Probabilités. Poly des exercices. Prépa HEC Saint-Jean de Douai. Springer-Verlag ECS septembre 2008

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1 Prépa HEC Sait-Jea de Douai Probabilités Poly des exercices ECS Christia Skiada 4 septembre 2008 Spriger-Verlag Berli Heidelberg NewYork Lodo Paris Tokyo Hog Kog Barceloa Budapest

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3 Préface Voici ue sélectio de 150 exercices costruite avec le plus grad soi costituat l itégralité des travaus dirigés couvrat tout le programme de probabilités des deux aées e voie scieti que. Ces exercices qui sot regroupés par thèmes suivat scrupuleusemet l ordre des chapitres du cours, costituerot pour vous ue base vous permettat d aborder sas di culté majeure les épreuves doées e grades écoles de commerce. Ils e serot pas systématiquemet abordés suivat leur ordre de présetatio. Leur correctio fera l objet d u poly doé à la de chaque chapitre.

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5 Table des matières partie I. Première aée 1. Les symboles sigma et pi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Sommes simples ies Développemet de sommes Simpli catio d expressios Calculs de base Méthode de perturbatio Décompositio d ue fractio ratioelle e élémets simples Démostratio par récurrece Ue égalité Cojecture Ue égalité Applicatio de la formule du biôme de Newto Les sommes "orphelies" Dérivatio, primitivatio, itégratio Formule du triagle de Pascal gééralisée (ESSEC 2001) La formule de Vadermode Autour de Vadermode Quotiet de coe ciets biomiaux Trasformatio d u produit de coe ciets biomiaux Sommes et ombres complexes Idetité de Lagrage et iégalité de Cauchy Sommes doubles ies Iterversios ou réversios de sommes Calcul de sommes doubles Produits Sommes et produits Démostratio par récurrece U ecadremet de! Foctio idicatrice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Déombremet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Boules, aagrammes, boîtes, esembles Ragemet de boules Ragemet d ue bibliothèque Aagrammes Somme d etiers Coe ciets biomiaux et partitio Ue ure tricolore et partitio Des échatillos de boules Des ragemets d objets das des boîtes "Pile ou face" Le problème des recotres Messages biaires Déombremet d esembles de parties Opiio fodée sur des aalogies, des vraisemblaces, des présomptios, des probabilités.

6 6 Table des matières 3.2 Codage Codage Codage Codage Séries umériques : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Etude de covergece Nature de séries Sommatio Sommatio La série harmoique alterée Espaces probabilisés : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Esembles Opératios sur les esembles Recherche d uivers Evéemets Evéemets Egalité d évéemets Egalité d évéemets Tribus Tribu Recherche de tribus egedrées Recherche de tribus egedrées Recherche de tribus egedrées Calculs de probabilités Espace probabilisé "Jamais" Extesio de la otio de probabilité uiforme Idépedace Temps d attete Probabilités coditioelles et la formule des probabilités totales Tirages das deux ures Etude d u if Probalité coditioelle Tirage das des ures et calcul de limites "Gager" Variables aléatoires discrètes: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Costate de ormalisatio Recherche de loi Loi dé ie à partir d ue relatio de récurrece Loi du plus grad uméro tiré Recherche d ue loi Loi géométrique sur N Recherche d ue loi Tirages avec ou sas remise Loi de Pascal Loi biomiale égative Pair-impair Temps d attete das u tirage sas remise Théorème de trasfert Théorème de trasfert Loi de Pascal et théorème de trasfert Variable foctio d ue autre Loi d ue variable foctio d ue autre Loi et partie etière Loi d ue variable foctio d ue autre Mode d ue distributio

7 Table des matières 7 partie II. Secode aée 7. Séries doubles : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Séries à termes positifs Série à termes de sige quelcoque Série double absolumet covergete Vecteurs aléatoires: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Couple de variables aléatoires Loi d u couple, loi margiale Loi d u couple et paramètre, lois margiales, idépedace Loi de la valeur absolue d ue di érece Loi d u couple, lois margiales Loi d u couple, lois margiales Loi d u couple, ures évolutives Recherche de lois Couple de variables, loi coditioelle, loi uiforme, loi géométrique Relativisatio Loi d u couple P ([X = Y ]) ; P ([Y > X]) ; P ([X ky ]) ; : : : Loi du mi d u couple de VARD géométriques idépedates Idépedace de VARD Loi de mi; max; somme d u couple de VARD géométriques idépedates Loi d ue somme et loi coditioelle Lois géométriques, somme et iégalités Loi d u produit Coe ciet de corrélatio et idépedace Variables foctio d autres Loi de (max; mi) et lois margiales Etude de l équivalece : cov (X; Y ) = 0 () X et Y idépedates Coe ciet de corrélatio Espérace coditioelle Espérace coditioelle Espérace coditioelle Espérace coditioelle Espérace coditioelle Espérace coditioelle Suites de variables aléatoires Somme de variables idépedates Calcul d ue covariace Variables à desité: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Foctio de répartitio - momets - atirépartitio Desité, foctio de répartitio, espérace Desité, foctio de répartitio, momets Espérace et atirépartitio Chagemet de variable Chagemet de variable Chagemet de variable Loi de mi; loi de max Partie etière et partie décimale d ue variable à desité Variatios autour des lois ormales Autour de la loi ormale La loi log-ormale Loi ormale et la loi du khi-deux Autour du produit de covolutio Covolutio

8 8 Table des matières Loi d u produit, loi d u quotiet Variables discrètes et variables cotiues Loi de Poisso et loi gamma "Mix discret-cotiu" Covergeces et approximatios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Approximatios Approximatios Approximatios Approximatios Approximatios Covergece e probabilité Covergece e probabilité Covergece e probabilité Covergece e probabilité Ue autre forme de la loi faible des grads ombres Covergece e probabilité d ue suite de variables suivat ue loi bêta Variables presque sûremet égales Covergece e loi Covergece e loi Covergece e loi Applicatio du TCL e aalyse Estimatios : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Estimatio poctuelle Estimatio poctuelle et risque quadratique Estimatio poctuelle Estimatio poctuelle, risque quadratique Estimatio par itervalle Estimatio poctuelle et par itervalle

