3Ch9 : Triangles rectangles - Trigonométrie
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- Marc-Antoine Lecours
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1 I Le Théorème de Pythagore 1) Enoncé du théorème Théorème de Pythagore Il existe 2 façons de l exprimer 3Ch9 : Triangles rectangles - Trigonométrie Si un triangle ABC est rectangle en A alors on a l égalité suivante BC 2 = AB 2 + AC 2 Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l angle droit. 2) Comment rédiger? Le théorème de Pythagore sert à calculer un des côtés d un triangle rectangle connaissant les 2 autres. 1 er cas : CALCUL DE LA LONGUEUR DE L HYPOTENUSE ENONCE 1: Calculer la valeur exacte de la longueur EF, puis une valeur approchée au dixième.. 2 ème cas : CALCUL DE LA LONGUEUR D UN COTE DE L ANGLE DROIT ENONCE 2 : Calculer la valeur exacte de la longueur SH... LFM Mathématiques Classe de 4ème 1
2 II Conséquence du théorème de Pythagore Propriété : Si dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté n est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle n est pas rectangle. B AB = 3,1 ; AC = 3,9 ; BC = 5 Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC]. BC ² = 25 On a AB ² = 3,1² = 9, 61 donc AB ² + AC² = 24,82 25 AC ² = 3,9² = 15,21 Comme AB² + AC² BC², A C d après la conséquence du théorème de Pythagore, le triangle ABC n est pas rectangle. III Réciproque du théorème de Pythagore Propriété : «Réciproque du théorème de Pythagore» Il existe 2 façons de l exprimer Dans le triangle ABC, si AB 2 + AC 2 = BC 2 alors le triangle ABC est rectangle en A ABC est-il un triangle rectangle en A? Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égale a la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et ce plus grand côté est l hypoténuse. COMMENT REDIGER? La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer. ENONCE : Soit un triangle ABC tel que AB = 1,5 cm, AC = 2,5 cm, BC = 2 cm Le triangle ABC est- il rectangle? Justifier LFM Mathématiques Classe de 4ème 2
3 IV- Cosinus d un angle aigu On rappelle qu un angle aigu est un angle de mesure strictement comprise entre 0 et 90. 1) Vocabulaire dans le triangle rectangle On considère un triangle DEF rectangle en F. Le segment [DE] est l hypoténuse du triangle DEF. Le segment [DF] est appelé le côté adjacent à l angle FDE. Le segment [EF] est appelé le côté adjacent à l angle DEF. 2) Cosinus d un angle aigu (rappel) Dans un triangle rectangle, le cosinus de l un des angles aigus est le quotient : BA cos B ˆ =. De même cos ACB = BC longueur du côté adjacent à l'angle aigu longueur de l'hypoténuse Côté adjacent à l angle ABC Hypoténuse Remarque : le cosinus d un angle aigu n a pas d unité et est strictement compris entre 0 et 1. 3) Utilisations du cosinus a) Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle en utilisant le cosinus LFM Mathématiques Classe de 4ème 3
4 b) Calculer un angle d un triangle rectangle en utilisant le cosinus Calculer la mesure de l angle ABC à 1 degré près. V- Sinus et tangente d un angle aigu 1) Sinus d un angle aigu Dans un triangle rectangle, le sinus de l un des angles aigus est le quotient : AC sin B ˆ =. De même sin ACB = BC longueur du côté opposé à l'angle aigu longueur de l'hypoténuse Remarque : le sinus d un angle aigu n a pas d unité et est strictement compris entre 0 et 1. Application : Calcul d un angle à l aide du sinus Calculer la mesure de l angle ACB à 1 degré près LFM Mathématiques Classe de 4ème 4
5 2) Tangente d un angle aigu Dans un triangle rectangle, la tangente de l un des angles aigus est le quotient : AC tan B ˆ =. De même tan ACB = AB longueur du côté opposé à l'angle aigu longueur du côté adjacent à l'angle aigu Application : Calculer un côté d un triangle à l aide de la tangente Calculer la longueur du côté [AC] à 0,1 cm près LFM Mathématiques Classe de 4ème 5
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