Cours d algèbre 2. CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed. UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz

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1 UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz Cours d algèbre 2 CHOULLI Hanan, MOUANIS Hakima et ZENNAYI Mohammed Département de Mathématiques Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 1 / 62

2 Chapitre 2 MATRICES ET DÉTERMINANTS Dans ce chapitre K est soit égal à IR soit égal à IC. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 2 / 62

3 Définitions Matrices Définitions et exemples Définition Soient n et m deux entiers naturels non nuls, on appelle matrice de type (n, m) et à termes dans IK, tout tableau a a 1j... a 1m..... A = (a ij ) 1 i n = 1 j m a i1... a ij... a im a n1... a nj... a nm Le terme a ij se trouve au croisement de la ligne i et de la colonne j. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 3 / 62

4 Définitions Matrices Définitions et exemples Définitions 1 Lorsque n = m, on dit que la matrice est carrée d ordre n. 2 Une matrice de type (n, m) est dite uniligne ( resp. unicolonne ) lorsque n = 1 (resp m = 1 ). 3 L ensemble des matrices à termes dans IK et de type (n, m) est noté : M n,m (IK ). 4 L ensemble des matrices carrées d ordre n et à termes dans IK est noté simplement : M n (IK ). 5 La matrice uniligne (a i1... a ij... a im ) est la i-ième ligne de la matrice A. 6 La matrice unicolonne C j = a 1j. a ij. a nj est appelée la j-ième colonne de A. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 4 / 62

5 Matrices Egalité de deux matrices Définitions et exemples Définition Deux matrices A = (a ij ) M n,m et B = (b ij ) M p,q (IK ) sont dites égales si, et seulement si 1 elles sont de même type, c est à dire n = p et m = q, 2 pour tout 1 i n et 1 j m, on a a ij = b ij. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 5 / 62

6 Matrices Définitions et exemples Quelques types de matrices carrées d ordre n Exemples I n= }{{} ai n= Matrice identité a a a }{{} Matrice scalaire }{{} Matrice nulle a a a n }{{} Matrice diagonale 0= Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 6 / 62

7 Matrices Définitions et exemples Quelques types de matrices carrées d ordre n Exemple a 11 a a 1n 0 a 22 a a 2n a(n 1)n a nn }{{} Matrice triangulaire supèrieure a a 21 a a n a n(n 1) a nn }{{} Matrice Triangulaire inférieure Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 7 / 62

8 Matrices Opérations sur les matrices Addition et multiplication par un scalaire Définition Soient A = (a ij ) M n,m (IK ) et B = (b ij ) M n,m (IK ) deux matrices de même type (n, m). On appelle matrice somme de A et B la matrice A + B = (c ij ) de type (n, m) avec c ij = a ij + b ij. On ne peut pas faire la somme de deux matrices de type différents. Exemple ( ) ( ( ( 2) 3 + ( 4) 1 + ( 3) ( 4) ) = ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 8 / 62

9 Matrices Opérations sur les matrices Addition et multiplication par un scalaire Définition Soit A = (a ij ) M n,m (IK ) et α K. α.a := (αa ij ) M n,m (IK ) Exemple = Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 9 / 62

10 Matrices Opérations sur les matrices Addition et multiplication par un scalaire Proposition 1 A + B = B + A 2 (A + B) + C = A + (B + C) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = O 5 (α + β)a = αa + βa 6 α(a + B) = αa + αb 7 (αβ)a = α(βa) 8 1A = A Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 10 / 62

11 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Remarque Le produit A B des matrices A et B n est possible que si le nombre des colonnes de la matrice de gauche (A) est égal au nombre des lignes de la matrice de droite (B). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 11 / 62

12 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Produit d une matrice uniligne par une matrice unicolonne Le produit d une matrice uniligne (a a 1j... a 1m ) de type (1, m) par une matrice unicolonne (a a 1j... a 1m ) b 11. b i1. b m1 b 11. b i1. b m1 de type (m, 1) est défini par : = (a 11 b a 1i b i1 + + a 1m b m1 ). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 12 / 62