9 Première partie Première aée

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11 1. Les symboles sigma et pi 1.1 Sommes simples ies Développemet de sommes Développer les sommes suivates : S 1 = 0X a k S 2 = k= Simpli catio d expressios 4X a 4 k S 3 = X Simpli er les expressios suivates : A = k 2 B = k Calculs de base 1. Calculer les sommes suivates : a) S 1 = a, a 2 R et 2 N 2 b) S 2 = c) S 3 = d) S 4 = e) S 5 = k=2 k; 2 N 12 2 ( k) ; 2 N 2 k C = 3 k k ( k) ; 2 N k 2 ( + 1 k) ; 2 N j=0 0k5 2. Prouver l égalité suivate pour 0 : X X (a k+1 a k ) b k = a b a 0 b 0 0k< Méthode de perturbatio a k S 4 = X 0k 2 5 a k 2 +1 X 1 a j+1 2 a k 2 + 0k< k=3 i=0 a i+2 a k+1 (b k+1 b k ) Avec la méthode de perturbatio et e supposat que 0; calculer les sommes suivates : S = ( 1) k T = ( 1) k k U = ( 1) k k 2

12 12 1. Les symboles sigma et pi Décompositio d ue fractio ratioelle e élémets simples Calculez la somme 2k + 1 k (k + 1) Démostratio par récurrece Motrer que 8 2 N 2 ; Ue égalité e détermiat deux réels A et B tels que : 2k + 1 k (k + 1) = A k + B k k 2 > : (Oral ESCP) Etablir que 1:1! + 2:2! + + :! = ( + 1)! Cojecture 1 O cosidère les sommes : S = k (k!) T = où désige u etier aturel o ul. k (k!) U = k 3 1 (k!) 1. A l aide des premières valeurs de, cojecturer l expressio géérale de S : 2. Démotrer par récurrece la formule proostiquée. 3. E déduire l expressio de T et de U : Ue égalité Soit 2 N 4 : Motrer que = 3 : Applicatio de la formule du biôme de Newto Détermier le terme maximum das le développemet de (2 + 3) 50 avec la formule du biôme de Newto Les sommes "orphelies" Soit u etier aturel supérieur ou égal à u, a et b deux réels. Calculer les sommes : S 1 = k S 2 = k 3. S 3 = 2 X 1 2 2k a 2k b X 4. S 4 = a 2k+1 b 2k 1 2k S 5 = k 2 où 2 N (oral HEC): 2k 2k 1 Opiio fodée sur des aalogies, des vraisemblaces, des présomptios, des probabilités.

13 1.1 Sommes simples ies Dérivatio, primitivatio, itégratio O cosidère u réel x et m, deux etiers aturels. Refermer les sommes suivates : 1. S 1 = k x k k 2. S 2 = k 2 x k k 3. S 3 = 4. S 4 = x k+1 k k + 1 ( 1) k m + k + 1 k Formule du triagle de Pascal gééralisée (ESSEC 2001) 1. Motrer que, pour tout p ; 2. E déduire : px k 2 et px k 3 : px k= La formule de Vadermode k = p Soiet a, b et des etiers aturels tels que 0 a + b: 1. Détermier de deux faços le coe ciet de x das l expressio polyomiale (1 + x) a+b = (1 + x) a (1 + x) b pour obteir l égalité : 2 2. E déduire la valeur de : k 3. Motrer de même que k k 2 = 2 a k b 2 : a + b = k Autour de Vadermode Soit 2 N et S la somme dé ie par S = 2 p (p 1) : Motrer la relatio : p p=0 S = ( 1) Quotiet de coe ciets biomiaux q qx 1. Calculer, pour (p; q) 2 (N ) 2 p ; p + q k k : p + q k p px 2. Motrer, pour tout (p; q) 2 N 2 k p avec 1 p q que = q q p + 1 : k

14 14 1. Les symboles sigma et pi Trasformatio d u produit de coe ciets biomiaux k p 1. Prouver que = pour 0 k p ; puis motrer que : k p k k p 8x 2 R; px 2. Etudier les cas où x = 1 et x = 1: k p k x k = k (1 + x) p p Sommes et ombres complexes X2 1. [Bloc9] O cosidère u etier aturel o ul. Calculer S = ( 1) k : 2k X3 2. [Bloc11HEC oral] Soit u etier aturel o ul et di éret de 1. Calculer T = : 3k 3. [Bloc22] Soit u etier aturel o ul et (a; b) u couple de réels. Calculer : 1 A = cos (a + kb) et B = Idetité de Lagrage et iégalité de Cauchy cos (a + kb) k 1. Prouver l idetité de Lagrage : X (a j b k a k b j ) 2 = 1j<k! a 2 k! b 2 k! 2 a k b k 2. E déduire l iégalité de Cauchy :! 2 a k b k! a 2 k! b 2 k 1.2 Sommes doubles ies Iterversios ou réversios de sommes O cosidère ue suite double (a i;j ) de ombre réels. Soiet et m deux etiers aturels. Itervertir les doubles sommes suivates : 1. S 1 = a i;j : 2. S 2 = 3. S 3 = i=0 j=i X i i=0 j=0 i=0 j=i a i;j mx a i;j où l o suppose que m:

15 1.3 Produits Calcul de sommes doubles Calculer : 0 3X 1. S 1 + i=0 2. S 2 = X 1ij 3. S 3 = X 1i;j 4. S 4 = X 5. S 5 = 1i;j i=1 j=0 ij 1 ix ija j=0 mi (i; j) i i + j ; 2 N ix x i j ; (x; ) 2 R f0; 1g N : 1.3 Produits Sommes et produits 0 1 py 1 1. Calculer pour (; p) 2 (N ) 2 (i + j) A : i=1 j= Y k+2 X ky 2. Calculer pour k 2 (i + j + k) AA : i=k j= Démostratio par récurrece Motrer que : N ; 1! 3! (2 + 1)! (( + 1)!) +1 : r N ; < Y r 4k < 4k U ecadremet de! 1. Motrer que Y (!) 2 Y ( + 1) 2 : 4 2. E déduire u ecadremet de! 2. 2 La formule de Stirlig! (hors programme) doe ue meilleure approximatio de! lorsque est p grad :! 2 : +1 e

