PC - Electrostatique

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1 PC - Electrostatique Des particules qui possèdent une charge électrique q, sont sensibles aux interactions électromagnétiques. Dans le cas général, les champs électrique E et magnétique B sont interdépendants. Cependant, dans le cas des régimes permanents on peut les étudier séparément. 1 Champ électrostatique crée par un ensemble de charges 1.1 Interaction entre 2 charges ponctuelles - Loi de Coulomb Charges de même signe : Charges de signes opposés : 1.2 Champ électrostatique crée par une charge ponctuelle Quel est l effet électrostatique de q 0 si on place en M une charge ponctuelle q? 1

2 PC - Electrostatique 2 Dans un atome d hydrogène, quel est l ordre de grandeur du champ électrostatique créé par le noyau sur l électron? Il s agit du champ électrique nécessaire pour ioniser un atome d hydrogène. On peut comparer cette valeur au champ disruptif de l air Champ électrostatique crée par plusieurs charges ponctuelles Théorème de superposition Champ électrostatique crée par une distribution continue de charges Distribution Charge élémentaire Champ électrostatique

3 PC - Electrostatique Lignes de champ Définition : On appelle lignes de champ les courbes tangentes au champ E, orientées dans le même sens que E Le champ créé par une charge pontuelle est radial. 2 Propriétés de symétrie et d invariance du champ électrostatique crée par une distribution de charges 2.1 Distribution symétrique par rapport à un plan Π Définition Soit un point M quelconque de la distribution de charges D. Si M = sym Π (M) et ρ(m ) = ρ(m) M D, alors la distribution de charges est symétrique par rapport au plan (Π) (Π) est un plan de symétrie pour la distribution D. Charge surfacique uniforme sur chaque surface. Remarque : Soit une droite (d). Si tous les plans contenant (d) sont plans de symétrie pour la distribution de charges D, alors D admet une symétrie de révolution par rapport à (d). 2.2 Distribution anti-symétrique par rapport à un plan Π Définition Soit un point M quelconque de la distribution. Si M = sym Π (M) et ρ(m ) = ρ(m) M D,alors la distribution est anti-symétrique par rapport au plan (Π ) (Π ) est un plan d anti-symétrie pour la distribution D.

4 2.3 Invariance de la distribution On considère un cylindre infini chargé uniformément σ en surface PC - Electrostatique Invariances et symétrie du champ électrostatique Principe de Curie Ici causes = Distribution de charges; et Effets = Champ E Le principe de Curie permet de trouver directement les invariances de E Champ électrostatique en un point d un plan de symétrie On considère deux charges ponctuelles en P et P tels que P = sym Π P. On observe le champ électrostatique créé par cette distribution de charges en M (point quelconque de l espace). On considère aussi M = sym Π M Que peut on dire de E(M ) par rapport à E(M) Représenter sur le schéma le cas où M Π, quelle est la particularité du champ E(M)?

5 2.4.3 Champ électrostatique en un point d un plan d anti-symétrie PC - Electrostatique 5 On considère deux charges ponctuelles en P et P tels que P = sym Π P. On observe le champ électrostatique créé par cette distribution de charges en M (point quelconque de l espace). On considère aussi M = sym Π M Que peut on dire de E(M ) par rapport à E(M) Représenter sur le schéma le cas où M Π, quelle est la particularité du champ E(M)? Exemples Etudier les symétries et invariances de la distribution de charge puis en déduire les dépendances et la direction de E(M) dans les cas suivants : Fil infini de charge linéique λ uniforme : plan infini de charge surfacique σ uniforme :

6 PC - Electrostatique 6 Segment de longueur l de charge linéique λ uniforme, étudié dans le plan médiateur. Boule chargée en volume de charge volumique ρ uniforme

7 PC - Electrostatique 7 3 Déterminer l expression d un champ électrostatique à l aide du théorème de Gauss 3.1 Flux du champ électrostatique à travers une surface L orientation de ds est toujours normale et sortante pour une surface fermée. Définition : 3.2 Cas d une charge ponctuelle Rappeler l expression du champ E(M) crée par une charge ponctuelle située en O. En déduire l expression du flux de E sortant d une sphère de rayon r et de centre O. Quelle est la valeur du flux de E sortant d une sphère de même rayon mais ne contenant pas la charge q?

8 3.3 Enoncé du théorème de Gauss PC - Electrostatique Applications Cas du fil infini uniformément chargé. Cas d une boule homogène.

9 3.5 Formulation locale du théorème de Gauss Relation de Green-Ostrogradsky PC - Electrostatique 9 Application au champ électrostatique 4 Potentiel électrostatique 4.1 Circulation du champ électrostatique 4.2 Cas d une charge ponctuelle Calculer la circulation de E sur un chemin AB dans le cas où une charge ponctuelle q est située en O Définition

10 PC - Electrostatique Généralisation Remarques : Cas d une distribution continue : Le potentiel est défini à une constante près. On ne peut prendre V(+ ) = 0 que s il n existe pas de charge à l infini Dans le cas stationnaire, le champ E est à circulation conservative : 4.4 Formulation locale

11 PC - Electrostatique 11 Remarques : Les lignes équipotentielles sont... aux lignes de champ. Lesligneséquipotentiellessontdeslignes... alorsqueleslignesdechamp E sontdeslignes Energie potentielle électrostatique Déterminer l ordre de grandeur de l énergie de liaison de l électron dans un atome d hydrogène 5 Application au condensateur plan On considère un condensateur plan constitué de deux armatures planes parallèles de surface S et distantes de e. Une des armatures porte une charge +q et l autre q. Modélisation électrostatique : Les deux plans sont infinis Répartition surfacique de charges σ uniforme Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ E en tout point de l espace.

