Calcul matriciel. 1 Ensemble des matrices Définitions Opérations sur les matrices Matrices carrées... 7

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1 Chapitre 2 Calcul matriciel Ensemble des matrices 2 Définitions 2 2 Opérations sur les matrices 3 3 Matrices carrées 7 2 Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel 2 Matrices d opérations élémentaires 22 Traduction matricielle de l algorithme de Gauss-Jordan 2 23 Opérations sur les colonnes 3 3 Matrices carrées inversibles 4 3 Définitions et exemples 4 32 Produit de matrices inversibles 6 33 Caractérisation des matrices inversibles 6 34 Méthodes pratiques de calcul de l inverse 8 Mathieu Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures PCSI au (Paris)

2 Ensemble des matrices Dans tout le chapitre K désigne l ensemble des nombres réels R ou des nombres complexes C Définitions Définition Soient n et p deux entiers ˆ On appelle matrice à n lignes et p colonnes ou matrice n p tout tableau de np éléments de K rangés sur n lignes et p colonnes Les éléments constituant une matrice n p sont appelées coefficients de la matrice et les entiers n et p sont les dimensions de la matrice ˆ Si A est une matrice n p, on notera a i,j ou [A] i,j le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne et on écrira : a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p A = (a i,j ) i n = j p a n, a n,2 a n,p S il n y a pas d ambiguïté sur le nombre de lignes et le nombre de colonnes, on pourra noter plus simplement A = (a i,j ) ˆ L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (K) ( 0 2 Exemple A = 3 5 :a,2 = 0, a 2,3 = 5 ) M 2,3 (K) La matrice A est de dimension 2 3 et on a par exemple Exemple Matrices élémentaires Dans M n,p (K), on définit pour tout i n, j p la matrice notée E i,j suivante : E i,j = 0 0, où l unique coefficient non nul égal à est en position (i, j) Les n p matrices E i,j sont appelées matrices élémentaires Définition ˆ Toute matrice n est appelée matrice colonne et toute matrice p est appelée matrice ligne On identifie les matrices avec K ˆ La matrice nulle de M n,p (K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls On la note 0 n,p, ou 0 n si n = p ˆ La matrice identité d ordre n est la matrice de M n,n (K) dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à, les autres étant égaux à 0 Cette matrice est notée I n 2

3 2 Opérations sur les matrices Addition et produit par un scalaire Définition ˆ Si A, B M n,p (K), on définit la matrice A + B de M n,p (K) par : (i, j) [, n] [, p], [A + B] i,j = [A] i,j + [B] i,j ˆ Si A M n,p (K) et si λ K est un scalaire, on définit la matrice λa de M n,p (K) par : (i, j) [, n] [, p], [λa] i,j = λ[a] i,j Remarque L addition de deux matrices de dimensions différentes n est pas définie Exemple = Propriété (de l addition) L addition dans M n,p (K) () est associative : (A, B, C) (M n,p (K)) 2, (A + B) + C = A + (B + C) La somme de trois matrices A, B, C pourra ainsi être notée A + B + C sans parenthèses (2) est commutative : (A, B) (M n,p (K)) 2, A + B = B + A (3) admet pour élément neutre la matrice nulle 0 n,p : A M n,p (K), 0 n,p + A = A + 0 n,p = A (4) est telle que tout élément admet un inverse : A M n,p (K), B M n,p (K), B + A = A + B = 0 Cet inverse est unique, c est B = A Preuve Soient A = (a i,j ) i n, B = (b i,j ) i n et C = (c i,j ) i n des matrices de M n,p (K) j p j p j p () Pour tout (i, j) [, n ] [, p ], on a : [A + (B + C)] i,j = a i,j + (b i,j + c i,j ) = (a i,j + b i,j ) + c i,j = [(A + B) + C] i,j Donc A + (B + C) = (A + B) + C (2) Pour tout (i, j) [, n ] [, p ], [A+B] i,j = a i,j +b i,j = b i,j +a i,j = [B+A] i,j Donc A+B = B+A (3) Pour tout (i, j) [, n ] [, p ], [A + 0 n,p ] i,j = a i,j + 0 = a i,j Donc A + 0 n,p = A Par commutativité de +, 0 n,p + A = A (4) Posons B = A Alors pour tout (i, j) [, n ] [, p ], [A + B] i,j = a i,j a i,j = 0 Donc A + B = 0 n,p Par commutativité de +, B + A = 0 n,p Enfin, si B est un autre inverse de A, on a par associativité de + : B = (B + A) + B = B + (A + B) = B 3

