MODULE 1 CONNAISSANCES DE BASE INTRODUCTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE Fabrice EMERIAULT. Documents pédagogiques internes au Mastère TOS

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1 MODULE 1 CONNAISSANCES DE BASE INTRODUCTION À LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE Fabrice EMERIAULT

2 PLAN Introduction générale Grands principes de la MEF Lois de comportement Linéaire élastique parfaitement plastique Mohr Coulomb Elasto-plastique avec écrouissage - Hardening soil Prise en main du logiciel Plaxis Choix des ingrédients d un modélisation numérique et validation

3 INTRODUCTION GÉNÉRALE

4 MODÉLISATION NUMÉRIQUE De plus en plus utilisée pour analyser: La faisabilité des ouvrages Les différents choix de conception Le dimensionnement des différents éléments de structure ou paramètres de creusement Evaluer l impact sur la surface (tunnels peu profonds) L analyse en retour des ouvrages en cours de réalisation ou a posteriori Modélisation numérique par Eléments Finis / Différences Finies: Codes Plaxis, CESAR, FLAC, TNO Diana, Il faut cependant être conscient des limites des outils et de la difficulté à les alimenter en paramètres.

5 ELÉMENTS FONDAMENTAUX Type d analyse adaptée au problème posé: 2D 2,5 D 3D Géométrie du problème Couches de sol, Eléments de structure, Environnement (ouvrages existants en interaction) Sollicitation(s) apportée(s) Sollicitations permanentes sollicitations dynamiques ou variables Effet du temps (consolidation, fluage, )

6 ELÉMENTS FONDAMENTAUX Phénomènes Mécaniques Hydrauliques Thermiques Maillage Type d éléments Densité moyenne / raffinement local Conditions aux limites Mécaniques Hydrauliques

7 ELÉMENTS FONDAMENTAUX Comportement des matériaux: sols, structures, interfaces, Mécaniques: élastiques, élasto-plastiques, viscoélastiques/plastiques, Hydrauliques couplage Caractéristiques des matériaux Résultats d essais adaptés Corrélations Valeurs types

8 ELÉMENTS FONDAMENTAUX Etat initial Contraintes dans le sol Pressions interstitielles Écoulements

9 GRANDS PRINCIPES DE LA MEF

10 GRANDS PRINCIPES DE LA MEF Objectifs Eléments finis et évaluation des déplacements Déformations Loi de comportement ou loi constitutive Matrice de rigidité (élément -> globale) Prise en compte des conditions aux limites Résolution des équations Illustration dans le cas 2D et avec un comportement élastique linéaire

11 OBJECTIFS Donner une solution approchée à un «problème aux limites». Le domaine d étude est représenté par un assemblage d éléments de forme géométrique définie et connectés les uns aux autres En certain points de ces éléments on cherchera à évaluer: Déplacements Déformations Contraintes Efforts 2 types de points: Nœuds Points de Gauss

12 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Elément fini: Région de forme générale définie (triangulaire ou quadratique en 2D) Comportant des nœuds définis sur les frontières ou à l intérieur de l élément Triangle T3 Triangle T6

13 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Elément fini: Région de forme générale définie (triangulaire ou quadratique en 2D) Comportant des nœuds définis sur les frontières ou à l intérieur de l élément Connaissant les valeurs de déplacements aux nœuds de l élément, on peut déduire les déplacements en tout point de l élément à partir d une fonction polynomiale (fonction de forme): v M f M u n N n n ) ( ) ( 1 = = y b xy b x b y b x b b y x v y a xy a x a y a x a a y x u ), ( ), ( = = Cas du Triangle T6

14 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Elément fini: Région de forme générale définie (triangulaire ou quadratique en 2D) Comportant des nœuds définis sur les frontières ou à l intérieur de l élément Connaissant les valeurs de déplacements aux nœuds de l élément, on peut déduire les déplacements en tout point de l élément à partir d une fonction polynomiale (fonction de forme). Suivant le nombre de points, l approximation en chaque point de l élément sera plus ou moins précise et demandera plus ou moins de temps de calcul.

