsqu on affiche ces points dans un plan cartésien, les points ne sont pas exactement alignés mais cela semble être dû à des erreurs de mesure) On souhaite alors trouver les constantes m et q pour que la droite d équation y = mx + q s ajuste le mieux possible aux points observés Soit d i = y i (mx i + q) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport à la droite La méthode des moindres carrés est celle qui choisit m et q de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Pour cela, on doit minimiser la fonction E : R R + définie par E (m, q) = n n d i = (y i mx i q) i= Pour minimiser E on cherche d abord ses points stationnaires, ie les points qui vérifient E m = E q = Puisque ( E n (m, q) = (y i (mx i + q))x i ), m ( ) E n (m, q) = (y i (mx i + q)), q

124 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés Jeudi janvier alors E m E q (m, q) = (m, q) = n (y i mx i q)x i = n (y i mx i q) = n y i x i m n i= x i + q n x i = n y i m n i= x i + (n + )q = ( n m = x )( n i y ) ( i (n + ) n (x i y i ) ) ( n x ) ( i (n + ) n ) ( x i n q = x )( n i x ) ( i y i n y )( n ) i x i ( n x ) ( i (n + ) n ) x i Si on note x = n x i, x = n x i n + n +, x y = n x i y i, y = n y i n + n + alors La droite d équation m = x y x y (x) x, y = mx + q s appelle droite de régression de y par rapport à x et passe par le point moyen (x, y) q = y x x x y x (x) Remarque Cette écriture est susceptible de générer des erreurs de roundoff (les deux termes dans chaque numérateur ainsi qu au dénominateur sont presque égaux) Il est alors mieux calculer m et q comme suit (ce qui est équivalent) : n m = y i (x i x) n x i (x i x) q = y mx Remarque Notons σ x = x (x) la variance des abscisseset c = x y x y le coefficient de corrélation La droite de régression de y par rapport à x a alors équation y = c σ x (x x) y Exemple Si on a le points suivantes on trouve m = 7 et q = : x 4 5 y y x Remarque Fitting par une exponentielle Soit a > et considérons la fonction f (x) = ae kx : elle est non-linéaire mais si on prend son logarithme on obtient ln(f (x)) = kx + ln(a) qui est linéaire en k et a la forme mx + q avec m = k et q = ln(a) On peut alors faire une régression linéaire sur l ensemble (x i,ln(y i )) } n et obtenir ainsi k et ln(a) Cependant ceci n est pas équivalent à faire un fitting sur l ensemble initial (x i, y i ) } n En effet, si on note d i = y i ae kx i et D i = ln(y i ) (kx i + ln(a)), lorsqu on fait une régression linéaire sur l ensemble (x i,ln(y i )) } n on minimise D i et non d i 4 G Faccanoni

125 Jeudi janvier 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés 5 Fitting par un polynôme On considère un ensemble de points expérimentaux (x i, y i ) } n et on suppose que les deux grandeurs x et y sont liées, au moins approximativement, par une relation polynomiale, c est-à-dire de la forme y = m j = a j x j pour certaines valeurs de a j On souhaite alors trouver les m + constantes a j pour que le polynôme d équation y = m j = a j x j s ajuste le mieux possible aux points observés Soit d i = y i ( m j = a j x j i ) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport au polynôme La méthode des moindres carrés est celle qui choisit les a j de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Pour cela, on doit minimiser la fonction E : R m+ R + définie par E (a, a,, a m ) = ( ) n n m d i = y i a j x j i i= Pour minimiser E on cherche d abord ses points stationnaires, ie les points qui vérifient E a = pour j =,,m Puisque j ( E n (a, a,, a m ) = a ( E n (a, a,, a m ) = a ( E n (a, a,, a m ) = a m x i x i x m i j = ( )) m y i a j x j, i j = ( )) m y i a j x j, i j = ( )) m y i a j x j, i on obtient alors le système linéaire de (m + ) équations en les (m + ) inconnues a, a,, a m suivant j = E a (a, a,, a m ) = E a (a, a,, a m ) = E a m (a, a,, a m ) = a (n + ) + a n x i + + a n m xm = n i y i a n x i + a n x i + + a n m xm+ = n i y i x i a n xm + a n i xm+ + + a n i m xm = n i y i x m i (n + ) n x i n x n i x i n n xm i xm+ i n xm i n xm+ i n xm i a a a m n y i n = y i x i n y i x m i Exemple Remarque Quand m = n, le polynôme des moindres carrés coïncide avec le polynôme d interpolation de Lagrange G Faccanoni 5

126 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés Jeudi janvier Exercices Exercice 5 À partir des données x y calculer la droite et la parabole de régression Comparer ensuite les erreurs des chaque régression CORRECTION La droite de régression a équation y = mx + q avec m = 6 y i (x i x) 7 x i (x i x) 84477, q = ȳ m x 7858, où x = 7 6 x i = 5 et ȳ = 7 6 y i = 567 L erreur est 6 (y i (mx i + q)) = La parabole de régression a équation y = a + a x + a x avec a, a, a solution du système linéaire 8 6 x i 6 x i 6 x i 6 x i 6 x i 6 x i 6 x i 6 x4 i a a a 6 y i = 6 y i x i 6 y i x i ie a a = a et on obtient L erreur est a = , a = , a = (y i (a + a x i + a x i )) = y 4 4 x Exercice 5 Le tableau ci-dessous donne la conductivité thermique k du sodium pour différentes valeurs de la température Calculer la parabole de meilleur approximation T ( C) k G Faccanoni

127 Jeudi janvier 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés CORRECTION 6 4 x i 4 x i et on obtient L erreur est La parabole de régression a équation y = a + a x + a x avec a, a, a solution du système linéaire 4 x i 4 x i 4 x i 4 x i 4 x i 4 x4 i a a a 4 y i = 4 y i x i 4 y i x i ie a = , a = , a = (y i (a + a x i + a x i )) = a a = a Exercice 5 La viscosité cinématique µ de l eau varie en fonction de la température comme dans le tableau suivant : T ( C) µ ( m s ) Comparer les valeurs µ( ), µ( ), µ(6 ), µ(9 ) approchées par l interpolation de LAGRANGE et par le polynôme de meilleur approximation de degré CORRECTION On a la famille de points (T i,µ i ) } 6 Le polynôme de LAGRANGE s écrit l(t ) = 6 µ i 6 T T j j = j i T i T j et on obtient l(t ) = tandis que le polynôme de meilleur approximation de degré s écrit r (T ) = a + a T + a T + a T où a, a, a, a sont solution du système linéaire 6 6 T i 6 T i 6 T i 6 T i 6 T i 6 T i 6 T 4 i 6 T i 6 T i 6 T 4 i 6 T 5 i 6 T i a 6 6 T 4 µ i i 6 T a 5 a i = 6 µ i T i 6 6 T 6 µ i T i a 6 µ i T i i et on obtient a = , a = , a = , a = On a alors l( ) = l( ) l(6 ) l(9 ) r ( ) = 474 r ( ) = r (6 ) = r (9 ) = Exercice 54 Courbe de meilleure approximation On considère un ensemble de points expérimentaux (x i, y i ) } n et on suppose que les deux grandeurs x et y sont liées, au moins approximativement, par une relation de la forme y = a sin( π x) + b cos( π x) On souhaite alors trouver les constantes a et b pour que la courbe d équation y = a sin( π x) + b cos( π x) s ajuste le mieux possible aux points observés G Faccanoni 7

