Algèbre linéaire Complément et Diagonalisation

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1 5.6 Somme des sous-espaces propres Algèbre linéaire Complément et Diagonalisation MR.FARESS MOUSSA 7 août 2011 Table des matières 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels Codimension Rang d une application linéaire Représentation matricielle Représentation d une famille de vecteurs Représentation des applications linéaires Rang d une matrice Changement de bases Dualité Hyperplan et formes linéaires Bases duales Exercices de révision. 5 5 Diagonalisation Définition et exemples Valeur propre et vecteur propre Sous-espace propre Valeur et vecteur propre d une matrice Matrice diagonalisable

2 Dans toute la suite K désigne R ou C. 1 Application linéaire et sous-espaces vectoriels. 1.1 Codimension. Théorème 1.1. E et F deux espaces vectoriels sur K = R ou C u L(E, F) alors u définit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker(u) dans Im(u). En particulier les supplémentaires de Ker(u) sont isomorphes. Théorème 1.2. F et F deux sous espaces vectoriels supplémentaires d un sous espace vectoriel G dans E,la projection de E sur F parallèlement à G définit un isomorphisme de F sur F. Définition 1.1. Si l un des supplémentaires de G est de dimension finie,cette dimension - commune - est appelée codimension de G notée codim(g). Définition 1.2. Un hyperplan est un sous-espace maximal de E. ie : H hyperplan ssi pour tout s.e.v F de E, si H F alors F = E Exemple 1.1. En dimension finie n, les hyperplans sont les sous-espaces vectoriels de dimension n 1. Proposition 1.1. Le sous-espace vectoriel H est un hyperplan si et seulement si x H, H et K.x sont supplémentaires. Ainsi le s.e.v H est un hyperplan ssi codim(h) = 1. Proposition 1.2. Si F un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel de dimension finie E alors : dim(f) + codim(f) = dim(e) 1.2 Rang d une application linéaire. Définition 1.3. Soit u L(E, F),E un espace vectoriel de dimension finie. Alors : rg(u) = dim Im(u) Remarque 1.1. rg(u) = codim(ker(u)). Théorème 1.3 (De rang). E et F deux K espaces vectoriels, avec E de dimension finie et u L(E, F), alors. rg(u) + dim Ker(u) = dim(e). Proposition 1.3. u L(E, F),E et F deux K espaces vectoriels de dimensions finies. u est un isomorphisme rg(u) = dim(e) = dim(f). Application 1.1 (Interpolation de Lagrange). Soient a 0,..., a n des éléments de K deux à deux distincts. Théorème 1.4. L application ϕ : K n [X] K n+1 P ϕ(p) = (P(a 0 ),..., P(a n )) est un isomorphisme de K espaces vectoriels. Preuve : A faire n X a j Définition 1.4. Pour i 0,..., n on pose : L i (X) =. j=0 a i a j j =i Les polynômes L 0,..., L n sont appelés polynômes interpolateurs de Lagrange en les a 0,..., a n. Ils forment une base de K n [X]. Corollaire 1.1. (b 0,..., b n ) K n+1,!p K n [X], i 0,..., n, P(a i ) = b i. Preuve : A faire Corollaire 1.2. E et F deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies, Composer un endomorphisme u L(E, F) à droite ou à gauche par un isomorphisme ne change pas le rang. Définition 1.5. Soit (x 1,..., x p ) une famille de vecteurs de E. On appelle rang de (x 1,..., x p ) le nombre : rg(x 1,..., x p ) = dim vect(x 1,..., x p ). Exercice 1.1. Soit E un K espace vectoriel de dimension n N.Montrer qu il existe un endomorphisme f tel que Im( f ) = Ker( f ) si et seulement si n pair. Mr. Faress Moussa 2/10 7 août 2011

