Cours n 7 : L œil et les instruments d optique à lentilles

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1 Cours n 7 : L œil et les instruments d optique à lentilles Les lentilles sont les éléments essentiels des instruments d optique, en les associant, on observera aussi bien le proche microscopique que le lointain astronomique. On comprendra aussi ici pourquoi la résolution d une image et la profondeur de champ sont liées, ce qui nous permettra de faire de belles photos. On peut travailler avec un modèle équivalent de l œil qui fait intervenir une lentille équivalente et un écran, les propriétés d accommodation de l œil et ses défauts et leur correction peuvent être étudiés dans ce modèle. I) L œil A) Constitution cornée muscles qui contractent le humeur cristallin aqueuse iris 2 à 8 mm de diamètre cristallin humeur vitreuse Sur 2 mm s étend la fovéa ou tâche jaune que tapissent les photorécepteurs de l œil : les cônes (pour la couleur) et les bâtonnets (pour le noir et blanc, vision nocturne) globe oculaire diamètre 25mm Le champ de vision nette de l œil correspond seulement à un cône d angle total au sommet 1 B) Accommodation Dans un premier temps, nous nous intéressons à un individu jeune dont la vision est parfaite : L œil a la faculté d accroître la convergence de son cristallin, on dit qu il accommode. La vision sans accommoder est la moins fatigante ; elle correspond à l observation d un objet à l infini; le point observé appelé punctum remotum R est l infini. L objet est situé en R à une distance D de l œil situé en O OR = D =. 1

2 Lorsque l on observe des objets à distance finie, il faut accommoder; l accommodation maximum correspond à l observation d un objet situé au punctum proximum OP = d= 25 cm. P est le point le plus rapproché de O que l on puisse observer avec netteté. En modélisant l œil par une unique lentille et un écran situé 1 cm en arrière, calculer les vergences des lentilles équivalentes à l œil pour une observation d un objet situé au punctum remotum puis pour une observation d un objet situé au ponctum proximum. plus CV -p= D= moins CV f = p =1cm - p = d=0.25m p =1cm 1/p -1/p = 1/f donne alors f =0.96 cm La quantité A = d -1 -D -1 est appelée l amplitude dioptrique. Calculer sa valeur : On trouve 4 dioptries Remarque : Puisque l œil est modélisé par une unique lentille, un dessin suffit à se convaincre que l image d un objet est inversée. Comment se fait-il que notre représentation du monde extérieur ne soit pas inversée? Le cerveau effectue bien sur un traitement de l information. B A F A B C) Défauts de l œil (et correction par lentilles accolées) 1) Myopie : L œil est trop convergeant. L image d un objet à l infini se forme avant la rétine. Le punctum remotum R est à distance finie. On corrige ce défaut avec une lentille DV. 2

3 Remarque : comme l amplitude dioptrique est constante pour les individus jeunes le punctum proximum est situé à une distance inférieure à 25 cm. Considérons un œil myope dont le punctum proximum soit situé à 15 cm, calculer alors la distance de son punctum remotum. On trouve par 1/0.15-1/D =4 D=0.37m Calculons maintenant la distance focale image de son cristallin lorsqu il observe sans accomoder. p=-0.37m et p =0.01 donne f =0.973cm Quelle doit être la vergence de la lentille correctrice accolée pour que cet œil corrigé puisse observer l infini sans accommoder. la lentille de correction doit être Dv et on utilise pour calculer sa vergence la formule des lentilles accolées 1/f oeil myope + 1/f verre correcteur = 1/f Oeil normal = 1/ 0.01 On trouve ainsi f verre correcteur = -0.36m soit v verre correcteur = -2.7D 2) Oeil hypermétrope. Le punctum proximun est situé à plus de 25 cm. Pour voir un point situé à l infini, il faut accommoder un peu. Correction grâce à une lentille CV. 3) Presbytie. Lorsque l on vieillit l amplitude dioptrique diminue. L œil perd sa faculté d accommodation et ne voit nettement que des objets situés au voisinage du remotum. Il faut une lentille de 4 dioptries de vergence qui donne d un objet situé à l ancien proximum une image au remotum. 4) Œil astigmate. Il s agit d un œil ne possédant pas la symétrie de révolution. La correction de ces défauts réclame des verres Correction de asymétriques. myopie lentille DV Œil rétine Œil myope rétine myope Les myopes ont des yeux qui paraissent plus petits avec des lunettes quelque soit leur corrections et les hypermétropes c'est l'inverse, ils ont l'air d'avoir de gros yeux. Cela vient tout simplement du fait que les myopes portent des verres concaves et les hypermétropes des verres convexes. Si vous regardez vos lunettes vous allez comprendre. myopes vos verres sont épais aux bords et fins au centre (sauf si astigmatisme en plus ils peuvent être épais en divers endroits) et hypermétropes vos verres sont fins sur les bords mais épais au centre. 3