4 Propriété 2 (du produit par un scalaire) () λ K, (A, B) (M n,p (ℸ)) 2, λ(a + B) = λa + λb (2) (λ, µ) K 2, A M n,p (K), (λ + µ)a = λa + µa (3) (λ, µ) K 2, A M n,p (K), λ(µa) = (λµ)a Preuve La preuve est analogue à la proposition précédente et laissée en exercice Produit de deux matrices Définition Soit A M n,p (K) et B M p,q (K), on définit la matrice C = A B de M n,q (K) par : (i, j) [, n] [, q ], [C] i,j = p [A] i,k [B] k,j k= Remarque ˆ Pour calculer le coefficient [C] i,j, on procèdera selon le schéma ci-dessous (où l on a représenté en gras les coefficients de A et B utiles au calcul de c i,j ) : a, a,k a,p a i, a i,k a i,p b, b,j b,q b k, b k,j b k,q b p, b p,j b p,q = c, c,j c,q c i, c i,j c i,q a n, a n,k a n,p c n, c n,j c n,q ˆ Pour pouvoir effectuer le produit de A par B, il faut impérativement que le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B Exemple On considère les matrices A, B, C suivantes : 3 5 ( A = B = ) C = ( 0 0 ) Calculer, s ils sont définis, les produits deux à deux de ces matrices Remarque Considérons le système linéaire à n équations et p inconnues suivant : a, x + + a,p x p = b a 2, x + + a 2,p x p = b 2 (S) a n, x + + a n,p x p = b n 4

5 On avait introduit alors la matrice des coefficients associée au système A = (a i,j ) i n, la matrice j p colonne B = b b p des seconds membres, et la matrice colonne X = x x p des inconnues Avec le produit matriciel introduit ici, le système (S) précédent se réécrit ici sous la forme AX = B Ainsi, le p-uplet (x ; ; x p ) K p est solution du système (S) si et seulement si X est solution de l équation matricielle AX = B Remarques ˆ Si X = colonne : x x p M p, (K) est une matrice colonne, et si A M n,p (K), alors AX est la matrice AX = x C + + x p C p, où C i sont les colonnes de la matrice A AX est donc une combinaison linéaire des colonnes de A ˆ De même, si X = ( x x n ) M,n (K), alors XA est la matrice ligne : où L j sont les lignes de la matrice A XA = x L + + x n L n, ˆ Soient A M n,p (K) et B M p,q (K) La j-ième colonne de AB est le produit de A par la j-ème colonne de B ( j q) La i-ème ligne de AB est le produit de la i-ième ligne de A par B ( i n) Propriété 3 (du produit matriciel) () Le produit matriciel est associatif : (A, B, C) M n,p (K) M p,q (K) M q,r (K), (AB)C = A(BC) Ainsi, le produit de trois matrices A, B et C pourra être noté ABC sans parenthèses (2) Le produit matriciel est distributif par rapport à l addition : (A, B, C) M n,p (K) M p,q (K) M p,q (K), A(B + C) = AB + AC, et (A, B, C) M n,p (K) M n,p (K) M p,q (K), (A + B)C = AC + BC (3) (A, B, C) M n,p (K) M p,q (K) M p,q (K), λ K, λ(a B) = (λa) B) = A (λb) (4) Pour toute matrice A = (a i,j ) de M n,p, on a: I n A = A et A I p = A, 0 n A = 0 n,p et A 0 p = 0 n,p Preuve Montrons l associativité du produit matriciel (les autres points se démontrent de la même façon) Soient A = (a i,j ) i n, B = (b i,j ) i p et C = (c i,j ) i q des matrices Alors A (B j p j q j r 5

