4. CONSTRUCTION DE VECTEURS

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1 10 Vectes égx apacités Reconnaîte des vectes égx, des vectes opposés onstie n vecte à pati de ses caactéistiqes 1 Q est-ce q n vecte? Ça déménage! Un élévate de déménagement pemet de monte et de descende des objets sn chaiot dont la plate-fome este hoizontale. la ve de pofil ci-dessos, l ensemble chaiot caisse passe de la position ➀ (en vet) à la position ➁ (en ble). Les ails de gidage sont epésentés pa la doite (xy). y 2 En tilisant le qadillage, temine le dessin d chaiot et de la caisse en position ➁. 1 On note ', ', ' les points obtens. E G F x Le déplacement est caactéisé pa la flèche de ves '. ette flèche epésente le vecte '. Le vecte ' est caactéisé pa : sa diection : celle des ails de gidage, donc celle de la doite (xy) ; son sens : le sens de la montée, donc de ves ' ; sa longe o nome : la longe d déplacement, donc la distance ' notée ssi '. 2 Vectes égx Vectes opposés ette activité est la site d tail pécédent. 1. a. Tace la flèche qi epésente le vecte '. b. ompae les tois éléments caactéistiqes des vectes ' et '. Ont-ils la même diection? 49

2 Ont-ils le même sens? Ont-ils la même nome? On dit qe les vectes ' et ' sont égx. On écit ' = '. c. onne la nate d qadilatèe ''. Les vectes et ' ' sont-ils égx? Jstifie. d. onne dex tes vectes de la fige égx vecte '. onne le vecte d oigine E égal vecte '. On pet désigne les vectes égx ', ', ' pa la même notation, pa exemple. ' est le epésentant d oigine d vecte. 2. a. ompae les éléments caactéistiqes des vectes ' et '. Ont-ils la même diection? Ont-ils le même sens? Ont-ils la même nome? b. Poqoi ces dex vectes ne sont-ils pas égx? On dit qe les vectes ' et ' sont opposés. e pas confonde diection et sens. c. onne dex tes vectes opposés de la fige. omment constie n vecte à pati de ses éléments caactéistiqes? On donne tois points, et non alignés. onstie le vecte d oigine égal vecte. On constit le point E tel qe E = : tace la doite (d) paallèle à () passant pa ; mese la distance à la ègle o la pende compas ; epote cette distance s (d) à pati de, dans le sens de ves. On note E le point ainsi obten. Execice E H G a. onstie le point tel qe E =. b. onstie le epésentant d oigine H d vecte. c. onstie le point P tel qe = PG. d. onstie le point K tel qe GK = EH. e. onne tos les vectes égx vecte. f. omme tos les paallélogammes de la fige. ttention à l ode des lettes! 50

3 11 4. OTRUTIO E VETEUR onstction de vectes apacités onstie la somme de dex vectes onstie le podit d n vecte pa n éel 1 omme de dex vectes Un chien qi se moille Le chien Watepoof décide de tese la ivièe à la nage. La foce d coant est epésentée pa le vecte et la foce développée pa Watepoof en nageant est epésentée pa le vecte W. es dex foces s ajotent à chaqe instant. On vet détemine gaphiqement le somme qi est le vecte noté + W. Ovi le fichie «04_watepoof.ggb». a. liqe s le boton en bas de l écan po qe le logiciel constise la somme + W pas à pas. b. écie cette méthode de constction d vecte + W. haqe clic monte ne étape de la constction. c. onstie la somme + W s cette page. d. éplace le point ec la sois. La méthode décite est-elle valable po d tes positions d point? e. milie de la ivièe, Watepoof enonce à la tese et décide de nage dans le sens d coant, tojos ec la même intensité. odifie en conséqence le vecte W en déplaçant le point. Obseve ce qi se passe po le vecte + W. f. êmes qestions si Watepoof décide de nage à conte-coant. 2 ltiplication d n vecte pa n nombe Le podit d n vecte pa n nombe k est le vecte noté k. est n vecte. On va défini le vecte 1,5 pa ses tois éléments caactéistiqes : sa diection, son sens et sa nome. 51