4 Reprendre le schéma avec lentille DV et objet entre la lentille et le foyer image, l image est derrière l objet elle est vue sous un angle plus petit. D) Pouvoir séparateur de l œil Il s agit de l aptitude à séparer les détails d un objet Les détails d un objet séparés angulairement de radians peuvent être distingués par l œil; si l objet est placé au punctum proximum cela correspond à des détails distants de 0.1 mm. Remarque pour les instruments de spectroscopie qui permettent d analyser les spectres, on parle de pouvoir de résolution que l on ne confondra pas avec le pouvoir séparateur des instruments d optique. Calculer l extension des photorécepteurs de la rétine 0.1 mm radians m d=0.25 m 1cm la rétine et deux photorécepteurs 4

5 E) Vision stéréoscopique triangulation estimation de la profondeur 5

6 II) Viseur -description Il s agit d un système de trois tubes coaxiaux emboîtés et coulissant les uns dans les autres. T 1 T 2 T3 T 1 est l objectif T 2 est le réticule T 3 est l oculaire - Réglage de l oculaire par rapport au réticule Il faut se rappeler que l œil ne peut examiner des objets que si ils se situent entre le remotum et le proximum B R A On part de la position tube oculaire tiré au maximum en symbolisant l oculaire par une seule lentille : A F B L œil collé derrière l oculaire ne peut examiner A B image du réticule R= AB car cette dernière se forme derrière lui. On diminue la distance oculaire réticule, lorsque R est au foyer de l oculaire l image se forme à l infini. L œil peut examiner cette image sans accommoder. R A B =F Remarque : L image est aussi bien en + l infini qu en moins l infini car elle est à l intersection de deux droites parallèles Si on diminue encore la distance l œil peut encore observer l image B du réticule B en accommodant si celle-ci se forme avant le punctum proximum A R F A Ainsi c est la première image nette observée qui correspond à l observation de l image du réticule sans accommodation. C est cette situation que l on choisira car elle fixe l accommodation donc la vergence du cristallin et qu elle ne fatigue pas œil. Pour vérifier qu il en est bien ainsi on regarde un objet à l infini puis immédiatement après à travers l oculaire on doit voir le réticule immédiatement net 6

7 - Réglage de l objectif Une fois la distance T 2 T 3 fixée on règle T 1 par rapport à T 2 pour que l image de l objet observé à travers l objectif se forme en R, c est à dire que l on voie net en même temps à travers l oculaire l image du réticule par l oculaire et l image de l objet par le viseur Plus le tirage de l objectif est grand plus on peut observer un objet proche. Lorsque le viseur est complètement compacté il est réglé pour l infini. Plus on observe un objet lointain plus la profondeur de champ est grande. Pour des mesures précises on a donc intérêt à travailler à viser à courte distance. On peut soit régler le viseur soit poser sur le viseur compacté ( donc réglé à l infini) une bonnette c est à dire un tube portant une lentille de focale 20cm qui observera un objet à 20cm et en formera une image à l infini pour le viseur - Utilisation du viseur : Imaginons maintenant qu un objet observé soit déplacé depuis sa position initiale A jusqu en B. L image de l objet obtenue par le viseur initialement en V a perdu sa netteté. Pour la retrouver (en W) sans changer les réglages du viseur, il faut déplacer le viseur d une distance égale à celle dont l objet a été déplacée; Ceci fournit une méthode pour mesurer le déplacement d un objet à distance. A B V W 7