6 C), (A B) C M n,r (K), et pour tout (i, l) [, n ] [, r ], on a : [A (B C)] i,l = et p a i,j [B C] j,l = j= p a i,j j= k= q b j,k c k,l = p q a i,j b j,k c k,l j= k= q q p p q [(A B) C] i,l = [A B] i,k c k,l = a i,j b j,k c k,l = a i,j b j,k c k,l k= k= j= j= k= Donc (AB)C = A(BC) Remarques Le produit matriciel n est pas commutatif, comme le montre l exemple suivant : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = Contrairement à ce qui se passe pour la multiplication dans K, on peut avoir AB = 0 n,q avec A 0 n,p et B 0 p,q Par exemple, ( ) ( ) 0 = 0 0 ( ) Exercice Produit de matrices élémentaires dans M n,n (K) Montrer les formules suivantes : E i,k E l,j = δ k,l E i,j où δ k,l est le symbole de Kronecker : δ k,l = si k = l, 0 si k l ˆ Les lignes de E i,k sont nulles, sauf la i eme Donc les lignes de E i,k E l,j sont nulles, sauf peut-être la i eme ˆ Les colonnes de E l,j sont nulles, sauf la j eme Donc les colonnes de E i,k E l,j sont nulles, sauf peut-être la j eme ˆ Le seul coefficient de E i,k E l,j qui peut être non nul est donc en position (i, j), et c est le produit de la i eme ligne de E i,k et de la j eme colonne de E l,j Il vaut donc si k = l, et 0 sinon Transposée d une matrice Définition Soit A = (a i,j ) i n une matrice de M n,p (K) On appelle transposée de A la matrice notée t A j p de M p,n (K) et définie par : (i, j) [, p] [, n], [ t A] i,j = a j,i Autrement dit, t A est obtenue à partir de A par échange des lignes et des colonnes : a, a,2 a,p a, a 2, a n, a 2, a 2,p A = ; t a,p a n,2 A = a n, a n,2 a n,p a,p a 2,p a n,p 6

7 3 5 Exemple Calculer la transposée de A = Propriété 4 (de la transposition) () A M n,p (K), t (t A ) = A (2) λ, µ K (A, B) (M n,p (K)) 2, t (λa + µb) = λ t A + µ t B (3) A M n,p (K), B M p,q (K) t (AB) = t B t A Preuve Les deux premières formules sont immédiates à établir Montrons la troisième formule Soient A = (a i,j ) i n j p et B = (b i,j ) i p j q deux matrices Alors A B M n,q (K) est donnée par : (i, j) [, n] [, q ], c i,j = p a i,k b k,j Ainsi t (A B) est une matrice de type (q, n) telle que (j, i) [, q ] [, n], [ t (A B)] i,j = p k= a j,kb k,i D autre part, t B M q,p (K), t A M p,n (K), donc la matrice t B t A est bien définie et de type (q, n) également De plus on a pour tout (j, i) [, q ] [, n] : [ t B t A] j,i = p [ t B] j,k [ t A] k,i = k= k= p b k,j a i,k k= Ainsi on a bien t (AB) = t B t A 3 Matrices carrées L ensemble M n (K) Définition Lorsque n = p, l ensemble M n,n (K) des matrices de type (n n) est noté plus simplement M n (K) et ses éléments sont alors appelés matrices carrées d ordre n Propriété 5 L addition matricielle et le produit matriciel sont des lois de compositions internes dans M n (K), c est à dire pour tout A, B M n (K), A + B M n (K) et A B M n (K) Remarque Rappelons que : ˆ l addition est associative, commutative, et qu elle admet un élément neutre qui est la matrice nulle 0 n ; ˆ le produit est associatif, distributif par rapport à l addition, et qu il admet pour élément neutre I n 7

8 On dit alors que l ensemble M n (K) munie de l addition, du produit par un scalaire et du produit matriciel est une algèbre Cette algèbre est non commutative : en général,a B B A pour A, B M n (K) De plus, il existe des diviseurs de zéros dans M n (K) (on dit aussi que l algèbre M n (K) n est pas intègre) : A B = 0 n A = 0 n ou B = 0 n Matrices carrées particulières Définition Soit A = (a i,j ) M n (K) une matrice carrée ˆ A est dite diagonale si pour tous i j, a i,j = 0 ˆ A est dite triangulaire supérieure (resp triangulaire supérieure stricte) si, pour tous i et j tels que i > j (resp i j), a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés en dessous de la diagonale sont nuls ˆ A est dite triangulaire inférieure si, pour tous i et j tels que i < j (resp i j), a i,j = 0, c est-à-dire si tous les coefficients situés au dessus de la diagonale sont nuls Exemples Les matrices A et B suivantes sont respectivement triangulaire supérieure et triangulaire inférieure stricte : A = 0 5 et B = Remarque La transposée d une matrice triangulaire supérieure (stricte) est une matrice triangulaire inférieure (stricte) Une matrice diagonale est égale à sa transposée Propriété 6 Le produit de deux matrices diagonales (resp triangulaires supérieures (strictes), resp triangulaires inférieures (strictes)) est diagonale (resp triangulaire (stricte)) De plus, les coefficients diagonaux de AB sont les produits des coefficients diagonaux de A et de B On a ainsi (cas des matrices triangulaires supérieures) : a, b, a, b, 0 a 2,2 ( ) 0 b 2,2 ( ) = 0 a 2,2 b 2,2 ( ) 0 0 a n,n 0 0 b n,n 0 0 a n,n b n,n Preuve Montrons cette proposition lorsque A = (a i,j ) et B = (b i,j ) sont triangulaires supérieures, ie telles que j < i n, a i,j = b i,j = 0 Pour tout j < i n, on a : [A B] i,j = n i a i,k b k,j = a i,k b k,j + k= i = 0 b k,j + k= k= n a i,k b k,j k=i n a i,k 0 = 0 k=i 8