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17 2. Foctio idicatrice Soiet E u esemble et A; B et C trois parties de E: O appelle foctio idicatrice (ou foctio caractéristique) de A la foctio otée I A dé ie par : I A : E! f0; 1g x 7! I A (x) = 1 si x 2 A 0 si x =2 A 1. a) Détermier la foctio idicatrice de l esemble AB à l aide des foctios idicatrices de A et de B: b) Détermier la foctio idicatrice de l esemble AB (di érece symétrique de A et B) à l aide des foctios idicatrices de A et de B. 2. Utiliser les résultats de la questio précédete pour motrer que, quels que soiet les parties A; B et C de E : a) AB = (A [ B) (A \ B) b) A (BC) = (AB) C c) A \ (BC) = (A \ B) (A \ C) 3. Détermier AA et A?:

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19 3. Déombremet 3.1 Boules, aagrammes, boîtes, esembles Ragemet de boules [ECE9.11] O dispose de 45 boules blaches idetiques et de 4 boules oires idetiques. Combie y a t-il de maières de les placer e lige? Ragemet d ue bibliothèque [ECE9.08] O dispose de 10 livres umérotés de 1 à 10. De combie de maières peut-o les placer sur ue étagère de telle sorte que les livres 1,2 et 3 soiet côte à côte (das l ordre ou o)? Aagrammes Quel est le ombre d aagrammes : 1. Du mot DENOMBREMENT? 2. Du mot ABRACADABRANTESQUE? Somme d etiers [ECE9.04] U sac cotiet 9 jetos umérotés de 1 à 9. O tire au hasard et sas remise deux jetos du sac. O forme aisi u ombre de deux chi res : le premier uméro tiré doe le chi re des dizaies et le deuxième le chi re des uités. 1. Combie de ombres peut-o former de cette maière? 2. Que vaut la somme S de ces ombres? Coe ciets biomiaux et partitio [iti3.1/70] Soit u etier aturel o ul. O dispose d ue ure U coteat boules umérotées de 1 à et de deux boîtes A et B. O se propose de détermier le ombre de répartitios des boules das les boîtes A et B répodat aux critères suivats : A cotiet exactemet ue boule et B peut coteir ue, deux,: : :, 1 boules ou e coteir aucue. 1. Démotrer qu il y a 2 1 répartitios possibles. 2. Parmi ces répartitios, combie sot costituées de p boules au total, p état u etier de l itervalle [[1; ]]? 3. E déduire la relatio k = 2 1 : k 4. Retrouver ce résultat e développat (x + 1) à l aide de la formule du biôme de Newto, puis e dérivat les deux membres.

20 20 3. Déombremet Ue ure tricolore et partitio [iti1.2/76] Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3 et p u etier compris etre 2 et 1: Ue ure cotiet boules : ue blache, ue oire et ( 2) rouges umérotées de 1 à ( 2) : 1. Déombrer successivemet le ombre d échatillos de p boules satisfaisat aux critères suivats : a) Ils cotieet la boule blache et la boule oire oire. b) Ils cotieet la boule oire mais pas la blache. c) Ils cotieet la boule blache mais pas la oire. d) Ils cotieet i la boule blache i la boule oire. 2. E déduire la relatio : = p Des échatillos de boules 2 p p 1 [iti1.3/77] Soit u etier aturel supérieur ou égal à p 2 O dispose d ue ure U coteat 2 boules, idiscerables au toucher : boules oires umérotées de 1 à et boules blaches umérotées de 1 à : 1. Combie d échatillos de boules peut-o aisi extraire? 2. Soit p u élémet de [j0; j]. Démotrer que le ombre d échatillos de boules coteat p 2 boules blaches est : p E déduire la relatio = : k 4. Soit p u etier pair de [j1; 2j] : O pose p = 2k: a) Combie d échatillos de p boules coteat le même ombre de boules de chaque couleur peut-o former? b) E déduire le ombre d échatillos de taille au mois égale à 2, comportat le même ombre de boules de chaque couleur que l o peut extraire de l ure iitiale Des ragemets d objets das des boîtes [ECE9.25] O dispose de objets et de trois boîtes B 1 ; B 2 ; B De combie de maières peut-o rager les objets das les trois boîtes de telle sorte que la boîte B 1 reste vide? 2. De combie de maières peut-o rager les objets das les trois boîtes de telle sorte que les boîtes B 1 et B 2 restet vides? 3. De combie de maières peut-o rager les objets das les trois boîtes de telle sorte qu aucue des boîtes e reste vide? "Pile ou face" [iti1.4/78] O dispose d ue pièce de moaie parfaitemet équilibrée avec laquelle o effectue lacers successifs. 1. O suppose impair et o pose = 2p + 1: O ote A l esemble des résultats possibles comportat plus de face que de pile et B l esemble des résultats possibles comportat plus de pile que de face. a) Calculer jaj et jbj.