8 III) Instruments d optique 1) Informations concernant les instruments d optique : - Le grandissement linéaire d une lentille est défini par le rapport des tailles de l image et de l objet = A B /AB=OA /OA=p /p Or 1/p -1/p=1/f soit 1/p =1/f +1/p=(p+f )/(pf ) donc = f /(p+f ) qui dépend de la focale et de la position de l objet Pour un miroir le grandissement linéaire est en -SA /SA - Le grandissement angulaire G ou grossissement d une lentille ou d un miroir serait défini par le rapport des angles sous lesquels sont vus l image et l objet depuis l élément G = / =1, il vaut donc 1 en valeur absolue dans les deux cas Le grossissement d un instrument d optique est défini comme le rapport de l angle sous lequel l image est vu de la face de sortie sur l angle 0 sous lequel l observateur voit l objet à l œil nu G 0 = / 0 - Dans le cas d une lunette l objet est une étoile et est située à l infini 0= où est l angle sous lequel l objet est vu de la face d entrée de la lunette et G 0 =G en généralisant la notion de grandissement angulaire comme G = / avec et angles sous lesquels sont vus l image et l objet depuis la face de sortie et la face d entrée respectivement - Dans le cas d un microscope ou d une loupe, on place le petit objet AB à observer au punctum proximum distance minimale de vision directe d = 0.25m et 0= AB/d donc G 0 = d / AB Si le microscope est équivalent à une loupe de focale équivalente f eq alors = AB/f eq et G 0 = d /f eq Pour un microscope on définit encore la puissance comme P= /AB ce qui donne G 0 = P.d (La puissance n a pas de sens pour une lunette, elle serait nulle) Une loupe ce n est rien d autre qu une lentille CV, la loupe est l oculaire le plus simple qui soit ; on place l objet au foyer objet, ainsi l œil observe sans accommoder. On peut alors se demander pourquoi on ne se sert pas d une loupe de très courte focale le grossissement G 0 =d/f serait en effet d autant plus grand que la focale serait courte. En fait on ne construit pas de loupes ou de lentilles dont la vergence soit supérieure à 100 car au delà les rayons ne seraient plus paraaxiaux les aberrations limiteraient trop fortement la qualité des images ; on est donc contraint à réaliser des associations de lentilles. 8

9 2) Profondeur de champ d un appareil photo, une analyse documentaire sera faite en parallèle de cette étude. L objectif d un appareil photo est modélisé par une lentille mince convergente de distance focale image f, accolée à un diaphragme circulaire de diamètre D. Les axes de la lentille et du diaphragme sont confondus et f est égale à 50 mm. La lentille est utilisée dans les conditions de Gauss. On définit le nombre d ouverture N par le rapport N =f /D 1) Enoncer les conditions de Gauss. Attention il y a deux choses à dire sur les rayons par rapport à l axe optique! 2) La mise au point étant faite à l infini, quelle est la distance de l objectif au plan du film? 3) La distance minimale de mise au point étant de 60cm, calculer dans ces conditions la distance de l objectif au plan du film. Quelle est la course de l objectif? 4) L objectif est mis au point sur l infini. A tout point de l axe correspond dans ces conditions une tache. Compte tenu du grain de la pellicule de diamètre inférieur ou égal à. et de l acuité visuelle, il y a netteté apparente si le diamètre de cette tache est On note A le point de l axe le plus proche de l objectif pour lequel ce critère de netteté apparente est satisfait. Représenter sur une figure le point A et son image A, ainsi que les grandeurs D et. Calculer la distance -p du point A à l objectif en fonction de N, f et et commenter ce résultat. Pour N=1 la distance p s appelle distance hyperfocale. AN : =20 m. Calculer p pour N=2.8 puis pour N=16 5) La tache centrale de diffraction pour une ouverture circulaire de diamètre D peut limiter la résolution de l appareil. On rappelle que l ouverture angulaire de la tâche centrale de diffraction est donnée par : sin = /D Quelle condition doit respecter le nombre d ouverture de l objectif pour que la résolution ne soit pas limitée par la diffraction? on prendra le cas de l observation d un objet à l infini AN: On prendra = 0.6 m. On ne tiendra plus compte de la diffraction dans la suite. La suite n est pas traitée 6)Remarque si l appareil n est pas réglé sur l infini mais sur un objet situé à une distance x 0 correspondant à une distance d 0 entre l objectif et la pellicule. Quand l objet se rapproche ou s éloigne de l objectif son image devient floue pour des distances x 1 et x 2. On appelle P = x 2 -x 1 la profondeur de champ. Montrer que P 2 dd 0 x 0 dd 0 2 ² 7) Si on veut une grande profondeur de champ doit on choisir l objectif de 50mm ou un petit téléobjectif de 100mm 2 dd 0 on pourra négliger la taille du grain au dénominateur pour répondre P 2 dd 0 x 0 9

