Chapitre XI Vecteurs et translations

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1 Chapitre XI Vecteurs et translations Extrait du programme : I Notion de translations et de vecteurs Définition : Soient A et B deux points du plan. On associe à tout point M du plan un point M tel que [AM ] et [B M] aient le même milieu. M est l image de M par la translation de vecteur AB. M est l image de M par la translation de vecteur AB si et seulement si AB M M est un parallélogramme. Démonstration : Les diagonales ont le même milieu. Remarque : L image de A par la translation de vecteur AB est B. Soient A, B, C et D quatre points du plan. On dit que AB = C D si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). 1

2 Remarque : 2 vecteurs AB et A B sont égaux si ces 3 conditions sont vraies : Les droites (AB) et (A B ) sont parallèles : Les vecteurs ont la même direction. Les chemins de A à B est parcouru dans le même sens que de A à B : Les vecteurs ont le même sens. La longueur AB est égale à la longueur A B : Les vecteurs ont la même norme. Définitions : Le vecteur A A est appelé vecteur nul, noté 0. AB = 0 si et seulement si A et B sont confondus. On appelle vecteur opposé au vecteur AB le vecteur B A = AB. AB et B A ont la même direction, la même norme mais ils sont de sens contraires. II Milieu d un vecteur I milieu de [AB] si et seulement si : I [AB] et AI = I B. ou AI = I B On peut aussi dire AI + B I = 0 III Somme de deux vecteurs Définition : La somme de 2 vecteurs et v est le vecteur w résultant de l enchainement de la translation de vecteur suivie de celle de v. Remarque : l ordre des enchainements n a pas d importance. Relation de Chasles AB + BC = AC Règle du parallélogramme Soient A, B et C trois points distincts. La somme AB + AC est le vecteur AD où D est le 4 i ème sommet du parallélogramme ABDC. (Attention à l ordre des lettres!) 2

3 Point-méthode 26 : Construire un vecteur ou un point vérifiant une égalité vectorielle 1. Soient 2 vecteurs et v. Reproduire la figure suivante en respectant le quadrillage (et en laissant de l espace en haut), puis représenter les vecteurs suivants : (a) 3 (b) v (c) 3 v 2. Soient trois points A, B, C du plan. Reproduire la figure ci-contre en respectant le quadrillage, puis contruire le point M tel que : AM = AB +2 AC. B v C A 1. (a) Pour représenter 3, on représente 3 fois le vecteur bout à bout. Le vecteur allant du point de départ du 1 er au point d arrivée du 3 ème est le vecteur 3. (b) Pour v, on représente un vecteur identique à v mais en le parcourant dans le sens inverse. (c) Pour représenter une somme de vecteurs, il suffit de mettre bout à bout les déplacements On peut commencer ici par 3 au bout duquel, on place un autre représentant de v. Le vecteur somme par du départ du 1 er vecteur jusqu à l arrivée du dernier point, peu importe le chemin parcouru entre. 2. Comme le vecteur cherché commence par la lettre A, on va représenter le premier vecteur de la somme à partir de A. On trace donc en partant de A, un vecteur égal au vecteur AB. Puis, à son bout, on trace 2 fois le vecteur AC. Le point d arrivé est le point M cherché. M 2 AC v 3 v B v C AB v 3 AC A IV Vecteurs et coordonnées Dans cette partie, le plan est rapporté à un repère (O; I ; J). Soit (u) un vecteur non nul. Pour tout point A du plan, il existe un point P tel que AP =. Le vecteur AP est un représentant de d origine A. En particulier, si on considère l origine O du repère, il existe un unique point M tel que OM = Définition : Les coordonnées du vecteur sont les coordonnées du point M tel que OM =. Nouvelle notation : On note respectivement ı et j les vecteurs OI et O J. Le repère (O; I ; J) se note alors (O; ı, j). 3