15 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Elément fini: Région de forme générale définie (triangulaire ou quadratique en 2D) Comportant des nœuds définis sur les frontières ou à l intérieur de l élément Connaissant les valeurs de déplacements aux nœuds de l élément, on peut déduire les déplacements en tout point de l élément à partir d une fonction polynomiale (fonction de forme). Le nombre de degrés de liberté diffère suivant le type d analyse (2D ou 3D).

16 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Les déplacements aux nœuds étant connus ainsi que la fonction d interpolation, on peut déterminer les déformations: + = ε x u x u i j j i ij 2 1 On peut écrire de manière condensée: x x i j ( ) ( )y b a x a b a b y b x b b y a x a a xy yy xx = γ + + = ε + + = ε Cas du Triangle T6 [ ] U B = ε = v u v u U n n.. 1 1

17 ELÉMENTS FINIS ET ÉVALUATION DES DÉPLACEMENTS Les déplacements aux nœuds étant connus ainsi que la fonction d interpolation, on peut déterminer les déformations La loi de comportement permet de passer des déformations aux contraintes. Les contraintes permettent ensuite de déterminer des forces nodales. Plus exactement elles sont introduites dans les équations qui par leur résolution permettent de trouver les déplacements nodaux

18 LOI DE COMPORTEMENT Relation entre contraintes et déformations dans un élément de volume de matériau Elasticité isotrope linéaire: Loi de Hooke σ = ij Dijkl ε kl ε ε ε ε ε ε = 1 E ν E ν E ν E 1 E ν E ν E ν E 1 E 1 + ν E 1 + ν E 1 + ν E σ σ σ σ σ σ

19 LOI DE COMPORTEMENT Relation entre contraintes et déformations dans un élément de volume de matériau Elasticité isotrope linéaire: Loi de Hooke σ = ij Dijkl ε kl En général les sols présentent un comportement élastoplastique avec élasticité non linéaire et plusieurs mécanismes de déformation plastique D ijkl dépend de l état de contrainte et de l histoire de chargement La loi de comportement peut être écrite de manière incrémentale

20 MATRICE DE RIGIDITÉ Pour un élément, étant donnée la loi de comportement et à l aide d un principe variationnel, on peut établir la relation existante entre les déplacements nodaux et les forces nodales: P U K elt elt elt = K elt est la matrice de rigidité de l élément = v u v u v u U elt u 1 v 1 = Q P Q P Q P Pelt

21 MATRICE DE RIGIDITÉ Pour un élément, étant donnée la loi de comportement et à l aide d un principe variationnel, on peut établir la relation existante entre les déplacements nodaux et les forces nodales: Car Et T K elt = B DB dv [ ε] = B U V [ σ] = D [ ε] u 1 v 1 K elt est la matrice de rigidité de l élément

22 MATRICE DE RIGIDITÉ Pour un élément, étant donnée la loi de comportement et à l aide d un principe variationnel, on peut établir la relation existante entre les déplacements nodaux et les forces nodales: T K elt = B DB dv V K elt est déterminée par une intégration numérique qui nécessite la définition de points à l intérieur de l élément qui permettent de réduire l intégration numérique à une somme pondérée Points d intégration ou de Gauss

23 MATRICE DE RIGIDITÉ Pour un domaine constitué de l assemblage d éléments, il est possible d en déduire une relation globale: K U = P U u1 v 1. =. un vn K est la matrice de rigidité globale du domaine K est une matrice carrée (sa dimension est égale au nombre de degrés de libertés)

24 MATRICE DE RIGIDITÉ Si la loi de comportement est élastique, K est symétrique. Une numérotation des nœuds adaptée permet d obtenir une matrice quasi vide si ce n est sur une bande diagonale. L efficacité du calcul (réduction du temps de calcul) dépend de l optimisation des procédures de numérotation des nœuds et de stockage des éléments de la matrice K.