10 8) Une pellicule a une sensibilité déterminée, elle donne une bonne photo si elle reçoit la bonne quantité d énergie lumineuse. La densité D de l opacité correspondant à une exposition H donnée est D =A + log H où A et sont des cstes (D est exprimée selon la norme américaine ASA aujourd hui norme internationale ISO dans une échelle linéaire ou selon la norme DIN allemande dans une échelle logarithmique ; le lien entre les deux échelles est : DIN =10.5 log(iso ). Pour régler l ouverture et le temps de pose soit l exposition, on dispose d un double réglage, réglage du diaphragme et réglage du temps de pose. Sur deux bagues de l objectif on peut régler séparément le nombre d ouverture et le temps de pose ; Si N=8 et T = 1/125 convient à une pellicule donnée, quel réglage de T faut-il choisir pour N=2.8? Indication : L énergie reçue dépend du temps de pose et de l aire du diaphragme, pour avoir la même énergie si le temps de pose est divisé par deux l aire doit être multipliée par deux donc le rayon du diaphragme par 2 donc N divisé par 2 N Temps de pose 1/15 1/30 1/60 1/125 1/250 1/500 1/1000 9) Votre ami(e) joue dans les vagues à 10 m de vous, vous voulez faire une photo, vous avez dans votre sacoche un objectif de 50mm et un petit téléobjectif de 100 mm. Quel objectif prenez vous et quels réglages ( temps de pose et ouverture) faites vous si vous voulez que les gouttes d eau soient nettes dans un flou artistique, c est à dire avec une 2 dd 0 profondeur de champ de 1m? On utilisera la formule P 2 on prendra pour taille du grain 30 m dd 0 x 0 10

11 10) La tache centrale de diffraction pour une ouverture circulaire de diamètre D peut limiter la résolution de l appareil. On rappelle que l ouverture angulaire de la tâche centrale de diffraction est donnée par : sin = /D Quelle condition doit respecter le nombre d ouverture de l objectif pour que la résolution ne soit pas limitée par la diffraction? on prendra le cas de l observation d un objet à l infini AN: On prendra = 0.6 m 3) Téléobjectif montage dont l encombrement est inférieur à sa focale, Exemple une lentille objectif CV de focale 100mm et une lentille DV de focale 37.5mm à 75mm derrière la pellicule étant encore 75mm derrière la divergente soit une taille totale du téléobjectif de 150mm. Calculer grâce à la formule du doublet que vous trouverez ci dessous la focale équivalente. 11

12 4)Lunette astronomique 1) On modélise une lunette astronomique comme un doublet. Le doublet doit constituer un système afocal. Pourquoi? L étoile objet de l objectif se trouve à l infini et l observation de l image donnée par la lunette qui est un objet pour l œil se fait sans accommoder. Comparer les distances focales de la lentille objectif et de la lentille oculaire. On s aidera du premier schéma ci dessous. Afin que le dispositif constitue un concentrateur de lumière il faut que la distance focale de l objectif soit plus grande que celle de l oculaire F ob = F oc Ce dispositif afocal concentre la lumière 2) Exprimer le grossissement G = / où et sont les angles sous lesquels l objet à l infini est observé à travers la lunette ou à l œil nu en fonction des paramètres du problème. On s aidera du second schéma ci-dessous. Montrer que G<0 objectif oculaire O 1 F ob = F oc O 2 I Une étoile à l infini est vue sous un angle, c est à dire qu un point à la périphérie de l étoile génère un faisceau parallèle qui fait un angle avec l axe optique 12

