Property and Equivalence Testing

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1 Property and Equivalence Testing Frédéric Magniez - Probabilistic Abstraction for Model Checking: An Approach Based on Property Testing, LICS 02 - Property Testing of Regular Tree Languages, ICALP 04 - Property and Equivalence Testing on Strings, raport ECCC 05

2 Property testing Satisfiabilité classique x P Décider si x satisfait la propriété P Satisfiabilité approchée x P Accepter si x est dans P Refuser si x est -loin de P si d(x,y) > max( x, y ) zone grise 2

3 Property testing Relaxation de la propriété x [M,x x P(x)] abstraction du modèle [LICS 02] Relaxation de la notion de satisfiabilité vérification plus efficace [ICALP 04, ECCC 05] Modèle Model Checking Propriété Conformance Testing I.U.T Black Box Checking 3

4 Automates finis Un outils à multi-usage Forme compacte du modèle Représentation de la propriété IUT = automate inconnu Modèle Model Checking Propriété Conformance Testing I.U.T Black Box Checking 4

5 Automates finis Acceptabilité d une entrée Complexité linéaire Equivalence de 2 automates Complexité exponentielle en espace Extension aux mots infinis Automates de Büchi : x L ssi un état acceptant est visité une infinité de fois 5

6 Block edit distance Block edit distance d(w,w ) Insertion, effacement, flip Déplacement de bloc Calcul exact : NP-difficile Calcul approché log w -approximation temps quasi-linéaire -test de l égalité : poly(1/ ) dist(w,w )=4 Accepte si w=w Rejette si d(w,w ) > max( w, w ) 6 w= _ w =

7 Statistiques Théorème 1 bstat(w)-bstat(w ) (dist(w,w )- n)/n Théorème 2 ustat(w)-ustat(w ) dist(w,w )/( n) Théorème 3 ustat(w)-ustat(w ) (dist(w,w )- n)/n Preuve : v ustat(w)-bstat(v) + Théorème 1 7 n=10, k=1/ =2 dist(w,w )/n=1/3 w= bstat(w)=(1,0,4,1)/6 ustat(w)=(1,4,4,2)/11 w = bstat(w )=(2,1,0,3)/6 ustat(w )=(3,2,2, 4)/11 7/6 8/11

8 Approximation de la distance Théorème 1 Testeur(w,w ) approxime ustat(w) à près Théorème 2 : Testeur(w,w ) Accepte si w=w Rejette a.g.p. si dist(w,w )> Accepte a.g.p. si dist(w,w )< 2 Corollaire Approximation de =dist(w,w )/n par [ 2, ] Testeur(w,w ) Echantillonner 1/ 3 sousmots de taille 1/ Calculer les vecteurs ustat(w) et ustat(w ) relativement aux sousmots Accepter si ustat(w)-ustat(w ) Refuser sinon 8

9 Test de Langages Restriction aux mots de longueur n Ln Pré-calcul : Enumérer tous les ustat(w), pour w Ln Approcher les ustat(w) sur la grille de pas 2-1/ ensemble discret H de taille 2 exp(1/ ) Testeur(w,Ln) Approximer ustat(w) Accepter si ustat(w) H 9

10 Langages réguliers Pré-calcul indépendant de n boucles = points fixes : bstat(w) bstat(w e ) Théorème 2 : A automate fini w LA bstat(w) Convex(stat(u1),...,bstat(ut)) où les u1,...,ut sont des boucles A-compatibles Optimisation Finitude de l automate : ui A Théorème de Caratheodory : t 2 k Approximation sur la grille de pas 2 k H 10

11 Construction Calculer les statistiques des boucles compatibles Retenir pour chaque bstat(u) l état de départ q (mais pas u!) Pour chaque séquence u1,...,ut de 2 k A-compatibles boucles (. m) Ajouter dans H l enveloppe convexe de u1,...,ut (sur la grille) 11 A : H : a b 1 2 aa c ac a c 3 ca Boucles : {(aa,ca:1);(bb:2);(cc,ac:3);(dd:4)} d b 4 cc d bb dd

12 Test d un langage régulier Pré-calcul (en m exp(1/ ) ) Calculer H ca bb Approximer bstat(w) H : aa cc Accepter si bstat(w) est proche de H en examinant 1/ 4 lettres en temps 2 exp(1/ ) ac bstat(w) :? dd 12

13 Test d équivalence Testeur(A,B) Calculer H (A) Calculer H (B) Accepter si H (A)= H (B) Théorème : Testeur(A,B) Accepte si A B Rejette s il existe une infinité de mots de LA -loin de LB (ou inversement) Complexité déterministe en m exp(1/ ) 13

14 Extensions Mots infinis Automates de Büchi Langages algébriques Langages de Dick(1) : fait Langages de Dick(h) : en cours Cas général : des pistes Arbres Définir la notion de bloc... Matrices Test d une loi de groupe [Friedl, Ivanyos, Santha STOC 05] 14

15 Preuve w dans LA : récurrence sur w Par le lemme de l étoile w=yuz : u est une boucle de taille km Récurrence sur yz Par construction les boucles u sont A-compatibles Inversement : bstat(w) 1bstat(u1)+...+ tbstat(ut) Fixer n Approximation : i=ei/n Compatibilité : v0,...,vt de taille m, v0u1v1u2...utvt L donc v0u1 e 1 v 1u2 e 2...u t e t v t L et est -proche de w 15