128 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés Jeudi janvier (on parle de courbe de meilleure approximation) Soit d i = y i (a sin( π x i ) + b cos( π x i )) l écart vertical du point (x i, y i ) par rapport à la courbe La méthode de régression (ou des moindres carrés) est celle qui choisit a et b de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Pour cela, on doit minimiser la fonction E définie par Écrire le système linéaire qui permet de calculer a et b E : R R + n (a,b) E (a,b) = d i CORRECTION Pour minimiser E on cherche ses points stationnaires Puisque ( E n (a,b) = a ( E n (a,b) = b ( yi ( a sin ( π x i ) + b cos ( π x i ))) sin ( π x i )), ( yi ( a sin ( π x i ) + b cos ( π x i ))) cos ( π x i )), on obtient E a (a,b) = E b (a,b) = n ( yi ( a sin ( π x ) ( i + b cos π x ))) i sin( π x i ) = n ( yi ( a sin ( π x ) ( i + b cos π x ))) i cos( π x i ) = n (( ( a sin π x ) ( i + b cos π x ))) i sin( π x i ) = n y i sin( π x i ) n (( ( a sin π x ) ( i + b cos π x ))) i cos( π x i ) = n y i cos( π x i ) [ ( n sin π x ) n i sin( π x ) ( i cos π x ) i n sin( π x ) ( i cos π x ) ( n i cos π x ) i ][ a b ] = [ n y i sin ( π x )] i n y i cos ( π x ) i Si on note U = n sin ( π x i ), V = n sin ( π x i ) cos ( π x i ), W = n cos ( π x i ), P = n y i sin ( π x i ), Q = n y i cos ( π x i ), on doit résoudre le système linéaire dont la solution est a = W P V Q UW V, ( U V V W )( ) a = b ( ) P Q UQ V P b = UW V Exercice 55 La méthode de régression s étend facilement à des données qui dépendent de deux ou plusieurs variables On considère un ensemble de points expérimentaux (x i, y i, z i ) } n et on suppose que les trois grandeurs x, y et z sont liées, au moins approximativement, par une relation affine de la forme z = a + bx + c y On souhaite alors trouver les constantes a, b et c pour que le plan d équation z = a + bx + c y s ajuste le mieux possible aux points observés (on parle de plan de meilleure approximation) Soit d i = z i (a + bx i + c y i ) l écart vertical du point (x i, y i, z i ) par rapport au plan La méthode de régression (ou des moindres carrés) est celle qui choisit a, b et c de sorte que la somme des carrés de ces déviations soit minimale Pour cela, on doit minimiser la fonction E définie par E : R R + n (a,b,c) E (a,b,c) = d i Écrire le système linéaire qui permet de calculer a, b et c 8 G Faccanoni

129 Jeudi janvier 5 Meilleur approximation au sens des moindres carrés Calculer l équation du plan de meilleure approximation pour l ensemble (x i, y i, z i ) } 5 où i 4 5 x i y i z i On utilisera la méthode du pivot de GAUSS pour la résolution du système linéaire CORRECTION Pour minimiser E on cherche ses points stationnaires Puisque ( ) E n (a,b,c) = (z i (a + bx i + c y i )), a ( E n (a,b,c) = (z i (a + bx i + c y i ))x i ), b ( E n (a,b,c) = (z i (a + bx i + c y i ))y i ), c on obtient E a (a,b,c) = E b (a,b,c) = E c (a,b,c) = n (z i (a + bx i + c y i )) = n (a + bx i + c y i ) = n z i n (z i (a + bx i + c y i ))x i = n n (z (ax i + bx i + c y i x i ) = n z i x i i (a + bx i + c y i ))y i = n (ay i + bx i y i + c y i ) = n z i y i (n + ) n x n i y i a n n x n n i x i x z i i y i b = n n y n i x i y n i y z i x i c n i z i y i Dans notre cas, n x i = 7 n x i y i = 6 n + = 6 donc on a le système linéaire n n y i = 4 x i z i = 7 n x i = a 7 6 b = c / 7 / 9 / n z i = n y i z i = 9 n y i = 6 qu on peut résoudre par la méthode de GAUSS / / / L L 7 6 L L L L / 9 /6 4 / 5 / 4 / / 5 /6 L L 8 9 L / 9 4 /6 / 5 / 86 /9 95 /58 dont la solution est a b = c /86 65 /86 95 / G Faccanoni 9

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131 6 Systèmes linéaires Résoudre l ensemble d équations linéaires Ax = b Définition Définition : système linéaire Soit n, p, des entiers Un SYSTÈME LINÉAIRE n p est un ensemble de n équations linéaires à p inconnues de la forme (S) a x + + a p x p = b, a n x + + a np x p = b n Les COEFFICIENTS a i j et les SECONDES MEMBRES b i sont des éléments donnés de R Les INCONNUES x, x,, x p sont à chercher dans R Le SYSTÈME HOMOGÈNE associé à (S) est le système obtenu en remplaçant les b i par Une SOLUTION de (S) est un p-uplet (x, x,, x p ) qui vérifie simultanément les n équations de (S) Résoudre (S) signifie chercher toutes les solutions Un système est IMPOSSIBLE, ou incompatible, s il n admet pas de solution Un système est POSSIBLE, ou compatible, s il admet une ou plusieurs solutions Deux systèmes sont ÉQUIVALENTS s ils admettent les mêmes solutions Écriture matricielle Si on note x b a a p x = b = A = x p b n a n a np le système (S) est équivalent à l écriture matricielle Ax = b Dans ce chapitre, nous ne traiterons que des systèmes linéaires carrés d ordre n à coefficients réels, autrement dit A = (a i,j ) R n n et b = (b i ) R n Dans ce cas, on est assuré de l existence et de l unicité de la solution si une des conditions équivalentes suivantes est remplie : A est inversible (ie det(a) ) ; le système homogène Ax = admet seulement la solution nulle La solution du système peut alors être calculée par la formule de CRAMER Cependant cette formule est d une utilité pratique limitée à cause du calcul des déterminants qui est très couteux Pour cette raison, des méthodes numériques alternatives aux formules de CRAMER ont été développées Elles sont dites directes si elles fournissent la solution du système en un nombre fini d étapes, itératives si elles nécessitent (théoriquement) un nombre infini d étapes Notons dès à présent que le choix entre une méthode directe et une méthode itérative pour la résolution d un système dépend non seulement de l efficacité théorique des algorithmes, mais aussi du type de matrice, des capacités de stockage en mémoire et enfin de l architecture de l ordinateur 6 Systèmes mal conditionnés Considérons le système de deux équations à deux inconnues suivant : 86x x = 5465, 459x + 479x = Ce système et non singulier et sa solution est donnée par x = x = Considérons maintenant un système d équations voisin (le carré indique un changement de décimale) : 86 x x = 5465, x + 479x = 78598

132 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Ce système et non singulier et sa solution est donnée par x = 5, x = 5 On voit donc que, bien que ces deux systèmes soient voisins, leurs solutions sont très différentes On parle dans ce cas de systèmes mal conditionnés Résoudre un système mal conditionné avec un ordinateur peut être une affaire délicate si l ordinateur calcule avec trop peu de chiffres significatifs Dans l exemple précédent nous observons que, si l ordinateur ne retient que 6 chiffres significatifs, il complètement inespéré d obtenir une solution raisonnablement proche de la solution Définition Conditionnement d une matrice Le conditionnement d une matrice A R n n non singulière est défini par K (A) = A A ( ), où est une norme matricielle subordonnée En général, K (A) dépend du choix de la norme ; ceci est signalé en introduisant un indice dans la notation Par exemple, on a les deux normes matricielles suivantes : A = max j =,,n i= n a i j, A = max i=,,n j = n a i j Remarque Cas particulier Si A est symétrique et définie positive a, K (A) = A A = λ max λ min où λ max (resp λ min ) est la plus grande (resp petite) valeur propre de A a A R n n est symétrique si a i j = a j i pour tout i, j =,,n, définie positive si pour tout vecteurs x R n avec x, x T Ax > Considérons un système non singulier Ax = b Si δb est une perturbation de b et si on résout Ay = b + δb, on obtient par linéarité y = x + δx avec Aδx = δb La question est de savoir s il est possible de majorer l erreur relative δx / x sur la solution du système en fonction de l erreur relative δb / b commise sur le second membre Il est possible de démontrer que δx δb K (A) x b où K (A) est le nombre de conditionnement de la matrice A On voit alors que plus le conditionnement de la matrice est grand, plus la solution du système linéaire est sensible aux perturbations des données Cependant, le fait qu un système linéaire soit bien conditionné n implique pas nécessairement que sa solution soit calculée avec précision Il faut en plus utiliser des algorithmes stables Inversement, le fait d avoir une matrice avec un grand conditionnement n empêche pas nécessairement le système global d être bien conditionné pour des choix particuliers du second membre Si δb / b est de l ordre de la précision relative η = p du calculateur, alors δx / x pourrait, au pire, être égal à K (A)η = log (K (A)) p = log (K (A) p) Si on calcul la solution du système linéaire avec un ordinateur à p chiffres significatifs en valeur décimale, on ne pourra pas garantir à priori plus de E(p log (K (A))) chiffre significatifs sur la solution Si on applique cette règle au système linéaire de l exemple, il est facile de vérifier que K (A) 7, par conséquent nous pouvons perdre jusqu à 7 chiffres significatifs lors de sa résolution Il faut donc un ordinateur calculant avec chiffres significatifs pour être sûr d obtenir les premiers chiffres de la solution Exemple Un exemple bien connu de matrice mal conditionnée est la matrice de HILBERT d ordre n définie par a i j = /(i + j ) pour i, j n 6 Méthode (directe) d élimination de Gauss et factorisation LU Définition Matrices et systèmes triangulaires On dit qu une matrice carrée A = (a i j ) i,j n est TRIANGULAIRE SUPÉRIEURE (respectivement triangulaire INFÉRIEURE) si i > j = a i j = (resp si i < j = a i j = ) G Faccanoni