13 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Exemples Soient A = (2, 0, 1, 3) de type (1, 4) et B = Par définition AB = ( 8) de type (1, 4) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 13 / 62

14 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Produit de deux matrices Soient A M n,p (IK ) et B M p,q (IK ) (A a autant de colonne que B a de lignes). Le produit AB est une matrice de type (n, q), dont le coefficient C ij est le produit de la ième ligne de la matrice A par la jème colonne de la matrice B. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 14 / 62

15 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Produit de deux matrices a a 1p.. A= a i a ip a n a np Où c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj b b 1j... b 1q b b 2j... b 2q... = B b p1... b pj... b pq c c 1j... c 1q c i1... c ij... c iq = AB c p c pq Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 15 / 62

16 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Exemples ( A= = B ) ( ) = AB Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 16 / 62

17 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Propriétés 1 Elément neutre : Soient A M n,m. AI m = A et I n A = A 2 Associativité : Soient A M n,m, B M m,p et C M p,q trois matrices. Alors, (AB)C = A(BC) qu on note par ABC c est à dire ABC = (AB)C = A(BC). 3 Distributivité : Soient A M n,m, B M m,p et C M p,q trois matrices. Alors, (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC 4 Compatibilité avec la multiplication par un scalaire : Soient A M n,m, B M m,p et λ. λ(ab) = (λa)b = A(λB) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 17 / 62

18 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Remarques La multiplication des matrices n est pas commutative : c est à dire, il existe des matrices ( A et B ) tel que A.B ( et B.A) existent, mais A.B B.A Soient A = et B = ( ) ( ) On a AB = mais BA = Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 18 / 62

19 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Remarques Le produit de deux matrices peut être nul alors qu aucune des matrices n est nulle. ( ) ( ) Soient A = et B = On a AB = (0) mais A 0 et B 0. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 19 / 62

20 Matrices Multiplication de deux matrices Opérations sur les matrices Remarques AB = AC ( B = C ) ( ) Soient A =, B = et C = ( ) 5 4 On a AB = AC = mais B C ( ). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 20 / 62

21 Matrices Transposée d une matrice Transposée d une matrice Définition Soit A = (a ij ) une matrice de type (n, m). On appelle matrice transposée de A, la matrice t A, de type (m, n), définie par : t A = (a ij ), a ij = a ji. Exemple Soit A = On a t A = ( ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 21 / 62

22 Matrices Transposée d une matrice Transposée d une matrice Proposition 1 Soit A une matrice, alors t t A = A. 2 Soient A une matrice et λ un scalaire, alors t (λa) = λ. t A. 3 Soient A et B deux matrices de même type, alors t (A + B) = t A + t B. 4 Soient A une matrice de type (n, m) et B une matrice de type (m, r), on a alors t (A B) = t B t A. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 22 / 62

23 Inverse d une matrice Matrices Inverse d une matrice Définition Soit A = (a ij ) une matrice carrée d ordre n, non nulle. A est dite inversible s il existe une matrice carrée B vérifiant : A B = I n. Dans ce cas, B est appelé l inverse de A et on note B = A 1. Exemple ( ) ( ) Soient A = et B = On a AB = I et BA = I, donc A est inversible et A 1 = B. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 23 / 62

24 Matrices Inverse d une matrice Exemple ( ) 1 2 La matrice A = n est pas inversible. ( 2 4 ) a b En effet, Soit B = tel que AB = I c d 2. Ceci est équivaut à : a 2c = 1 b 2d = 0. 2a + 4c = 0 2b + 4d = 1 Le système est incompatible. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 24 / 62

25 Inverse d une matrice Matrices Inverse d une matrice Exercice Soit A une matrice carrée d ordre n vérifiant l équation A 3 + 3A 2I n = 0 n. Montrer que A est inversible et calculer son inverse. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 25 / 62

26 Inverse d une matrice Matrices Inverse d une matrice Proposition 1 Soient A, B M n (IK ) deux matrices inversible, alors (AB) 1 = B 1 A 1. 2 Soient A M n (IK ) inversible, alors A 1 est aussi inversible et on a (A 1 ) 1 = A. 3 Soient A, B M n (IK ) et C M n (IK ) inversible. Alors AB = AC B = C Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 26 / 62