21 b) E déduire la somme S telle que S = 2. O suppose pair et o pose = 2p: px 2p + 1 : k a) Calculer le ombre de résultats coteat autat de pile que de face. b) E utilisat u raisoemet aalogue au précédet, calculer jaj et jbj. Xp 1 2p c) E déduire la somme S 0 = : k Le problème des recotres 3.2 Codage 21 [ECE9.24] O dispose de objets O 1 ; O 2 ; : : : ; O et de boîtes B 1 ; B 2 ; : : : ; B. O rage chacu des objets das ue boîte de telle sorte que chaque boîte cotiee u objet et u seul. 1. Combie y a-t-il de ragemets possibles? 2. Soit i u élémet de [j1; j] : Combie y a-t-il de ragemets pour lesquels O i est das B i? 3. Soiet i et j deux élémets disticts de [j1; j] : Combie y a-t-il de ragemets pour lesquels O i est das B i et O j das B j? 4. Combie y a-t-il de ragemets pour lesquels aucu objet est das la boîte portat so uméro? Messages biaires [ECE9.26] O appelle message biaire de logueur toute liste de logueur composée de 1 et de 0. Par exemple 0110 est u message biaire de logueur Déombrer l esemble des messages biaires de logueur : 2. Déombrer l esemble des messages biaires de logueur ( 4) tels que le troisième 1 soit e quatrième positio: 3. Déombrer l esemble des messages biaires de logueur ( > 3) tels que le (p + 1) ème 1 soit e k ème positio (p + 1 k ) : 4. E déduire le ombre de messages biaires de logueur (p + q + 1) compreat au mois (p + 1) chi res 1: 5. Détermier de même le ombre de messages biaires de logueur (p + q + 1) compreat au mois (q + 1) chi res Motrer que : 1 2 p+1 qx p + k 1 p 2 k q Déombremet d esembles de parties [ECE9.23] Soit E u esemble de cardial. 1. Quel est le ombre de parties de E à p élémets? px q + k 1 q 2 k = 1 2. Combie y a-t-il de couples (A; B) de parties de E tels que A [ B = E et A \ B =?? 3. Combie y a-t-il de couples (A; B) de parties de E tels que A B? 4. Combie y a-t-il de triplets (A; B; C) de parties de E avec A B C? 3.2 Codage Codage [ECE9.11] Combie y a t-il de maières de répartir 45 billes idetiques etre 5 efats (chaque efat peut recevoir de 0 à 45 billes).

22 22 3. Déombremet Codage Soit r et deux etiers aturels o uls. Détermier : ( rx ( 1 ; 2 ; : : : ; r ) 2 (N ) r j i = ) Codage Soit r et deux etiers aturels o uls. Détermier : ( rx ( 1 ; 2 ; : : : ; r ) 2 N r j i = ) i=1 i=1

23 4. Séries umériques 4.1 Etude de covergece Nature de séries Détermier la ature des séries de terme gééral : 1. [W1.612] u = [W1.612] u = l [Mitt4.162] u = ( 2 1) 4. [W1.612] u = 5. [Mitt7.162] u = [W1.612] u = (xy) x avec x > 0 et y > 0 + y 7. [W1.612] u = (l ) l 4.2 Sommatio Sommatio [W2.612] Motrer la covergece et calculer la somme des séries de terme gééral : 1 1. u = : Idicatio : o détermiera des ombres a; b; c tels que : ( + 1) ( + 3) 2. u = l ( + 1) ( + 2) ( + 3) 3. u = ! 4. u = u = x (2)! et v = x (2 + 1)! 8 2 N ; u = a + où x > 0: La série harmoique alterée 1. [Pharesc ] Soit x 2 R f 1g : Motrer que : b c x = 1 x + x2 x ( 1) 1 x 1 + ( 1) x 1 + x

24 24 4. Séries umériques 2. Motrer que : ( 1) k 1 Z 1 l 2 = + ( 1) x k 1 + x dx 0 3. E déduire la somme +1X ( 1) k : k

25 5. Espaces probabilisés Note : vous costaterez qu il y a beaucoup d exercices mettat e jeu des boules, mais vous devez savoir que le modèle de l ure est de très loi le meilleur, et isurpassable, pour bie compredre tous les cocepts du cours. 5.1 Esembles Opératios sur les esembles [COMBRII.198] Ecrire à l aide des opératio esemblistes \; [; { et à l aide des évéemets A; B; C; : : : ; A 1 ; A 2 ; : : : ; A ; : : : les évéemets suivats : 1. L u au mois des éveemets A; B; C est réalisé. 2. L u et l u seulemet des évéemets A ou B se réalise. 3. A et B se réaliset mais pas C. 4. Tous les évéemets A ; 1 se réaliset. 5. Il y a ue i ité des évéemets A ; 1 qui se réaliset. 6. Seul u ombre i des évéemets A ; 1 se réalise. 7. Il y a ue i ité des évéemets A ; 1 qui e se réaliset pas. 8. Tous les évéemets A ; 1 se réaliset à partir d u certai rag Recherche d uivers [ENS59] Détermier l uivers des possibles que l o obtiet à l issue des épreuves décrites ci-dessous : 1. O lace u dé hoête et o ote le uméro obteu. 2. Ue ure cotiet ciq jetos umérotés de 1 à 5 et deux jetos portat le uméro 6. O pioche u jeto au hasard das l ure et o ote le uméro obteu. 3. O lace deux dés hoêtes, u rouge et u bleu et o cosidère comme résultat le couple (x; y) où x est le uméro obteu avec le dé rouge et y celui obteu avec le dé bleu. 4. O lace idé imet u dé hoête et o pred pour résultat la suite (u ) 2N des uméros obteus. 5. O tire au hasard ( mais sas possibilité de la rater ) sur ue cible D qui est u disque de 30 cetimètres de diamètre, et o rapporte le pla de la cible à u repère orthoormé O;! i ;! j, O désigat le cetre de la cible, l uité état le cetimètre.! O pred comme résultat les coordoées polaires (r; ) du poit M : OM = r cos! i + si! j : 6. O tire au hasard u idividu d ue populatio de idividus et o détermie sa taille e cetimètre, au cetimètre près. 7. O repred l expériece de l épreuve précédete, mais cette fois o e limite plus à priori la précisio.

