Mathématiques - ECS1. Fonctions convexes. 30 avenue de Paris Versailles. c 2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

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1 Mathématques - ECS1 0 Fonctons convexes Lcée La Bruère 30 avenue de Pars Versalles c 016, Polcopé du cours de mathématques de premère année.

2 0 Fonctons convexes. 0.1 Obectfs Défnton des fonctons convexes, fonctons concaves. Pont d nflexon. Généralsaton de l négalté de convexté. Caractérsaton des fonctons convexes de classe C 1. Caractérsaton des fonctons convexes et concaves de classe C. Une foncton est convexe sur un ntervalle I s (x 1, x ) I, (t 1, t ) [0, 1] tels que t 1 +t = 1, f (t 1 x 1 + t x ) t 1 f (x 1 ) + t f (x ). Interprétaton géométrque. Les étudants devront savor que s f est de classe C 1, alors f est convexe s et seulement s l une des deux propostons est vérfée : f est crossante ; C f est au-dessus des tangentes. 0. Fonctons convexes d une varable réelle Dans tout ce qu sut, I est un ntervalle de R contenant au mons deux ponts Défntons et exemples. Défnton 1. Sot f : I R. On dt que f est convexe lorsque x 1 I, x I, (t 1, t ) [0, 1] tels que t 1 + t = 1, f (t 1 x 1 + t x ) t 1 f (x 1 ) + t f (x ). Lorsque t 1 + t = 1, on a t = 1 t 1 donc la défnton précédente se reformule de manère équvalente en la Défnton. Sot f : I R. On dt que f est convexe lorsque x I, I, λ [0, 1], f (λx + (1 λ)) λ f (x) + (1 λ) f () Sot C f la courbe représentatve de f, A = (x, f (x)) et B = (, f ()) avec x <, deux ponts de C f. Le réel x λ = λx + (1 λ) décrt tout le segment [x, ] lorsque λ parcourt l ntervalle [0, 1]. Le réel f (x λ ) est l ordonnée du pont M λ de C f d abscsse x λ : M λ = (x λ, f (x λ )).

3 0. Fonctons convexes d une varable réelle 3 Le réel λ f (x) + (1 λ) f () est l ordonnée du pont P λ du segment [A, B] d abscsse x λ : P λ = (x λ, λ f (x) + (1 λ) f ()). La caractérsaton précédente revent donc à dre que f est convexe s et seulement s quel que sot λ [0, 1] le pont M λ est au dessous de P λ, c est à dre encore que f est convexe s et seulement s pour tous x < dans I la courbe de f [x,] est stuée au dessous de la corde [(x, f (x)), (, f ())]. f () C f λ f (x) + (1 λ) f () P λ f (x) f (λx + (1 λ)) M λ x (1 λ)x + λ Défnton 3. Sot f : I R. On dt que f est concave lorsque x I, I, λ [0, 1], f (λx + (1 λ)) λ f (x) + (1 λ) f () Remarque 1. La foncton f est concave s et seulement s f est convexe. Exemple 1. (a) Une foncton affne est à la fos convexe et concave : s pour x R, f (x) = ax + b alors f (λx + (1 λ)) = a(λx + (1 λ)) + b = λ(ax + b) + (1 λ)(a + b) = λ f (x) + (1 λ) f () (b) La foncton f : x R x est convexe. f (λx + (1 λ)) = (λx + (1 λ)) = λ x + (1 λ) + λ(1 λ)x λ x + (1 λ) + λ(1 λ) x + (λ + λ(1 λ))x + ((1 λ) + λ(1 λ)) λ f (x) + (1 λ) f () (c) La foncton f : x R x est convexe sur R : f (λx + (1 λ)) = λx + (1 λ) λx + (1 λ), ( negalte trangulare ) λ x + (1 λ), ( car λ 0, 1 λ 0) λ f (x) + (1 λ) f ()

4 4 Fonctons convexes. Exercce 1. Soent I, J deux ntervalles, f : I J et g : J R deux fonctons convexes. Est ce que g f est convexe? Quelle hpothèse supplémentare peut on fare pour obtenr la convexté de g f? 0.. Caractérsatons d une foncton convexe. Proposton 1. Sot f : I R. Pour que f sot convexe, l faut et l sufft que tout arc de la courbe de f sot au dessous de la corde qu le sous-tend. Proposton. Sot f : I R. Pour que f sot concave, l faut et l sufft que tout arc de la courbe de f sot au dessus de la corde qu le sous-tend. Proposton 3 (Inégalté de convexté). Sot f : I R. Pour que f sot convexe, l faut et l sufft que n N, (x 1,..., x n ) I n, (λ 1,..., λ n ) [0, 1] n, tels que n n f λ x λ f (x ) n λ = 1, Remarque. S f est convexe, en chosssant λ = 1, 1 n, on a en partculer n n x f n 1 n f (x ) n Exercce. Sot f : R R une foncton convexe et maorée. Montrer que f est constante sur R. Donner un exemple de foncton convexe maorée non constante sur ]0, + [. 0.3 Convexté et dérvablté Proposton 4. Sot f : I R une foncton dérvable. Pour que f sot convexe l faut et l sufft que f sot crossante.