4 Ovi le fichie «04_mltiplication.ggb». a. On a constit, ec le logiciel, = et = 1,5. ompae la diection, le sens et la nome des vectes et. Les longes affichées sont données centième. b. éplace n o plsies des points, et. Les éponses à la qestion a. sont-elles modifiées? c. hange le nombe k : le sélectionne dans la patie gche de l écan et le faie vaie à l aide des toches d pé fléché o des toches + et. écie les modifications d vecte en fonction des vales de k. d. hoisi k = 0,8. ompae la diection, le sens et la nome des vectes et 0,8. ex vectes qi ont la même diection sont des vectes colinéaies. omment constie la somme de dex vectes? et v sont dex vectes qi n ont pas la même diection et est n point d plan. onstie le epésentant d oigine d vecte + v. onstie le epésentant de d oigine. onstie le epésentant de v d oigine. onstie le point tel qe soit n paallélogamme. Joinde à pa ne flèche. On a n vecte = + v. Ovi le fichie «04_somme_1.ggb» po voi les difféentes étapes de cette constction. Le fichie «04_somme_2.ggb» monte ne te méthode de constction de la somme + v ; elle tilise la elation de hasles (voi «L essentiel» page 59). Execice F G a. onstie le epésentant d oigine F de la somme + v. b. onstie le point H tel qe GH = 2. c. onstie le point I tel qe GI = v. d. onstie le point J tel qe FJ = 1,5v. 52

5 12 J tilise n logiciel (GeoGeba) > jote des foces La caane à l aêt Une caane de masse 816 kg accochée à ne voite est à l aêt sne pente, comme indiqé s le schéma. G Tois foces s execent s la caane : 10 son poids P (en newton) qi s appliqe en G ; Hoizontale la foce de taction T execée pa la voite s la caane : elle s appliqe en et sa doite d action est paallèle sol ; la foce execée pa le sol : elle s appliqe en et sa doite d action est pependiclaie sol. On va constie la somme de ces tois foces. Ovi le fichie «04_caane.ggb». Les foces T et sont déjà epésentées. Indications s les otils de GeoGeba à tilise : sélectionne le toisième otil de la bae d otils, pis cliqe s la petite flèche en bas à doite. ans la liste qi appaaît, sélectionne : l ant-denièe option po le tacé de la qestion 1. b. la denièe option po les tacés des qestions 2. a., b. et c. 1. Repésentation d poids P a. alcle, en newton, l intensité de la foce P. Pende g = 9,8 /kg. b. vec l otil vecte d logiciel, epésente P pa ne flèche, sachant qe 1 cae epésente newtons. 2. omme des tois foces En patant d point H de la fige, on va epésente les tois foces bot à bot. a. onstie le point K tel qe HK soit égal à P. b. onstie le point L tel qe KL soit égal à T. c. onstie le point tel qe L soit égal à. d. Q a-t-on constit en faisant cette epésentation? Qe constate-t-on po les points H et? À qel vecte paticlie semble ête égale la somme P + T +? 53

6 > onjecte, pis démonte 1. heche ec le papie et le cayon est n tiangle qelconqe. Le point est le milie d segment []. Le point est tel qe =. Le point E est tel qe E =. onstie la fige. Qe pet-on die des points, et E? Essaye de pove cette conjecte. i I est le milie de [], alos I = I et écipoqement. Les paties 2. et 3. qi sivent pemettent de véifie la constction et donnent n fil condcte po la démonstation. 2. onjecte ec le logiciel Ovi le fichie «04_tiangle.ggb». a. ompae le dessin s papie ec celi affiché à l écan. nalyse les ees s il y en a. ppele le pofesse si nécessaie. b. Qe pet-on die des points, et E? éplace les points, et ec la sois. La conjecte faite se confime-t-elle? 3. émonte pès oi conjecté, il ft pove. ompléte la démonstation sivante. Le point est le milie de []. On sait ssi qe est le milie de. onc le qadilatèe est n. = Jstification i les diagonales d n qadilatèe se On en conclt qe =. On sait qe = E. onc le qadilatèe est n. On en conclt qe =. Pisqe = et = E, alos = onc le point est le milie de et les points sont alignés. Popiété caactéistiqe d paallélogamme Popiété caactéistiqe d paallélogamme éfinition d milie d n segment 54

