CLASSES DE PCSI 1, 2 et 3 - D.L N 4 DE PHYSIQUE

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1 CLASSES DE PCSI 1, et 3 - D.L N 4 DE PHYSIQUE Exercice 1: Résolution de problème : microscope optique On donne le pouvoir de résolution de l œil α m = 1 (1 minute d angle correspond à 1 ) et le grossissement 60 d un microscope optique G = α α 0 = 60 où: α est l angle sous lequel est vue l image de l objet à travers l instrument; α 0 est l angle sous lequel est vu l objet à l œil nu au punctum proximum. En comparant la limite de résolution due à la diffraction et la limite de résolution liée à l œil, déterminer la taille du plus petit objet discernable avec un tel microscope. Méthode : Identifier les grandeurs pertinentes nécessaires à la résolution du problème et proposer pour celles-ci des valeurs numériques raisonnables. Détailler le raisonnement utilisé pour parvenir au résultat numérique demandé et commenter la valeur obtenue. Exercice : Lunette de Galilée Dans toute l étude qui suit on supposera que les lentilles sont utilisées dans le cadre de l approximation de Gauss. La première observation scientifique de la Lune est due à Galilée. Les deux premières lunettes construites par Galilée avaient des grossissements de 3 et 6, grossissement que Galilée est parvenu à augmenter progressivement jusquà une valeur de lordre de 30, ce qui lui a permis de découvrir en 1610 les quatre premiers satellites de Jupiter. 1 CLASSES DE PCSI 017/018 - DL N 4 DE PHYSIQUE

2 Une lunette de Galilée est Lunette construite par Galilée formée dun objectif assimilable (1610) à une lentille mince convergente L 1 de centre optique O 1, de distance focale O 1F 1 = f 1 (positive) et dun oculaire assimilable à une lentille mince divergente L de centre optique O, de distance focale O F = f (négative). 1. La lunette permet à un observateur, dont la vue est normale, dobserver, sans fatigue, un objet à linfini Où doit se former limage que donne lobjectif de cet objet pour une observation sans fatigue? Quelle propriété possède alors le système optique constitué par la lunette? 1.. On note D la distance algébrique O 1O, entre les centres optiques des deux lentilles. Exprimer en fonction de f 1 et f la valeur à laquelle doit être réglée D pour que la condition dobservation sans fatigue soit réalisée. On considère une lunette pour laquelle f 1 = 6a, f = - a et O 1O = 5a, où a est une longueur de valeur arbitraire..1. Placer sur le schéma de la figure 1 fourni en annexe, le foyer principal objet F 1 et le foyer principal image F 1! de lobjectif ainsi que le foyer principal objet F et le foyer principal image F! de loculaire... Construire géométriquement sur ce schéma la marche d un faisceau de rayons parallèles issu d un point situé à l infini sur l axe de la lunette..3. On note respectivement d et d, les diamètres du faisceau incident et du faisceau émergent. Déterminer à d! laide de la construction géométrique précédente la valeur du rapport d. Que constate-t-on? Quel en est lintérêt pour lobservation à la lunette? La lunette précédente est dirigée vers le ciel, laxe optique pointant vers le centre de la Lune noté A. Le rayon de la Lune est vu à lœil nu sous un angle θ = 4, rad Sur le schéma de la figure en annexe, tracer soigneusement la marche dun faisceau lumineux de rayons parallèles provenant dun point B du bord du disque lunaire et faisant langle θ avec laxe optique de la lunette. (Sur le schéma a déjà été porté le rayon incident parvenant au centre de lobjectif.) Limage de la Lune à travers cette lunette est-elle droite ou renversée par rapport à une observation à lœil nu? 3.. On note A 1 et B 1, les images de A et B formées par lobjectif L 1. Exprimer la distance A 1 B 1 en fonction de langle θ et de la distance focale f 1 de lobjectif. Effectuer lapplication numérique dans le cas dun objectif de distance focale f 1 = 133 cm Les rayons lumineux issus de B émergent de la lunette en faisant langle θ avec laxe optique. Exprimer θ en fonction de la longueur A 1 B 1 et de le distance focale lunette, défini par G = θ θ, en fonction des distances focales des deux lentilles. Calculer la valeur du grossissement G pour la lunette étudiée. f de loculaire. En déduire le grossissement de la 4. On appelle cercle oculaire, limage de lobjectif donnée par loculaire Déterminer par le calcul, en fonction de la longueur a, la valeur algébrique de la distance O O 1 entre le centre optique de l oculaire et le centre O 1! du cercle oculaire. Placer le point O 1! sur le schéma de la figure. 4.. Pour lobservation à travers un instrument d optique, on recommande généralement de placer la pupille de lœil au cercle oculaire. Quel intérêt cela présente-t-il pour lobservateur? Cela est-il possible avec une lunette de Galilée? Justifier. CLASSES DE PCSI 017/018 - DL N 4 DE PHYSIQUE