133 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires Si la matrice est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure), on dira que le système linéaire est un système triangulaire supérieur (resp triangulaire inférieur) Pour résoudre le système triangulaire Ax = b, si A est une matrice triangulaire inférieure, on a x = b a et on déduit les inconnues x, x, x n grâce à la relation ( x i = a i i ) b i i a i j x j ; j = si A est une matrice triangulaire supérieure on a x n = b n a nn et on déduit les inconnues x n, x n, x grâce à la relation ( x i = a i i b i n j =i+ a i j x j ) Propriété Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux La méthode du pivot de Gauss transforme le système Ax = b en un système équivalent (c est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux = y, où U est une matrice triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié Enfin on résout le système triangulaire Ux = y Définition Méthode du pivot de Gauss Soit A = (a i j ) i n la matrice des coefficients du système Ax = b En permutant éventuellement deux lignes du système, j p on peut supposer a i i (appelé pivot de l étape i ) Étape j : pour i > k, les transformations L i L i a i k L k a kk éliminent l inconnue x k dans les lignes L i En réitérant le procédé pour i de à n, on aboutit à un système triangulaire supérieur Exemple Soit le système linéaire Résolution par la méthode du pivot de Gauss : x +x +x +4x 4 =, x +x +4x +x 4 =, x +4x +x +x 4 =, 4x +x +x +x 4 = 4 x +x +x +4x 4 = x +x +4x +x 4 = x +4x +x +x 4 = 4x +x +x +x 4 = 4 L L L x L L L +x +x +4x 4 = L 4 L 4 4L x x 7x 4 = x 8x x 4 = 7x x x 4 = x L L L +x +x +4x 4 = L 4 L 4 7L x x 7x 4 = 4x +4x 4 = 4x +6x 4 = x +x +x +4x 4 = L 4 L 4 +L x x 7x 4 = 4x +4x 4 = 4x 4 = donc x 4 =, x =, x = et x = Résolution par la méthode du pivot de Gauss en écriture matricielle : [A b] = L L L L L L L 4 L 4 4L L L L L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc x 4 =, x =, x = et x = Si on a plusieurs systèmes dont seul le second membre change, il peut être utile de factoriser une fois pour toute la matrice A et résoudre ensuite des systèmes triangulaires G Faccanoni

134 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Algorithme de factorisation LU sans pivot Soit le système linéaire Ax = b On factorise la matrice A R n n sous la forme d un produit de deux matrices A = LU Les termes non nuls de U et les termes non nuls en-dessous de la diagonale principale de L sont mémorisés encore dans la matrice A et sont ainsi calculées : for k = to n do for i = k + to n do a i k a i k a kk for j = k + to n do a i j a i j a i k a k j end for end for end for Résoudre le système linéaire consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = b : les éléments non nuls de la matrice triangulaire inférieure L sont donné par l i j = a i j pour i =,,n et j =,,i et l i i = pour tout i =,,n, donc l algorithme s écrit y b for i = to n do s i for j = to i do s i s i + a i j x j end for y i b i s i end for le système triangulaire supérieure Ux = y : les éléments non nuls de la matrice triangulaire supérieure U sont donné par u i j = a i j pour i =,,n et j = i,,n, donc l algorithme s écrit x n y n a nn for i = n to by do s i for j = to i do s i s i + a i j y j end for x i y i s i a i i end for Attention Pour une matrice quelconque A R n n, la factorisation LU existe et est unique si et seulement si les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de cette proposition sont satisfaites : Proposition Si la matrice A R n n est symétrique et définie positive ou si est à diagonale dominante a alors la factorisation LU existe et est unique a A R n n est symétrique si a i j = a j i pour tout i, j =,,n, définie positive si pour tout vecteurs x R n avec x, x T Ax >, à diagonale dominante par lignes si a i i n a j = i j, pour i =,,n (à diagonale dominante stricte par lignes si l inégalité est stricte), j i à diagonale dominante par colonnes si a i i n a j = j i, pour i =,,n (à diagonale dominante stricte par colonnes si l inégalité est stricte), j i Une technique qui permet d effectuer la factorisation LU pour toute matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d effectuer une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque étape k où un terme diagonal a kk s annule 4 G Faccanoni

135 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires Définition Algorithme de Gauss avec pivot Dans la méthode d élimination de Gauss les pivot a (k) doivent être différents de zéro Si la matrice est inversible mais un kk pivot est zéro (ou numériquement proche de zéro), on peut permuter deux lignes avant de poursuivre la factorisation L algorithme modifié s écrit alors for k = to n do for i = k + to n do Chercher r tel que a (k) r k = max r =k,,n a (k) et échanger la ligne k avec la ligne r l i k a(k) i k a (k+) i j a (k) kk for j = k + to n do a (k) i j l (k) i k a(k) k j r k end for end for end for Une fois calculées les matrices L et U et la matrice des permutations P (ie la matrice telle que PA = LU), résoudre le système linéaire consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = Pb puis le système triangulaire supérieure Ux = y Propriété Déterminant La factorisation LU permet de calculer le déterminant de A en O(n ) car det(a) = det(l)det(u) = n k= u kk Propriété Inverse d une matrice Le calcul explicite de l inverse d une matrice peut être effectué en utilisant la factorisation LU comme suit En notant X l inverse d une matrice régulière A R n n, les vecteurs colonnes de X sont les solutions des systèmes linéaires Ax i = e i, pour i =,,n En supposant que PA = LU, où P est la matrice de changement de pivot partiel, on doit résoudre n systèmes triangulaires de la forme Ly i = Pe i, Ux i = y i, pour i =,,n c est-à-dire une suite de systèmes linéaires ayant la même matrice mais des seconds membres différents Exemple Soit les systèmes linéaires 4 x 4 x 4 x = 4 x 4 4 et 4 x 4 x 4 x = 4 x 4 Résoudre les systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les systèmes linéaires Calculer le déterminant de A 4 Calculer A Résolution par la méthode du pivot de Gauss du premier système [A b] = L L L L L L L 4 L 4 4L L 4 L 4 +L L L L L 4 L 4 7L donc x 4 =, x =, x =, x = G Faccanoni 5