7 1 éfinition d n vecte Le vecte est défini pa ses tois éléments caactéistiqes : sa diection : celle de la doite () ; son sens : celi de don oigine ves son extémité ; sa nome o longe : la distance de à, notée o. On epésente n vecte pa ne flèche. i l extémité d n vecte est confonde ec son oigine, on a n vecte nl, noté 0. = 0. Un tel vecte est Exemple Les caactéistiqes d vecte sont : diection hoizontale ; sens ves la doite ; nome 2,5. 2 Vectes égx Il existe ne infinité de vectes égx vecte : ce sont tos les vectes qi ont : la même diection qe ; le même sens qe ; la même nome qe. On pet les désigne pa ne notation paticlièe, pa exemple. Exemple = = EF = On dit qe,, EF sont des epésentants d vecte. Le vecte est le epésentant d oigine d vecte. E F Popiété caactéistiqe d paallélogamme i =, alos est n paallélogamme. i est n paallélogamme, alos =. 55

8 1 > Reconnaîte des vectes égx Le tiangle est isocèle en. Le point I est le milie d segment []. Les points,, sont alignés dans cet ode. () est paallèle à () et () est paallèle à (). ie si les égalités sivantes sont vaies o fsses : ➀ = ; ➁ = ; ➂ = ; ➃ I =. oltion ➀ Le qadilatèe est n paallélogamme ca ses côtés opposés sont paallèles dex à dex. onc =. ➁ Les vectes et ont la même diection et la même nome, mais ont des sens contaies. Ils sont opposés et non pas égx. onc. ➂ Les vectes et ont la même nome, mais n ont pas la même diection. onc. ➃ Les vectes I et ont la même diection, le même sens, mais n ont pas la même nome. onc I. I éthode On tilise la popiété caactéistiqe d paallélogamme ve dans «L essentiel», page 57. On egade si les dex vectes ont les mêmes éléments caactéistiqes : même diection ; même sens ; même nome. 2 > onstie n vecte à pati de ses éléments caactéistiqes On donne tois points, et non alignés. onstie le vecte d oigine égal vecte. oltion On constit le point E tel qe E =. E (d) éthode Tace la doite ( d) paallèle à () et passant pa. ese la distance à la ègle o la pende compas. Repote cette distance s ( d) à pati de, dans le sens de ves po obteni le point E. 56

9 3 ddition de dex vectes Qels qe soient les points, et, on a + =. est la elation de hasles. Po appliqe cette elation, l extémité d pemie vecte doit ête égale à l oigine d dexième. Exemple, G, H sont tois points qelconqes. On a pa exemple : G + GH = H ; GH + H = G. Règle d paallélogamme i, et sont tois points qelconqes, on a + = où le point est tel qe est n paallélogamme. Po appliqe cette elation, les dex vectes doivent oi la même oigine. 4 ltiplication d n vecte pa n nombe Le podit d n vecte pa n nombe k est n vecte noté k. Les vectes et k sont dits colinéaies. k positif et k ont même diection. k négatif et k ont même diection. et k ont le même sens. et k ont des sens contaies. k = k k =-k Exemple = 2 = 2 = 2 EF = 2EF F E i tois points, et sont tels qe = k, alos les points, et sont alignés (pas focément dans cet ode). i qate points,, sont tels qe = k, alos les doites () et () sont paallèles. Exemple P E Le point est tel qe = 1 3 P. On en dédit qe les points, et P sont alignés. Les points et E sont tels qe E = 0,5 P. On en dédit qe les doites (P) et (E) sont paallèles. 57

10 3> onstie la somme de dex vectes et v sont dex vectes qi n ont pas la même diection et est n point d plan. onstie le epésentant d oigine d vecte + v. oltion Pemièe méthode (méthode d paallélogamme) éthode onstie le epésentant de d oigine. onstie le epésentant de v d oigine. onstie le point tel qe soit n paallélogamme. Tace ne flèche de ves. exième méthode (méthode tilisant la elation de hasles) onstie le epésentant de d oigine. onstie le epésentant de v d oigine. Tace ne flèche de ves. 4> onstie le podit d n vecte pa n nombe Le tiangle isocèle EF est tel qe E = F = 2,6 cm. a. Place le point tel qe = 1,5 E. b. Place le point tel qe E = 0,5 F. oltion éthode F E a. Les points, E, sont alignés. k = 1,5 ; k est positif. onc et E sont de même sens. = 1,5 E = 1,5 2,6 = 3,9 cm. b. Les doites (E) et (F) sont paallèles. k = 0,5 ; k est négatif. onc F et E ont des sens contaies. E = 0,5 F = 0,5 2,6 = 1,3 cm. Indiqe la diection d vecte à constie. Indiqe son sens. alcle sa nome. 58