25 PRISE EN COMPTE DES CONDITIONS AUX LIMITES D un point de vue mécanique, deux types de conditions aux limites: En déplacements En forces Certains termes des vecteurs U et P sont donc connus

26 RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS Objectif: déterminer les déplacements aux nœuds des éléments Le système K U = P peut être résolu (après prise en compte des valeurs connues pour certains éléments de U et P résultant des conditions aux limites La résolution permet de déterminer l ensemble des déplacements nodaux et forces nodales inconnues. Dans un deuxième temps les champs de déformations et de contraintes peuvent être évalués en chaque point de Gauss

27 LOIS DE COMPORTEMENT

28 PLAN Les différents ingrédients Linéaire élastique parfaitement plastique Mohr Coulomb Elasto-plastique avec écrouissage Hardening soil

29 LES DIFFÉRENTS INGRÉDIENTS Une loi de comportement réversible Élasticité (non) linéaire Un critère de plasticité (de rupture?) Déformations plastiques quand? Une loi d écoulement Déformations plastiques quelle direction? Une condition de consistance Déformations plastiques quelle ampleur? Une loi d écrouissage Quelle évolution pour le critère de plasticité?

30 LOI DITE DE «MOHR-COULOMB» Le modèle de base pour la decsription du comportement des sols Avantage de la simplicité et du faible nombre de paramètres Mais des inconvénients dont il faut être conscient! Principalement conçu pour réprésenter le comportement sous sollicitation triaxiale des sols

31 NÉCESSITÉ DE CONSIDÉRER LA PLASTICITÉ L élasticité est traduite par une relation fixe entre contrainte et déformation: Si on effectue un cycle de contrainte, on obtient un cycle plat de déformation L incrément de déformation résultant est le même en valeur absolu suivant qu un incrément de contrainte est appliqué en chargement ou en déchargement Ce n est pas le cas pour un grand nombre de matériaux, dont les sols.

32 NÉCESSITÉ DE CONSIDÉRER LA PLASTICITÉ Si on effectue un cycle de contrainte, on obtient un cycle plat de déformation L incrément de déformation résultant est le même en valeur absolu suivant qu un incrément de contrainte est appliqué en chargement ou en déchargement L apparition de plasticité se traduit par une dissipation d énergie

33 CRITÈRE DE PLASTICITÉ Critère qui traduit l apparition en cours de sollicitation de déformations plastiques = irréversibles Critère = fonction de l état de contrainte σ et faisant apparaitre une limite (un scalaire σ y par exemple) f = σ - σ y f ne peut être par définition que négatif ou nul: f < 0 seules sont générées des déformations élastiques f = 0 développement de déformations plastiques

34 CRITÈRE DE PLASTICITÉ Dans le cas du modèle de Mohr-Coulomb, on suppose une plasticité parfaite: Critère de plasticité = critère de rupture f définit donc la zone de l espace des contraintes admissible avec [ σ] σ σ σ = σ σ σ xx yy zz xy xz yz

35 CRITÈRE DE PLASTICITÉ Dans le cas de matériaux métalliques, le critère de plasticité est indépendant de la pression moyenne appliquée au matériau. Les critères classiques sont Von Mises et Tresca Ils sont écrits en contraintes principales [ ] σ σ σ = σ

36 CRITÈRE DE PLASTICITÉ Dans le cas des sols, le critère de plasticité dépend de la pression moyenne appliquée au matériau. Le mécanisme principal conduisant à la plasticité est un mécanisme de frottement Analogie avec le frottement d un solide sur un plan incliné: Ν Τ W α τ N = W. cos(α) T = W. sin(α) Soit T = N tg (α) Au glissement: tan φ tg(α) = f soit (f=t/n) c où f cœfficient de frottement

37 CRITÈRE DE PLASTICITÉ Dans le cas du modèle de Mohr-Coulomb, on suppose une plasticité parfaite: Le critère de plasticité est assimilé au critère de rupture de Mohr-Coulomb Ou τ max f = c + σ tan φ = τ c σ tan φ 0 Avec c cohésion du matériau et φ angle de frottement

38 CRITÈRE DE PLASTICITÉ τ = + σ tan φ 1 2 max c f = ( ) + ( ) sin φ ccosφ 0 τ σ σ 1 2 σ + σ q q=σ 1 -σ 3 ε z σ La courbe intrinsèque est la courbe enveloppe des cercles de Mohr à la rupture