136 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Résolution par la méthode du pivot de Gauss du second système (A b) = L L L L L L L 4 L 4 4L L 4 L 4 +L L L L L 4 L 4 7L donc x + x + x + 4x 4 = x x 7x 4 = 4x + 4x 4 = 4x 4 = 4 = x 4 =, x =, x =, x = Factorisation de la matrice A : 4 L L L 4 L L L L L L 4 L 4 L 4 4L 4 7 L 4 L 4 7L L 4 L 4 +L donc 4 L = U = Pour résoudre le premier système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y y y = = y =, y =, y =, y 4 = 4 7 y 4 4 et Ux = y 4 x 7 x 4 4 x = = x 4 =, x =, x =, x = 4 x 4 Pour résoudre le second système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b y y y = = y =, y =, y =, y 4 = y 4 et Ux = y 4 x 7 x 4 4 x = = x 4 =, x =, x =, x = 4 x 4 4 Le déterminant de A est u u u u 44 = ( ) ( 4) 4 = 6 6 G Faccanoni

137 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires 4 Pour calculer A on résout les quatre systèmes linéaires 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y 4 4 x 4 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y x x y 4 x 4 x 4 x = ie y y = = puis 7 x 4 4 x = = 4 x y 4 4 x 4 4 x y 4 x 4 x 4 x = ie y = = puis 7 x 4 4 = = 4 x y y 4 x x 4 9 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 et finalement A = 9 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 /4 /4 /4 9 = Méthodes itératives Une méthode itérative pour le calcul de la solution d un système linéaire Ax = b avec A R n n est une méthode qui construit une suite de vecteurs x (k) = (x (k), x(k),, x(k) n ) T R n convergent vers le vecteur solution exacte x = (x, x,, x n ) T pour tout vecteur initiale x () = (x (), x(),, x() n ) T R n lorsque k tend vers + Dans ces notes on ne verra que deux méthodes itératives : la méthode de JACOBI, la méthode de GAUSS-SEIDEL Définition Méthode de JACOBI Soit x = (x, x,, x n ) un vecteur donné La méthode de JACOBI définit la composante xk+ du vecteur x k+ à partir des i composantes x k du vecteur x k pour j i de la manière suivante : j x (k) = x k+ i = x (k) x (k) x (k) i x (k) i x (k) i+ x (k) n b i n a i j x k j j = j i a i i, i =,,n x (k+) = x (k+) x (k+) x (k+) i x (k+) i x (k+) i+ x (k+) n Proposition Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, la méthode de JACOBI converge G Faccanoni 7

138 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier La méthode de GAUSS-SIDEL est une amélioration de la méthode de JACOBI dans laquelle les valeurs calculées sont utilisées au fur et à mesure du calcul et non à l issue d une itération comme dans la méthode de JACOBI Définition Méthode de GAUSS-SIDEL Soit x = (x, x,, x n ) un vecteur donné La méthode de GAUSS-SIDEL définit la composante xk+ du vecteur x k+ à i partir des composantes x k+ du vecteur x k+ pour j < i et des composantes x k du vecteur x k pour j i de la manière j j suivante : x k+ i = x (k) = b i i j = x (k) x (k) x (k) i x (k) i x (k) i+ x (k) n a i j x k+ n a j i j x k j j =i+ a i i, i =,,n x (k+) = Proposition Si la matrice A est à diagonale dominante stricte ou si elle est symétrique et définie positive, la méthode de GAUSS-SEIDEL converge x (k+) x (k+) x (k+) i x (k+) i x (k+) i+ x (k+) n Algorithmes Ces algorithmes tentent de résoudre le système d équations linéaires Ax = b d inconnue x La matrice A, de taille n n, doit être inversible et le second membre b doit être de longueur n Les itérations s arrêtent quand le rapport entre la norme du k-ème residu est inférieure ou égale à TOLL, le nombre d itérations effectuées est alors renvoyé dans iter MaxITER est le nombre maximum d itérations JACOBI Require: A = (a i j ) i,j n, b = (b i ) i n, x, MaxITER, TOLL iter r b Ax while (r >TOLL & iter<maxiter) do iter iter + y x for i from to n do s for j from to i do s s + a i j y j end for for j from i + to n do s s + a i j y j end for x i (b i s)/a i i end for r b Ax end while GAUSS-SEIDEL Require: A = (a i j ) i,j n, b = (b i ) i n, x, MaxITER, TOLL iter r b Ax while (r >TOLL & iter<maxiter) do iter iter + y x for i from to n do s for j from to i do s s + a i j x j end for for j from i + to n do s s + a i j y j end for x i (b i s)/a i i end for r b Ax end while Il n y a pas de résultat général établissant que la méthode de GAUSS-SEIDEL converge toujours plus vite que celle de JACOBI On peut cependant l affirmer dans certains cas, comme le montre la proposition suivante Proposition Soit A une matrice tridiagonale de taille n n inversible dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls Alors les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL sont soit toutes les deux convergentes soit toutes les deux divergentes En cas 8 G Faccanoni

139 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires de convergence, la méthode de GAUSS-SEIDEL est plus rapide que celle de JACOBI Exemple Considérons le système linéaire mis sous la forme 4 x 4 y = 4 z 9 x = y 4 z, y = + x, z = 9 4 x y 4 Soit x () = (,,) le vecteur initial En calculant les itérées avec la méthode de JACOBI on trouve x () 4 = + =, x () = 9 4 /4 /6 / = /, x () / 4 = + /6 9 9 /4 4 4 = 9 / 4 4 /6 / 4 La suite x (k) converge vers (,,) la solution du système En calculant les itérées avec la méthode de GAUSS-SEIDEL on trouve x () 4 / = + = /, x () /8 4 = + / 9 4 = / 9 /8 4 4 / 6 /64 4 La suite x (k) converge vers (,,) la solution du système / 6 /64 57 /56 /8 / 6 / /, x (4) 6 / 4 = + /8 = /, x () 6 /64 4 = + 9 /4 = /4 47 / /8 / 4 9 /4 47 / /89, 5 /8 5 /6 65 /8 G Faccanoni 9

140 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Exercices Exercice 6 Soit le système linéaire 6 x 4 x = 6 x 6 Approcher la solution avec la méthode de JACOBI avec itérations à partir de x () = (,,) Approcher la solution avec la méthode de GAUSS-SEIDEL avec itérations à partir de x () = (,,) Résoudre les systèmes linéaires par la méthode d élimination de Gauss 4 Factoriser la matrice A (sans utiliser la technique du pivot) et résoudre les systèmes linéaires CORRECTION Méthode de JACOBI : ( + ) x () =, x () 6 ( + ) = 4 = 6 ( + ) 6 ainsi Méthode de GAUSS-SEIDEL : x () =, x () = 4 ainsi ( + ) 6 ( 4 + ) 6 ( 4 + ) 6 Méthode d élimination de Gauss : donc (A b) = = 4 / 4 /, x () =, x () = ( ( )+ ) 6 ( 4 + ) 4 6 ( 4 + ( )) 6 96 x 8 86 ( + ) 6 ( ) 4 6 ( ) x = = /6 / /9 5 /8 5 /6, x () =, x () = ( + 9 ) 6 ( ) 4 6 ( 6 + ) 6 = ( ) 6 ( ) 4 6 ( ) 6 L L 6 L 6 L L 6 L L L 6 L x + x + x =, x x = 4 6x = 6 = x =, x =, x = 4 Factorisation de la matrice A : L L 6 6 L 6 L 4 L 6 L L L 6 6 L donc L = U = 6 6 Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b 6 y y y 5 6 = = y =, y = 4, y = = 5 /7 / /6 4 /6 4 /4 4 G Faccanoni