26 26 5. Espaces probabilisés 5.2 Evéemets Evéemets [ENS62] O lace trois fois u dé hoête et o ote la suite (x; y; z) des uméros obteus. 1. Détermier l uivers des possibles. 2. Soit pour i 2 f1; 2; 3g A i l évéemet o obtiet u as au i eme lacer. Décrire et détermier les évéemets suivats e les ideti at à des parties de : a) A 1 ; A 2 ; A 3 : b) A 1 \ A 2 \ A 3 : c) A 1 [ A 2 [ A 3 : Egalité d évéemets [ENS61] O lace deux dés hoêtes et o désige par x et y les uméros obteus respectivemet par le dé rouge et le dé bleu. 1. Détermier l uivers des possibles. 2. Soit l évéemet A : la somme des uméros fait trois et l évéemet A 0 : le produit des uméros fait deux. Comparer ces deux évéemets Egalité d évéemets [Agregp6] Soiet trois évéemets E; F; G auxquels o associe les deux évéemets : A = (E [ F ) \ G et B = E [ (F \ G) 1. Parmi les deux évéemets A; B; l u etraîe l autre, lequel? 2. Trouver ue coditio écessaire et su sate, portat sur E et G, pour que l o ait A = B. 5.3 Tribus Tribu [Agregp9] Soiet A et B deux sous-esembles de. Doer la tribu egedrée par le doubleto fa; Bg : Recherche de tribus egedrées [WARUS1.738] Soit = f0; 1; 2; 3; 4; 5g 1. Détermier la tribu egedrée par ff0; 1g ; f3; 4gg : 2. Détermier la tribu egedrée par ff0g ; f1g ; f2g ; f3g ; f4g ; f5gg : 3. Détermier la tribu egedrée par ff1; 2; 3g ; f3; 4g ; f4; 5gg : Recherche de tribus egedrées [WARUS2.738] Soit = N: 1. Détermier la tribu egedrée par ff1; 2g ; f2; 4gg : 2. Détermier la tribu egedrée par ff1; 2g ; f3; 4g ; f1; 2; 3; 4gg : Recherche de tribus egedrées [WARUS10.738] Soit u esemble et A,B des sous-esembles de. 1. Détermier la tribu egedrée par fa [ B; A \ Bg : 2. Détermier la tribu egedrée par A [ B; A \ B : 3. Détermier la tribu egedrée par A \ B; A \ B :

27 5.4 Calculs de probabilités Calculs de probabilités Espace probabilisé Quel espace probabilisé pouvos-ous associer à ue expériece " cosistat à lacer u dé hoête et à oter le uméro obteu "Jamais" [ENS70] O lace ue pièce de moaie jusqu à obteir pile. Quelle est la probabilité de e jamais obteir pile Extesio de la otio de probabilité uiforme [ENS81] Soit ue partie du pla R 2 ayat ue aire otée S et dot l u des poits est choisi au hasard. La probabilité que ce poit appartiee à ue partie doée A de devra être proportioelle à so aire ; aisi o aura : P (A) = aire (A) aire (A) = aire () S Notos que das ce cas, la probabilité uiforme P est dé ie sur l esemble A des parties de ayat ue aire. Applicatio : o tire au hasard avec u pistolet das u carré C de cetre O dot les côtés mesuret 30 cm. O suppose que la balle e peut sortir du carré. Quelle est la probabilité que soit atteit le disque D iscrit das le carré de cetre O et de rayo r = 15 cm? Idépedace [Oral ESCP] O cosidère deux ures U 1 et U 2. O suppose que U 1 (respectivemet U 2 ) cotiet 1 boules oires et b 1 boules blaches (resp. 2 boules oires et b 2 boules blaches). O choisit de faço équiprobable ue des deux ures puis o y e ectue deux tirages successifs d ue boule avec remise. Soit N 1 ( resp. N 2 ) l évéemet "tirer ue boule oire au premier ( resp. au secod ) tirage". 1. Quelle est la probabilité de N 1? Quelle est la probabilité de N 2? 2. Quelle est la probabilité de tirer ue boule oire au secod tirage sachat que l o a tiré ue boule oire au premier tirage? 3. Les évéemets N 1 et N 2 sot ils idépedats? Temps d attete [ENS70] O lace ue pièce de moaie jusqu à obteir pile. Quelle est la probabilité d obteir pile au bout d u ombre pair de lacers Probabilités coditioelles et la formule des probabilités totales [Pagdom26] O dispose de ures umérotées de 1 à : L ure i cotiet i boules umérotées de 1 à i: O choisit ue ure au hasard et o y pred ue boule. Calculer la probabilité d obteir ue boule portat le uméro k (avec 1 k ) Tirages das deux ures [ROV42-Oral HEC 1989] Soiet b 1 ; b 2 ; 1 et 2 quatre etiers strictemet positifs. O dispose de deux ures U 1 et U 2 coteat respectivemet b 1 et b 2 boules blaches et 1 et 2 boules oires. O e ectue le premier tirage au hasard das U 1 ou U 2 et esuite, o reste toujours das la même ure et o e ectue des tirages avec remise. 1. Calculer la probabilité d obteir ue boule blache au ieme tirage et la probabilité d obteir boules blaches cosécutives. 2. Calculer la probabilité d obteir ue boule blache au ( + 1) ieme tirage sachat que l o a déja obteu boules blaches aux tirages précédets.

28 28 5. Espaces probabilisés Etude d u if [Rod137] Soit N: O cosidère ue ure coteat N boules umérotées de 1 à N: O tire simultaémet de ces boules. Soit k u etier aturel tel que 0 < k N: 1. Soit p k la probabilité que tous les uméros tirés soiet iférieurs ou égaux à k. Calculer p k : 2. Soit q k a probabilité que le plus grad des uméros tirés soit égal à k: Calculer q k : NX k 1 N 3. E déduire que = : 1 k= Probalité coditioelle [Gorba3.49] O cosidère trois lots d articles de même type, le premier compte 1 articles défectueux et m 1 bos articles ; le deuxième, 2 articles défectueux et m 2 bos articles et le troisième, 3 articles défectueux et m 3 bos articles. O choisit au hasard l u des lots pour e tirer au hasard deux articles, le premier est défectueux. Quelle est la probabilité que le secod article soit défectueux lui aussi? Tirage das des ures et calcul de limites [ROV39-Oral ESCP] Soit N 2 N et 2 N : O cosidère N + 1 ures umérotées de 0 à N; l ure umérotée k cotiet k boules rouges et N k blaches. O choisit au hasard ue ure et o tire avec remise das cette ure. 1. Quelle est la probabilité de tirer ue boule rouge au ( + 1) ieme tirage, sachat que lors des premiers tirages, o a obteu ue rouge à chaque fois? 2. Calculer la limite de cette probabilité quad ted vers l i i, quad N ted vers l i i "Gager" [ROV34-Oral ESCP] Soit p u réel compris etre 0 et 1: Ue persoe lace ue pièce évetuellemet o régulière et joue à pile ou face, elle a ue probabilité p d obteir pile et 1 p d obteir face. Elle gage dés qu elle a obteu deux piles de plus que de faces, elle perd dés qu elle a obteu deux faces de plus que de piles. 1. Quelle est la probabilité pour que la partie dure plus de 2 coups? 2. Quelle est la probabilité pour que la persoe gage?

