CHAPITRE 5 : Dérivation

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1 CHAPITRE 5 : Dérivation 1 Nombre dérivé Activité d approche Définition du nombre dérivé par le taux d accroissement Calcul du nombre dérivé à la calculatrice Tangente Coefficient directeur Equation de tangente Tracer une tangente à la calculatrice Lecture graphique d une équation de tangente A partir d une équation de la tangente au point d abscisse a, retrouver f (a) et f (a) Tracer une courbe possible à partir d images et de nombres dérivés Fonction dérivée Définition Dérivées des fonctions usuelles Dérivées et opérations (u + v) (ku) (uv) (u²) (1/u) (u/v) Recherche du point de contact entre C et T Déterminer une équation de tangente parallèle à une droite donnée Position relative de C et T Déterminer f (x) avec des données

2 CHAPITRE 5 : Dérivation 1 Nombre dérivé 1.1 Activité d approche On a représenté graphiquement la fonction définie pour tout. Le taux d accroissement de la fonction entre et est défini par : On observe que pour des valeurs de très proches de (avec ), les valeurs de s approchent d une limite réelle. On a donc : Pour, Ce résultat peut être justifié par un calcul : 2

3 1.2 Définition du nombre dérivé par le taux d accroissement Soit une fonction définie sur un intervalle Soit et soit un réel tel que soit définie en Si la limite quand tens vers du taux d accroissement de la fonction entre et est un réel, alors on dit que cette limite est le nombre dérivé de la fonction calculé en. On le note. Dans ce cas, on dit que la fonction est dérivable en. Contre-exemples : La fonction racine carrée est définie en. On peut donc étudier sa dérivabilité en Cette limite n est pas un réel, donc la fonction racine carrée n est pas dérivable en. Graphiquement, la tangente à la courbe d équation au point d abscisse n a pas de coefficient directeur puisqu elle est verticale. La fonction valeur absolue est définie en. On peut donc étudier sa dérivabilité en La limite à gauche de 0 est différente de la limite à droite de 0, donc la limite en 0 n existe pas. La fonction valeur absolue n est pas dérivable en. Graphiquement, la tangente à la courbe d équation au point d abscisse n existe pas 3

4 1.3 Calcul du nombre dérivé à la calculatrice Sur TI83 Touche MATH, dans le menu MATH, 8 :nbredérivé nbredérivé(x²-2,x,1) donne c'est-à-dire que pour on a. 2 Tangente 2.1 Coefficient directeur Définition Si est dérivable en, on appelle tangente en à la courbe la droite qui passe par et de coefficient directeur le nombre dérivé. 2.2 Equation de tangente Si la fonction est dérivable en, alors une équation de la tangente notée à la courbe au point est : Le calcul de l ordonnée à l origine se fait en remplaçant et par les coordonnées de. Soit la courbe représentant la fonction définie sur par. Déterminer une équation de la tangente à au point d abscisse. Réponse : La fonction étant dérivable en, la courbe admet une tangente au point d équation. On a calculé que Les coordonnées de sont car On remplace et par et. Donc a pour équation 2.3 Tracer une tangente à la calculatrice Sur TI83 On trace la courbe d équation Y1=X²-2 (par exemple avec ZOOM Standard) Touche 2 nd DESSIN, dans le menu DESSIN, 5 :Tangente Préciser l abscisse du point de contact en appuyant sur 1 puis ENTREE 4

5 2.4 Lecture graphique d une équation de tangente La lecture du coefficient directeur d une droite tangente à un point donne directement (ou une valeur approchée). de la courbe 2.5 A partir d une équation de la tangente au point d abscisse a, retrouver f (a) et f (a) Si la tangente à la courbe au point d abscisse a pour équation, il est possible de remplacer par l abscisse du point. La valeur de correspondante est l ordonnée de puisque appartient à la tangente. Cette ordonnée est aussi car le point appartient aussi à la courbe. Quant à, il est égal au coefficient directeur de la tangente. La tangente à une courbe au point d abscisse a pour équation Déterminer et. Réponse : et 2.6 Tracer une courbe possible à partir d images et de nombres dérivés On place les points correspondant aux images connues On trace des petites tangentes (double flèches) de coefficients directeurs égaux aux nombres dérivés. Tracer une courbe possible correspondant aux données suivantes : 5