141 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires et Ux = y 6 x x = 4 = x =, x =, x = 6 x 6 Exercice 6 Soit A une matrice, A M n,n (R) Rappeler les conditions nécessaires et suffisantes pour l existence d une factorisation LU de la matrice A et préciser les définitions de L et U On suppose L et U construites (ie on dispose de tous les coefficients l i,j et u i,j de L et U), écrire l algorithme de résolution de Ax = b, avec b M n, (R) donné Soit la matrice A suivante : CORRECTION Construire à la main les matrices L et U de la factorisation LU Pour une matrice quelconque A M n,n (R), la factorisation LU (sans pivot) existe et est unique ssi les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles les hypothèses de cette proposition sont satisfaites Mentionnons par exemple : les matrices à diagonale strictement dominante, les matrices réelles symétriques définies positives Une technique qui permet d effectuer la factorisation LU pour toute matrice A inversible, même quand les hypothèses de cette proposition ne sont pas vérifiées, est la méthode du pivot par ligne : il suffit d effectuer une permutation convenable des lignes de la matrice originale A à chaque étape k où un terme diagonal a kk s annule Une fois calculées les matrices L et U, résoudre le système linéaire Ax = b, avec b M n, (R) donné consiste simplement à résoudre successivement le système triangulaire inférieur Ly = b par l algorithme y = b, i y i = b i l i j y j, j = i =,,n le système triangulaire supérieure Ux = y par l algorithme ( x n = y n, x i = y i u nn u i i n j =i+ u i j x j ), j = n,, Factorisation : Par conséquent L L L L L L 8 / 4 / L L 4 / 8 L / 8 / 4 / 4 8 / / L = / et U = 8 / 4 / / / Exercice 6 Calculer, lorsqu il est possible, la factorisation LU des matrices suivantes : A = 4 5, B = Comment peut-on modifier l algorithme de factorisation pour pouvoir toujours aboutir à une factorisation LU lorsque la matrice est inversible? G Faccanoni 4

142 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier CORRECTION Pour une matrice quelconque A M n,n (R), la factorisation LU (sans pivot) existe et est unique ssi les sousmatrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls) Matrice A : comme det(a), la matrice A est bien inversible Puisque det(a ) = a = mais det(a ) = a a aa =, on ne peut pas factoriser A sans utiliser la technique du pivot En effet, L L L L A = 4 5 L 7 L La factorisation LU ne peut pas être calculée car à la prochaine étape il faudrait effectuer le changement L L 6 L Matrice B : L L 7 L L A = L L La factorisation LU de la matrice B est donc L = 7, U = 6 Lorsqu un pivot est nul, la méthode de GAUSS pour calculer la factorisation LU de la matrice A n est plus applicable De plus, si le pivot n est pas nul mais très petit, l algorithme conduit à des erreurs d arrondi importantes C est pourquoi des algorithmes qui échangent les éléments de façon à avoir le pivot le plus grand possible ont été développés Les programmes optimisés intervertissent les lignes à chaque étape de façon à placer en pivot le terme de coefficient le plus élevé : c est la méthode du pivot partiel Pour la matrice A cela aurait donné L L 7 L A = 4 5 L L L L L Bien évidemment, il faut garder trace de cet échange de lignes pour qu il puisse être répercuté sur le terme source et sur l inconnue lors de la résolution du système linéaire ; ceci est réalisé en introduisant une nouvelle matrice P, dite matrice pivotale, telle que PA = LU : la résolution du système linéaire Ax = b est donc ramené à la résolution des deux systèmes triangulaires Ly = Pb et Ux = y Dans notre exemple cela donne P = Exercice 64 Après avoir utilisé la méthode d élimination de Gauss, une matrice symétrique A a été transformée en la matrice triangulaire supérieure 4 U = / / 5/ Calculer la matrice A 4 G Faccanoni

143 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires CORRECTION Alors Comme A = LU, il suffit de calculer L En divisant chaque ligne de U par son terme diagonal on trouve / /4 L T = / / / 4 4 A = LU = / / /4 / / = 4 4 / / 5/ 4 Exercice 65 Soit α un paramètre réel et soient les matrices A α, P et le vecteur b définis par 4 A α = α, P =, b = / À quelle condition sur α, la matrice A α est inversible? À quelle condition sur α, la matrice A α admet-elle une décomposition LU (sans pivot)? Soit α = Calculer, si elle existe, la décomposition LU de la matrice M = PA α 4 Soit α = Résoudre le système linéaire Ax = b en résolvant le système linéaire Mx = Pb CORRECTION La matrice A α est inversible si et seulement si det(a) Comme 4 det(a) = detα = ( ( ) ) + (4 ( ) ) + ( α ) ( ( ) ) (4 α ) ( ( ) ) = ( 8) + ( 8) + (α) ( 6) (8α) ( 4) = 6 5α, la matrice A α est inversible si et seulement si α 6 5 Pour une matrice A carrée d ordre n quelconque, la factorisation de Gauss existe et est unique si et seulement si les sous-matrices principales A i de A d ordre i =,,n (celles que l on obtient en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas singulières (autrement dit si les mineurs principaux, ie les déterminants des sousmatrices principales, sont non nuls) Pour la matrice A α on a les sous-matrices principales suivantes : A = ( ), det(a ) = ; ( ) 4 A =, α det(a ) = 4( + α) Par conséquent, la matrice A α admet une décomposition LU (sans pivot) si et seulement si α Si α = la matrice A α n admet pas de décomposition LU sans pivot La matrice P échange les lignes et de la matrice A et on obtient la matrice 4 4 PA = = La matrice M admet une décomposition LU (sans pivot) et l on a L 4 L L 4 L L L G Faccanoni 4

144 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Par conséquent, on obtient la décomposition LU suivante de la matrice M : 4 L =, U = 4 Pour résoudre le système linéaire Mx = Pb il suffit de résoudre les deux systèmes triangulaires suivantes : Ly = Pb : Ux = y : y =, y = y =, y = + y = ; x = ( ) =, x = ( x )/( ) = 4, x = ( x 4x )/ = 9 Exercice 66 Considérons les deux matrices carrées d ordre n > : α β α β α A = β β α β β β β β α β α β α B = α β α α α β β β β avec α et β réels non nuls Vérifier que la factorisation LU de la matrice B ne peut pas être calculée sans utiliser la technique du pivot Calculer analytiquement le nombre d opérations nécessaires pour calculer la factorisation LU de la matrice A Exprimer le déterminant de la matrice A sous forme récursive en fonction des coefficients de la matrice et de sa dimension n 4 Sous quelles conditions sur α et β la matrice A est définie positive? Dans ce cas, exprimer le conditionnement de la matrice en fonction des coefficients et de la dimension n CORRECTION La factorisation LU de la matrice B ne peut pas être calculée sans utiliser la technique du pivot car l élément pivotale au deuxième pas est nul Par exemple, si n = 4, on obtient : L L L β α L L L β α B () = β α L 4 L 4 α β L β α B () α α = α α α β β β β β β α β La matrice A est une matrice «en flèche» : pour en calculer la factorisation LU il suffit de transformer la dernière ligne, ce qui requiert le calcul de l unique multiplicateur m = β/α et l exécution de n produits et sommes Le coût globale est donc de l ordre de n Le déterminant δ n de la matrice A de dimension n coïncide avec le déterminant de la matrice U Comme u i i = α pour tout i < n et u nn = α (n )β /α, on conclut que δ n = α n (n )α n β 4 Les valeurs propres de la matrice A sont les racines du déterminant de la matrice A λi Suivant le même raisonnement du point précédant, ce déterminant s écrit (α λ) n (n )(α λ) n β dont les racines sont λ, = α ± (n )β, λ = = λ n = α 44 G Faccanoni

145 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires Par conséquent, pour que la matrice A soit définie positive il faut que les valeurs propres soient tous positifs, ce qui impose α α >, β < n Dans ce cas, le conditionnement de la matrice en norme est K (A) = α+β n α β n α β n α+β n si β, sinon Exercice 67 Donner une condition suffisante sur le coefficient α pour avoir convergence des méthodes de JACOBI et GAUSS-SEIDEL pour la résolution d un système linéaire associé à la matrice α A = α α CORRECTION Une condition suffisante pour la convergence des méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL est que A est à diagonale strictement dominante A vérifie cette condition si et seulement si α > Exercice 68 Considérons le système linéaire Ax = b avec α γ A = α β δ α avec α, β, γ et δ des paramètres réels Donner des conditions suffisantes sur les coefficients pour avoir convergence de la méthode de Jacobi convergence de la méthode de Gauss-Seidel CORRECTION Une condition suffisante pour que la méthode de JACOBI converge est que la matrice soit à dominance diagonale stricte, ce qui équivaut à imposer α > γ, α > β, α > δ, c est-à-dire α > max β, γ, δ } La condition précédente est aussi suffisante pour la convergence de la méthode de Gauss-Seidel Une autre condition suffisante pour la convergence de cette méthode est que la matrice soit symétrique définie positive Pour la symétrie il faut que γ =, on obtient ainsi la matrice β = δ, α A = α β β α Elle est définie positive si ses valeurs propres sont positifs On a donc il faut que α > β λ = α, λ = α β, λ = α + β, G Faccanoni 45