3 2 Représentation matricielle. 2.1 Représentation d une famille de vecteurs. Définition 2.1. Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E, espace vectoriel de dimension fine n, et F = (x 1,..., x p ) une famille de vecteurs de E. On appelle matrice représentant F dans B la matrice A = (A i, j ) 1 i n de M n,p (K) donnée par la relation : x j = n i=1 A i, j e i. 1 j p Les colonnes de A sont constitués par les coordonnées des vecteurs de F dans la base B. A est notée : A = mat B (F). Exemple 2.1. B = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) la base canonique de E = R 4.On note : x 1 = (1, 2, 1, 0), x 2 = (0, 3, 1, 0), x 3 = ( 1, 2, 0, 0), x 4 = (4, 0, 1, 0). Donner mat B (F) avec F = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) 2.2 Représentation des applications linéaires. Définition 2.2. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies.b = (e 1,..., e p ) base de E, B = (e 1,..., e n) base de F. On appelle matrice dans ces bases d une application linéaire f L(E, F) la matrice : mat B,B ( f ) = mat B ( f (B)) M n,p (K). Les colonnes de mat B,B ( f ) sont constituées des vecteurs f (e j ) dans B. Définition 2.3 (Cas d un endomorphisme). E un espace vectoriel de dimension finie.b = (e 1,.., e p ) base de E. On appelle matrice dans cette base d un endomorphisme f L(E) la matrice : mat B ( f ) = mat B,B ( f ) M n (K). Exemple 2.2. Soit f : R 2 R 3 (x, y) (x y, x + y, 2x + y) Donner mat B,B ( f ),où B et B les bases canoniques (resp) de R 2 et R 3 Théorème Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectivement B et B respectivement. Si f, g L(E, F) et λ K, alors : mat B,B ( f + λ.g) = mat B,B ( f ) + λ.mat B,B (g). 2. B, B et B trois bases de E, F et G (resp). f L(E, F) et g L(F, G). On a : mat B,B (g f ) = mat B,B ( f ) mat B,B (g). 2.3 Rang d une matrice. Théorème 2.2. E et E deux espaces vectoriels de même dimensions n B = (e i ) 1 i n et B = (e i ) 1 i n deux bases de E et E. F = (x 1,..., x p ) une famille de vecteurs de E à p éléments F = (y 1,..., y p ) une famille de vecteurs de E à p éléments tels que : mat B (F) = mat B (F ) = (A i j ) 1 i n 1 j p Il existe un isomorphisme f GL(E, E ) tel que : f (B) = B et f (F) = F donc rg(f) = rg(f ) Définition 2.4. On appelle rang d une matrice A et on note rg(a) le rang de toute famille de vecteurs représentée par A dans une base quelconque.. On considère en général la famille de ses vecteurs colonnes. Théorème 2.3. E et F deux espaces vectoriels de dimension finies. Si f L(E, F) et A = mat B,B ( f ) sa matrice dans les bases B et B, alors : rg(a) = rg( f ). Exercice 2.1. Quel est le rang d un projecteur? Remarque 2.1 (Traduction matricielle du corollaire 1.10). Si P et Q deux matrices inversibles alors : rg(p.a.q) = rg(a). On dit dans ce cas A et P.A.Q sont équivalentes. Proposition 2.1. Deux matrices de mêmes types, sont équivalentes si et seulement si elles ont le même ( rang. ) En particulier une matrice de rang r est Ir 0 équivalente à la matrice J r =. 0 0 Exemple 2.3. Donner le rang de la famille de vecteurs de R 4 constituées par les vecteurs x 1 = (1, 2, 1, 0), x 2 = (0, 3, 1, 0), x 3 = ( 1, 2, 0, 0) Mr. Faress Moussa 3/10 7 août 2011