27 Rang d une matrice Matrices Rang d une matrice Définition Soit A = (a ij ) M n,m (IK ). Pour tout 1 = 1,..., n, on pose L i = (a i1... a im ) et pour tout j = 1,..., m, on pose C j = a 1j. a nj. L 1,..., L n sont appelés les vecteurs lignes de A C 1,..., C m sont appelés les vecteurs colonnes de A. On appelle rang de A la dimension du sous espace de IK m engendré par les vecteurs lignes L 1,..., L n de A qu est aussi le rang de la famille des vecteurs {L 1,..., L n }. rang(l 1,..., L n ) est appelé aussi rang de A. On a aussi rang(a) = rang(c 1,..., C m ). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 27 / 62

28 Rang d une matrice Matrices Rang d une matrice Exemple Soit A = rang(a) = dimvect(l 1, L 2, L 3, L 4, L 5 ) On a L 5 = L 4 + L 2 et L 3 L 2 = 2L 1. Montrons que {L 1, L 2, L 4 } est libre. Donc rang(a) = 3 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 28 / 62

29 Rang d une matrice Matrices Rang d une matrice Proposition Si A est une matrice de type (n, m) alors rang(a) Inf (n, m). Exemple Soit A = alors rang(a) 3. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 29 / 62

30 Rang d une matrice Matrices Rang d une matrice Proposition Si A est une matrice de type (n, m) alors rang(a) Inf (n, m). Exemple Soit A = alors rang(a) 3. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 29 / 62

31 Rang d une matrice Matrices Rang d une matrice Proposition Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang égale à son ordre. Exemple Soit B = L 3 = L 2 L 1 et {L 1, L 2 } est libre. Donc rang(a) = 2 3. Alors A n est pas inversible. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 30 / 62

32 Matrice échelonnée Transformations de Gauss Forme échelonée d une matrice Définition Une matrice A M n,m (IK ) est dite échelonnée si 1 Toute ligne nulle n est suivie que de lignes nulles. 2 L indice de colonne du premier terme non nul de toute ligne non nulle est supérieur à l indice de colonne du premier terme non nul de la ligne qui la précède. Exemple A = Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 31 / 62

33 Transformations de Gauss Forme échelonée d une matrice Matrice échelonnée reduite canonique Définition Une matrice A M n,m (IK ) est dite échelonnée si 1 A est échelonnée. 2 Si en plus, le premier élément non nul de toute ligne est égal à 1. 3 Dans la colonne corespondante (colonne pivot), tous les coefficients sont nuls. Exemple Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 32 / 62

34 Transformations de Gauss Opérations élémentaires Opérations élémentaires 1 Permutation L i L j 2 l opération : L i αl i, avec α 0. 3 l opération : L i L i + α j L j. ces opérations sont appelées opérations élémentaires sur A (ou bien transformations élémentaires de Gauss) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 33 / 62

35 Transformations de Gauss Application 1 : Calcul du rang Application des transformations élémentaires Proposition Soient A et B deux matrices de même type. Si B est obtenue à partir de A par des opérations élémentaires, alors A et B ont le même rang. Exemple Le rang de la matrice A = B = égale le rang de la matrice Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 34 / 62

36 Transformations de Gauss Application 1 : Calcul du rang Application des transformations élémentaires Proposition Le rang d une matrice échelonnée égale au nombre de ses lignes non nuls Exemple Le rang de égale à 4 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 35 / 62

37 Transformations de Gauss Application 1 : Calcul du rang Application des transformations élémentaires Soit la matrice A A = Ainsi rangb = L 2 L L L 2 L 1 L 4 L 1 L L 2 L 4 + L 2 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 36 / 62

38 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 2 : Calcule de l inverse d une matrice La méthode pour inverser une matrice A consiste à faire des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu à la transformer en la matrice identité I n. On fait simultanément les mêmes opérations élémentaires en partant de la matrice I n. On aboutit alors à une matrice qui est A 1. Soit la matrice B = Montrer que B est inversible et calculer B 1. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 37 / 62