29 6. Variables aléatoires discrètes 6.1 Costate de ormalisatio Soiet 2 N ; u ombre réel et X ue variable aléatoire à valeurs das [j0; j] telle que : k 8k 2 [j0; j] ; P ([X = k]) = k + 1 Détermier : 6.2 Recherche de loi Loi dé ie à partir d ue relatio de récurrece [ESCP] Soit X ue variable aléatoire réelle à valeurs das N telle que : Détermier la loi de X: 8k 2 N ; P ([X = k]) = 4 P ([X = k 1]) k Loi du plus grad uméro tiré [Lapresté 2.26] Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à ( 2) : O e tire deux au hasard et sas remise. Soit X la variable aléatoire égale au plus grad uméro tiré. 1. Calculer la probabilité P ([X k]) : 2. E déduire la loi de la variable aléatoire X: Recherche d ue loi [GUE 1.32] Das ue ure il y a k boules blaches et k boules oires (1 k 1) : O les tire ue à ue et sas remise. O itroduit ue variable aléatoire X associée au rag de la derière boule blache tirée. 1. Détermier la loi de X: i 2. Motrer que = p i=p + 1 : E déduire E (X) : p Loi géométrique sur N [Pagedom 1.47] O lace ue pièce de moaie idé imet jusqu à obteir pile pour la première fois. La probabilité d obteir face est q et celle d obteir pile est p = 1 q: O suppose p 2 ]0; 1[ : Soit X le rag du tirage qui amèe le derier face cosécutif. Calculer la loi de X et so espérace.

30 30 6. Variables aléatoires discrètes Recherche d ue loi [TEST 32] Soit 2 N : Ue ure cotiet ue boule blache, ue boule verte et ue boule rouge. O tire successivemet boules de cette ure, avec remise de la boule das l ure après chaque tirage. Pour i 2 [j2; j] ; o dit qu il y a chagemet de couleur au i ème tirage si la i ème boule tirée a pas la même couleur que la (i 1) ème boule tirée. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de chagemets de couleur obteus au cours des tirages. 1. Détermier la loi de X: 2. Calculer E (X) et V (X) : Tirages avec ou sas remise 1. [TEST27] Soiet et k deux etiers véri at 1 k : Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à : O tire ue à ue, sas remise, k boules de cette ure. Soit X la variable aléatoire égale au plus grad des uméros des boules tirées. Détermier la loi de X: 2. Même questio si le tirage se fait avec remise Loi de Pascal [Pagedom 1.94] Ue ure cotiet a boules vertes et b boules blaches. O e ectue des tirages avec remise de la boule tirée. 1. Trouver la loi de la variable X associée au temps d attete de la r ème boule verte. 2. Détermier so espérace et sa variace Loi biomiale égative [Guavii ] O cosidère ue suite illimitée d épreuves de Beroulli idépedates ayat deux issues possibles succès et échec et de même paramètre p (la probabilité du succès). O cosidère la variable X associée au ombre d échecs obteus avat le r ème succès. Détermier la loi de X so espérace et sa variace Pair-impair [Lapresté 2.4) Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre. Motrer que P ([X est impair]) < P ([X est pair]) : Temps d attete das u tirage sas remise [Guavii ] Cosidéros ue ure à deux catégories comportat N boules (N 2 N ) dot a boules blaches et b boules oires (a; b) 2 (N ) 2 : 1. Pour tout 2 N ; N o itroduit S le ombre de boules blaches (succès) obteues au cours des premiers tirages e ectués sas remise. Détermier la loi de S : 2. Soit Y la variable aléatoire égale au temps d attete de la première boule blache. Détermier la loi et l espérace de Y: 6.3 Théorème de trasfert Théorème de trasfert 1 1. [HEC] Soit X,! B (; p) ; calculer E : X [Lapresté 2.30] Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre : 1 Calculer E e cas d existece. X [ROV 59 ESCP] Soiet u etier aturel strictemet positif, X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B ; 1, A u réel positif et Y ue variable aléatoire dé ie par Y = AX 2 2 : Calculer E (Y ) :

31 6.5 Mode d ue distributio Loi de Pascal et théorème de trasfert [Lapresté 2.10] O e ectue ue suite illimitée d épreuves de Beroulli de même paramètre p, répétées de faço idépedates. Soit X la variable aléatoire associée au rag d apparitio du k ème succès. 1. Détermier la loi de X: 2. Pour k = 2; calculer E (X) et E 2 : X 6.4 Variable foctio d ue autre Loi d ue variable foctio d ue autre [ENS 9.1] O lace u dé et o ote X le ombre obteu. Détermier la loi de Y = (X 3) 2 et la loi de Z = 1 X : Loi et partie etière [Guavii ] Soiet 2 N et p 2 ]0; 1[ et X ue variable aléatoire suivat la loi X B (2; p) : O pose Y = (qui à tout! 2, associe la partie etière de X (!) ). Détermier 2 2 l espérace de Y: Loi d ue variable foctio d ue autre Soit X ue variable de Poisso de paramètre : O pose, pour tout! 2 : Y (!) = ( 0 si X (!) est ul ou impair X (!) 2 Détermier la loi de Y; so espérace et sa variace. si X (!) est pair et o ul 6.5 Mode d ue distributio 1. [Cassii ] Soit X,! B (; p) : Quelle est la valeur de k qui maximise P ([X = k])? 2. Soit X,! P () : Quelle est la valeur de k qui maximise P ([X = k])?