39 CRITÈRE DE PLASTICITÉ τ = + σ tan φ 1 2 max c f = ( ) + ( ) sin φ c cos φ 0 σ σ 1 2 σ + σ

40 LOI D ÉCOULEMENT POTENTIEL PLASTIQUE Le critère de plasticité permet de déterminer si lors d un incrément de chargement il y a apparition de déformations plastiques: f(initial) < 0 et f(final) =0, il y a déformation plastique f(initial) = 0 et f(final) = 0, il y a déformation plastique f(initial) = 0 et f(final) < 0, il n ya pas de déformation plastique La principale question est de savoir: Quelle est la direction de l incrément de déformation plastique? Quelle est l amplitude de ces déformations? On introduit pour cela les notions: De potentiel plastique (une fonction scalaire g de σ) De multiplicateur plastique λ (un scalaire) Pour déterminer l incrément de déformation plastique g( σ) σ est la normale à la surface représentant g & p ε = λ g( σ) σ

41 LOI D ÉCOULEMENT POTENTIEL PLASTIQUE La première idée pourrait être de prendre g égale à f On dira alors que le matériau est standard ou que la loi d écoulement est associée Pour les matériaux métalliques, cette hypothèse est correcte Pour les sols, elle ne l est pas car on développe trop de déformation plastique volumique (en dilatance) τ, δγp g( σ) f ( σ) = σ σ φ f ( σ) = 0 σ, δεp

42 QUELQUES RAPPELS Sol lache: e > e cr Contractance q Etat critique ε 1 ε 1 Sol dense: e < e cr Dilatance q Etat critique ε v ε v ε 1 ε 1

43 f LOI D ÉCOULEMENT POTENTIEL PLASTIQUE Une deuxième idée est de considérer g de forme identique à f mais avec des paramètres différents. Le matériau est non standard et la loi d écoulement est non associée. 1 1 = σ σ3 σ1 + σ3 c 2 2 ( ) + ( ) sin φ cosφ 0 1 τ, δγp g( σ) f ( σ) σ σ Angle de dilatance 1 1 g = σ1 σ3 σ1 + σ3 sin ( ) + ( ) ψ cste φ ψ f ( σ) = 0 g( σ) = 0 σ, δεp

44 LOI D ÉCOULEMENT POTENTIEL PLASTIQUE Une deuxième idée est de considérer g de forme identique à f mais avec des paramètres différents. Le matériau est non standard et la loi d écoulement est non associée. Cette hypothèse est retenue pour le modèle de Mohr Coulomb car elle permet de rendre compte du développement de déformations plastiques volumiques plus en conformité avec la réalité τ, δγp g( σ) f ( σ) σ σ φ ψ f ( σ) = 0 g( σ) = 0 σ, δεp

45 QUELQUES RAPPELS Contractance Matériau lâche Matériau dense Dilatance

46 CONDITION DE CONSISTANCE Cette condition permet de déterminer le multiplicateur plastique λ et donc l amplitude des déformations plastiques. & p ε g( σ) = λ σ Elle permet de vérifier qu au cours d une sollicitation induisant des déformations plastiques, on reste sur le critère de plasticité (f=0): f σ & σ = 0

47 RÉSUMÉ DU MODÈLE DE MOHR-COULOMB C est un modèle linéaire élastique parfaitement plastique avec critère de rupture de Mohr-Coulomb et loi d écoulement non associée 5 paramètres: E et ν paramètres élastiques linéaires isotropes C et φ paramètres de rupture Ψ = angle de dilatance.

48 RÉSUMÉ DU MODÈLE DE MOHR-COULOMB Réponse triaxiale: q ε v E ε 1 ε 1 tan α = 2 sin ψ / (1-sinψ) 1-2 ν

49 INCONVÉNIENTS DU MODÈLE DE MOHR- COULOMB Allure des courbes triaxiale parfois très éloignée de la réalité En particulier phénomène de radoucissement observable pour les sols denses Prédiction d une résistance à la traction pouvant être forte Approche linéaire de la courbe intrinsèque valable uniquement dans une «faible» gamme de contrainte Elasticité constante non prise en compte de l effet de la pression moyenne sur la valeur du module