4 1 Coordonnées d un vecteur Définition : Soient A et B deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (x B ; y B ) dans un repère (O; ı, j). Alors les coordonnées du vecteur AB sont : ( ) xb x A AB. Attention à l ordre!! y B y A Point-méthode 27 : Lire graphiquement les coordonnées d un vecteur On considère (O; ı, j)un repère du plan. 1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs et v. ( ) 2 v 2. Représenter le vecteur w Placer le point B tel que le vecteur AB ait pour coordonnées ( ) j 4. i 3 A 1. Pour lire des coordonnées de vecteurs, il suffit de regarder le déplacement sur les abscisses (donc horizontal) du point d origine au point d arrivée, puis le déplacement sur les ordonnées. On lit : ( 5 3 ) et v ( ) le vecteur w n étant pas associé à un point, on peut le placer n importe où sur le repère. On effectue un déplacement horizontal de 2 (donc vers la gauche), puis un déplacement vertical de 4. On relie ensuite le point de départ et le point d arrivée. 3. Ici le vecteur AB est attaché à un point connu le point A, qui doit donc être notre point de départ. A partir de A, on réitère le même procédé que la question précédente, et on trouve le point B(7; 1). 2 Calculs avec les coordonnées ( ) ( x x ) On considère les vecteurs et v y y Egalité de 2 vecteurs : = v x = x ety = y Deux vecteurs sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes coordonnées. ( x + x ) Somme de 2 vecteurs : + v y + y Pour obtenir les coordonnées ( ) d une somme, on fait la somme des coordonnées. x Vecteur opposé : y Pour obtenir les coordonnées du vecteur opposé, on prend l opposé des coordonnées. 4

5 Point-méthode 28 : Calculer les coordonnées d un point défini par une égalité vectorielle On considère (O; ı, j)un repère du plan. Soient les points A( 1; 3), B(3; 1) et C (6; 2). Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Souvent, avec les vecteurs, il suffit de traduire une propriété géométrique en relation vectorielle. On sait que parallélogramme égalité de vecteurs (attention à l ordre!!) ABCD parallélogramme BC = AD On préfère choisir un vecteur où le sommet cherché, ici D, apparait en 2 ème position, car il n y aura alors pas de devant. On traduit cette égalité avec les coordonnées, en prenant celles de D comme inconnues. BC = { { { xd x A = x C x B xd + 1 = 3 xd AD y D y A = y C y B y D 3 = 1 = 2 y D = 4 ALors le point D a pour coordonnées (2 ;4) V Multiplication d un vecteur par un réel 1 Définition Soit un vecteur non nul et k un réel non nul. Le produit de par k est caractérisé par : k négatif k positif Le vecteur k a la même direction que le vecteur k et sont de sens contraires AB = k OM k et sont de même sens. AB = k OM Pour tout vecteur et v et tout réel k et k, on a : k( + v) = k + k v (k + k ) = k + k k = 0 k = 0 ou = 0 Si on multiplie un vecteur par k alors les coordonnées de sont multipliées par k : Si ( ) ( ) x kx alors k y k y 2 Vecteurs colinéaires Définition : 2 vecteurs et v sont colinéaires si l un est le produit de l autre par un réel. C est-à-dire s il existe un réel k tel que = k v. k est appelé Le coefficient de colinéarité. Théorème : 2 vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s ils ont la même direction. 5

6 Conséquences : 3 points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. 2 droites (AB) et (M N ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et M N sont colinéaires. AC = 3AB donc AC et AB sont colinéaires, et ainsi, A, B et C sont alignés. 5 M N = AB sont M N et AB sont colinéaires, par conséquent, les 3 droites (AB) et (M N ) sont parallèles. Théorème : Conditions de colinéarités de 2 vecteurs ( ) ( x x ) Dans un repère quelconques, soient 2 vecteurs et v y y. et v sont colinéaires leurs coordonnées sont proportionnelles il existe un réel k non nul tel que x = kx et y = k y x y = x y (égalité des produits en croix) 6

7 Point-méthode 29 :Démontrer un parallélisme ou un alignement en utilisant la colinéarité On considère (O; ı, j)un repère du plan. Soient les points A( 1; 1), B(3; 2), C ( 2; 3), D(6; 1) et E(5; 0) 1. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? 2. Démontrer que les points E, B et D sont alignés. On commence par réaliser une figure, même rapide, afin de mieux conjecturer et de pouvoir vérifier nos futurs calculs. 1. Il semble que ABDC soit un trapèze il faudra donc juste montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, c est-à-dire montrer que les vecteurs AB et C D sont colinéaires. On sait que ( 3 ( 1) AB 2 1 etc ( ) 6 ( 2) D 1 ( 3) donc C D ) donc AB ( ) 8 2 ( ) 4. 1 Méthode 1 : On voit tout de suite le coefficient de colinéarité On voit que 2 AB = C D donc les vecteurs sont colinéaires et ainsi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Méthode 2 : On calcule les produits en croix ( ) 4 ( ) 8 AB C D = = 8 Les produits en croix sont égaux, donc les vecteurs sont colinéaires et ainsi les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Pour prouver l alignement de 3 points, il suffit de montrer que des vecteurs ne faisant intervenir que ces trois points sont colinéaires ( ) 3 5 EB donc ( ) 2 EB et ( ) 6 5 ED et donc ( ) 1 ED On a donc EB = 2 ED et par conséquent les vecteurs sont colinéaires, donc les points E, B et D sont alignés. 7