9 car pour la deuxième somme k i > j et donc b k,j = 0 Donc A B est bien triangulaire supérieure De plus, pour tout i n, [A B] i,i = n i a i,k b k,i = a i,k b k,i + a i,i b i,i + k= k= i = 0 b k,j + a i,i b i,i + k= n k=i+ n k=i+ a i,k b k,i a i,k 0 = a i,i b i,i Si A et B sont triangulaires inférieures, alors t B et t A sont triangulaires supérieures Donc t B t A est triangulaire supérieure par ce qu on a fait On obtient finalement que AB = t ( t B t A) est triangulaire inférieure Enfin, puisqu une matrice est diagonale si et seulement si elle est triangulaire supérieure et inférieure, le résultat en découle directement pour les matrices diagonales Définition Soit A M n (K) une matrice carrée ˆ On dit que A est symétrique si elle est égale à sa transposée, c est-à-dire t A = A ˆ On dit que A est antisymétrique si elle est égale à l opposée de sa transposée, c est-à-dire t A = A On notera S n (K) (resp AS n (K)) l ensemble des matrices symétriques (resp antisymétriques) de M n (K) Exemple La matrice A = antisymétrique est symétrique, la matrice B = est Remarque ˆ La diagonale d une matrice antisymétrique est toujours nulle ˆ Les ensembles S n (K) et AS n (K) sont stables par combinaison linéaire, mais ils ne sont pas stables par produit : par exemple, ( ) ( ) ( ) 0 = / S n (K) Exercice Montrer que toute matrice de M n (K) s écrit de manière unique comme une somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique Puissance d une matrice carrée Définition Pour tout entier k N et pour toute matrice A M n (K), on appelle puissance k-ième de A la matrice, notée A k, définie par: ˆ Si k = 0, A 0 = I n ˆ Si k =, A = A ˆ Si k 2, A k = A A }{{} k fois 9

10 Remarque On a pour toute matrice A M n (K) et tout k N, A A k = A k A Ainsi A commute avec toutes les puissances de A Elle commute en particulier avec tout polynôme en A (ie toute combinaison linéaire de puissances de A) Exemple Considérons la matrice A M 3 (K) définie par: A = Calculer, pour tout entier naturel k, la matrice A k 2 Exercice Soit A = 2 2 a) Montrer que A 2 = 5A 4I 3 b) Montrer que pour tout p N, il existe α p, β p R tels que A p = α p A + β p I 3 c) Déterminer une relation de récurrence satisfaite par α p et β p En déduire α p et β p en fonction de p d) En déduire A p pour tout p N Propriété 7 (Puissance d une matrice triangulaire ou diagonale) Soit A une matrice triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure, diagonale) Alors pour tout p N, A p est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure, diagonale) De plus, si λ,, λ n sont les coefficients diagonaux de A, on a : λ p λ k 0 0 λ k 0 0 A p = 0 λ p 2 ( ), resp λ k 2 ( ) 0, resp 0 λ k λ p n λ k n 0 0 λ k n Remarques ˆ Il est donc particulièrement facile de calculer les puissances d une matrice diagonale : il suffit de prendre les puissances des termes diagonaux ˆ On peut avoir A k = 0 n avec A 0 n Par exemple, ( ) A = et A 2 = ( ) Définition Une matrice A M n (K) est dite nilpotente s il existe p N tel que A p = 0 n et A p 0 n Cet entier p est unique et s appelle l ordre de nilpotence de la matrice Exemple 0