50 LOI ÉLASTO-PLASTIQUE AVEC ÉCROUISSAGE HARDENING SOIL MODEL Le hardening soil model est un modèle élasto-plastique implanté dans Plaxis qui permet de pallier les défauts du modèle de Mohr-Coulomb. Il prend en compte un écrouissage (critère de plasticité qui évolue au cours des sollicitations) Il présente 2 mécanismes plastiques: déviatoire et isotrope Le comportement élastique est non linéaire et dépend de l état de contrainte Il distingue un comportement en chargement du comportement en déchargement

51 LOI ÉLASTO-PLASTIQUE AVEC ÉCROUISSAGE HARDENING SOIL MODEL Le critère de plasticité est différent du critère de rupture du sol (il est contenu à l intérieur). Il va évoluer au cours des sollicitations: sa forme générale reste la même mais sa taille évolue.

52 ECROUISSAGE MÉCANISME DÉVIATOIRE Le mécanisme déviatoire est mobilisé quand des sollicitations de cisaillement sont appliquées au sol (par exemple lors d un essai triaxial) Il peut être vu comme une mobilisation progressive de l angle de frottement avec la sollicitation et avec le développement de déformations plastiques φ Φ mobilisé q ε 1

53 ECROUISSAGE MÉCANISME DÉVIATOIRE Ce mécanisme déviatoire se traduit par le développement de déformations plastiques volumique et déviatoire.

54 ECROUISSAGE MÉCANISME ISOTROPE Le mécanisme plastique isotrope permet de représenter le comportement en compression du sol et la préconsolidation du sol (liée à l histoire de chargement) L objectif est par exemple de pouvoir représenter ce qui se passe dans un essai oedométrique. σ Changement de comportement au voisinage de σ p H/H

55 ECROUISSAGE MÉCANISME ISOTROPE q Κ 0 p p p σ σ p H/H

56 ECROUISSAGE MÉCANISME COMPLET Les deux mécanismes plastiques peuvent évoluer indépendemment uniquement par expansion

57 DESCRIPTION GÉNÉRALE DU HSM En plus des éléments évoqués pour le modèle de Mohr- Coulomb: Loi de comportement élastique Critère de plasticité Loi d écoulement Condition de consistance On a besoin ici d une règle d écrouissage, c est-à-dire la façon dont le critère de palsticité évolue avec la sollicitation 57

58 RÈGLE D ÉCROUISSAGE Pas donnée ici dans le détail Elle permet d obtenir dans le cas d un chargement triaxial une courbe contrainte déformation de forme hyperbolique qui coïncide avec celle proposée par Duncan et Chang. 58

59 LES MODULES 3 modules sont utilisés: Module de chargement sécant à 50 % de la rupture Module de déchargement-rechargement Module oedométrique Elle permet d obtenir dans le cas d un chargement triaxial une courbe contrainte déformation de forme hyperbolique qui coïncide avec celle proposée par Duncan et Chang. 59

60 LES MODULES Ces modules sont non-linéaires et déterminés à partir de leur valeur pour une pression de référence (100 kpa) par défaut 0,5 < m < 1 60

61 LES MODULES Ces modules sont non-linéaires et déterminés à partir de leur valeur pour une pression de référence (100 kpa) par défaut 61

62 PRESSION DE PRÉCONSOLIDATION Elle est déterminée à partir de la contrainte verticale effective initiale. 2 options de calcul: Avec OCR (OverConsolidation Ratio) * σ v0 Avec POP (Pre Overburden Pressure) + σ v0 62

63 RÉSUMÉ DU MODÈLE HARDENING SOIL C est un modèle élastoplastique avec critère de rupture de Mohr-Coulomb et mécanisme de plasticité isotrope et déviatoire 10 paramètres: 3 modules: E 50 ref, E ur ref, E oedo ref Un exposant m Un coefficient de Poisson en déchargement ν ur C et φ paramètres de rupture R f quotient de rupture Ψ = angle de dilatance. Préconsolidation initiale

64 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB

65 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB Essai de compression isotrope

66 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB Essai oedométrique

67 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB Essai triaxial drainé

68 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB Essai triaxial drainé

69 COMPARAISON HARDENING SOIL MODEL MODÈLE MOHR-COULOMB Essai triaxial drainé et non drainé