11 Execices & Poblèmes Execices ec éponses en fin d'ovage. 1. Q hoisi la o les bonne(s) éponse(s). a. i EFG est n paallélogamme, alos : Faie de petits dessins ant de éponde. E = FG F = EG E = GF b. i EFGH est n paallélogamme, alos la somme EF + EH est égale à : EG HF on ne pet pas soi c. i = 0,5 P, alos : et P sont de même sens est le milie de [P] les points,, P sont alignés d. i I est le milie d segment [], alos : I = I I = I I = 2 2. Vai Fx a. i = FG, alos [G] et [F] se copent en le milie. Vai Fx b. Le podit d n vecte pa n nombe k est n vecte. Vai Fx c. i = 2 EF, alos et FE sont de même sens. Vai Fx d. i,, sont tois points qelconqes, alos la somme + est égale à. Vai Fx Le point est tel qe = 0,8. Les vectes I et I sont égx opposés. Le somme I + I est égale vecte nl vecte. Les vectes et ont n ont pas la même diection. Ils ont le même sens des sens contaies. Les vectes et ont n ont pas la même diection. Ils ont n ont pas la même nome. 4. ssocie Le qadilatèe L est n paallélogamme. Le point est le milie d segment []. L ompléte les égalités vectoielles sivantes en taçant les flèches qi conviennent. 1 L + L = = L = 1 1 L 0,5 = 1 1 = L > onstie n vecte égal à n vecte donné 5. H 3. Textes à bae ae les textes encadés qi ne conviennent pas. Le tiangle est isocèle en. Le point I est le milie de []. I L 59

12 a. onstie le point H' tel qe HH' = L et le point ' tel qe ' = HH'. b. Pami les qadilatèes sivants, lesqels sont des paallélogammes? LHH' ; H'H' ; LHH'' ; 'H'H. 6. On donne dex points E et F. a. onstie le point G tel qe FG = EF. b. Pami les qate phases sivantes, ne sele est vaie. Laqelle? ➀ Les points E, F, G ne sont pas alignés. ➁ G est le milie de [EF]. ➂ F est le milie de [EG]. ➃ E est le milie de [FG]. 7. a. Tace n vecte v égal vecte. b. Tace n vecte w opposé vecte : même diection, même nome, mais sens contaie. c. Tace n vecte z de même diection qe, de sens contaie et de nome difféente. d. Tace n vecte t de même nome qe, mais de diection difféente. > Reconnaîte des vectes égx Tove tos les vectes égx de la fige sivante. ac ag aa ah ad ae 10. Le qadilatèe RT est n paallélogamme. es diagonales se copent en O. Recopie et compléte les égalités sivantes pa n vecte de la fige (losqe c est possible) : R = T = OT = = O = 11. est n tiangle éqilatéal de côté 4 cm. a. onstie le point symétiqe d point pa appot à la doite (). onte qe est n losange. b. onstie le point E tel qe E =. onstie le point F tel qe F =. c. ite tos les vectes égx à. d. ite tos les vectes égx à. 12. est n paallélogamme. Le point K est le symétiqe de pa appot à. Le point est le symétiqe de pa appot à. a. onstie la fige. b. Écie tos les vectes égx à. c. Écie tos les vectes égx à. d. ite tos les paallélogammes de la fige. ai ab af ak aj E > onstie la somme de dex vectes a. onstie le point F tel qe = EF. b. onstie le point G tel qe = G. c. Tace en ble les vectes égx à, en vet les vectes égx à E, en oge les vectes égx à E. d. ite tos les paallélogammes de la fige. 13. On donne dex vectes qelconqes et v, et n point. a. onstie le point tel qe =. b. onstie le point tel qe = v. c. Pami les égalités sivantes, lesqelles sont vaies? + = + = + = + = + = 60