13 IF ' obj IF ' obj IF IF ' obj ' f ' oc tan ' tan ' O F ' f ' F O f ' f ' 1 obj obj oc 2 obj oc oc 3) Le cercle oculaire est l image de la monture de l objectif par l oculaire. Montrer que la mesure du diamètre du cercle oculaire et du diamètre de l objectif permet de calculer le grossissement de la lunette. D obj /2 O 1 F ob = F oc O 2 cercle oculaire d/2 I D / 2 IO d /2 D f ' f ' f ' f ' d f ' obj 2 oc obj obj obj oc oc oc oc 4) Le deuxième schéma montre la marche d un rayon qui rentre dans la lunette incliné par rapport à l axe optique et qui frappe la face d entrée de la lentille objectif ailleurs qu en son centre optique. Expliquer la construction. On utilise deux axes optiques secondaires (ils passent par le centre des lentilles) Remarques : - Les lunettes terrestres ou les jumelles doivent fournir une image droite, la lunette astronomique ne convie nt donc pas comme lunette terrestre puisqu elle inverse les images ; on utilise dans une lunette terrestre un oculaire redresseur formé de deux groupes de lentilles convergentes le premier retourne l image intermédiaire renversée et l agrandit d un facteur 2 à 3, le second groupe est l oculaire proprement dit. Dans les jumelles on utilise des prismes rectangles isocèles à réflexion totale, les prismes sont écartés de façon à replier le trajet des faisceaux lumineux entre les objectifs et les oculaires de façon à obtenir un système plus compact. Le plus simple des instruments qui permette d observer des objets sans les renverser est la lunette de Galilée : objectif une lentille CV de focale par ex 60 cm, oculaire une DV de de focale 5cm, pour que le système soit afocal les objets observés étant suffisamment wxloin pour que l on puisse considérer qu ils sont à l infini on prendra encore comme pour toute lunette terrestre F obj = Foc - On ne construit pas de loupes ou de lentilles dont la vergence soit supérieure à 100 car au delà les aberrations limitent trop fortement la luminosité ; on est contraint pour les instruments d optique à réaliser des associations de lentilles 13

14 Lunette astronomique énoncé 1) On modélise une lunette astronomique comme un doublet. le doublet doit constituer un système afocal. Pourquoi? Comparer les distances focales de la lentille objectif et de la lentille oculaire. On s aidera du premier schéma ci dessous. 2) Exprimer le grossissement G = / où et sont les angles sous lesquels l objet à l infini est observé à travers la lunette ou à l œil nu en fonction des paramètres du problème. On s aidera du second schéma ci-dessous. Montrer qu il est négatif. 3) Le cercle oculaire est l image de la monture de l objectif par l oculaire. Montrer que la mesure du diamètre du cercle oculaire et du diamètre de l objectif permet de calculer le grossissement de la lunette. 4) Le deuxième schéma ci-dessous montre la marche d un rayon qui rentre dans la lunette incliné par rapport à l axe optique et qui frappe la face d entrée de la lentille objectif ailleurs qu en son centre optique. Expliquer la construction. F ob = F oc Ce dispositif afocal concentre la lumière objectif oculaire F ob = F oc Une étoile à l infini est vue sous un angle, c est à dire qu un point à la périphérie de l étoile génère un faisceau parallèle qui fait un angle avec l axe optique 14

15 5) Lunette de Galilée un objectif convergent et un oculaire divergent double intérêt plus compacte et ne renverse pas les images afin que le faisceau lumineux soit concentré il faut que F obj = F oc toujours -f oc F obj = Foc f obj 0 F oc F obj = Foc -f oc 15

16 6) Loupe et Microscope 1) Oeil nu L angle sous lequel sont vu deux objets A et B que l œil peut résoudre est 10-4 radians. En plaçant les deux objets au punctum proximum en déduire leur écartement. Loupe informations Cas n 1 F F Objet lointain ( à l infini), l image se forme au voisinage du foyer image, elle est inversée Il faut mettre entre F et l œil, plus que la distance minimale de vision directe Cas n 2 F A F Si l objet se rapproche de F en allant vers la droite l image s éloigne de F en allant vers la droite ( c est la configuration utilisée pour une projection ; si on rapproche l objet il faut éloigner l écran) Il faut garder entre A et l œil, plus que la distance de minimale de vision directe sinon l objet devient flou et on ne forme plus l image ; il faut donc éloigner l œil vers la droite Cas n 3 Si l objet est en F l image se forme à l infini, ce sont les conditions usuelles d utilisation d une loupe, l œil n accommode pas. La position de l oeil n a à priori pas d importance toutefois l œil ne devra pas être trop loin de la loupe car ainsi on ne sélectionnera que les rayons paraaxiaux et les aberrations seront atténuées. remarque : 2 droites parallèles se coupent aussi bien en + l infini qu en l infini En fait il faut que l objet soit proche du foyer mais entre la lentille et le foyer. Cas n 4 Objet entre le foyer objet et la lentille, l image est virtuelle examinable par l œil le plus souvent, il suffit de mettre plus de 25 cm entre l image et l œil Cas n 5 Objet sur la lentille,l image est confondue avec l objet et la lentille, grandissement 1 pas d intérêt 16

