Exercices - Lois discrètes usuelles : corrigé

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1 Exercice - Avio - L2/Prépa Hec - O ote X la variable aléatoire du ombre de moteurs de A qui tombet e pae, et Y la variable aléatoire du ombre de moteurs de B qui tombet e pae. X suit ue loi biomiale B(4, p). E particulier, o a : P (X 0) + P (X ) C 0 4p 0 ( p) C 4p ( p) 4 ( p) 4 + 4p( p) 3. D autre part, Y suit ue loi biomiale B(2, p). E particulier, P (Y 0) ( p) 2. O a itérêt à predre l avio A si P (X 0) + P (X ) P (Y 0). Ceci doe : p( p) 2 (2 3p) 0. Doc, si 0 p < 2/3 (cas que l o espère être celui du mode réel), il est préférable de choisir A. Si p 2/3, le choix est idifféret, et si p > 2/3, il vaut mieux choisir B. Exercice 2 - Pièce de moaie - L2/Prépa Hec -. Soit X le ombre de piles obteus au cours de 0 lacers. X est le ombre de réalisatios de l évéemet "le lacer doe pile" de probabilité costate 0,3 au cours de 0 lacers idépedats. X suit doc ue loi biomiale de paramètres 0 et p 0, 3. O e déduit : P (X 3) C 3 0 (0, 3)3 ( 0, 3) 0 3 0, Soit Y le ombre de lacers effectués jusqu à l obtetio de pile pour la première fois. Y est le temps d attete de la première réalisatio de l évéemet "obteir pile" de probabilité costate 0,3 lors d ue suite de lacers idépedats, doc Y suit ue loi géométrique de paramètre 0,3. O e déduit, e appliquat la formule du cours du calcul de l espérace d ue loi géométrique E(Y ) 0, Exercice 3 - Service de dépaage - L2/Prépa Hec -. (a) Soit R l évéemet "le cliet a subi u retard". X est le ombre de réalisatios de l évéemet R de probabilité costate /4 au cours de 4 appels idépedats. Doc X suit ue loi biomiale B(4, /4). E particulier, o a : (b) O cherche P (X ) : E(X) et V (X) 3 4. ( ) 3 4 P (X ) (a) O ote p 0, 25 et q 0, 25. O recoait le schéma théorique d ue variable aléatoire de loi biomiale. O a doc : { C k P (Z k Y ) p k q k si 0 k 0 si k >

2 (b) O a : P (Z k, Y ) P (Y )P (Z k Y ) { e m m! Ck p k q k si 0 sio. (c) Il faut réaliser la sommatio! O a, teat compte du fait que les premiers termes sot uls : P (Z k) k P (Z k, Y ) e m q k! k e m q k! (mq)k e m q k! (mq)k e m ( p q mp (mp)k e. k! (mq) ( k)! k 0 k! (mq)k e mq Z suit doc ue loi de Poisso de paramètre m 0, 25. (mq) k ( k)! (mq) ()! 3. U est le rag de la première réalisatio de l évéémet R de probabilité /4 au cours d ue successio d appels idépedats. Y suit doc la loi géométrique G(/4). O applique les formules du cours pour obteir l espérace et la variace. Exercice 4 - Le cocierge - L2/Prépa Hec - Notos p k la probabilité que la porte soit ouverte au k-ième essai et V k l évéemet "la porte est pas ouverte après le k-ième essai". O a p k P (V c k V k ) P (V k ) P (V k ), la derière formule veat du fait que (V k ) est ue suite décroissate d évéemets. Das chaque cas, o va calculer P (V k ) e utilisat la formule P (V k ) P (V k V k )P (V k ).. Si V k est vraie, au k-ième essai, le cocierge choisit au hasard ue clef parmi les (k ) qui restet. O a doc ( P (V k ) ) P (V k ) k Par ue récurrece aisée, o trouve doc que, pour k, P (V k ) k k k P (V k ). 2

3 et P (V k ) 0 si k. O a doc, pour k, Le ombre moye d essais vaut doc p k k k. kp k k. 2 k k 2. Cette fois, si V k est vraie, le cocierge tire ue clef parmi les du trousseau, et doc ( P (V k ) ) P (V k ) P (V k ). O obtiet cette fois, pour k 0, ( ) k P (V k ), puis ( ) k ( ) k ( ) k p k. E recoaissat ue loi géométrique de paramètre /, o trouve que le ombre moye d essais écessaires est Fialemet, ce est pas si différet! k kp k. Exercice 5 - Chaîe de fabricatio - Ecricome -. Pour u objet pris à la sortie, P (A) 0.6 et P (B) 0.4 Soit D l objet est défectueux. O a P (D A) 0. et P (D B) 0.2 et comme (A, B) est u système complet d évéemets, P (D) P (D A) P (A) + P (D B) P (B) Si l objet est défectueux, la probababilité de l évéemet l objet proviet de la chaîe A est P (A D) que l o calcule par la formule de Bayes : P (A/D) P (A D) P (D) P (D/A) P (A) P (D) O suppose de plus que le ombre d objets produits e ue heure par A est ue variable aléatoire Y qui suit ue loi de Poisso de paramètre λ 20. O cosidère la variable aléatoire X représetat le ombre d objets défectueux produits par la chaîe A e ue heure. 3

4 (a) O a Y (Ω) N et pour tout etier : P (Y ) λ e λ!. E (Y ) λ 20 et V (Y ) λ 20 (b) Quad Y, X est le ombre d objets défectueux parmi, qui sot défectueux idépedemmet les u des autres avec ue même probabilité 0.. Doc X Y B (, 0.) et P [X k Y ] 0 si k > et P [X k Y ] C k 0. k 0.9 k si k (c) Comme (Y ) N, est u système complet d évéemets o a pour tout etier k : P (X k) 0 P [X k Y ] P (Y ) série covergete dot o calcule la somme partielle e distiguat suivat que k ou < k : P [X k Y ] P (Y ) k0 doc X P (2) Exercice 6 - Pile ou face - Oral ESCP - k P [X k Y ] P (Y ) k ( ( 9 k P [X k Y ] P (Y ) C k 0. k 0.9 k 20 e 20 e 20 M e 20 k! k k!! (0.9 20) k! ( k)!! ( k)! 8 ( ) k e 20 M k 9 k! m! 8m+k m0 ( k e 9) 20 k! 8k e 8 2k e 2 k!. La variable aléatoire T est le temps d attete du premier pile ; elle suit la loi géométrique de paramètre p, doc d espérace /p. 2. Notos X la variable aléatoire égale à si la partie uméro amèe pile. Les variables X sot des variables aléatoires de Beroulli idépedates de même paramètre p. Soit (i,..., i ) N. L évéemet (A i,..., A i ) s écrit aussi : X X i 0, X i, X i + X i +i 2 0, X i +i 2,..., X i + +i. Doc, e posat q p, o a : P (A i,..., A i ) q i pq i 2 p... q i p. 4

5 E sommat pour (i,..., i ) parcourat (N ), o a : P (A i ) q i p. (A ) suit bie ue loi géométrique de paramètre p. De plus l expressio ci-dessus prouve que : P (A i,..., A i ) P (A i )... P (A i ), ce qui motre que les variables A,..., A sot idépedates. Si vous trouvez ue erreur, ue faute de frappe, etc... das ces exercices, merci de la sigaler à Veez poursuivre le dialogue sur otre forum : 5

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