DROITES REMARQUABLES D UN TRIANGLE

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1 TD 4 DRITES REMRQULES D UN TRINGLE 1. Je me souviens 1. Si M = M, alors il est certain que : M est le milieu de []? La médiatrice de [] passe par M? Le cercle ntre qui passe par M passe par? ou Le cercle ntre M qui passe par passe par? 2. Soit deux points S et T. Il existe un seul cercle ayant pour diamètre : la longueur ST? Le segment [ST]? la longueur TS? ou Le segment [TS]? 3. L aire, en cm², du ci-contre est : 5 6 x? x? 5 x 6 2? ou 5 x 6 x x? 2 5 cm x cm 6 cm 4. La longueur, en cm, d un cercle de rayon 3 cm est : 9π? 6π? 3π? ou π 3²? 5. L aire, en cm², d un disque de rayon 3 cm est : 9π? 6π? 3π? ou π 3²? 6. Un qui a deux angles mesurant 60 est : rectangle? isocèle? rectangle isocèle? ou équilatéral? 7. Un qui a deux angles mesurant 45 est : rectangle? isocèle? rectangle isocèle? ou équilatéral? 8. Un qui a deux angles complémentaires est : rectangle? isocèle? rectangle isocèle? ou équilatéral? 9. Dans le ci-dessous, [M] est : une médiatrice? une hauteur? une médiane? ou une bissectrice? 10. Dans le ci-contre, [N] est :une médiatrice? une hauteur? une médiane? ou une bissectrice? N P 11. Dans le ci-contre, [P] est : une médiatrice? une hauteur? une médiane? ou une bissectrice? M

2 12. Le centre du cercle circonscrit à un est équidistants des : milieux des côtés? pieds des hauteurs? ou sommets? 13. Le centre du cercle circonscrit à un est le point d intersection de : deux médiatrices? deux hauteurs? deux médianes? ou deux bissectrices? 14. a) onstruis, en noir, le tel que les côtés [], [] et [] mesurent respectivement 6 cm, 8 cm et 12 cm. b) onstruis, en rouge, la médiane issue de. c) onstruis, en bleu, la médiatrice de []. d) onstruis, en vert, les hauteurs issues de et de. e) onstruis, en jaune, la bissectrice de l angle. 2. Une petite construction Le but du problème est de construire un cercle dont le centre est un point de la ligne L et passant par les points et. omplète la phrase suivante : «le centre d un cercle passant par les points et est s deux points ; il est donc sur la» Puis effectue la construction. L

3 3. Les médiatrices d un 1. onstruis un et les médiatrices des côtés [] et []. 2. Justifie les deux égalités suivantes : = et = 3. Démontre que le point appartient aussi à la médiatrice du côté [] 4. omplète la phrase suivante : «Les médiatrices d un sont.» 5. Trace le cercle ntre et de rayon. Que remarques-tu? omment s appelle ce cercle? 4. Les médianes d un 1. Pour les deux s ci-après, trace les médianes (M), (N) et (P).

4 Que semble-t-il?.. 2. n donne un, le point I est le milieu du côté [] et le point J est le milieu du côté []. Le point G est le point d intersection des médianes (J) et (I). J G I onstruis le symétrique du point par rapport au oint G. K est le point d intersection des droites () et (G). En utilisant le, démontre que les droites (G) et ( ) sont parallèles. Que peut-on dire du point K pour le segment []? Que peut-on en déduire pour la droite (G)?

5 5. Le centre de gravité d un 1. Dans une feuille de carton rigide et d égale épaisseur découpe un tel que les côtés [], [] et [] mesurent respectivement 22 cm, 18 cm et 26 cm. onstruis, avec soin, deux médianes. Pose ce par le point d intersection des deux médianes sur la pointe d un compas. Que constates-tu?.. omment pourrait-on appelé ce point?.. 2. J ai tracé les s et DEF et leurs médianes. D H M J J N K I E L F omplète les tableaux suivants en mesurant les longueurs avec une règle graduée : M = = MG = G = MI = I = M H = NE = KE = NE KE = MG G = ND = LD = ND LD = MI I = NF = JF = NF JF = ù semble situé le centre de gravité d un?.. 3. n donne un, le point I est le milieu du côté [] et le point J est le milieu du côté []. J G I

6 Le point G est le point d intersection des médianes (J) et (I). onstruis le symétrique du point par rapport au oint G. K est le point d intersection des droites () et (G). Démontre que G = 2 3 K 6. Les bissectrices d un 1. La figure ci-contre montre la construction de la bissectrice (P) de l angle xy. Justifions cette construction : - Démontre que (P) est la médiatrice du segment []. P x y Quels sont les symétriques des points, et P par rapport à (P)?... - Quel est le symétrique de l angle P par rapport à (P)?. - Déduis de la question précédente que (P) est la bissectrice de xy.. 2. (z) est la bissectrice de l angle xy. M est un point de la demi-droite [z). Démontre que le point M est équidistant des deux côtés de l angle xy.. I J M x y

7 3. L, M et N sont trois points d un cercle ntre. les tangentes à ce cercle en L, M et N se coupent en, et. Démontre que le point est un point des trois bissectrices du.. N L M 7. Les hauteurs d un 1. La figure ci-contre montre la construction de la hauteur issue du sommet du. omplète les phrases suivantes : - «la droite (I) est la. à la droite passant par le point» - «La droite (I) coupe la droite () en I, appelé à la droite () passant par» 2. onstruis un et, soigneusement ses trois hauteurs. Que constates-tu?

8 3. a) onstruis un et sa hauteur (E). b) onstruis la parallèle (d) à () passant par, la parallèle (r) à () passant par et la parallèle (l) à () passant par. (d) et (r) se coupent en Z, (r) et (l) se coupent en X et (d) et (l) se coupent en Y. c) Démontre que les quadrilatères Y et Z sont des parallélogrammes. Déduis-en que Z = Y. d) Trace les deux autres hauteurs (F) et (G) du. 8. Figures à compléter (si possible) Quelle remarque peut-on faire sur ces deux hauteurs? onclu en complétant la phrase suivante : «Les trois hauteurs d un sont..» Dans chacun des quatre cas suivants, complète ( si possible ) la figure :

9 a) avec des hauteurs. Est-il possible de construire le point tel que le point soit l orthocentre du? b) avec des bissectrices. Est-il possible de construire le point tel que le point soit le centre du cercle inscrit dans le? c) avec des médianes. Est-il possible de construire le point tel que le point soit le centre de gravité du?

10 d) avec des médiatrices. Est-il possible de construire le point tel que le point soit le centre du cercle circonscrit au. 9. Faisons le point Pour chaque question une seule réponse est exacte, entoure la. Dans un, la médiatrice du côté [] et la hauteur issue du sommet sont sécantes au milieu de [] sécantes au point parallèles Sur cette figure, la droite (D) est une D médiane du médiatrice du hauteur du Sur cette figure, la droite (D) est une D médiane du médiatrice du hauteur du Le centre de gravité d un est le point de concours des médiatrices médianes hauteurs Le centre du cercle circonscrit à un est le point de concours des médiatrices médianes hauteurs Le centre du cercle inscrit à un est le point de concours des médiatrices médianes bissectrices L orthocentre d un est le point de concours des médiatrices médianes hauteurs

11 Le point G est le centre de gravité du et le point I est le milieu du côté [], donc GI = 1 2 G G = 1 3 I I = 3 G Quand un a un angle obtus son orthocentre est à l intérieur du son orthocentre est à l extérieur du on ne peut rien prévoir sur la position de son orthocentre