17 Remarque importante : Si on place l œil au foyer image alors le diamètre angulaire la position de l objet ce qui peut apporter un certain confort de l image est indépendant de 2) Pour une observation à la loupe on place les objets A et B à discerner dans le plan focal objet. Quel est l angle sous lequel l image de l objet AB est vue à travers une loupe de vergence 100 Quel est le grossissement de la loupe? Quelle est sa puissance définie comme P = /AB? Quelle est la résolution du système œil + loupe? 3) On donne la formule du doublet f éq = f 1 f 2 / (f 1 + f 2 - d ) où d est la distance entre les deux lentilles du doublet. Montrer que cette formule est cohérente avec la formule du doublet accolé 17

18 7) Microscope on utilise un doublet tel que f objectif = 5 mm, d = 10 cm et f oculaire = 2 cm. >f obj faire un dessin ou l on placera l image intermédiaire A B d un objet AB par l objectif. la construction utilisera un rayon qui passe par le centre de l objectif et un rayon qui passe par le foyer objet. Tracer la marche de ces deux derniers rayons après passage à travers la lentille oculaire. Placer la lentille équivalente au doublet et commenter. Quelle est sa puissance définie comme P = /AB d - f 1 - f 2 = F obj F oc = est ce que l on nomme l intervalle optique d objectif oculaire B A F ob F ob F oc A F oc B L image de A B à travers l oculaire est formée à l infini ainsi l œil peut l observer sans accommoder. ' BA ' ' et f ' oc A' B ' FO F ' A' f F ' A' OA' p ' A' B ' Fobj ' A' on choisit AB FA F ' O FA f ' OA p AB f ' f ' obj obj donc ' f ' obj AB f ' f ' f ' oc obj oc AB On a intérêt à avoir f obj le plus petit possible et le plus grand possible, mais d autres facteurs interviennent que nous n étudierons pas. La résolution d'un microscope désigne sa capacité à séparer des détails très voisins. Indépendamment du capteur utilisé et des aberrations ou imperfections des lentilles, la résolution du microscope optique est fondamentalement limitée par la diffraction de la lumière. En effet, du fait de la diffraction, l'image d'un point n'est pas un point, mais une tache (la tache d'airy). Ainsi, deux points distincts mais voisins auront pour images deux taches dont le recouvrement peut empêcher de distinguer les deux points images : les détails ne sont alors plus résolus. Selon la théorie d'abbe, la limite de résolution (transverse) d d'un microscope, c'est-à-dire la plus petite distance endessous de laquelle deux points voisins ne seront plus distingués, peut être exprimée simplement à l'aide de la longueur d'onde d'illumination λ, de l'indice de réfraction n en sortie d'objectif, et du demi angle du cône de lumière maximum accessible α. (On appelle ouverture numérique de l'objectif le produit NA = nsinα.) 18

19 8) Expériences de cours Projection de la cour sur dépoli Faire une lunette avec un objectif de 1m et un oculaire de 1cm convergent inverse les images, divergent les images sont droites Faire un microscope avec un objectif de 10cm et un oculaire de microscope de 2.5cm de focale équivalente marqué fois M 10 ( le M veut dire qu on peut règle l oculaire de l oculaire selon sa vue) car grossissement = / oeil nu =(AB/f )/ (AB/0.25)=10 f oc =2.5cm Il faut mettre l objet (une mouche) à plus de 10cm de l objectif Remarque : Pour un vrai microscope l objectif aurait pour focale 5 mm < f oc et non 10cm qui est supérieur à f oc 9) données de focales - microscope : - objectif quelques mm de focale, - grossissement des oculaires 5 ; 10 ; 12.5 ; 15 ; 20 ; 25 soit d/f = 1/(4f ) = 5 à 25 soit 1/(f )= 20 à 100 soit f =1/20 à 1/100 = 1 à 5 cm - lunette astronomique : - objectif focale 1m diamètre 10 cm - Oculaires f = 5 mm à 36 mm 19

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