Matrices. Table des matières. Cours de É. Bouchet ECS1. 23 novembre 2017

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1 Matrices Cours de É. Bouchet ECS novembre 07 Table des matières Ensemble de matrices M n,p (K. Premières dénitions Matrices carrées Opérations dans M n,p (K 4. Addition de matrices et multiplication par un scalaire Produit matriciel Inversibilité d'une matrice carrée 8. Inversibilité d'une matrice de taille Inversibilité d'une matrice : cas général Méthode du Pivot de Gauss

2 Dans tout le chapitre, n, p, q désignent des éléments de N et K désigne l'un des ensembles R ou C. Ensemble de matrices M n,p (K. Premières dénitions Dénition (Matrice. Une matrice à n lignes et p colonnes (ou matrice de taille n p à coecients dans K est un tableau à n lignes et p colonnes d'éléments de K. Si A est une telle matrice, on note a ij le terme de la i-ième ligne et j-ième colonne : A a a a p a i a i a ip a n a n a np L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (K. On écrit A (a ij i n, j p ou plus simplement A (a ij quand il n'y a pas d'ambiguïté. Remarque. Quelques cas particuliers importants : si p n, A est appelée matrice carrée d'ordre n et on note A M n (K. si n, A est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. si p, A est appelée matrice colonne ou vecteur colonne. si n et p, A est souvent confondue avec le nombre a K. Dénition (Égalité de deux matrices. Soit A (a ij i n, j p et B (b l n, l p deux matrices de M n,p (K. On dit que les deux matrices A et B sont égales et on note A B lorsque pour tout (i, j [, n] [, p], a ij b ij. Dénition (Transposée. Soit A (a ij i n, j p une matrice de M n,p (K. La matrice transposée de A est la matrice de M p,n (K notée t A qui vérie : t A (a ji i n, j p Exemple. t ( , t ( 0 ( 0.

3 . Matrices carrées Dénition (Matrices triangulaires. Soit A M n (K une matrice carrée d'ordre n. On dit que : A est une matrice triangulaire supérieure lorsque pour tout (i, j [, n], i > j a ij 0. A est une matrice triangulaire inférieure lorsque pour tout (i, j [, n], i < j a ij 0. A est une matrice diagonale lorsque pour tout (i, j [, n], i j a ij 0. On note alors parfois A Diag (a, a,..., a nn. La matrice identité de M n (K est la matrice diagonale I n Diag (,,...,. Exemple. On a : est une matrice triangulaire supérieure Diag(, 0, est une matrice diagonale I 0 0 Dénition (Matrices symétriques, antisymétriques. Soit A M n (K une matrice carrée d'ordre n. On dit que : A est une matrice symétrique lorsque t A A, c'est-à-dire pour tout (i, j [, n], a ij a ji. A est une matrice antisymétrique lorsque t A A, c'est-à-dire pour tout (i, j [, n], a ij a ji. Exemple. On a : 0 5 est une matrice symétrique est une matrice antisymétrique. 5 0

4 Opérations dans M n,p (K. Addition de matrices et multiplication par un scalaire Dénition (Addition de matrices. Soit A (a ij i n, j p et B (b l n, l p deux matrices de M n,p (K. La somme de A et B est la matrice de M n,p (K dénie par A + B (c ij i n, j p avec pour tout (i, j [, n] [, p], c ij a ij + b ij. Exemple ( 4. On( a : ( Remarque. Soit A, B et C des matrices de M n,p (K. L'addition est une opération interne dans M n,p (K qui vérie :. A + (B + C (A + B + C,. A + B B + A,. A A A en notant 0 la matrice de M n,p (K dont tous les termes sont nuls. 4. A + ( A ( A + A 0 en notant A la matrice de M n,p (K dont le terme de la i-ième ligne et j-ième colonne est a ij. Remarque. La transposée de la somme est la somme des transposées. Dénition (Multiplication d'une matrice par un scalaire. Soit A (a ij i n, j p une matrice de M n,p (K. La multiplication externe du scalaire α par la matrice A, est la matrice de M n,p (K dénie par α.a (c ij i n, j p avec pour tout (i, j [, n] [, p], c ij α.a ij. Exemple 5. On a : Remarque. Soit α et β des éléments de K, et A et B des matrices de M n,p (K. La multiplication d'un scalaire par une matrice est dénie de K M n,p (K dans M n,p (K et vérie :. α.(a + B α.a + α.b,. (α + β.a α.a + β.a,. α.(β.a (αβ.a, 4..A A. Proposition. L'ensemble M n,p (K, muni de l'addition de deux matrices et de la multiplication d'un scalaire par une matrice, est un K-espace vectoriel. 4