4 2.4 Changement de bases. Définition 2.5. B = (e 1,..., e p ) et B = (e 1,..., e p) deux bases de E. On appelle matrice de passage de B à B la matrice P représentant la famille B dans B. On a : P = mat B,B(Id E ) = mat B (B ),donc P est inversible. P est notée : P = P B B. Exemple 2.4. E = R 2 [X], B = (1, X, X 2 ), B = (X 2, X(X 1), (X 2)(X 1)) Théorème 2.4. Soit E un espace vectoriel de dimension finie,b et B deux bases de E, P = P B B, A et A les matrices représentants une famille de vecteurs de E dans les bases B et B. On a : A = P.A. Corollaire 2.1. Si x un vecteur, X = mat B (x) et X = mat B (x),alors X = PX Théorème 2.5. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, B et B deux bases de E, C et C deux bases de F, P = P B B et Q = P C C Pour f L(E, F), A = mat B,C ( f ) et A = mat B,C ( f ) on a A = Q 1 AP. Théorème 2.6 (Cas d un endomorphisme). E un espace vectoriel de dimension finie, B et B deux bases de E et P = P B B Pour f L(E, F), A = mat B ( f ) et A = mat B ( f ) on a A = P 1 AP. Exercice On dit que deux matrices A et B de M np (K) sont équivalentes s il existe P GL p (K) et Q GL n (K) telles que : B = Q.A.P. Montrer que A et B ont le même rang, représentent la même application linéaire dans des bases différentes, et que cette relation est une relation d équivalences sur M np (K). 2. On dit que deux matrices A et B de M n (K) sont semblables s il existe P GL n (K) telle que : B = P 1.A.P. Montrer que A et B ont le même rang, même trace,même déterminant, représentent le même endomorphisme dans des bases différentes, et que cette relation est une relation d équivalences sur M n (K).dite relation de similitude. 3 Dualité. On considère E un espace vectoriel de dimension finie n sur K=R ou C. 3.1 Hyperplan et formes linéaires. Définition 3.1. Le dual (algébrique) de E est l espace vectoriel E des formes linéaires de E : E = L(E, K) Proposition 3.1. En dimension finie : dim(e) = dim(e ) Remarque 3.1. L application E E K (ϕ, x) ϕ, x = ϕ(x) E., est appelé Crochet de dualité. est une forme bilinéaire sur Théorème 3.1. Le noyau d une forme linéaire non nulle est un hyperplan. Théorème 3.2. Deux formes linéaires ayant le même noyau sont proportionnelles. Remarque 3.2. Si H un hyperplan alors il existe une forme linéaire ϕ sur E telle que : H = Ker(ϕ). Donc H peut être représenté par l équation : ϕ(x) = Bases duales Définition 3.2. Soit B = (e 1,..., e n ) base de E. Pour i 1,..., n, on définit l application : ei : E K x = On a les propriétés suivantes : 1. i 1,..., n, e i E. 2. i, j 1,..., n, e i (e j) = δ i j. 3. e i est dite la i ième forme coordonnée. n x j.e j ei (x) = x i j=1 Exercice 3.1. Soit x un vecteur non nul.il existe une forme linéaire qui n annule pas x.(ind : Prendre (x = e 1, e 2,..., e n ) base de E et considérer ϕ 1. Mr. Faress Moussa 4/10 7 août 2011

5 Théorème 3.3. (Définition) Les formes coordonnées associée à la base B constituent une base B de E dite base duale de B. Remarque 3.3. Dans les conditions précédentes : ϕ E : ϕ = n i=1 ϕ(e i )e i. Exemple 3.1. Dans R 2, on considère e 1 = (1, 2), e 2 = ( 1, 1) et on pose B = (e 1, e 2 ). 1. Montrer que B base de R Donner B la base dual de B. Théorème 3.4. (Base antéduale) Pour toute base B =(ϕ 1,...,ϕ n ) de E,il existe une et une seule base B = (e 1,..., e n ) de E telle que B est la base duale de B. B est dite la base antéduale de B. Exemple 3.2. Soient e = (e 1, e 2, e 3 ) une base d un espace vectoriel et : f 1 = 2e 1 + e 2 + e 3, f 2 = e 1 + 2e 3, f 3 = e 1 + 3e 2 1. Montrer que f = ( f 1, f 2, f 3 ) est une base de E. 2. Donner sa base antéduale. 4 Exercices de révision. Exercice 4.1. Les parties suivantes sont-elles des s.e.v de R 2? a) (x, y) R 2 x y b) (x, y) R 2 xy = 0 c) (x, y) R 2 x = y d) (x, y) R 2 x + y = 1. Exercice 4.2. Soient : F = (x, y, z) R 3 x + y z = 0 et G = (a b, a + b, a 3b) a, b R. a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R 3. b) Déterminer F G. Exercice 4.3. Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a) f : R 3 R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z b) f : R 2 R définie par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R 2 R définie par f (x, y) = xy d) f : R 3 R définie par f (x, y, z) = x z? Exercice 4.4. Soit f : R 2 R 2 définie par f (x, y) = (x + y, x y). Montrer que f est un automorphisme de R 2 et déterminer son automorphisme réciproque. Exercice 4.5. Soit J : C([0, 1], R) R définie par J( f ) = Montrer que J est une forme linéaire. 1 0 f (t)dt. Exercice 4.6. Soit ϕ : C (R, R) C (R, R) définie par ϕ( f ) = f 3 f + 2 f. Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau. Exercice 4.7. Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. Montrer que g f = 0 si, et seulement si, Im f ker g. Exercice 4.8. Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. a) Comparer ker f ker g et ker( f + g). b) Comparer Im f + Img et Im( f + g). c) Comparer ker f et ker f 2. d) Comparer Im f et Im f 2. Exercice 4.9. Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E. Montrer que : a) Im f ker f = 0 ker f = ker f 2 b) E = Im f + ker f Im f = Im f 2. Exercice Soient E un K-espace vectoriel et f L(E) tel que f 2 3 f + 2Id = 0. a) Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f. b) Etablir que ker( f Id) et ker( f 2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Exercice Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f L(E) tel que rg( f 2 ) = rg( f ). a) Etablir Im f 2 = Im f et ker f 2 = ker f. b) Montrer que Im f et ker f sont supplémentaires dans E. Mr. Faress Moussa 5/10 7 août 2011

6 Exercice Soit f un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Im f et ker f supplémentaires dans E (ii) E = Im f + ker f (iii) Im f 2 = Im f (iv) ker f 2 = ker f. Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit u et v deux endomorphismes de E tels que : E = Imu + Imv = ker u + ker v. Etablir que d une part, Imu et Imv, d autre part ker u et ker v sont supplémentaires dans E. Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension n N et ϕ une forme linéaire non nulle sur E. Montrer que pour tout u E\ kerϕ, kerϕ et Vect( u) sont supplémentaires dans E. Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et ( f 1, f 2,..., f n ) une famille de formes linéaires sur E. On suppose qu il existe un vecteur x E non nul tel que pour tout i 1,..., n, f i ( x) = 0. Montrer que la famille ( f 1, f 2,..., f n ) est liée dans E. Exercice On considère le s.e.v H = (x, y, z) R 3 x 2y + 3z = 0. Soit u = (1, 2, 1) et v = ( 1, 1, 1). Montrer que B = ( u, v) forme une base de H. Exercice Soit f un endomorphisme de R 3 tel que f 2 = 0. Montrer qu il existe a R 3 et ϕ (R 3 ) tels que pour tout x R 3 on a f (x) = ϕ(x).a. Exercice Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes : R 3 R 2 a) f : (x, y, z) (x + y, y 2x + z) R 3 R 3 b) f : (x, y, z) (y + z, z + x, x + y) c) f : d) f : R3 [X] R 3 [X] P P(X + 1) R3 [X] R 4 P (P(1), P(2), P(3), P(4)) Exercice On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R 3 suivants : P = (x, y, z) R 3 x + 2y z = 0 et D = Vect(w) où w = (1, 0, 1) On note B = (i, j, k) la base canonique de R 3. On note p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q celle sur D parallèlement à P, et enfin, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D. a) Former la matrice de p dans B. b) En déduire les matrices, dans B, de q et de s. Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N. Soit f un endomorphisme de E tel que f n ( = 0 et f n 1 = 0. ) a) Justifier qu il existe x E tel que B = x, f (x), f 2 (x),..., f n 1 (x) forme une base de E. b) Déterminer les matrices de f, f 2,..., f n 1 dans cette base. c) En déduire que Exercice Soit g L(E)/g f = f g = Vect(Id, f, f 2,..., f n 1 ) A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3. Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A. On pose ε 1 = (1, 1, 1),ε 2 = (1, 1, 0),ε 3 = (1, 0, 1) et B = (ε 1,ε 2,ε 3 ). a) Montrer que B constitue une base de R 3. b) Ecrire la matrice de f dans cette base. c) Déterminer une base de ker f et de Im f. Mr. Faress Moussa 6/10 7 août 2011

7 Exercice Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (i, j, k). Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = a) Calculer A 2. Qu en déduire sur f? b) Déterminer une base de Im f et ker f. c) Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Im f et ker f? Exercice Soit A = On note B = (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de R 3. Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans B est A. a) Déterminer ker f et Im f. Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans R 3. b) Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base. c) Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires. Exercice Soit f L(R 3 ) représenté dans la base canonique B par : a) Soit C = (ε 1,ε 2,ε 3 ) avec ε 1 = (1, 0, 1),ε 2 = ( 1, 1, 0),ε 3 = (1, 1, 1). Montrer que C est une base. b) Déterminer la matrice de f dans C. c) Calculer la matrice de f n dans B pour tout n N. Exercice Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (e 1, e 2, e 3 ). Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = Soit B = (ε 1,ε 2,ε 3 ) la famille définie par ε 1 = e 1 + e 2 e 3 ε 2 = e 1 e 3 ε 3 = e 1 e 2 a) Montrer que B est une base de E et former la matrice D de f dans B. b) Exprimer la matrice de passage P de B à B et calculer P 1. c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? d) Calculer A n pour tout n N. Exercice Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (e 1, e 2, e 3 ). Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = a) Montrer qu il existe une base C = (ε 1,ε 2,ε 3 ) de E dans laquelle la matrice représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux : 1, 2 et 3. b) Déterminer la matrice de passage P de B à C. Calculer P 1. c) Quelle relation lie les matrices A, D, P et P 1? d) Calculer A n pour tout n N. Exercice Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. On considère les matrices A = et D = Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A. a) Montrer qu il existe une base C = (ε 1,ε 2,ε 3 ) de E telle que la matrice de f dans C soit D. b) Déterminer la matrice P de GL 3 (R) telle que A = PDP 1. Calculer P 1. Mr. Faress Moussa 7/10 7 août 2011

8 c) Calculer pour tout n N, A n. d) En déduire le terme général des suites (x n ) n N, (y n ) n N et (z n ) n N définies par : x 0 = 1 x n+1 = 4x n 2(y n + z n ) y 0 = 0 et n N, y n+1 = x n z n z 0 = 0 z n+1 = 3x n 2y n z n Exercice Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R 3 : a) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 1, 0), x 2 = (1, 0, 1) et x 3 = (0, 1, 1) b) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (2, 1, 1), x 2 = (1, 2, 1) et x 3 = (1, 1, 2) c) (x 1, x 2, x 3 ) avec x 1 = (1, 2, 1), x 2 = (1, 0, 3) et x 3 = (1, 1, 2). Exercice Calculer le rang des applications linéaires suivantes : a) f : K 3 K 3 définie par f (x, y, z) = ( x + y + z, x y + z, x + y z) b) f : K 3 K 3 définie par f (x, y, z) = (x y, y z, z x) c) f : K 4 K 4 définie par f (x, y, z, t) = (x + y t, x + z + 2t, 2x + y z + t, x + 2y + z). Exercice Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres : a b cosθ cos 2θ a) b + c c + a a + b b) cosθ cos 2θ cos 3θ c) bc ca ab cos 2θ cos 3θ cos 4θ. 0.. b b a 5 Diagonalisation. La réduction des endomorphismes est une technique mathématique qui permet de déterminer une base où la matrice de cet endomorphisme soit assez simple (diagonale, triangulaire...). Dans la suite E un espace vectoriel de dimension finie n sur K. 5.1 Définition et exemples. Définition 5.1. On dit qu un endomorphisme f d un K espace vectoriel E de dimension finie n 1 est diagonalisable s il existe une base B de E telle que la matrice mat B ( f ) - matrice de f dans la base B - soit diagonale.. Exercice 5.1. On considère l application f : R 2 R 2 1. Montrer que f est linéaire. 2. Calculer f (1, 1) et f (1, 1). 3. f est-elle diagonalisable? (x, y) (x + y, x + y) Exercice 5.2. On considère l application f : R 2 R 2. (x, y) (y, 0) 1. Montrer que f est linéaire. 2. Calculer f En déduire, par l absurde, que f n est pas diagonalisable. Exercice 5.3. Soit B = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) une base de R 4 et f un endomorphisme de R 4 donné par : f (e 1 ) = 2e 4, f (e 2 ) = 2e 3, f (e 3 ) = 2e 2, f (e 4 ) = 2e 1 Montrer que f est diagonalisable. Exercice 5.4. Soit B = (e 1,..., e n ) une base d un K espace vectoriel E de dimension finie n 1 et f un endomorphisme de E ( f L(E)). 1. On suppose que : j 1,..., n, λ j K : f (e j ) = λ j e j. Montrer que f est diagonalisable. 2. On suppose que la matrice de f dans la base B est une matrice diagonale D = diag(λ 1,..., λ n ). Calculer f (e j ) pour j 1,..., n. Remarque 5.1. Pour construire une base B de E dans laquelle la matrice de f est diagonale, on commence par chercher des scalaires λ de K et des vecteurs x de E 0 E tels que f (x) = λ.x. Pour faciliter la tache, on va donner des noms à ces λ et ces x. 5.2 Valeur propre et vecteur propre. Définition 5.2. E un K espace vectoriel de dimension finie n 1 et f un endomorphisme de E. On dit que : 1. λ K est une valeur propre de f s il existe un vecteur x de E non nul tel que f (x) = λ.x. L ensemble des valeurs propres de f, noté Sp( f ) est appelé le spectre de f. 2. x E est un vecteur propre de f si x = 0 et il existe λ K tel que f (x) = λ.x.. Mr. Faress Moussa 8/10 7 août 2011

9 Exercice 5.5. Soit l application f : ( M 2 (R) ) ( M 2 (R) a b a b c d c d 1. Montrer que f est un endomorphisme de M 2 (R). ( ) Vérifier que x = est un vecteur propre de f Montrer que 1 est une valeur propre de f. ). Exercice Soit λ 1 et λ 2 deux valeurs propres de f. Montrer que la somme des sous-espaces propres E λ1 ( f ) et E λ2 ( f ) est directe. Exercice Soit l application linéaire f : R 3 R 3 (x, y, z) (x, x + 2y, x + 2y + 3z) 1. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de f. 2. Déterminer une base de R 3 où la matrice de f est diagonale. Exercice 5.6. Soit f : C (R, R) C (R, R) y y 1. Montrer que x e 2x est un vecteur propre de f. 2. Vérifier que 3 est une valeur propre de f. 3. Déterminer le Sp( f ). Exercice 5.7. Soit f L(E). Montrer que : 0 valeur propre de f f est non injective. Exercice 5.8. Soit f L(E) et λ K. 1. Montrer que : λ valeur propre de f det( f λid E ) = Compléter Sp( f ) = Exercice 5.9. Déterminer la matrice dans la base canonique et le spectre de l application linéaire suivante : a) f : R 