146 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Exercice 69 Écrire les formules de la méthode d élimination de Gauss pour une matrice de la forme a, a, a, a, a, A = a n,n a n,n a n, a n, a n,n a n,n Quelle est la forme finale de la matrice U = A (n)? Étant donné la forme particulière de la matrice A, indiquer le nombre minimal d opérations nécessaire pour calculer U ainsi que celui pour la résolution des systèmes triangulaires finaux CORRECTION deviennent Comme la matrice a une seule sur-diagonale non nulle, les formules de la méthode d élimination de Gauss a (k+) = a (k) i,j i,j + m i,k a (k) k,j, i, j = k +, m i,k = a (k) i,k a (k), i = k + k,k La coût est donc de l ordre de n et la matrice U est bidiagonale supérieure Exercice 6 Soit α R et considérons les matrices carrées de dimension n α α A = α α α α α Calculer γ et β pour que B soit l inverse de A β α γ α γ α γ, B = α β α γ α γ α γ γ α α Calculer le conditionnement K (A) en fonction de n et en calculer la limite pour n qui tend vers l infini CORRECTION Par définition, B est la matrice inverse de A si AB = BA = I Comme β + γ AB =, β + γ β + (n )γ β + (n )γ (n )γ il faut que β + γ = β + (n )γ = (n )γ = ce qui donne On trouve immédiatement A = n α tandis que β = n n, γ = n A = α max n, n n } = α 46 G Faccanoni

147 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires On conclut que le conditionnement K (A) en fonction de n est La matrice est donc mal conditionnée pour n grand K (A) = n α α = n Exercice 6 On suppose que le nombre réel ε > est assez petit pour que l ordinateur arrondisse + ε en et + (/ε) en /ε (ε est plus petit que l erreur machine (relative), par exemple, ε = en format bits) Simuler la résolution par l ordinateur des deux systèmes suivants : εa + b = a + b = et a + b = εa + b = On appliquera pour cela la méthode du pivot de Gauss et on donnera les décompositions LU des deux matrices associées à ces systèmes On fournira également la solution exacte de ces systèmes Commenter CORRECTION Premier système : Factorisation LU : ( ε )( a b ) = ( ) ( ) ( ) ε L L ε L ε ε donc ( ) L = ε ( ) ε U = ε Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y : ( ε ( ε ε )( y y ) ( ) = )( ) ( ) a = b ε = y =, y = ε ; = b = ε ( ), a = ε + ε ( ) ε ε Mais avec l ordinateur, comme + ε et + (/ε) /ε, on obtient ( ) L = ε ( ) ε Ũ = ε Pour résoudre ce système linéaire approché on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ũx = y : ( ε ( ε ε )( y y )( a b ) ( = ) = ) ( ) ε = y =, y = ε ; = b =, a = Second système : Factorisation LU : donc ( ) L = ε ( ε )( a b ) = ( ) ( ) ( ) L L ε L ε ε ( ) U = ε G Faccanoni 47

148 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Pour résoudre le système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y : ( ε ( ε )( y y ) ( ) = )( ) ( ) a = b = y =, y = ; = b = ε ( ), a = ε + ε ( ) ε ε Mais avec l ordinateur, comme + ε et + (/ε) /ε, on obtient ( ) L = ε ( ) Ũ = ε Pour résoudre ce système linéaire approché on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ũx = y : ( ε ( ε )( y y )( a b ) ( = ) = ) ( ) = y =, y = ; = b = ε, a = ε 4 Exercice 6 Rappeler l algorithme vu en cours pour calculer la décomposition LU d une matrice A et la solution du système Ax = b où le vecteur colonne b est donné On appliquera ces algorithmes pour les cas suivants : x x = 4 x et 4 x 5 7 x 5 x = x 4 et x 4 x x = x 4 Donner, en fonction de n (nombre de lignes et de colonnes de A), une majoration du nombres d opérations effectuées par l ordinateur pour calculer la décomposition LU de A avec l algorithme donné en cours Donner aussi une estimation du nombres d opérations effectuées pour résoudre le système Ax = b quand la décomposition LU est connue CORRECTION Premier système : donc 4 L L L L L L Il ne reste à résoudre que le système triangulaire Deuxième système : L L 5 L L = U = 5 x + x + x = x + x = x = = x =, x =, x = L L L L L L L 4 L 4 L L L 5 9 L L 4 L 4 9 L L 4 L 4 56/9 77/9 L G Faccanoni

149 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires donc Il ne reste à résoudre que le système triangulaire Troisième système : donc L = 5 9 U = x + x + x + 4x 4 = 9x + x 7x 4 = 77 9 x 8 9 x 4 = 9 x 4 = L L L L L L L 4 L 4 L L L ( )L L 4 L 4 L Il ne reste à résoudre que le système triangulaire = x 4 =, x = 9, x = 9 9, x = L 4 L 4 5/ 7 L L = U = 7 x + x + x + x 4 = x + x + x 4 = 7x + x 4 = 8 x 4 = 5 8 = x 4 =, x =, x =, x = 7 Exercice 6 Écrire les méthodes itératives de Gauss, JACOBI et GAUSS-SEIDEL pour les systèmes suivants : 8 a + b = a + b = et a + b = a + b = Pour chacun de ces méthodes et systèmes, on calculera le rayon spectral de la matrice associée à la méthode On illustrera les résultats théoriques de convergence/non-convergence en calculant les premiers itérés en prenant comme point de départ le vecteur (a, b) = (, ) CORRECTION Gauss Premier système : ( ) ( L L L ) a + b = = 49 5 b = 49 5 = a = b = Second système : ( ) ( L L L ) a + b = = 49b = 49 = a = b = G Faccanoni 49

150 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Jacobi Premier système : a + b = a + b = a = b b = a La matrice étant à diagonale dominante stricte, la méthode converge et on a ( ) ( x () ) ( =, x () ) ( / = =, x () 49 ) /5 = =, x () = 49 / /5 Second système : a + b = a + b = La méthode ne converge pas, en effet on a ( ) ( x () ) ( ) =, x () = 6 =, x () = Gauss-Seidel Premier système : a + b = a + b = ( ) = 6 a = b b = a = ( 5 /5 5 /5 ( ) ( 49, x () ( 49) ) = = 49 ( 49) a = b b = a La matrice étant à diagonale dominante stricte, la méthode converge et on a ( ) ( ) ( x () =, x () ) 49 ( / = =, x () 5 5 ) /5 = =, x () = /5 /5 Second système : a + b = a + b = 5 5 a = b b = a = ) ( ) 5 5 ( 5 /5 499 /5 La méthode ne converge pas, en effet on a ( ) ( x () =, x () ) ( ) ( = 6 ( 49) ) ( ) ( =, x () = 5 =, x () ( 499) ) ( ) = 5 = (5) 4999 ) Exercice 64 Résoudre les systèmes linéaires suivants : x 5y 7z = x y 8z = x 7y 6z = et x 5y 7z = 6 x y 8z = x 7y 6z = et x 5y 7z = x y 8z = x 7y 6z = 6 CORRECTION Le trois systèmes s écrivent sous forme matricielle 5 7 x 8 y = 7 6 z et 5 7 x 6 8 y = 7 6 z et 5 7 x 8 y = 7 6 z 6 On remarque que seul le terme source change On calcul d abord la décomposition LU de la matrice A : 5 7 L L L L 8 L L 4 L L 4L donc 5 7 L = U = 4 4 Pour résoudre chaque système linéaire on résout les systèmes triangulaires Ly = b et Ux = y 5 G Faccanoni