5 . Produit matriciel Dénition (Produit de matrices. Soit A M n,p (K et B M p,q (K deux matrices. On appelle produit des matrices A et B et on note AB la matrice C (c ij M n,q (K qui vérie : pour tout (i, j [, n] [, q ], c ij a i b j. Exemple 6. Posons A et B 0 5 Alors AB M 4, (R. Le calcul de AB se fait comme suit : On trouve : AB Remarque. Pour tout A M n,p (K, B M p,q (K, le produit matriciel AB correspond à la succession des produit de la matrice A par les vecteurs colonnes de la matrice B. Proposition (Propriétés du produit matriciel. Le produit de matrices vérie les propriétés suivantes :. Pour tout (A, B (M n,p (K et C M p,q (K, (A + B C AC + BC,. Pour tout A M n,p (K et (B, C (M p,q (K, A (B + C AB + AC,. Pour tout A M n,p (K, B M p,q (K et α K, A (α.b α. (AB (α.a B, 4. Pour tout A M n,p (K, B M p,q (K et C M q,r (K, (AB C A (BC, 5. Pour tout A M n,p (K, I n A AI p A. Démonstration. On va montrer le premier résultat, les autres se montrent de la même façon. On note A (a ij i n, j p B (b ij i n, j p et C (c ij i p, j q. Alors le terme en i [, n] et j [, q ] de (A + B C est par dénition de la somme et du produit matriciel : (a i + b i c j a i c j + b i c j. 5

6 Or, ce nouveau terme est le terme en i [, n] et j [, q ] de AC + BC. D'où le résultat. Remarque. Pour tout A, B M n (K, les deux produits AB et BA sont possibles. ATTENTION : dans le cas général, AB BA. ( ( Exemple 7. Soit A et B. Alors : 0 0 ( 0 0 AB 0 0 ( BA Notons au passage qu'on peut donc trouver A et B deux matrices non nulles de M n (K telles que AB 0. Proposition (Produit de matrices triangulaires. Dans M n (K, Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure. Le produit de deux matrices A Diag (a, a,..., a n et B Diag (b, b,..., b n est la matrice diagonale AB Diag (a b, a b,..., a n b n. Démonstration. Soit A (a ij i n, j n et B (b ij i n, j n deux matrices triangulaires supérieures. Notons C AB, avec C (c ij i n, j n. Par dénition du produit matriciel, pour tout (i, j [, n], c ij n a i b j. Soit i et j deux entiers tels que i > j. Alors si < i, a i 0, et si > j, b j 0. Donc a i b j 0 pour tous les termes de la somme. Donc c ij 0. Donc C est triangulaire supérieure. On montre de même le résultat sur les matrices triangulaires inférieures. Pour le résultat sur les matrices diagonales, par ce qui précède, il est direct que le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. Il sut donc de calculer les termes diagonaux. Soit i un entier, a i b i 0 si > i ou < i. Donc c ii a ii b ii. Théorème (Formule du binôme de Newton. Pour tout (A, B (M p (K tels que AB BA et pour tout entier naturel m, (A + B m 0 ( m A B m, où A est la matrice AA }{{... A } produit matriciel de A par elle-même fois, avec la convention A 0 I p. fois Remarque. Attention à ne pas oublier la condition AB BA, qui ne gurait pas dans la formule pour les réels! Exemple 8. Si AB BA, que vaut (A + B? On trouve en développant (A + B (A + B(A + B A + AB + BA + B. 6

7 Démonstration. (démonstration à connaître Soit m N. On pose P (m (A + B m m ( m 0 A B m. (A + B 0 I p et 0 ( 0 0 A B I p I p I p donc P (0 est vraie. Soit m un entier naturel xé. On suppose que P (m est vraie. Alors : ( (A + B m+ m (A + B A B m 0 ( m A + B m m+ ( m A + B m ( m ( m ( m ( m A i B m i+ + i i 0 (( m A m+ + B m+ + + ( m + A m+ + B m+ + m+ ( m + A B m + 0 BA B m A B m + par P (m en développant car AB BA A B m + en posant i + ( m A B m + en séparant 0, m + A B m + par la formule de Pascal Donc P (m + est vraie. D'où le résultat annoncé. ( Exemple 9. Soit n N et A. Calculer A 0 n pour n. ( 4 On pourrait commencer par calculer A puis éventuellement A 0 4 et A 4 pour former une conjecture mais ce n'est pas particulièrement concluant dans ce cas particulier. ( 0 On remarque par contre que A I + J, avec J. 0 0 On connaît les puissances de I et on remarque par calcul que J 0 et donc J 0. De plus I J 6J JI donc ces matrices commutent. On peut donc appliquer la formule du binôme de Newton : n, A n n 0 ( n (J (I n n 0 ( n n J 0 n I + n n J + 0 ( n n n 0 n. Proposition (Transposée du produit. Pour tout A M n,p (K et B M p,q (K, on a : t (AB t B t A. Démonstration. (démonstration à connaître On note A (a ij i n, j p t A (a ij i p, j n B (b ij i p, j q t B (b ij i q, j p AB (c ij i n, j q t (AB (c ij i q, j n et t B t A (d ij i q, j n. Par propriétés de la transposée, pour les valeurs de i et j pour lesquelles les coecients sont bien dénis, a ij a ji, 7