6 3 Fonction dérivée 3.1 Définition Si une fonction est dérivable en tout réel d un intervalle, on dit que est dérivable sur. La fonction qui à chaque réel de associe le nombre dérivé est appelée fonction dérivée de et se note. 3.2 Dérivées des fonctions usuelles Fonction Définie sur Dérivable sur Constante linéaire Affine Carré Cube Puissance Inverse Racine carrée 4 Dérivées et opérations 4.1 (u + v) Si et sont des fonctions dérivables sur alors est dérivable sur et est la somme de trois fonctions dérivables sur donc est dérivable sur. 4.2 (ku) Si est une fonction dérivable sur et est une constante réelle alors est dérivable sur et est dérivable sur. 6

7 4.3 (uv) Si et sont des fonctions dérivables sur alors est dérivable sur et est le produit de deux fonctions dérivables sur donc est dérivable sur. Remarque : Ce théorème assure que est dérivable sur. Mais la fonction peut être aussi dérivable ailleurs. Pour le savoir, il faut utiliser la définition du nombre dérivé.. Est-elle dérivable en? Réponse : On calcule D où. La limite est un réel. Donc est aussi dérivable en. Donc, au total, est dérivable sur. Démonstration du théorème sur la dérivée d un produit : Hypothèses : les fonctions et sont dérivables en un réel d un intervalle. On exprime le taux d accroissement de la fonction entre et On ajoute au numérateur l expression nulle On fait apparaitre le taux d accroissement de entre et ainsi que le taux d accroissement de entre et 7

8 On sépare en deux fractions On calcule On utilise les hypothèses : est dérivable en est dérivable en donc donc D où : Enfin, comme, on a : Conclusion : La fonction est dérivable en est un réel. Le nombre dérivé de la fonction en est Cette démonstration a été faite pour tout réel d un intervalle : donc si et sont deux fonctions dérivables sur, alors leur produit est une fonction dérivable sur et sa dérivée est 4.4 (u²) Si est une fonction dérivable sur alors est dérivable sur et est le carré d une fonction dérivable sur donc est dérivable sur 4.5 (1/u) Si est une fonction dérivable et non nulle sur alors est dérivable sur et et est dérivable et non nulle sur. 8

9 4.6 (u/v) Si est une fonction dérivable sur et si est une fonction dérivable et non nulle sur alors est dérivable sur et est dérivable sur et est dérivable et non nulle sur. 4.7 Recherche du point de contact entre C et T Si on connait alors on peut trouver en quel(s) points de la courbe le coefficient directeur de la (ou des) tangente(s) est, par exemple, égal à. Il suffit de calculer et de chercher les éventuelles solutions de l équation. Si on trouve des solutions, alors ce sont les abscisses des points de contact entre la courbe et ses tangentes de coefficient directeur. Y a-t-il des points de la courbe où la tangente a comme coefficient directeur? Réponse : On résout : Donc les solutions sont ou Il y a deux points de la courbe où la tangente a comme coefficient directeur : Le point d abscisse et le point d abscisse. 4.8 Déterminer une équation de tangente parallèle à une droite donnée La tangente d équation est parallèle à une droite donnée de coefficient directeur si et seulement si. Cette question se résout donc comme celle du paragraphe 4.7 précédent. 9

10 4.9 Position relative de C et T Etudier la position de la courbe par rapport à la tangente d équation revient à étudier le signe de différence Si, pour tout, Alors la courbe Si, pour tout, est au-dessus de la tangente Alors la courbe est en-dessous de la tangente 4.10 Déterminer f (x) avec des données La connaissance de renseignements tels que pour certains points ou pour certains points, permet de déterminer des inconnues figurant dans. Il faut autant d équations indépendantes que d inconnues à déterminer. On sait que la courbe passe par les points et. De plus, on sait que et que. Déterminer les quatre réels Méthode Il faut calculer pour utiliser les renseignements et Donc (car et sont des constantes réelles). équivaut successivement à : 10

11 On en déduit que la fonction définie par vérifie les quatre conditions. 11