2 R 2, b) f : R 3 R 3 (x, y) (x + 2y, 2x + y) (x, y, z) (x, x + 2y, x + 2y + 3z) Exercice Déterminer une base de R 2 où la matrice de l application linéaire f : R 2 R 2 est diagonale. (x, y) (x + 2y, 2x + y) 5.3 Sous-espace propre. Définition 5.3. E un K espace vectoriel, f L(E) et λ une valeur propre de f. Le sous-espace vectoriel de E, E λ ( f ) = Ker( f λ.id E ) est appelé le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ. Exercice Soit λ K. Montrer que : Ker( f λ.id E ) = 0 λ n est pas valeur propre de f. 5.4 Valeur et vecteur propre d une matrice. Définition 5.4. A une matrice carrée d ordre n. On dit que : 1. λ K est une valeur propre de A s il existe un vecteur X de M n,1 (K) non nul tel que A.X = λ.x. L ensemble des valeurs propres de f, noté Sp(A) est appelé le spectre de A. 2. X M n,1 (K) est un vecteur propre de A si X = 0 et il existe λ K tel que A.X = λ.x. ( ) 1 1 Exercice Soit A = 1 1 ( ) 1 1. Vérifier que X = est un vecteur propre de A est elle une valeur propre de A?. Exercice Soit λ K et A M n (K). 1. Montrer que : λ valeur propre de A det(a λ.i n ) = Donner les valeurs propres de 2A (resp A 2I n ) en fonction de celles de A. 3. Vérifier que P A (X) = det(a XI n ) est un polynôme. Définition 5.5. On appelle polynôme caractéristique de : 1. A M n (K) le polynôme : P A (X) = det(a XI n ). 2. f L(E) le polynôme : P f (X) = det( f XI n ). Exercice Déterminer le polynôme caractéristique et le spectre de A dans les cas suivants : a) A = 0 2 3, b) A = 1 2 1, c) A = Mr. Faress Moussa 9/10 7 août 2011

10 Exercice Soit A M n (K). montrer que le polynôme caractéristique de A est de degré n et de coefficient dominant ( 1) n. Exercice Soit A M n (K) et λ une valeur propre de A. Montrer que si m est l ordre de multiplicité de λ dans P A (X) alors 1 dim(e λ (A)) m. 5.5 Matrice diagonalisable. Définition 5.6. On dit d une matrice A M n (K) est diagonalisable si son endomorphisme f A canoniquement associé est diagonalisable. f A est donné par : f A : K n K n avec X et Y sont les x y = f A (x)/y = A.X matrices colonnes des vecteurs x et y dans la base canonique de K n. Exercice Soit A M n (K). Montrer que A est diagonalisable si et seulement si il existe P GL n (K) telle que P 1 AP soit diagonale. (i.e A est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.) ( ) Montrer que A = est diagonalisable. 1 1 Exercice Montrer que si A M n (K) est diagonalisable alors A k est diagonalisable pour tout k N Exercice Montrer que A = n est pas diagonalisable Exercice On considère les matrices suivantes : A = 1 1 1, B = 1 9 1, C = Diagonaliser la matrice A. 2. En déduire la diagonalisation de B et C. 5.6 Somme des sous-espaces propres. Rappel : E 1,..., E p des sous-espaces de E. 1. On dit que la somme E E p est directe, et on note E k si : (x 1,..., x p ) E 1... E p : x x p = 0 = x 1 =... = x p = Si B 1,..., B p sont des bases (resp) de E 1,..., E p alors : B = B 1... B p p est une base de E si et seulement si E = E k. B est dite base adaptée à la décomposition E = E k. p k=1 Exercice Montrer que si λ 1,..., λ p sont des valeurs propres deux à deux distinctes de f L(E) alors la somme E λ1 ( f ) E λp ( f ) est directe. Exercice Soit E λ1,..., E λp les sous-espaces propres de f.montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E = E λ1... E λp. k=1 2. Il existe une base de E formée des vecteurs propres de f. 3. Il existe une base B de E telle que mat B ( f ) soit diagonale. (i.e f est diagonalisable). p k=1 Mr. Faress Moussa 10/10 7 août 2011