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33 Deuxième partie Secode aée

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35 7. Séries doubles 7.1 Séries à termes positifs 1. [WAR ] Motrer que la série double X (i;j) est covergete de somme e: a i;j dé ie par 8 (i; j) 2 N 2 ; a i;j = i + j i!j!2 i+j 2. [WAR ] O pose pour, i 2 et j 2; a i;j = 1 i j : Motrer que la série double X (i;j) a i;j coverge. Calculer sa somme. 3. [WAR ] Calculer +1X +1X =0 k= 4. [WAR ] O pose a ;p = 1 k! : 2 1 p 2 si 6= p et a ; = 0: Calculer +1X +1X =0 p=0 a ;p : 7.2 Série à termes de sige quelcoque Série double absolumet covergete [WAR ] Soit x u réel tel que jxj < 1 : Motrer que la série double de terme gééral 2 (i + j)! a i;j = x i+j est absolumet covergete. Calculer sa somme. i!j!

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37 8. Vecteurs aléatoires 8.1 Couple de variables aléatoires Loi d u couple, loi margiale [Phare 12.02] Soit X ue variable aléatoire dot la loi est doée par le tableau suivat : x i p i O pose Y = X 2 : Détermier la loi du couple (X; Y ) puis la loi de Y: Loi d u couple et paramètre, lois margiales, idépedace [ENS 16.1] Soiet X et Y deux variables aléatoires à valeurs respectivemet das N et N telles que : 1. Calculer a: 8 (i; j) 2 N N; P ([X = i] \ [Y = j]) = ai j! 2. Détermier les lois de X et Y et véri er que ces variables sot idépedates. 3. Calculer l espérace et la variace de S = X + Y: Loi de la valeur absolue d ue di érece [ENS 10.1] Soiet X et Y deux variables de Beroulli idépedates de paramètre 1=2: Détermier la loi de D = jx Y j : Loi d u couple, lois margiales [Phare 12.05] Ue ure cotiet boules umérotées de 1 à, avec 2: O e ectue deux tirages d ue boule avec remise das cette ure. Soit X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au plus petit (resp. au plus grad) des deux uméros tirées. 1. Détermier la loi du couple (X; Y ) : 2. E déduire les lois de X et Y Loi d u couple, lois margiales [Phare 12.06] Ue ure cotiet deux boules blaches et boules oires. O vide l ure e tirat les boules ue à ue et sas remise. O ote X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au rag du tirage qui amèe la première (resp. la secode) boule blache. Détermier la loi du couple (X; Y ), e déduire les lois de X et de Y Loi d u couple, ures évolutives [Test 71] O dispose de ures U 1 ; U 2 ; : : : ; U : Pour tout etier k 2 [j1; j], l ure U k cotiet k boules umérotées de 1 à k. O choisit ue ure au hasard, puis o tire ue boule das cette ure. O ote X la variable aléatoire égale au uméro de l ure choisie et Y la variable aléatoire égale au uméro de la boule tirée. Détermier la loi du couple (X; Y ) :

38 38 8. Vecteurs aléatoires Recherche de lois [E=mc 2.5]Soit u etier aturel o ul. Das ue ure coteat iitialemet boules umérotées 1 à, o e ectue deux tirages successi s d ue boule selo le protocole suivat : si o ote k, (k 2 [j1; j]) le uméro de la boule tirée au premier tirage, celle-ci est remise das l ure avec k boules supplémetaires portat toutes le uméro k; o e ectue alors u secod tirage. O appelle X 1 la variable égale au uméro de la boule tirée au premier tirage et X 2 celle égale au uméro de la boule tirée au secod tirage. 1. Détermier la loi de probabilité de X 1 so espérace et sa variace. 2. Détermier la loi de probabilité de X 2 et véri er que P ([X 2 = k]) = 1: Couple de variables, loi coditioelle, loi uiforme, loi géométrique [E=mc 2.8] Soiet Z et X deux variables aléatoires à valeurs das N: O suppose que Z () = [j0; j] (où 2 N) et que, pour tout etier k 2 Z (), la loi coditioelle de X sachat [Z = k] est la loi uiforme sur [j0; kj] : 1. a) Détermier X (), aisi que la loi du couple (Z; X) e foctio de la loi de Z: b) Détermier la loi de X: c) E déduire l espérace de X e foctio de E (Z) (o pesera à itervertir l ordre des sommatios). 2. Comparer les lois de X et de Z X: Relativisatio [Phare 12.10] Das u grad magasi, le ombre de cliets présets u certai jour suit ue loi de Poisso de paramètre a: D autre part, chaque cliet à la probabilité p de se faire voler so portefeuille et o suppose les di éretes tetatives de vol idépedates. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de cliets fréquetat le magasi u jour doé et Y la variable aléatoire égale au ombre de cliets qui se fot voler leur portefeuille ce même jour. 1. Soit m u etier aturel, rappeler P ([X = m]), aisi E (X) et V (X) : 2. Détermier pour tout (k; ) 2 N 2 ; P [X=] ([Y = k]) : 3. Détermier la loi de Y; so espérace et sa variace. 4. O ote Z la variable aléatoire égale au ombre de cliets qui e se fot pas voler leur portefeuille. Quelle est la loi de Z? 5. Motrer que Y et Z sot idépedates Loi d u couple [Test76HEC] Soit 2 N : Adré lace fois de suite ue pièce de moaie parfaitemet équilibrée. Berard lace lui aussi fois de suite cette pièce. Les lacers de Berard sot supposés idépedats de ceux d Adré. O ote X la variable aléatoire égale au ombre de côtés face obteus par Adré et o ote Y la variable aléatoire égale au ombre de côtés face obteus par Berard. 1. Détermier les lois de X et de Y. 2. Calculer P ([X = Y ]) : 3. Détermier la loi de Z = X Y: 4. Calculer P ([X < Y ]) :