8 b ij b ji et c ij c ji. La formule du produit matriciel donne alors, pour tout i [, q ] et j [, n], c ij c ji a j b i b i a j d ij. Donc pour tout i [, q ] et j [, n], c ij d ij, c'est-à-dire t (AB égaux. t B t A puisque tous leurs coecients sont Inversibilité d'une matrice carrée. Inversibilité d'une matrice de taille Dénition (Matrice inversible. Soit A une matrice carrée de M (K. On dit que A est inversible quand il existe une matrice B de M (K telle que : AB BA I. Cette matrice est alors unique et on note B A. Remarque. On admet qu'il sut de vérier une seule des deux conditions AB I et BA I. Théorème (Inverse d'une matrice de taille. ( a b Soit (a, b, c, d K 4. La matrice A est inversible si et seulement si ad bc 0 et on a alors c d A ad bc ( d b c a. Démonstration. On admet que la matrice n'est pas inversible quand ad bc 0. Quand ad bc 0, il sut de faire le produit : ( ( ( a b d b c d ad bc ad bc ab + ba I c a ad bc dc dc bc + da. Donc A est inversible d'inverse A ad bc ( d b c a Exemple donc la matrice est inversible et on a :. ( 0 ( 0. 8

9 . Inversibilité d'une matrice : cas général Dénition (Matrice inversible, cas général. Soit A une matrice carrée de M n (K. On dit que A est inversible quand il existe une matrice B de M n (K telle que : AB BA I n. Cette matrice est alors unique, et on note B A. L'ensemble des matrices inversibles de M n (K est noté GL n (K. Remarque. On admet qu'il sut de vérier une seule des deux conditions AB I n et BA I n. Proposition (Inverse du produit. Soit A et B deux matrices de M n (K inversibles. Alors AB est inversible, et son inverse est donné par : (AB B A. Démonstration. (démonstration à connaître On a (B A (AB B I n B B B I n. Donc AB est inversible d'inverse B A. Proposition (Inverse de la transposée. Soit A une matrice de M n (K inversible. Alors t A est inversible, et son inverse est donné par : ( t A t (A. Démonstration. On a t (A t A t ( AA t I n I n. Donc t A est inversible, d'inverse t (A.. Méthode du Pivot de Gauss La détermination de l'inversibilité d'une matrice carrée A et (quand elle est inversible le calcul de l'inverse se font par la méthode du Pivot de Gauss. Cette méthode consiste à eectuer des opérations dites élémentaires sur les lignes de A et I n jusqu'à obtenir l'inverse éventuel de la matrice A. Le point de départ est l'égalité A I n A, qu'on modie en raisonnant par équivalences jusqu'à obtenir une égalité du type I n BA. On a alors A B. Dénition (Opérations élémentaires autorisées pour le pivot de Gauss. Les seules transformations élémentaires autorisées sur les lignes de chaque matrice sont :. la permutation de deux lignes, que l'on note : L i L j.. la combinaison linéaire de deux lignes, avec α K et β K, que l'on note : L i αl i + βl j. Remarque. Attention, dans le cas d'une combinaison linéaire, il est nécessaire de vérier que α 0. 9

10 Les premières opérations élémentaires sur les lignes de chaque matrice sont choisies pour obtenir une matrice triangulaire (en général triangulaire supérieure, appelée réduite de Gauss, qui détermine l'inversibilité. Proposition. Une matrice carrée A de M n (K est inversible si et seulement si ses réduites de Gauss ont tous les termes diagonaux non nuls. Remarque. Dans le cas d'une matrice A triangulaire, elle est sa propre réduite de Gauss. On peut donc savoir si elle est inversible ou non en regardant les termes sur sa diagonale, sans aucun calcul. 0 Exemple. On considère la matrice A A I A 0 0 A 0 0 On commence par chercher une réduite de Gauss : A I A L L L L L + L L L L La réduite de Gauss de A est une matrice triangulaire supérieure dont tous les termes diagonaux sont non nuls. A est donc une matrice inversible. On cherche maintenant A. A I A L L 8L 0 0 A L L + L On peut alors conclure que : L 8 L L L L 8 L Exemple. On considère la matrice B I A B I B 8 /8 /8 /8 / / / /8 /8 / A B A A

11 On commence par calculer une réduite de Gauss de B : B I B L L L L L + L L L La réduite de Gauss de B est une matrice triangulaire supérieure dont un terme de la diagonale est nul. B n'est donc pas une matrice inversible. 0 4 Exemple. On considère la matrice C C I C 0 0 C On commence par calculer la réduite de Gauss de C : 0 0 C I C L L C L L L C L 4 L /4 /4 0 0 C L L + 6L 0 0 9/ / La réduite de Gauss de C n'a aucun zéro sur la diagonale, donc C est inversible. On cherche maintenant C. C I C L L 9 L 0 / 5/ /9 L L 6 L / /6 C 0 0 9/ / L L L L 9 L I / / /9 0 / /6 / / /9 B C B On en déduit que : C

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