5 0.3 Convexté et dérvablté 5 Corollare 5. Sot f : I R une foncton deux fos dérvable. (1) Pour que f sot convexe l faut et l sufft que f sot postve sur I. () Pour que f sot concave l faut et l sufft que f sot négatve sur I. Exemple. (1) La foncton exponentelle est convexe sur R pusqu elle est de classe C d sur R et pour tout x R, dx ( ex ) = e x > 0. () La foncton ln est concave sur ]0, + [ pusqu elle est de classe C sur ]0, + [ et pour d 1 tout x R, (ln x) = dx x < 0. (3) la foncton sn est concave sur [0, π] pusqu elle est de classe C sur [0, π] et pour tout d x [0, π], (sn x) = sn(x) 0. Par contre, sn est convexe sur [ π, 0] pusque dx pour π x 0, sn (x) = sn(x) 0.

6 6 Fonctons convexes. Exercce 3. Montrer que pour tout x [0, π ], x sn x x. En dédure que pour tout π a, b R tels que 0 < a < b < π, a sn a b sn b π a b. Exercce 4. Montrer que pour tout x > 0, x 1 ln x x 1 1 x. Exercce 5. Applcaton de la convexté à l obtenton d négaltés : (a) Soent x 1,..., x n des réels strctement postfs. Montrer que 1 n n x 1 n x n (b) En dédure que x 1 x + x x x n x 1 n. Proposton 6. Sot f : I R une foncton dérvable. Les énoncés suvants sont équvalents : (1) f est convexe. () Pour tout x I et tout a I, f (x) f (a) + (x a) f (a) L équaton = f (a) + (x a) f (a) est l équaton rédute de la tangente à la courbe représentatve de f au pont (a, f (a)). La proprété précédente sgnfe donc que la courbe représentatve d une foncton convexe reste au dessus de toutes ses tangentes. = f (x) a

7 0.4 Exercces. 7 On obtent une caractérsaton de la concavté pour les fonctons dérvables en renversant le sens de l négalté dans la proposton précédente. Graphquement, une foncton est concave s et seulement s elle est stuée au dessous de toutes ses tangentes. Exemple 3. Quelques négaltés de convexté (a) La foncton ln est concave sur ]0, + [ donc pour tout x > 0, ln x ln 1 + (ln 1)(x 1) sot ln x x 1 (b) La foncton exp est convexe sur R donc pour tout x R, e x exp(0)+exp (0)x = 1+x. (c) La foncton x ]0, + [ x est concave sur ]0, + [ donc pour tout x > 0, x (x 1) = 1 (x + 1) Défnton 4. Sot f : I R une foncton deux fos dérvable et a I. On dt que (a, f (a)) est un pont d nflexon de la courbe représentatve de f s f s annule au pont a en changeant de sgne. Graphquement, un pont d nflexon correspond à un pont où la courbe représentatve de f change de concavté. Supposons f deux fos dérvable sur ]a ε, a + ε[ avec f (x) 0 pour tout x [a ε, a] et f (x) 0 pour tout x [a, a + ε]. Sur [a ε, a], la foncton f est donc concave et l arc de courbe correspondant est donc en dessous de la tangente au pont (a, f (a)). Sur [a, a + ε], la foncton f est donc convexe et l arc de courbe correspondant est donc au dessus de la tangente au pont (a, f (a)). La courbe de f traverse sa tangente au pont (a, f (a)). Exercce 6. Sot f : x R ax 3 + bx + cx + d où a, b, c, d sont quatre réels avec a 0. Montrer que la courbe représentatve de f possède un pont d nflexon dont on précsera l abscsse. 0.4 Exercces. Exercce 7. Etuder la convexté des fonctons défnes par les formules suvantes :

8 8 Fonctons convexes. (1) f (x) = ex + e x () f (x) = ex e x (3) f (x) = x ln x x (x 1) (4) f (x) = x e 1 x Exercce 8. En utlsant la concavté de la foncton ln, montrer que x > 0, > 0, z > 0, 3 x + + z xz. 3 Exercce 9. Sot f : R R une foncton convexe et maorée. Montrer que f est constante sur R. Donner un exemple de foncton convexe maorée non constante sur ]0, + [. Exercce 10. Sot f une foncton convexe sur R et des nombres réels a 1, a,..., a n, a n+1 tels que Montrer que a 1 a a 3... a n et a n+1 = a 1. n a k f (a k+1 ) k=1 n f (a k )a k+1 k=1 Exercce 11. Etuder la convexté de de x x ln x et en dédure, pour tous réels strctement postfs x > 0, > 0, a > 0, b > 0, l négalté x ln x a + ln x + (x + ) ln b a + b. Exercce 1. Etablr, pour tous réels x et tels que x > 1, > 1, l négalté ln x + ln x ln Exercce 13. Etuder la concavté et les ponts d nflexons de la courbe représentatve de f pour f (x) = e x, x R. Fare de même pour f (x) = sn x cos x, x R.

9 0.5 Indcatons pour les exercces 9 Exercce 14. Sot f : [1, + [ R de classe C 1 et convexe. Montrer que pour tout n, 0 1 n 1 n ( f (1) + f (n)) + f (k) f (x) dx ( f (n) f (1)) k= Exercce 15. Sot f : R + R convexe et bornée. Montrer que f est décrossante. 0.5 Indcatons pour les exercces 0.6 Correcton des exercces

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