11 ( ) ˆ La matrice A = est nilpotente d ordre ˆ La matrice N = est nilpotente d ordre Remarques ˆ Plus généralement, on peut montrer que toute matrice de M n (K) triangulaire supérieure stricte ou triangulaire inférieure stricte est nilpotente d ordre n ˆ De même que pour les matrices diagonales, le calcul des puissances d une matrice nilpotente A est aisé : en effet, pour tout k p, A k = 0 n, et il suffit donc de calculer un nombre fini de puissances de A Propriété 8 (Formule du binôme de Newton) Soient A et B deux matrices de M n (K) qui commutent, c est-à-dire telles que AB = BA Alors, pour tout entier n N, (A + B) k = k i=0 ( ) k A i B k i i Preuve La preuve se fait de même que dans le cas complexe La formule du binôme de Newton, valable pour deux matrices qui commutent, permet dans certains cas de calculer la puissance d une matrice 2 6 Exemple Soit A = 0 2 Calculer A p pour tout p N Opérations élémentaires de pivot et calcul matriciel 2 Matrices d opérations élémentaires Définition On appelle opération élémentaire sur les lignes d une matrice l une des trois opérations suivantes : ˆ Multiplication d une ligne L i par un scalaire λ non nul ce que l on note L i λl i ˆ Échange des lignes L i et L j avec i j ce que l on note L i L j ; ˆ Ajout de β L j à L i avec i j ce que l on note L i L i + βλl j où β K Définition Soient i, j n et λ K On définit les matrices d opérations élémentaires suivantes On appelle

12 ˆ matrice de dilatation toute matrice carrée D i (λ) M n (K) de la forme suivante : D i (λ) = I n + (λ )E i,i = λ ˆ matrice de transposition toute matrice carrée P i,j M n (K) de la forme suivante : P i,j = (I n E i,i E j,j ) + E i,j + E j,i = ˆ matrice de transvection toute matrice carrée T i,j (λ) M n (K) de la forme suivante : λ T i,j (λ) = I n + λe i,j = Exemple Pour n = 2, on a : ( ) 0 D 2 (λ) = 0 λ ; P,2 = ( ) 0 0 ; T,2 (λ) = ( ) λ 0 22 Traduction matricielle de l algorithme de Gauss-Jordan Propriété 9 Soit A M n,p (K) () D i (λ)a est la matrice obtenue en appliquant L i λl i à A (2) P i,j A est la matrice obtenue en appliquant L i L j à A (3) T i,j (λ)a est la matrice obtenue en appliquant L i L i + λl j à A Preuve Il suffit de le vérifier directement Montrons le par exemple pour le produit T,2 (λ) A (le raisonnement général se faisant de la même façon) : λ 0 I n 2 a, a,2 a,p a 2, a 2,2 a 2,p a n, a n,2 a n,p = a, + λa 2, a,2 + λa 2,2 a,p + λa 2,p a 2, a 2,2 a 2,p a n, a n,2 a n,p 2

13 Remarque T i,j (λ) = T i,j (λ) I n, ainsi T i,j (λ) est la matrice obtenue en appliquant L i L i + λl j à I n Cette remarque permet de retrouver l expression de T i,j (λ) On peut bien sûr faire la même remarque pour les matrices D i (λ) et P i,j Théorème 0 Pour toute matrice A M n,p (K), il existe une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires, et une unique matrice échelonnée réduite par lignes R telles que E A = R Preuve Nous avions montré le résultat suivant : Toute matrice A M n,p (K) est équivalente par lignes à une matrice échelonnée réduite par lignes (qui est de plus unique) Ainsi, il existe une unique matrice R échelonnée réduite par lignes telle que A L R De plus, on passe de A à R par opérations élémentaires sur les lignes de A, en suivant par exemple l algorithme de Gauss-Jordan D après la proposition précédente, chaque étape de l algorithme correspond à multiplier à gauche par une matrice de dilatation, de permutation ou de transvection À la fin de l algorithme de Gauss-Jordan, on obtient donc : E A = R, où la matrice E est un produit de matrices d opérations élémentaires 2 Exemple On considère la matrice A = 2 On applique l algorithme de Gauss- 3 2 Jordan à A Ainsi, R = L L L 2 3 L 2 L L 3, et : { L2 L 2 + 2L L 3 L 3 3L { L L L 2 L 3 L 3 + 5L 2 { L L + 3 L 3 L 2 L 2 3 L E = T 2,3 ( /3) T,3 (/3) D 3 (3/7) T 3,2 (5) T,2 ( ) D 2 (/3) T 3, (3) T 2, (2) P,2 23 Opérations sur les colonnes Définition On dira que deux matrices A et A sont équivalentes en colonnes si on peut passer de la matrice A à la matrice A par une suite opérations élémentaires sur les colonnes de A On notera alors A C A Remarque C est une relation d équivalence sur l ensemble des matrices 3

