Suites arithmétiques et Géométriques. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1,

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1 Sites arithmétiqes et Géométriqes Nos allos cosidérer des sites de ombres réels Exemple La site des ombres,, 5, 7,, o la site des ombres,,,, 464 Défiitio/Notatio : La site est e gééral oté ( ) (o ( v ) o ( ) premier terme est oté, le sivat, le sivat et aisi de site C por les capitax), so Remarqe : parfois, o e commece pas la site à mais à Cela modifiera pe les formles Exemple : Das l exemple, por la première site doée, o pose =, =, = 5 Remarqe : le terme gééral de la site est oté : le terme sivat est alors + Exemple Das l exemple, la dexième site pet être représetée à l aide de ce tablea + Certaie sites sot particlières et apparaisset das les calcls d itérêts bacaires, de capital, d effectif d e poplatio Ce sot les sites arithmétiqes et les sites géométriqes Défiitio O dit qe la site ( ) est croissate si qad agmete, le ombre agmete O dit qe la site ( ) est décroissate si qad agmete, le ombre dimie Exemple 4 La site défiie par =, =, =5, est croissate La site défiie par =, =5, =5, est décroissate La site défiie par =5, =6, =4, 4 =7 est i croissate, i décroissate Défiitio Soit a ombre réel ted vers a (o coverge vers a), si qad deviet très grad le O dit qe la site ( ) ombre se rapproche de a : o ote lim = a + O dit qe la site ( ) ted vers +, si qad deviet très grad le ombre deviet ifiimet grad : o ote = + Exemple 5 lim + Por la site défiie par = : o a lim = + + E effet lorsqe deviet ifiimet grad, le ombre ² deviet ifii lim = Por la site défiie par = 9 : o a + E effet lorsqe deviet très grad, le ombre 9 se rapproche de D PINEL, Site Mathemitec : Chapitre III Sites Arithmétiqes et Géométriqes

2 Sites Arithmétiqes Défiitio Ue site est arithmétiqe lorsqe por passer d terme a sivat, o ajote tojors même ombre, appelé raiso Remarqe : si o elève tojors le même ombre alors la raiso sera égative Ex Ex de valer 5 5 Terme + +r +r +r +r Formle Comme le motre les derières est arithmétiqe coloes, dire q e site ( ) de raiso r reviet à dire qe r = + + Cette formle est cotraigate Por calcler, il fat coaître tos les termes d avat!! La sivate est pls pratiqe! Formle est arithmétiqe de raiso r, et Si ( ) de premier terme, o a : = + r de premier terme, o a : = +(-)r Variatio - Limites Si ( ) est arithmétiqe de raiso r, et r > alors la site est croissate De pls lim = + + r < alors la site est décroissate De pls lim = + Somme des termes La somme termes de termes d e site arithmétiqe est égale à Par exemple : = ( + ) (ici, il y a + termes) S + premier+ derier = Sites Géométriqes Défiitio Ue site est géométriqe lorsqe por passer d terme a sivat, o mltiplie tojors par le même ombre, appelé raiso Remarqe : si o divise tojors par le même ombre x alors la raiso sera Ex q= x Ex de valer 5 5 Terme q q q q Formle Comme le motre les derières est géométriqe coloes, dire q e site ( ) de raiso q reviet à dire qe q = + Cette formle est cotraigate Por calcler, il fat coaître tos les termes d avat!! La sivate est + pratiqe! Formle est géométriqe de raiso q, et Si ( ) de premier terme, o a : = q de premier terme, o a : = q - Variatio - Limites est géométriqe de raiso q, de premier Si ( ) terme > et : de raiso q > alors la site est croissate De pls = + lim + de raiso <q< alors la site est décroissate De pls lim = + Somme des termes La somme termes de termes d e site géométriqe est égale à Par exemple : = q q (ici, il y a + termes) q S= premier q, si q + Exemple de Sitatio O étdiera sovet l évoltio d e capitalisatio à itérêts simples Cela sigifie q o a capital iitial, oté C, et qe totes les aées o rajote la même somme r D PINEL, Site Mathemitec : Chapitre III Sites Arithmétiqes et Géométriqes Exemple de Sitatio O étdiera sovet l évoltio d e capitalisatio à itérêts composés Cela sigifie q o a capital iitial, oté C, et qe totes les aée o appliqe tax t% sr l aée précédete (o a alors q = + t )

3 Exercices Type Corrigés EXERCICE Ue etreprise commece cette aée la fabricatio de systèmes d alarme por piscies de particliers La prodctio sera la première semaie = Pis l etreprise prévoit d agmeter sa prodctio chaqe semaie de % O désige par, le ombre de systèmes fabriqés la -ième semaie Calcler,, 4 a Qel coefficiet mltiplicater permet de passer de à? de à? b Exprimer + e foctio de c Qelle est la atre de la site ( )? Préciser sa raiso Calcler la prodctio la ième semaie (arrodir à l ité) 4 Calcler la prodctio totale a cors des premières semaies Le résltat sera doé arrodi à l ité EXERCICE D PINEL, Site Mathemitec : Chapitre III Sites Arithmétiqes et Géométriqes

4 Exercice Corrigé Ue etreprise commece cette aée la fabricatio de systèmes d alarme por piscies de particliers La prodctio sera la première semaie = Pis l etreprise prévoit d agmeter sa prodctio chaqe semaie de % O désige par, le ombre de systèmes fabriqés la -ième semaie Por agmeter ombre de % o le mltiplie par doc : = =, = = 4 et 4 = 4 = 66 a Le coefficiet mltiplicater qi permet de passer de à o de à est b De même por passer de la prodctio de la ième semaie à la sivate, o mltiplie par doc : + = c Par défiitio, d après la qestio précédete, la site ( ) est géométriqe de raiso O a par coséqet = q = 9 La prodctio totale a cors des premières semaies est doée par q S = = = 455 q 4 D PINEL, Site Mathemitec : Chapitre III Sites Arithmétiqes et Géométriqes

5 Exercice Corrigé E 5, la poplatio de la ville est estimée à habitats Partie I O sppose qe la poplatio agmete de 5 habitats par a et o pose la poplatio e 5+ a Par défiitio, por passer d terme a sivat, o ajote 5 : la site est doc arithmétiqe de raiso 5, de premier terme = b D après les résltats sr les sites arithmétiqes, = + r soit ici = + 5 c Cherchos tel qe = : doc c est à 5 partir de l aée 5 qe la poplatio a pls qe doblé par rapport à so premier terme Spposos maiteat qe la poplatio agmete de 47% par a a Por agmeter ombre de 47% o le mltiplie par 47 : e 6 : il y a 47 = 47 habitats e 7 : il y a habitats eviro b Notos v la poplatio e 5+ : por passer d terme a sivat, o agmete de 47% doc o mltiplie par 47 La site est doc géométriqe, de raiso 47 et de premier terme v = D après le cors, v = q soit ici v 47 = c E, soit por = 5, la poplatio est estimée à 5 v 5 = habitats d La poplatio doble qad elle atteit les habitats Selo le modèle précédet, e 5 as, la poplatio atteit 996 habitats eviro L estimatio des experts est doc valable Partie II E cellle B, la formle à retrer est la sivate : «=B +5» E cellle C, la formle à retrer est la sivate : «=C * 47» Le résltat affiché e B8 sera 8, cad 4 5 D PINEL, Site Mathemitec : Chapitre III Sites Arithmétiqes et Géométriqes

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