12 PC - Electrostatique 12 En déduire l expression de la tension aux bornes du condensateur en fonction des paramètres σ et e. En déduire la capacité du condensateur pour S = 5cm 2 et S = 2mm. Sur l exemple du condensateur plan, exprimer la densité volumique d énergie électrostatique entre les 2 armatures du condensateur.

13 6 Analogie avec la gravitation PC - Electrostatique 13 Grandeur Electrostatique Gravitation Force Charge Pour une charge ponctuelle Circulation Potentiel Théorème de Gauss Application : Exprimer le champ gravitationnel crée par la Terre en tout point de l espace. En déduire la valeur de g intensité de pesanteur. Données : R T = 6300km M T = 5, kg G = 6, SI

14 PC - Electrostatique 14 7 Dipôle électrostatique Figure 1 Carte de champ d une distribution de charge inconnue Cette carte de champ peut-elle être celle d une charge ponctuelle? Préciser en particulier quelle(s) propriété(s) des lignes de champ électrostatique semble(nt) ne pas être respectée(s) sur cette carte? 7.1 Potentiel crée par un dipôle Modélisation et approximation dipolaire Figure 2 Modélisation d un dipôle On considère un ensemble de 2 charges ponctuelles, +q située en P et q située en N. On appelle moment dipolaire la quantité On souhaite déterminer une expression du potentiel et du champ électrostatiques loin des sources. On aura alors :

15 PC - Electrostatique Expression du potentiel Exprimer le potentiel créé par ces deux charges ponctuelles en tout point M de l espace. Dans le cas d un point M lointain par rapport aux sources, déterminer l expression du potentiel électrostatique créé par cette distribution de charges Expression du champ électrostatique et lignes de champ Dans le cas d un point M lointain par rapport aux sources, déterminer l expression du champ électrostatique créé par cette distribution de charges.

16 PC - Electrostatique 16 Comparer les expressions du champ et du potentiel électrostatiques créés par un dipôle et ceux créés par une unique charge ponctuelle. Déterminer l expression des lignes de champ créées par le dipôle au niveau d un point M(r, θ) lointain. Représenter les lignes de champ et les lignes équipotentielles dans la zone proche du dipôle 7.2 Actions subies par un dipôle électrostatique placé dans un champ électrostatique Champ extérieur uniforme Les atomes d hydrogène et d oxygène ayant des électronégativités différentes, la molécule d eau est une molécule polaire : Il s agit d un dipôle électrostatique de moment dipolaire p = 1,85D. On place alors une molécule d eau dans un champ E ext supposé uniforme au niveau du dipôle.

17 PC - Electrostatique 17 Quelle est la résultante des forces exercée par le champs extérieur sur le dipôle? En déduire l impact de la présence du champ sur le mouvement du centre de masse du dipôle dans le référentiel d étude. Quelle est l expression du couple résultant de l interaction entre le dipôle et le champ extérieur exercé par le champs extérieur sur le dipôle? En déduire l impact de la présence du champ sur le mouvement du dipôle dans le référentiel d étude Cas d un champ extérieur non uniforme Le dipôle est modélisé par une charge q plongée dans un champ E ext et une charge +q subissant un champ E ext + de ext. Comment les expressions précédentes sont-elles modifiées par l inhomogénéité du champ extérieur? Expliquer alors le processus de solvatation des ions en solution aqueuse

18 PC - Electrostatique Energie potentielle d un dipôle dans un champ extérieur uniforme Exprimer l énergie potentielle du dipôle en fonction de p et E ext Retrouver l action mécanique du champ E ext sur le dipôle par un raisonnement énergétique 7.3 Dipôle induit Lorsqu un atome ou une molécule a priori apolaire est soumis à un champs électrique extérieur, il peut apparaitre un moment dipolaire induit au niveau de l atome (ou de la molécule). Ce moment dipolaire induit s exprime : α est la polarisabilité de l atome (ou de la molécule) Quelle est la dimension de α? p = αǫ0 Eext Pour comprendre l apparition de ce moment dipolaire pour un atome, on considère le modèle de Thomson (avant le modèle de Rutherford) de l atome. Selon ce modèle, un atome est constitué d une boule homogène chargée positivement +q, de rayon a dans laquelle est déposé un ensemble d électrons ponctuels.

19 PC - Electrostatique 19 Figure 3 L atome de Thomson (aussi appelé parfois modèle de Pudding) Pour simplifier la démarche, on considèrera un atome d hydrogène. Exprimer le champ électrostatique crée par la charge positive répartie en volume pour r < a En déduire l expression de la force électrostatique exercée par la charge positive sur l électron. On considère l électron à l équilibre dans l atome. A l aide d un bilan des forces, déterminer l expression de la polarisabilité de l atome en fonction de a.