14 Propriété Soit A M n,p (K) () AD i (λ) est la matrice obtenue en appliquant C i λc i à A (2) AP i,j est la matrice obtenue en appliquant C i C j à A (3) AT i,j (λ) est la matrice obtenue en appliquant C j C j + λc i à A En particulier, on retrouve le résultat suivant Propriété 2 Pour toute matrice A M n,p (K), il existe une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires, et une unique matrice échelonnée réduite par colonnes R telles que A E = R Remarque Si A M n,p (K) est de rang r, on a vu qu il existe une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires et une matrice R échelonnée réduite par ligne avec r pivots telle que : EA = R Si on agit alors sur les colonnes de R, on obtient une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires telle que : ( ) EAE Ir 0 = J r où J r = r,p r 0 n r,r 0 n r,p r 3 Matrices carrées inversibles 3 Définitions et exemples Définition Soit A M n (K) A est dite inversible si et seulement si il existe B M n (K) telle que: AB = BA = I n On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K), appelé groupe linéaire d ordre n Remarque ˆ On ne peut considérer un inverse que pour une matrice carrée ˆ Si A est inversible, alors: AC = AD B(AC) = B(AD) (BA) }{{} C = (BA) D C = D }{{} =I n =I n Et de même, CA = DA C = D ˆ Si A est inversible, alors la matrice B telle que AB = BA = I n est unique En effet, si B et B 2 satisfont toutes deux ces égalités, alors : B = B I n = B (A B 2 ) = (B A) B 2 = I n B 2 = B 2 Cette matrice est alors appelée l inverse de A et notée A 4

15 ˆ Si A est inversible, alors A est inversible et (A ) = A Exemples I n est inversible, et I n = I n La matrice diagonale D = diag(λ,, λ n ) est inversible si et seulement si λ i 0 pour tout i n Et dans ce cas, son inverse est D = diag(/λ,, /λ n ) En effet, si tous les λ i sont non nuls, on a bien D D = D D = I n Réciproquement, supposons que l un des λ i soit nul Alors pour tout B M n (K), la i eme ligne de D B est nulle et donc D B I n pour tout B Les matrices d opérations élémentaires sont inversibles, et on a pour tout i, j n et λ K, µ K a st : D i (µ) = D i (/µ) ; Pi,j = P i,j ; T i,j (λ) = T i,j ( λ) 2 Soit A = 2 On a montré que A 2 = 5A 4I 3 En particulier, on a : 2 I 3 = 5 4 A 4 A2 = A ( 5 4 I n 4 A) = (5 4 I n A) A 4 3/4 /4 /4 Ainsi, A est inversible et A = 5 4 I n 4 A = /4 3/4 /4 /4 /4 3/4 Remarque Pour une matrice carrée (2, 2) quelconque, on vérifiera la relation suivante : ( ) 2 ( ) a b a b = (a + d) (ad bc)i c d c d 2 En procédant comme précédemment, on déduit de cette relation la proposition suivante : Propriété 3 ( ) a b La matrice A = c d inverse est : est inversible si et seulement si ad bc 0 Et dans ce cas, son A = ad bc ( d b c a ) Vocabulaire Le scalaire ad bc s appelle le déterminant de A et se note det(a) Preuve Si ad bc 0, alors on a : I 2 = ad bc A2 a + d ad bc A = A ( ad bc A a + d ) ( ad bc I 2 = ad bc A a + d ) ad bc I 2 A Ainsi A est inversible, et A = ad bc A a + d ( ) ad bc I d b 2 = Supposons que ad bc = ad bc c a 0, alors 0 = A 2 (a + d)a Si A est inversible, alors A = (a + d)i 2, et on aurait : a = a + d d = a + d b = c = 0 a = b = c = d = 0, ce qui est impossible car 0 2 n est pas inversible 5