13 14. FGHK est n paallélogamme de cente I. K F I 18. H alcle les sommes sivantes (en n tilisant qe les lettes d dessin). a. KF + FG ; KF + KH ; KF + FK b. KF + FH ; FG + GH ; HI + IF c. KI + GI ; FG + FK ; IG + FI 15. onstie la somme + v dans chacn des cas G fw a. Les vectes et v sont-ils colinéaies? b. ême qestion po les vectes et w. c. ême qestion po les vectes et z. d. Pet-on cite dex vectes opposés s ce dessin? Poblèmes az 16. > Poblème 1 a. Tace n paallélogamme EFG. onstie le point H tel qe EH = GE. onstie le point L tel qe GL = G. b. onte qe le qadilatèe EHFG est n paallélogamme. En dédie qe FH = GE. c. onte qe le qadilatèe GEFL est n paallélogamme. En dédie qe LF = GE. d. édie des qestions b. et c. qe les points L, F, H sont alignés a. onstie le epésentant d oigine d vecte, c est-à-die l opposé d vecte. b. onstie le epésentant d oigine de la somme +. Qelle est l te écite d vecte +? > onstie des vectes colinéaies 17. est n tiangle qelconqe. a. onstie le point tel qe = 2. onstie le point tel qe = 0,5. b. Les vectes et sont-ils colinéaies? Les vectes et sont-ils colinéaies? > Poblème 2 Un écan plat de 6,1 kg est posé sn meble. L écan plat s le meble est en éqilibe sos l effet de dex foces : son poids P ; la éaction R de la table. a. alcle la vale P d poids de l écan plat, en newton (). ondi à l'nité. On donne P = mg où P est le poids en, m la masse en kg ; g = 9,8 /kg. 61

14 b. onne la diection et le sens de la foce P. c. Les foces P et R sont epésentées pa des vectes opposés. onne la diection, le sens et l intensité de la foce R. d. Repésente les foces P et R pa dex vectes de même oigine. Pende 1 cm po 20 newtons. 3. Oientation de l aigille de la bossole a. onstie s le dessin ci-dessos, à pati d point, le vecte T, le vecte et le vecte champ magnétiqe tel qe = T +. Pende 1 cm po 20 µt. > Poblème 3 L aigille de la bossole Po se epée, des andonnes tilisent ne bossole. Elle compote ne aigille aimantée qi s oiente ec le champ magnétiqe de la Tee ; elle indiqe ainsi le nod magnétiqe. Un champ magnétiqe pet ête epésenté pa n vecte. 1. hamp magnétiqe teeste Le champ magnétiqe teeste en n point donné est epésenté pa le vecte T. on intensité est 20 µt (micoteslas). onstie le vecte T s le dessin ci-dessos. Pende 1 cm po 20 µt. od b. On place l aigille de la bossole point. Pami les popositions de schémas ci-apès, indiqe celle coespondant à la position pise pa l aigille de la bossole. 1 2 Oest d Est 3 2. hamp magnétiqe céé pa n aimant On place à poximité d point n aimant doit. Il cée n champ magnétiqe epésenté pa le vecte de 45 µt point. Il est oienté d sd ves le nod de l aimant. onstie le vecte s le dessin ci-apès. Pende 1 cm po 20 µt. 4 imant doit 62

15 Je me teste om :... Pénom :... lasse :... ate :... execice 1 Tesée de ivièe Le bate d capitaine ocodo doit tese ne ivièe lage de 100 m. Il qitte la bege en R. La vitesse v d bate est oientée pependiclaiement x beges et son intensité est 4 km/h. La vitesse v ' d coant agit paallèlement x beges et son intensité est 3 km/h. Le schéma ci-conte n est pas à l échelle. 100 m ' R 1 oit n point. a. onstie le vecte égal vecte v. Pende 1 cm po epésente 1 km/h. b. onstie le vecte égal vecte v '. c. onstie le vecte égal à la somme v + v '. d. alcle la nome d vecte. Véifie le ésltat s le schéma. 2 a. alcle tan. Rappel : dans n tiangle ectangle, tan = côté opposé côté adjacent b. En dédie la mese de l angle. ondi degé. 3 a. Qe epésentent po le bate les ésltats tovés x qestions 1. c. et 1. d.? b. À qelle distance d point le bate va-t-il aive s l te ive? ide : tilise soit la qestion 2, soit le théoème de Thalès. 63

16 execice 2 Le qadilatèe E est n paallélogamme. Le point F est tel qe le point est le milie d segment [EF]. 1 onstie la fige s le qadillage ci-dessos o ec GeoGeba. Elle sea complétée x qestions 4. et 5. 2 onne tois coples de vectes égx s la fige ci-desss. 3 ompléte pa n vecte les égalités sivantes. E + = E + F = 4 onstie le point G tel qe E + = G. 5 onstie le point H tel qe H = 2. 6 Qelle est la nate d qadilatèe EHF? Jstifie la éponse. + E =. 7 ive-t-on à la même conclsion si on modifie le paallélogamme E? 64

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