151 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires Pour le premier système on a Pour le seconde système on a Pour le dernier système on a y y y x x x y y y x x x = = y =, y =, y = 6; = = x = 6, x = 7, x = 6 6 = = y = 6, y =, y = 7; 6 = = x = 7, x =, x = 5 y y y x x x 7 = = y =, y =, y = 6; 6 6 = = x = 6, x = 7, x = 7 7 Exercice 65 Soit A une matrice, A M n,n (R) Rappeler la méthode de JACOBI pour la résolution du système Ax = b, avec b M n, (R) donné Soit la matrice A suivante : 4 4 La méthode de JACOBI est-elle convergente pour cette matrice? Construire à la main les matrices L et U de la factorisation LU pour la matrice ci-dessus CORRECTION La méthode de JACOBI est une méthode itérative pour le calcul de la solution d un système linéaire qui construit une suite de vecteurs x (k) R n convergent vers la solution exacte x pour tout vecteur initiale x () R n : x k+ i = b i n a i j x k j j = j i a i i, i =,,n Comme 4 > +, > + et 4 > +, la matrice A est à diagonale dominante stricte donc la méthode de JACOBI converge Factorisation : Par conséquent L L 4 4 L L L 4 L 4 /4 5 /4 L L 5 /4 L /4 /4 5 / /4 /4 / 4 L = /4 et U = /4 5 /4 /4 5 / 5 / G Faccanoni 5

152 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Exercice 66 Soit la matrice A R n n dont les éléments vérifient a i j = si i = j ou i = n, a i j = si i < j, a i j = sinon Calculer la factorisation LU de A CORRECTION Factorisation LU de la matrice A : L n L n L L n L n L [] L n L n n L n n par conséquent on obtient les matrices L = 4 n et U = n On obtient l i i = pour i =,,n, l i j = si i < n et i j, l n j = j si j < n ; u i j = a i j pour i=,,n-, j=,,n, u n j = si j < n, u nn = n Exercice 67 Considérons une matrice A R n n (avec n ) dont les éléments vérifient a i j = si i = j ou j = n, a i j = si i > j, a i j = sinon Calculer la factorisation LU de A CORRECTION Factorisation LU de la matrice A : L L +L L L +L L n L n +L L n L n +L G Faccanoni

153 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires [] L n L n +L n n n On obtient les matrices L = et U = n n ie l i i = pour i =,,n,, l i j = si i > j l i j = sinon ; u i i = pour i =,,n, u i n = i pour i =,,n, u i j = sinon Exercice 68 Systèmes linéaires (6 pts) On considère la matrice tridiagonale inversible A R n n a c b a c A = b a bn a n c n b n a n Montrer que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, ie si a i j = pour i j > alors l i j = pour i > + j (et pour i < j car triangulaire inférieure) et u i j = pour i < j (et pour i > j car triangulaire supérieure) Soit A (k), k =,,n la matrice obtenue à l étape k de la méthode de GAUSS, avec A () = A et A (n ) = U On montrera par récurrence sur k que A (k) est tridiagonale pour tout k =,,n, ie a (k) i j = pour i j > Initialisation : pour k =, A () = A est une matrice tridiagonale Hérédité : soit A (k) une matrice tridiagonale (ie a (k) = pour i j > ) et montrons que A (k+) l est aussi i j Si i k, que valent-ils les coefficients a (k+)? i j Si i > k alors on va considérer séparément les cas suivants : si j k, que valent-ils les coefficients a (k+) i j? si j > k et j < i, que valent-ils les coefficients a (k) i k a (k+)? i j si j > k et j > i +, que valent-ils les coefficients a (k) k j a (k+)? i j NB : Justifier succinctement chaque réponse! et l(k) i k? Que peut-on déduire sur les coefficients et l (k)? Que peut-on déduire sur les coefficients i k On a montré au point précédent que les matrices L et U de la factorisation LU de A sont bidiagonales, écrivons-les G Faccanoni 5

154 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier sous la forme α γ β α γ L = β, U = βn αn γ n β n α n Calculer (α,α,,α n ), (β,β,,β n ) et (γ,γ,,γ n ) en fonction de (a, a,, a n ), (b,b,,b n ) et (c,c,,c n ) En déduire un algorithme de factorisation À l aide des formules trouvées au point précédent, écrire l algorithme pour résoudre le système linéaire Ax = f où f = (f, f,, f n ) T R n CORRECTION Soit A (k), k =,,n la matrice obtenue à l étape k de la méthode de GAUSS, avec A () = A et A (n ) = U On montrera par récurrence sur k que A (k) est tridiagonale, ie a (k) i j = pour i j > Initialisation : pour k =, A () = A qui est une matrice tridiagonale Hérédité : soit A (k) une matrice tridiagonale (ie a (k) = pour i j > ) et montrons que A (k+) l est aussi i j Si i k alors a (k+) = a (k) = (les lignes L i j i j,,l k de la matrice A (k) ne sont pas modifiées à l étape k) Soit i > k, alors les lignes L k+,,l n de la matrice A (k) vont être modifiées selon la relation) a (k+) i j = a (k) i j a(k) i k Pour chaque ligne i > k, considérons séparément les colonnes j k et les colonnes j > k : si j k, a (k+) = (zéros qu on fait apparaitre avec la méthode de GAUSS pour une matrice quelconque), i j soit j > k : si j < i, comme i, j > k alors a (k) = et i > j + > k +, c est-à-dire i k > et donc a (k) = et l(k) i j i k i k = Donc a (k+) = i j si j > i +, comme i, j > k alors a (k) = et j > i + > k +, c est-à-dire j k > et donc a (k) = Donc i j k j a (k+) = i j a (k) kk a (k) k j Les coefficients (α,α,,α n ), (β,β,,β n ) et (γ,γ,,γ n ) se calculent en imposant l égalité LU = A L algorithme se déduit en parcourant les étapes de la méthode de GAUSS : a c α = a γ = c b a c α = a β c γ = c A () = b a L L β L A () = b a β = b a bn a n c n bn a n c n b n a n b n a n α = a γ = c α = a β c γ = c L L β L A () = α = a β c L 4 L 4 β 4 L β = b α [ ] β 4 = b 4 α bn a n c n b n a n 54 G Faccanoni

155 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires α = a γ = c α = a β c γ = c [ ] L n L n β n L n A (n ) = α = a β c β n = bn αn αn = a n β n c n γ n = c n α n = a n β n c n Donc γ i = c i pour i =,,n, α = a et on définie par récurrence βi = b i α i α i = a i β i c i pour i =,,n La résolution du système linéaire Ax = f se ramène à la résolution des deux systèmes linéaires Ly = f et Ux = y, pour lesquels on obtient les formules suivantes : y = f, y i = f i β i y i, pour i =,,n, xn = y n α n, x i = y i γ i x i+ α i, pour i = n,,, ie ie y = f, b y i = f i i a i β i c y i i, pour i =,,n; x n = y n α n, x i = y i c i x i+ a i β i c, pour i = n,,, i x = y i c i x a Exercice 69 Soit les systèmes linéaires 4x + x + x = x + 4x + x = x + x + 4x = 4x + x + x = 6 x + 4x + x = 6 x + x + 4x = 6 (6) (6) Rappeler une condition suffisante de convergence pour les méthodes de JACOBI et de Gauss-Seidel Rappeler une autre condition suffisante de convergence pour la méthode de GAUSS-SEIDEL (mais non pour la méthode de Jacobi) Les systèmes (6) et (6) vérifient-ils ces conditions? Écrire les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL pour ces deux systèmes linéaires On illustrera les résultats théoriques de convergence/non-convergence de ces deux schémas en prenant comme point de départ le vecteur (x, x, x ) = (,,) et en calculant les premiers itérés dans l un des cas suivant (vous êtes libre de choisir) : avec la méthode de JACOBI pour le système (6), avec la méthode de GAUSS-SEIDEL pour le système (6), avec la méthode de JACOBI pour le système (6), 4 avec la méthode de GAUSS-SEIDEL pour le système (6) 4 On comparera le résultat obtenu avec la solution exacte (qu on calculera à l aide de la méthode d élimination de Gauss) CORRECTION Écrivons les deux systèmes sous forme matricielle Ax = b : 4 x 4 x = } 4 } x A et 4 x 6 4 x = 6 } 4 } x 6 A Rappelons deux propriétés de convergence : Si la matrice A est à diagonale dominante stricte, les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL convergent G Faccanoni 55