3 Exercice3 : Aspects du monde quantique Données Constante de Planck : h = 6, J.s Célérité de la lumière dans le vide: c = 3, m.s -1 A. Oscillateur harmonique et indétermination quantique On considère un oscillateur harmonique constitué dun point matériel de masse m, mobile sans frottement le long dun axe Ox et rappelé vers sa position déquilibre O par un ressort de raideur k. Le mobile effectue autour de O des oscillations sinusoïdales damplitude a, données par lexpression x(t) = acos(ω 0 t +ϕ) 1. La pulsation propre de loscillateur est ω 0 = k. Vérifier lhomogénéité de cette expression. m.1. Exprimer la vitesse!x(t) du mobile et en déduire sa vitesse maximale v max en fonction de a et ω 0... En prenant comme estimation de la vitesse du point matériel la valeur v max, donner lexpression de la longueur donde de de Broglie λ db correspondante..3. Calculer la valeur numérique de λ db dans le cas dune masselotte de masse m = 0,10 kg accrochée à un ressort de raideur k = 16 N.m -1 et effectuant des oscillations damplitude a = 5,0 cm. Conclure quant à la validité de la mécanique classique pour la description de ce mouvement. Dans une molécule diatomique, la liaison covalente entre les deux atomes peut être modélisée par un ressort de constante de raideur k et dont la longueur à vide est la longueur au repos de la liaison. Ainsi dans la molécule HCl, on peut considérer que le mouvement de latome dhydrogène écarté de sa position déquilibre est assimilable à celui dun oscillateur harmonique de pulsation propre ω 0. On donne: m = 1, kg pour l atome dhydrogène et k = 4,9.10 N.m -1 pour la molécule HCl. 3. On envisage des vibrations de la molécule HCl damplitude a = 1, m En utilisant les résultats de la question.1, calculer lordre de grandeur de la vitesse de latome dhydrogène dans la molécule. 3.. En considérant une indétermination quantique Δx = a sur lécartement x de latome dhydrogène par rapport à sa position déquilibre, déterminer daprès la relation de Heisenberg la valeur minimale de lindétermination quantique Δp x sur sa quantité de mouvement En déduire la valeur numérique de lindétermination quantique minimale sur la vitesse de latome dhydrogène. Comparer cette valeur à la valeur obtenue pour la vitesse et conclure sur la possibilité de décrire ce mouvement dans le cadre de la mécanique classique. 4. On montre en mécanique quantique que lénergie dun oscillateur harmonique est quantifiée, les valeurs possibles pour lénergie étant données par: E n = (n + 1 )!ω 0 avec n entier 0, où ω 0 est la pulsation propre de loscillateur et! = h (h constante de Planck). π 4.1. On constate que loscillateur possède une énergie minimale E 0 = 1!ω 0. Expliquer succinctement pourquoi il nest pas possible en mécanique quantique dobserver loscillateur dans un état dénergie nulle, cest à dire immobile à sa position déquilibre. 4.. Calculer pour la molécule HCl la longueur d onde dans le vide d un photon permettant de provoquer une transition de la molécule, de létat de vibration dénergie E n à létat dénergie E n+1. Par quel type de rayonnement doit-on éclairer la molécule pour provoquer sa mise en vibration? 3 CLASSES DE PCSI 017/018 - DL N 4 DE PHYSIQUE

4 B. Puits quantique à arséniure de gallium Les progrès dans la fabrication des semi-conducteurs permettent aujourdhui de fabriquer des structures en sandwichs comportant une alternance de couches dépaisseurs nanométriques de semi-conducteurs différents. Ces structures constituent des puits quantiques à lintérieur desquelles il est possible de piéger des électrons. Elles sont à la base de la réalisation de nouveaux détecteurs appelés QWIP (acronyme anglais pour Photodétecteur Infrarouge à Puits Quantique) utilisés dans les caméras thermiques de génération récente. Image haute résolution dune portion de structure à puits quantiques On considère un puits quantique à arséniure de gallium à une dimension, de longueur L, limité par les plans d abscisse x = 0 et x = L, que lon suppose de profondeur infinie. Au sein de ce semi-conducteur, lélectron libre possède une masse effective m = 6, kg. On note Ψ(x), la fonction d onde représentant l état quantique de l électron dans le puits Rappeler la relation entre la fonction d onde et la probabilité de présence de lélectron. 1.. Lélectron étant piégé dans le puits, que peut-on dire des valeurs prises par sa fonction d onde dans les plans x = 0 et x = L?.1. En admettant l analogie avec une corde vibrante fixée à ses deux extrémités, l état quantique décrit par Ψ(x) s écrit comme une superposition de modes propres. Quelles sont alors pour chacun de ces modes propres, les valeurs permises pour la longueur d onde de de Broglie de l électron?.. En déduire que l énergie de lélectron dans le puits est quantifiée et quelle peut prendre les valeurs: E n = n h avec n entier 1. 8mL 3. On souhaite réaliser un détecteur sensible au rayonnement infrarouge de longueur donde λ = 17 µm émis par un corps à une température de 93 K. Calculer la valeur que doit prendre la longueur L du puits pour quun photon de cette longueur donde puisse provoquer la transition dun électron de létat fondamental vers le premier état excité. 4 CLASSES DE PCSI 017/018 - DL N 4 DE PHYSIQUE

5 Exercice: Lunette de Galilée O 1 O L 1 L Figure 1 θ O 1 O L 1 L Figure 5 CLASSES DE PCSI 017/018 - DL N 4 DE PHYSIQUE