16 32 Produit de matrices inversibles Propriété 4 (de l inverse) () Si A, B M n (K) sont deux matrices inversibles, alors AB l est aussi et (AB) = B A (2) Si A M n (K) est inversible, alors t A l est aussi et (t A ) = t ( A ) Remarque L ensemble GL n (K) est donc stable pour le produit matriciel (mais pas pour la somme!) Preuve () Soient A, B M n (K) deux matrices inversibles On a : (B A ) (AB) = B (A A)B = B B = I n (AB) (B A ) = A(BB )A = A A = I n Ainsi AB est inversible et (AB) = B A (2) Soit A M n (K) inversible Alors A A = A A = I n, et en prenant la transposée : t (A ) t A = t A t (A ) Ainsi t A est inversible et (t A ) = t ( A ) Remarque Nous avons vu que pour toute matrice A M n,p (K), il existe une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires, et une unique matrice échelonnée réduite par lignes R telles que E A = R On peut réécrire cette égalité sous la forme : A = E R avec E = E produit de matrices d opérations élémentaires (l inverse d une matrice élémentaire étant une matrice élémentaire) 33 Caractérisation des matrices inversibles Théorème 5 Soit A M n (K) et B M n, (K) () A est une matrice inversible ; (2) il existe A M n (K) telle que A A = I n ; (3) le système AX = 0 admet une seule solution (X = 0) ; (4) le rang de la matrice A est n ; (5) A L I n ; (6) pour toute matrice colonne B M n, (K), le système AX = B admet une unique solution ; (7) pour toute matrice colonne B M n, (K), le système AX = B admet au moins une solution 6

17 Preuve On montre () (2) (3) (4) (5) (), puis () (6) (7) (4) () (2) Immédiat (2) (3) Soit X M n, (K) tel que AX = 0 Alors A AX = 0, et puisque A A = I n, on obtient X = 0 (3) (4) Supposons que le rang de A soit strictement plus petit que n Alors d après le cours sur les systèmes linéaires, le système AX = 0 admet une infinité de solutions (il y aura n r > 0 inconnues paramètres) Ce qui par hypothèse est faux Donc le rang de A est n (4) (5) Toujours d après le cours sur les systèmes linéaires, on a vu que si A est de rang n, alors A L I n (5) () Si A L I n, alors il existe une matrice E, produit de matrices d opérations élémentaires, telle que A = E I n = E Or les matrices d opérations élémentaires sont inversibles, donc E l est également, et donc A aussi Montrons la deuxième chaine d implications () (6) Supposons que A est inversible et notons A son inverse Soit également B M n, (K) Considérons le système AX = B En multipliant à gauche par A, on obtient X = A B Donc le système admet bien une unique solution (6) (7) Immédiat (7) (4) Supposons que pour toute matrice colonne B M n, (K), le système AX = B admet au moins une solution Montrons que A est de rang r = n Supposons par l absurde que r < n Alors A est équivalente par ligne à une matrice échelonnée réduite ayant r < n pivots On sait qu alors l ensemble des solutions peut être vide s il y a un pivot dans la dernière colonne de la matrice augmentée Ainsi il existe B M n, (K) tel que AX = B n ai pas de solution, ce qui contredit l hypothèse Ainsi le rang de A est égal à n On déduit de ce résultat les conséquences suivantes Propriété 6 Soit T M n (K) une matrice triangulaire coefficients diagonaux sont tous non nuls Alors T est inversible si et seulement si ses Preuve Si tous les coefficients diagonaux de T sont non nuls, on sait alors que pour tout B M n (K), le système AX = B est de Cramer, et donc qu il admet une unique solution Ainsi par le théorème précédent, T est inversible Réciproquement, supposons que l un des coefficients diagonaux t i,i de T soit nul En appliquant l algorithme de Gauss, les i premiers pivots seront sur la diagonale de la réduite, mais le i-ième (s il y en a un) sera en position k > i Dans tous les cas, il y aura alors au plus i + (n k + ) pivots, donc au plus n pivots La matrice T n est donc pas de rang n, et T n est pas inversible Propriété 7 Soit A M n (K) Alors : A GL n (K) B M n (K), B A = I n B M n (K), A B = I n 7