39 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 2 : Calcule de l inverse d une matrice Considérons la matrice augumentée L 3 2L L 2 + L L Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 38 / 62

40 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 2 : calcule de l inverse d une matrice Donc B 1 = L 3 3L 2 L 3 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 39 / 62

41 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires Définition On appelle système d équations linéaires à coefficients réels un système de type a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n o x 1,..., x p sont les inconnus et les nombres a ij sont les coefficients du système. Exemple 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 4 2x 1 + x 2 + 2x 4 = 2 5x 1 + x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 40 / 62

42 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires La forme matricielle Un système d équations lineaires peut aussi s écrire sous la forme matricielle : a a 1p x 1 b 1 a a 2p x 2 b 2 AX = b avec A =... a n1... a np, X =. x p et b =. b n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 41 / 62

43 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires Proporiété a a 1p b 1 a a 2p b 2 Posons (A b) = appelé la matrice élargie de A en... a n1... a np b p ajoutant la colonne b. 1 Si rang A = rang (A b) = le nombre des inconnus = p alors le système admet une solution unique. 2 Si rang A = rang (A b) < le nombre des inconnus = p alors le système admet une infinité de solutions. 3 Si rang A < rang (A b) alors le système n admet pas de solution. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 42 / 62

44 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires Proporiété 1 Le principe général du pivot de Gauss est de transformer le système que l on veut résoudre en un système triangulaire qui a les MEMES SOLUTIONS. 2 L ensemble des solutions d un système linéaire ne change pas si on effectue sur les équations des opérations élémentaires. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 43 / 62

45 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires Exemples x y + z = 2 2x + y + z = 1 4x + 3y + z = Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 44 / 62

46 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires La première étape du pivot de Gauss consiste à utiliser la première équation pour faire disparaitre les x dans les autres équations. Au niveau de la matrice, cela revient à utiliser la première ligne pour faire apparaître des 0 sous le premier coefficient de la première ligne.c est ce premier coefficient que l on appelle le pivot. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 45 / 62

47 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires (L 2 L 2 2L 1 ) (L 3 L 3 4L 1 ) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 46 / 62

48 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires Pour l étape suivante, on oublie la première ligne et la première colonne, qui resteront inchangées jusqu à la fin du procédé On recommence alors la première étape, sur la matrice plus petite : dans notre exemple, notre nouveau pivot est le 3, que l on utilise pour faire apparaître des 0 en dessous (L 3 L L 2) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 47 / 62

49 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires On continue cette seconde étape jusqu à ce qu il n y ait plus que des 0 en dessous du second et l on recommence sur la matrice plus petite. Le processus s arrête lorsque l on a une matrice triangulaire (i.e. une matrice ne contenant que des 0 sous la diagonale), et donc un système triangulaire. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 48 / 62

50 Transformations de Gauss Application des transformations élémentaires Application 3 :Résolution des système linéaires On revient alors à la notation système, et l on peut faire remonter les équations par substitution des variables rg(a) = 3, donc le système admet une solution unique. Dans notre exemple, la dernière ligne de notre matrice nous donne l équation 4z = 2 ; soit z = 1 2. La seconde ligne entraîne que y = 1 2. Enfin, la première ligne nous donne x = 1 La solution de notre système est donc le triplet (1, 1 2, 1 2 ). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 49 / 62

51 Déterminants Déterminant des matrices carrées Déterminant des matrices carrées d ordre 2 Définition ( ) a b Soit A = une matrice d ordre 2. On appelle déterminant de A le c d nombre réel det(a) défini par det(a) = ad bc. Notation : det(a) = a c b d Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 50 / 62

52 Déterminants Déterminant des matrices carrées Déterminant des matrices carrées d ordre 2 Exercice ( a b Soit A = c d déterminant. ). Montrer que A et sa transposée : t A ont même Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 51 / 62

53 Déterminants Déterminant des matrices carrées Déterminant des matrices carrées d ordre 3 Définition Soit une matrice d ordre 3. On appelle déterminant de A, le nombre det(a), défini par : a 11 a 12 a 13 det(a) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 +a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 52 / 62