39 P ([X = Y ]) ; P ([Y > X]) ; P ([X ky ]) ; : : : 8.1 Couple de variables aléatoires 39 [Cassii 6.80] Soiet X et Y des variables aléatoires idépedates à valeurs das N, avec : 8i 2 N ; P ([X = i]) = P ([Y = i]) = 1 2 i Trouver les probabilités des évéemets suivats : 1. P ([mi (X; Y )] i) : 2. P ([X = Y ]) : 3. P ([Y > X]) : 4. P ([X divise Y ]) : 5. P ([X ky ]) pour u etier k 1: Loi du mi d u couple de VARD géométriques idépedates [Cassii 7.80] Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi géométrique de paramètres respectifs et : Soit Z = mi (X; Y ) : Détermier la loi de Z: Idépedace de VARD [Cassii ENS] Soiet X et Y deux variables aléatoires idépedates de loi : P ([X = 1]) = P ([Y = 1]) = 1 2 et P ([X = 1]) = P ([Y = 1]) = 1 2 Soit Z = XY: Motrer que X; Y; Z sot idépedates deux à deux, mais qu elles e sot pas globablemet idépedates Loi de mi; max; somme d u couple de VARD géométriques idépedates [LAPRE 2.29] Soiet X et Y deux variables idépedates de même loi géométrique de paramètre p: Détermier : 1. L (X + Y ) : 2. L (max (X; Y )) : 3. L (mi (X; Y )) : Loi d ue somme et loi coditioelle [GUE 1.40] Soiet X,! B (; p) et Y,! B (m; p) idépedates. 1. Quelle est la loi de S = X + Y: 2. Détermier la loi coditioelle de X sachat que [S = s] où s 2 [j0; + mj] : 3. O suppose que p = 1=2: Calculer P ([X 6= Y ]) et P ([X = Y ]) : Lois géométriques, somme et iégalités [GUE 1.41] Soiet X; Y et Z trois variables idépedates, de même loi géométrique, de paramètre p (0 < p < 1) : 1. Préciser la loi de S = X + Y; so espérace et sa variace. 2. Calculer P ([S Z]) et P ([S Z]) :

40 40 8. Vecteurs aléatoires Loi d u produit [LAPRE 2.18] Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli de paramètre p: Soit Y ue variable aléatoire suivat ue loi de Poisso de paramètre : O suppose les variables X et Y idépedates. O pose Z = XY: 1. Quelle est l espérace de Z? 2. Trouver la loi suivie par Z, puis calculer sa variace Coe ciet de corrélatio et idépedace [GUE 1.75] Soiet X et Y deux variables de Beroulli idépedates et de même paramètre p (p 2 ]0; 1[) : Soiet U = X + Y; V = X Y. Détermier : 1. La loi du couple (U; V ) : 2. Le coe ciet de corrélatio U;V : 3. U et V sot-elles idépedates? Coclusio? Variables foctio d autres [GUE 1.42] Soiet X et Y deux variables idépedates, à valeurs das N, X suivat ue loi géométrique de paramètre a (0 < a < 1) : O cosidère la variable aléatoire Z dé ie par : X Y si X > Y Z = 0 sio Détermier la loi de Z e foctio de celle de Y et motrer qu elle e déped que de : = E (1 a) Y Loi de (max; mi) et lois margiales [ROV 83 ESCP] Soit p 2 ]0; 1] et X et Y deux variables aléatoires idépedates de même loi géométrique de paramètre p: O pose U = mi (X; Y ) et V = max (X; Y ) : 1. Détermier la loi du couple (U; V ) : 2. Détermier les lois margiales. 3. Détermier la loi de Z = U + V: Etude de l équivalece : cov (X; Y ) = 0 () X et Y idépedates [GUE 1.74] Soiet X et Y deux variables aléatoires de Beroulli. Motrer que cov (X; Y ) = 0 si et seulemet si X et Y idépedates: Coe ciet de corrélatio [ENS 27.1] Soit X ue variable aléatoire admettat ue variace. 1. Calculer (X; X) et (X; X) : 2. Calculer 8 (a; c; b; d) 2 (R ) 2 R 2 ; (ax + b; cx + d) :

41 8.1 Couple de variables aléatoires Espérace coditioelle [WAR ] Soit u couple de variables aléatoires discrètes dot la loi est dé ie das le tableau ci-dessous : XY :08 0:04 0:16 0:12 2 0:04 0:02 0:08 0:06 3 0:08 0:04 0:16 0:12 1. _ 2. _ a) Détermier les lois margiales de ce couple. b) Les lois de X et Y sot-elles idépedates? c) Calculer la covariace du couple (X; Y ) : a) Détermier les lois coditioelles de X sachat que Y = 2 et de Y sachat que X 2 f1; 3g : b) Détermier la loi de la variable aléatoire E (Y j X) : c) Calculer E (E (Y j X)) et comparer à E (Y ) : Espérace coditioelle [WAR ] Soit u couple de variables aléatoires discrètes dot la loi est dé ie das le tableau ci-dessous : XY :3 2 0: : :3 0: _ 2. _ a) Détermier les lois margiales de ce couple. b) Les lois de X et Y sot-elles idépedates? a) Calculer la covariace du couple (X; Y ) : b) Détermier les lois coditioelles de X sachat que Y = 2 et de Y sachat que X 2 f1; 4g : c) Détermier la loi de la variable aléatoire E (X j Y ) : d) Calculer E (E (X j Y )) et comparer à E (X) : Espérace coditioelle Soit (X; Y ) u vecteur aléatoire discret das N 2 dot la loi cojoite est : x P ([X = x] \ [Y = y]) = p x q y (1 p q) x y x y pour x; y 2 f0; : : : ; g avec x + y (loi multiomiale). 1. Doer la loi de X: 2. Détermier les lois coditioelles de Y sachat que [X = x] et de X sachat que [Y = y] : 3. Calculer E (Y j [X = x]) et E (X j [Y = y]) : 4. Trouver E (Y j X) et E (X j Y ) :

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