18 Preuve On a déjà montré que A GL n (K) B M n (K), B A = I n Supposons qu il existe B M n (K) telle que A B = I n Alors en prenant la transposée, t B t A = I n En utilisant le Théorème, on obtient que t A est inversible, et donc A = t ( t A)) est inversible aussi Pour montrer qu une matrice A est inversible, il suffit de trouver une matrice B telle que A B = I n (resp B A = I n ) Il est donc inutile de vérifier que B A = I n (resp A B = I n ), c est automatiquement vérifié Propriété 8 Toute matrice carrée inversible est le produit d un nombre fini de matrices d opérations élémentaires, ce qui se traduit en disant que le groupe linéaire est engendré par les matrices d opérations élémentaires Preuve On vient de le voir, si A est inversible alors A L I n et A = E qui est un produit d un nombre fini de matrices d opérations élémentaires Remarque ˆ A L B si et seulement si P GL n (K) tel que A = P B ˆ A C B si et seulement si P GL n (K) tel que A = BP Montrons par exemple le premier point : Si A L B, alors il existe une suite d opérations élémentaires sur les lignes permettant de passer de B à A, ce qui se traduit matriciellement par l existence d une matrice E produit de matrices d opérations élémentaires telle que A = EB On obtient alors le résultat puisque E GL n (K) Réciproquement, supposons que A = P B avec P GL n (K) Alors par la proposition précédente, P est produit de matrices élémentaires, et donc on peut passer de B à A par des opérations élémentaires sur les lignes Donc on a bien A L B 34 Méthodes pratiques de calcul de l inverse Calcul de l inverse par la méthode de Gauss-Jordan Propriété 9 On considère une matrice carrée A M n (K) S il est possible de ramener à l aide d opérations élémentaires sur les lignes la matrice A à la matrice identité, la matrice A est inversible et on obtient A en effectuant sur les lignes de la matrice identité les mêmes opérations que celle effectuées sur les lignes de A Preuve La première partie de cette proposition a déjà été démontrée au théorème précédent Supposons que A L I n, alors il existe E produit de matrices d opérations élémentaires telle que E A = I n Ainsi A = E = E I n, et A s obtient en effectuant sur les lignes de la matrice identité les mêmes opérations que celle effectuées sur les lignes de A Partant de deux matrices M et I n, on effectue sur M et sur I n les manipulations élémentaires sur les lignes qui ramènent M à I n, et donc I n à M 8

19 Exemple On considère la matrice A = (A I n ) { L2 L 2 L L 3 L 3 3L { L2 2 L 2 { L L 2L 2 L 3 L 3 + 4L 2 L 3 2 L 3 { L L 5L 3 Ainsi A est inversible, et A = L 2 L 2 + L 3 On applique l algorithme de Gauss-Jordan à /2 /6 5/2 /2 /3 /2 5/2 /6 /2 Calcul de l inverse par la résolution d un système linéaire D après la caractérisation des matrices inversibles, nous avons vu que : /2 / /2 / /2 / /2 /6 /2 0 0 /2 /6 5/2 0 0 /2 /3 / /2 /6 /2 A GL n (K) si et seulement si le système A X = Y est de Cramer De plus, l unique solution de ce système est alors X = A Y Cela va nous fournir une autre méthode pour déterminer si A est inversible et pour calculer A le cas échéant Pour un n-uplet Y = (y,, y n ) de paramètres, on résout le système (S) AX = Y ˆ On échelonne (S) par l algorithme de Gauss-Jordan Deux cas se présentent : si (S) n est pas de Cramer, A n est pas inversible si (S) est de Cramer, A est inversible De plus, ˆ L unique solution de (S) s exprime en fonction des paramètres y,, y n : X = A Y ˆ On détermine A par identification 3 2 Exemple Calculons l inverse de la matrice A = 2 2 On échelonne le système (S) AX = Y 3x + 2x 2 x 3 = y (S) x x 2 + x 3 = y 2 2x x 2 + x 3 = y 3 x x 2 + x 3 = y 2 3x + 2x 2 x 3 = y 2x x 2 + x 3 = y 3 x x 2 + x 3 = y 2 5x 2 4x 3 = y 3y 2 x 3 = y 3 2y 2 9

20 Le système est sous forme triangulaire avec coefficients diagonaux tous non nuls On en déduit que le système (S) est de Cramer, et donc que A est inversible De plus en faisant la remontée (c est à dire en cherchant l échelonnée réduite), on obtient : x = /5y + +/5y 3 x y (S) x 2 = /5y + y 2 4/5y 3 x 2 = A y 2 x 3 = 2y 2 y 3 x 3 y 3 Il ne reste plus qu à lire les coefficients de A : A =

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