54 Déterminants Déterminant des matrices carrées Déterminant des matrices carrées d ordre 3 Méthode de Sarrus On ajoute les deux premières colonnes de A au déterminant de A pour chacun des deux tableaux suivants a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b c c c c c c c c c c On obtient det(a) = (ab c + a b c + a bc ) (a bc + ab c + a b c) Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 53 / 62

55 Déterminants Déterminant des matrices carrées Déterminant des matrices carrées d ordre n Définition Soit A = (a ij ) une matrice carrée d ordre n 2. Pour tout terme a ij de la matrice A, on note A ij la matrice obtenue de A en enlevant à celle-ci la ligne L i et la colonne C j. On appelle cofacteur de a ij le nombre cof (a ij ) = ( 1) i+j det(a ij ). On appelle comatrice de A la matrice Com(A) = (cof (a ij )). Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 54 / 62

56 Déterminants Propriétés des déterminants Propriétés des déterminants Proposition Soit A = (a ij ) une matrice carrée d ordre n. 1 Soit 1 t n. On a : n det(a) = a st cof (a st ). (développement suivant la colonne C t ) s=1 2 Soit 1 s n. On a : n det(a) = a st cof (a st ). (développement suivant la ligne L s ) t=1 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 55 / 62

57 Déterminants Propriétés des déterminants Propriétés des déterminants Propriétés 1 Un déterminant d ordre n est transformé en son opposé lorsqu on échange deux colonnes. 2 Un déterminant d ordre n est nul dès qu une de ses colonnes est combinaison linéaire de ses autres colonnes. 3 Un déterminant d ordre n est invariant si on ajoute à une de ses colonnes une combinaison linéaire de ses autres colonnes. 4 Un déterminant d ordre n est multiplié par λ si on multiplie les termes d une de ses colonnes par λ. 5 Un déterminant d ordre n est multiplié par λ n si on multiplie tous ses termes par λ. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 56 / 62

58 Déterminants Propriétés des déterminants Propriétés des déterminants Propriété Le déterminant d une matrice carrée ne change pas si on effectue les transformations élémentaires suivantes : L i L i + βl j Exercice Calculer le déterminant de la matrice suivante : A = Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 57 / 62

59 Application des déterminants Calcule de l inverse Applications des déterminants :Calcul de l inverse Proposition Une matrice carée A est inversible si et seulement si son déterminant det(a) est non nul. Dans ce cas A 1 = 1 t det(a) (com(a)). Application 1 vérifier est ce qu une matrice est inversible ou non. 2 Calculer l inverse d une matrice. Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 58 / 62

60 Application des déterminants Calcule de l inverse Applications des déterminants :Calcul de l inverse Exercice ( ) 3 2 Calculer l inverse de la matrice carré d ordre 2 : A = Montrer que la matrice B = est inversible et calculer son inverse Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 59 / 62

61 Application des déterminants Calcule de l inverse Applications des déterminents : Système de Cramer Définition Soit Σ un système à n équations linéaires et à n inconnues. Si Σ admet une solution et une seule on dit que c est un système de Cramer. Théorème Soit Σ un système de n équations et n inconnues et de matrice élargie (A b) où b = (b 1,...b n ). Σ est un système de Cramer si et seulement si A est inversible et dans ce cas si (x 1,..., x n ) est la solution de Σ alors x 1 x 2. x n = A 1 b 1 b 2. b n Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 60 / 62

62 Application des déterminants Calcule de l inverse Applications des déterminents : Système de Cramer Proposition Soit Σ un système de n équations et n inconnues et de matrice élargie (A b) où b = (b 1,...b n ). Pour tout 1 j n, on note par A i la matrice obtenue à partir de A on remplaçant la j ième colonne par b xj = det(a j ) et = deta. Σ est un système de Cramer si et seulement si 0 et dans ce cas si (x 1,..., x n ) est la solution de Σ alors pour tout 1 j n x j = x j Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 61 / 62

63 Application des déterminants Calcule de l inverse Applications des déterminents : Système de Cramer Exercice Résoudre le système suivant : x + 5y z = 7 3x + 16y + 4z = 2 2x + 9y + z = 3 Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module Math: Algèbre 1 62 / 62

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