156 6 Systèmes linéaires Jeudi janvier Si la matrice A est symétrique et définie positive, la méthode de GAUSS-SEIDEL converge Comme 4 > +, la matrice A est à diagonale dominante stricte : les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL convergent Comme 4 < +, la matrice A n est pas à diagonale dominante stricte : les méthodes de JACOBI et de GAUSS-SEIDEL peuvent ne pas converger Cependant elle est symétrique et définie positive (car les valeurs propres sont λ = λ = et λ = ) : la méthode de GAUSS-SEIDEL converge Pour les systèmes donnés les méthodes de JACOBI et GAUSS-SEIDEL s écrivent Jacobi Gauss-Seidel x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) = 4 A x = b x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k) x (k+) x (k) x (k+) x (k+) = 4 x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) x (k+) = 4 A x = b 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k) x (k) 6 x (k+) x (k) 6 x (k+) x (k+) = 4 On obtient les suites suivantes JACOBI pour le système (6) : x x x () = = x x x GAUSS-SEIDEL pour le système (6) : x x x () = = x x x JACOBI pour le système (6) : x x x () = = x x x () 5 = 4 = 5 5 () x = x = = x 5 5 () 5 = 4 5 = = x x x () = = x x x () = = 6 () x = x = = 4 = x 6 4 () = = = x x x = x x x () = () = = det A (λ) = (4 λ) (4 λ) 9(4 λ) 9(4 λ) = 64 48λ + λ λ λ = λ + λ λ + Une racine évidente est λ = et on obtient det A (λ) = (λ )( λ + λ ) = (λ ) (λ ) 56 G Faccanoni

157 Jeudi janvier 6 Systèmes linéaires 4 GAUSS-SEIDEL pour le système (6) : x x x () () x = = x = x () x = x x = = = 4 Calcul de la solution exacte à l aide de la méthode d élimination de Gauss : Système (6) : x x x () = = L L 4 L L L 4 L 4 7 /4 /4 5 / /4 7 /4 5 / L L /4 7/4 L /4 /4 / /7 /7 = x = Système (6) : L L 4 L L L 4 L /4 /4 9 / /4 5 /4 9 / L L /4 5/4 L /4 /4 / 8 /5 8 /5 = x = G Faccanoni 57

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159 A Python : guide de survie pour les TP Le but de ce chapitre est de fournir suffisamment d informations pour pouvoir tester les méthodes numériques vues dans ce polycopié Il n est ni un manuel de Python ni une initiation à la programmation On suppose que vous avez déjà des notions de programmation et de manipulation de fichier Python est un langage développé dans les années 98 (le nom est dérivé de la série télévisée britannique des Monty Python s Flying Circus) Il est disponible pour tous les principaux systèmes d exploitation (Linux, Unix, Windows, Mac OS, etc) Un programme écrit sur un système fonctionne sans modification sur tous les systèmes Les programmes Python ne sont pas compilés en code machine, mais sont gérés par un interpréteur Le grand avantage d un langage interprété est que les programmes peuvent être testés et mis au point rapidement, ce qui permet à l utilisateur de se concentrer davantage sur les principes sous-jacents du programme et moins sur la programmation elle-même Cependant, un programme Python peut être exécuté uniquement sur les ordinateurs qui ont installé l interpréteur Python A Obtenir Python et son éditeur IDLE Pour installer Python il suffit de télécharger la version 6 qui correspond au système d exploitation (Windows ou Mac) à l adresse wwwpythonorg Pour ceux qui est des systèmes Linux, il est très probable que Python est déjà installé Si on n a jamais programmé, le plus simple pour exécuter les instructions Python est d utiliser des environnements spécialisés comme IDLE ou IDLEX (ou encore SPYDER) Ces environnements se composent d une fenêtre appelée indifféremment console, shell ou terminal Python A Utilisation de base d Idle Pour commencer on va démarrer Python en lançant IDLE : sous Windows : menu «Démarrer» programme «Python» «IDLE» sous Ubuntu : menu «Applications» menu «Programmation» «IDLE» sous Mac/Linux : ouvrir un terminal/console et taper idle-python6 Une nouvelle fenêtre va s ouvrir, c est la fenêtre principale d IDLE appelée la fenêtre de l INTERPRÉTEUR : L INTERPRÉTEUR permet d entrer directement des commandes et dès qu on écrit une commande, Python l exécute et renvoie instantanément le résultat L invite de commande se compose de trois chevrons (>>>) et représente le prompt : cette marque visuelle indique que Python est prêt à lire une commande Il suffit de saisir à la suite une instruction puis d appuyer sur la touche «Entrée» Pour commencer, comme le veux la tradition informatique, on va demander à Python d afficher les fameux mots «Hello world» : 59

160 A Python : guide de survie pour les TP Jeudi janvier La console Python fonctionne comme une simple calculatrice : on peut saisir une expression dont la valeur est renvoyée dès qu on presse la touche «Entrée» Si on observe l image suivante, on voit le résultat affiché après l entrée de commandes supplémentaires Pour naviguer dans l historique des instructions saisies dans l INTERPRÉTEUR on peut utiliser les raccourcis Alt+p (p comme previous) et Alt+n (n comme next) Si on ferme Python et qu on le relance, comment faire en sorte que l ordinateur se souvienne de ce que nous avons tapé? On ne peut pas sauvegarder directement ce qui se trouve dans la fenêtre de l interpréteur, parce que cela comprendrait à la fois les commandes tapées et les réponses du système Il faut alors avoir un fichier avec uniquement les commandes qu on a tapées et sauver le tout comme un document Ainsi plus tard on pourra ouvrir ce fichier et lancer Python sans avoir à retaper toutes les commandes Tout d abord, commençons par un support propre en ouvrant une nouvelle fenêtre Voici ce que cela donne : Il ne s agit pas, pour l instant, de s occuper des règles exactes de programmation, mais seulement d expérimenter le fait d entrer des commandes dans Python 6 G Faccanoni

161 Jeudi janvier A Python : guide de survie pour les TP On voit qu il n y a rien dans cette nouvelle fenêtre (pas d en-tête comme dans l INTERPRÉTEUR) Ce qui veut dire que ce fichier est uniquement pour les commandes : Python n interviendra pas avec ses réponses lorsque on écrira le programme et ce tant que on ne le lui demandera pas On appellera cela la fenêtre de PROGRAMME, pour la différencier de la fenêtre de l INTERPRÉTEUR En fait, ce qu on veut faire, c était de sauver les quelques instructions qu on a essayées dans l interpréteur Alors faisons-le soit en tapant soit en copiant-collant ces commandes dans la fenêtre PROGRAMME : On note qu on s est débarrassés du prompt de Python (>>>) Sauvons maintenant le fichier : la commande «Save» (Sauver) se trouve dans le menu «File» (Fichier) ou utiliser le raccourcis Ctrl+S : Ayant sauvé le programme, pour le faire tourner et afficher les résultats dans la fenêtre de l INTERPRÉTEUR il suffit d utiliser la commande «Run script» (lancer le script) dans le menu «Run» de la fenêtre PROGRAMME ou appuyer sur la touche «F5» Si on a fait une faute de frappe, Python le remarque et demande de corriger Il est souvent assez pertinent pour diriger vers le problème et dans le cas ci-dessous il dit qu on a oublié quelque chose à la fin de la ligne : il faut remplacer " par Cette faute de frappe étant corrigée, on fait tourner le programme et on regarde le résultat dans l INTERPRÉTEUR : G Faccanoni 6